xác suất và biến cố

http://ebooktoan.com/forum 1 ĐỀ TÀI ĐỂ DẠY TỐT TIẾT HỌC : XÁC SUẤT VÀ BIẾN CỐ  PHẦN I : MỞ ĐẦU I- Lý do chọn đề tài: Trong chương trình thay sách giáo khoa mới, ở môn Đại số và Giải tích lớp 11 tác giả đã đưa toàn bộ chương IV: Đại số tổ hợp của chương trình lớp 12 (chỉnh lý và hợp nhất) vào chương II của ĐS và GT lớp 11. Thêm vào đó còn thêm 4 tiết dạy về Biến cố - xác suất của biến cố , tạo thành chương II: Tổ Hợp – Xác suất. Kiến thức nhiều mới, lạ, với học sinh vì học sinh mới học lần đầu . Trong phần xác suất có khá nhiều khái niệm mới, khó hiểu, SGK mới không những đề cập đến định nghĩa biến cố, xác suất và nhiều tính chất của xác suất, các công thức tính xác suất.v.v Do đó, nếu học sinh không nắm chắc các khái niệm, các tính chất, sẽ không vận dụng được vào bài tập như tính xác suất P(A); P(B); P(AB)… Mặt khác , học sinh thường cho rằng các phép toán và các định lý thường khó hiểu , trừu tượng nên không tạo được sự thích thú và hưng phấn trong môn toán Do đó tôi chọn đề tài này nghiên cứu nhằm rút ra một số kinh nghiệm cần thiết để giúp học sinh học tốt trong tiết học Biến cố và Xác suất đồng thời tạo cho các em tâm lý phấn khởi khi học chương II này . II- Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài : - học sinh đầu vào chưa được cao , đa số lười học bài và làm bài tập - gv đầu tư nhiều cho kiến thức mới nhưng thời lượng cho phép quá ít ( bài này chỉ giảng trong 2 tiết ) PHẦN II : NỘI DUNG ĐỀ TÀI - Nội dung các giải pháp thực hiện cho tiết dạy : 1- Khâu chuẩn bị truyền đạt kiến thức mới: Giáo viên phải chọn lựa một số thí nghiệm trực quan, cụ thể cho học sinh tiến hành để tạo cảm giác hưng phấn, thích thú trong việc nghiên cứu kiến thức mới này. Ví dụ Phép thử : - gieo 1 đồng xu với quy ước mặt ghi số là S, mặt in hình là N (sấp: S, ngửa N). – gieo 2 đồng xu với quy ước mặt có số là S S , mặt có hình là N N Phép thử : - gieo 1 con súc sắc (gv làm 1 khối lập phương, dùng sơn chấm số chấm từ 1 đến 6 trên sáu mặt ) - gieo 2 con xúc sắc ( gv chọn 2 hột xí ngầu loại lớn cùng kích cỡ ) http://ebooktoan.com/forum 2 - gieo 3 con xúc sắc ( gv chọn 3 hột xí ngầu loại lớn cùng kích cỡ) Phép thử : lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ 6 viên bi: 3 đỏ, 2 xanh, 1 vàng để học sinh có thể nêu các khả năng có thể xảy ra của phép thử bằng các quả banh có cùng kích cỡ nhưng có màu khác nhau như màu xanh , màu vàng , màu đỏ . Phép thử : rút 4 lá bài một cách ngẫu nhiên từ bộ bài Kate có 52 lá Phép thử : gieo 1 đồng xu và 1 con xúc sắc cùng một lúc Từ đó hình thành tốt các khái niệm cơ sở ban đầu: -Phép thử - không gian mẫu; số phần tử của không gian mẫu ( số kết quả có thể xảy ra của phép thử ) -Biến cố là gì ? ký hiệu biến cố ? -Thế nào là biến cố không thể , biến cố chắc chắn ? -Thế nào là biến cố đối của biến cố A ? biến cố xung khắc của biến cố A ? - Liên hệ giữa hai biến cố xung khắc và phép cộng : )()()( BPAPBAP  - Liên hệ giữa hai biến cố độc lập và phép nhân : )().