Output file ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Kim Thanh PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN Chuyên ngành Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số 60 46 15 LUẬN VĂN THẠ[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Kim Thanh PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH.Đặng Hùng Thắng i z Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1.Các khái niệm 1.2.Toán tử ngẫu nhiên điểm bất động ngẫu nhiên Chương Các kết tồn điểm bất động lời giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên 11 2.1.Sự tồn điểm bất động ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên 11 2.2.Phương trình tốn tử ngẫu nhiên 19 2.2.1 Phương trình tốn tử ngẫu nhiên 19 2.2.2 Phương trình tốn tử ngẫu nhiên có nhiễu 22 Chương Áp dụng phương pháp lặp để tìm điểm bất động giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên 29 3.1.Quy trình lặp ngẫu nhiên ii z 29 3.2.Sự hội tụ thuật toán lặp 31 3.3.Áp dụng phương pháp lặp để tìm điểm bất động giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên 39 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 58 iii z MỞ ĐẦU Định lí điểm bất động Banach ánh xạ co không gian mêtric đủ kết kinh điển Toán học Sau Banach, lý thuyết điểm bất động vấn đề thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà Toán học giới từ