()( BPAPBAP  - Liên hệ giữa hai biến cố đối )(1)(:, APAPAA  2- Chuẩn bị một số câu hỏi trắc nghiệm để học sinh khắc sâu kiến thức mới. VD: -Không gian mẫu có phải là phép thử? -Biến cố là phép thử đúng hay sai? -Số phần tử của biến cố có phải là số phần tử của không gian mẫu? - Biến cố là một tập con của không gian mẫu -A và B là 2 biến cố xung khắc : nếu A xảy ra thì B không xảy ra -A và B đối nhau thì A và B xung khắc -Nếu   BA thì A và B là 2 biến cố xung khắc - )()( BABA  là biến cố : chỉ một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra - Để tính xác suất của các biến cố , ta -Cho biến cố A , biến cố : không xảy ra A là biến cố đối của A - A và B xung khắc thì A và B đối nhau - BA là biến cố : chỉ A xảy ra - BA là biến cố ít nhất 1 trong 2 biến cố A , B xảy ra - BA là biến cố : cả 2 biến cố A và B cùng xảy ra - BA là biến cố : cả 2 biến cố A và B http://ebooktoan.com/forum 3 phải tiến hành mấy bước ? nêu cụ thể công việc của mỗi bước ? không xảy ra 3- Chuẩn bị nhiều ví dụ về các dạng biến cố. VD: Xét phép thử : Gieo 1 con súc sắc . Hãy xác định các biến cố sau : A: “Mặt xuất hiện k chấm với k lẻ” B: “Mặt xuất hiện k chấm với k chẵn” C: “Mặt xuất hiện có số chấm không vượt quá 6” D: “Mặt xuất hiện có số chấm lớn hơn 6” E : “ Tổng số chấm ở 2 lần gieo là 15 “ F : “ Số chấm xuất hiện ở 1 lần gieo là nhỏ hơn hoặc bằng 6 “ G : “ Xuất hiện mặt chẵn chấm “ H : “ Xuất hiện mặt lẻ chấm “ Từ đó học sinh nhận xét được các biến cố nào là biến cố đối ( A và B ) ; biến cố không thể ( D và E ) , biến cố chắc chắn ( C và F ) , biến cố xung khắc ( G và H ) Ngoài ra còn nhận xét được mối quan hệ giữa chúng. VD: “Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong 3 khối để phỏng vấn nhân ngày 26/3 ” Xét các biến cố sau: A: “Học sinh được chọn là học sinh K 10” B: “Học sinh được chọn là học sinh K 11” Nhận xét A và B có xung khắc không? Có đối nhau không và từ đó rút ra kết luận về quan hệ giữa biến cố đối nhau và xung khắc? * Hai biến cố A và B đối nhau thì xung khắc nhưng nếu A và B xung khắc thì không nhất thiết là A và B đối nhau http://ebooktoan.com/forum 4 4- Các bài toán xác suất đều liên quan chặt chẽ đến các vấn đề tổ hợp. Do đó để giúp học sinh giải tốt các bài toán xác suất cần ôn tập lại các bài toán về chỉnh hợp, tổ hợp để học sinh vận dụng tốt vào bài mới. VD 1: Có 4 que được đánh số từ số 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên 3 que. Hỏi có bao nhiêu cách rút? HD: Vì không phân biệt thứ tự, nên số cách rút là số tổ hợp chập 3 của 4 phân tử: C 3 4 = 4 cách VD 2: Túi bên phải đựng 3 bi đỏ, 2 bi xanh. Túi bên trái đựng 4 bi đỏ, 5 bi xanh. Lấy 1 bi từ mỗi túi 1 cách ngẫu nhiên. Hỏi số phần tử của không gian mẫu ? HD : Không gian mẫu là kết quả của hai hành động lấy bi liên tiếp. Bước 1 : lấy 1 bi ở túi bên phải có 5 1 5 C cách Bước 2 : lấy 1 bi ở túi bên trái có 9 1 9 C cách Theo quy tắc nhân ta có: n() = 1 9 1 5 .CC = 5.9 = 45 (cách) VD 3: Một hộp có 10 thẻ trắng , 8 thẻ xanh và 11 thẻ đỏ . Các thẻ đều cùng kích thước và chất liệu , mỗi thẻ chỉ có một màu . Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 thẻ cùng một lúc . Hỏi có bao nhiêu cách để 4 thẻ lấy ra đều cùng một màu ? HD : Gọi A là biến cố : “ Rút được 4 thẻ cùng một màu “ - Số cách rút được 4 thẻ cùng màu trắng là 210 4 10 C - Số cách rút được 4 thẻ cùng màu xanh là 70 4 8 C - Số cách rút được 4 thẻ cùng màu đỏ là 330 4 11 C Vì các khả năng xảy ra này như nhau nên : 610)( 4 11 4 8 4 10  CCCAn ( cách ) 5- Chuẩn bị thật tốt 1 số bài tập mẫu. Có mức độ tăng dần về độ khó để học sinh rút ra được kinh nghiệm khi làm toán. VD 1: Từ 1 hộp chứa 3 bi trắng, 2 bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 bi. a- Nêu không gian mẫu b- Tính xác suất của các biến cố: http://ebooktoan.com/forum 5 A: “Hai bi cùng màu trắng” B: “Hai bi cùng màu đỏ”. C: “Hai bi cùng màu” D: “Hai bi khác màu” HD: a- Ta đánh số các bi trắng là 1, 2, 3; các bi đỏ là 4, 5 Không gian mẫu là: = {1, 2 }, {1 ,3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4} {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5} n () = 10 b- Ta có A= {1,2}, {1,3}, {2,3} => n (A) = 3 B = {4, 5} => n (B) = 1 C = A  B => n (C) = 4 D = C Do đó: P (A) = 3 ; P (B) = 1 ; P(C) = 4 = 2 10 10 10 5 P(D) = P( C ) = 1- P(C) = 1- 2 = 3 5 5 VD 2: Một hộp đựng 4 bi trắng, 6 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi cùng lúc. a- Nêu số phần tử của không gian mẫu . b- Tính xác suất để lấy được : A: “ Hai bi màu trắng” B: “ Hai bi màu đỏ” C: “ Hai bi khác màu” HD : a- Nhận xét: ở ví dụ 2, không thể liệt kê các cách lấy 2 bi bất kỳ trong 10 viên bi rồi đếm số phần tử của không gian mẫu. Do đó, ta lập luận như sau: Mỗi cách lấy 2 viên bi bất kỳ trong 10 viên bi là 1 tổ hợp chập 2 của 10 phần tử. Số kết quả lấy 2 bi bất kỳ là: http://ebooktoan.com/forum 6 45)(45 2 10  nC b- Gọi A là biến cố lấy được 2 bi trắng Số cách lấy 2 bi trắng trong 4 bi trắng là : 6)(6 2 4  AnC Vậy : P(A) = 6 = 2 45 15 * Gọi B là biến cố lấy được 2 bi màu đỏ Số cách lấy 2 bi đỏ trong 6 bi đỏ là : 15)(15 2 6  BnC Vậy : P(B) = 15 = 1 45 3 * Gọi C là biến cố lấy được 2 bi khác màu Bước 1: Lấy 1 bi trắng : 4 1 4 C Bước 2 : Lấy 1 bi đỏ : 6 1 6 C Số cách lấy 2 bi khác màu : 4 x 6 = 24 Vậy: P(C) = 24 = 8 45 15 VD 3: Hai hộp đựng bi ( các bi có cùng kích thước và đồng chất ) , hộp thứ nhất có 6 bi xanh và 4 bi đỏ , hộp thứ hai có 5 bi xanh và 7 bi đỏ . Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 bi . 1-Nêu số cách lấy ngẫu nhiên 2 bi từ mỗi hộp ? http://ebooktoan.com/forum 7 2-Tính xác suất sao cho : a) 2 bi lấy được từ hộp thứ nhất có màu xanh b) 2 bi lấy được từ hộp thứ hai có màu đỏ c) 2 bi lấy được từ hai hộp cùng màu ? d) 2 bi lấy được từ hai hộp khác màu ? G : 1- Số cách lấy 2 bi ở hộp thứ nhất : 45 2 10 C Số cách lấy 2 bi ở hộp thứ hai : 66 2 12 C Số cách lấy 2 bi ở mỗi hộp là : 66.45.)( 2 12 2 10  CCn ( cách) 2- Gọi biến cố A : “ 2 bi lấy được ở hộp thứ nhất có màu xanh “ Số phần tử của biến cố A là : 66.15.)( 2 12 2 6  CCAn Xác suất của biến cố A là : 3 1 45 15 )( )( )(    n An AP Gọi biến cố B : “ 2 bi lấy được ở hộp thứ hai có màu đỏ “ Số phần tử của biến cố B là : 21.45.)( 2 7 2 10  CCBn Xác suất của biến cố B là : 22 7 66 21 )( )( )(    n Bn BP Gọi biến cố C : “ 2 bi lấy được ở hộp thứ nhất và thứ hai cùng màu “ -2 bi lấy ở mỗi hộp cùng màu đỏ : 21.6. 2 7 2 4 CC -2 bi lấy ở mỗi hộp cùng màu xanh : 10.15. 2 5 2 6 CC Số phần tử của biến cố C là : 276 )( 2 5 2 6 2 7 2 4  CCCCCn Xác suất của biến cố C là : 165 46 66.45 276 )( )( )(    n Cn CP Gọi biến cố D : “ 2 bi lấy ra từ hai túi khác màu “ Hs nhận xét biến cố D là biến cố đối của biến cố C : CD  Suy ra : 165 119 165 45 1)(1)()(  CPCPDP http://ebooktoan.com/forum 8 Như vậy: Ở VD1, học sinh liệt kê các phần tử của không gian mẫu. Từ đó, nêu được số phần tử của các biến cố A, B, C, D rồi áp dụng định nghĩa tính xác suất. Ở VD 2, học sinh không thể liệt kê các phần tử của không gian mẫu mà phải dùng công thức tổ hợp để tính các kết quả có thể xảy ra của phép thử; cũng như dùng công thức tổ hợp, công thức nhân để tính số phần tử của các biến cố A, biến cố B, biến cố C Sau đó dùng hệ thức để tính xác suất P(C) Ở VD 3, học sinh dùng công thức tổ hợp và công thức cộng để tính số phần tử của biến cố C vì các khả năng xảy ra là như nhau , riêng đối với câu d) học sinh nhận xét được 2 biến cố C và D là đối nhau và áp dụng hệ quả để tính xác suất P(D) 6- Cho các bài tập tương tự để học sinh thực hiện ở nhà Bài 1 : Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20 . Tìm xác suất để thẻ được lấy ghi số chẵn và chia hết cho 3 ? ĐS : 20 3 Bài 2 : Hộp có 4 bi đỏ và 6 bi vàng . Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3 viên bi . Tính xác suất để lấy được : a) 1 bi đỏ và 2 bi vàng b) số bi đỏ nhiều hơn số bi vàng ĐS : a) 2 1 b) 3 1 Bài 3: Túi phải có ba bi trắng , hai bi đen . Túi trái có bốn bi trắng , năm bi đen . Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ mỗi túi . 1)Nêu số kết quả của việc lấy ngẫu nhiên một bi từ mỗi hộp ? 2)Tính xác suất sao cho : a- hai bi lấy ra đều màu trắng b- hai bi lấy ra đều cùng màu ĐS : 1) 45 2a) 45 12 2b) 45 22 Bài 4 : Một con xúc sắc cân đối và đồng chất được gieo hai lần . 1) Mô tả không gian mẫu ? 2) Tính xác suất sao cho tổng số chấm trong hai lần gieo là 6 3) Tính xác suất sao cho ít nhất một lần gieo xuất hiện mặt 1chấm ĐS : 1) Ω = 36 2) 36 5 3) 36 11 http://ebooktoan.com/forum 9 Bài 5 : Gieo ba con xúc sắc cân đối và đồng chất một cách ngẫu nhiên . 1) Mô tả không gian mẫu ? 2) Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con xúc sắc bằng 9 ? ĐS : 1) Ω = 2166 3  2) 216 25 PHẦN III : KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC SAU KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Việc giảng dạy kiến thức mới về tiết học : “xác suất và biến cố “ đòi hỏi giáo viên phải đầu tư thật chặt chẽ theo 6 yêu cầu trên ( giống như 4 bước lên lớp : kiểm tra kiến thức cũ , dẫn dắt vào bài mới , truyền đạt nội dung của kiến thức mới , cũng cố nội dung của tiết học ) thì hy vọng sẽ giúp cho học sinh học các tiết về chương II này được nhẹ nhàng, dễ hiểu vì học sinh thích thú, tìm tòi, và khắc sâu được kiến thức Sau khi thực hiện 6 khâu cơ bản của đề tài nảy , hầu hết các em học sinh rất hứng thú với dạng bài tập mới nầy , kết quả là các em đã biết vận dụng lý thuyết để giải toán , thậm chí có những bài khó hơn và nhiều bài các em đã có những cách giải khác nhưng đều đúng với đáp án . Đánh giá kết quả thông qua việc kiểm tra 45 phút về dạng bài tập nầy ở 3 lớp 11a4, 11a5, và 11a6 nhận thấy kết quả 98/ 132 học sinh đạt yêu cầu ( từ 5 trở lên ) tỷ lệ 74,5% so với lúc trước khi chưa thực hiện đề tài là 51/132 học sinh đạt yêu cầu là 38,6% . Kết quả này như vậy là có khả quan so với đối tượng các em là học sinh lần đầu nắm bắt kiến thức mới . PHẦN IV : KẾT LUẬN Đề tài này có thể mở rộng và triển khai cho tất cả các tiết học khác ( môn Đại số và môn Hình học ) ở cả 3 khối : 10 , 11 và 12 bởi tính kế hoạch và thực tiễn . Ví dụ bài “ Đường tròn “ ( Hình học 10 - hk II) Gv có thể xây dựng tiết học theo các khâu trên : 1- Chuẩn bị truyền đạt kiến thức mới : cho học sinh ôn tập các định nghĩa đã học về đường tròn , tâm O, đường kính , bán kính , các quỹ tích của đường tròn . 2- Chuẩn bị một số câu hỏi để học sinh khắc sâu kiến thức mới : - để tìm tâm và bán kính của đường tròn qua 3 điểm ta làm thế nào ? - để tìm tâm và bán kính đường tròn qua 4 điểm ta làm thế nào ? - tiếp tuyến với đường tròn là đường thẳng như thế nào ? 3- Chuẩn bị nhiều ví dụ về phương trình đường tròn : http://ebooktoan.com/forum 10 - viết phương trình đường tròn dưới dạng chính tắc - viết phương trình đường tròn dưới dạng tổng quát 4- Các bài tập liên quan đến đường tròn như : phương trình tiếp tuyến , điều kiện để đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn … 5- Chuẩn bị các bài tập mẫu về đường tròn và phương trình tiếp tuyến với đường tròn ( tăng dần về độ khó như tiếp tuyến đi qua 1 điểm nằm ngoài đường tròn) 6- Soạn thêm các bài tập tương tự cho học sinh làm ở nhà . Mong được sự đóng góp thêm nhiều ý kiến của các thầy cô đồng nghiệp để một số kinh nghiệm của tôi cho chuyên đề : Để dạy tốt tiết học “ Xác suất và biến cố “ được sâu hơn ,phong phú hơn, hiệu quả hơn . Chu Văn An ngày 26 tháng 3 năm 2012 Gv thực hiện đề tài NGUYỄN TOÀN THIỆN . -Biến cố là gì ? ký hiệu biến cố ? -Thế nào là biến cố không thể , biến cố chắc chắn ? -Thế nào là biến cố đối của biến cố A ? biến cố xung khắc của biến cố A ? - Liên hệ giữa hai biến cố xung. cố , ta -Cho biến cố A , biến cố : không xảy ra A là biến cố đối của A - A và B xung khắc thì A và B đối nhau - BA là biến cố : chỉ A xảy ra - BA là biến cố ít nhất 1 trong 2 biến cố. Từ đó học sinh nhận xét được các biến cố nào là biến cố đối ( A và B ) ; biến cố không thể ( D và E ) , biến cố chắc chắn ( C và F ) , biến cố xung khắc ( G và H ) Ngoài ra còn nhận xét được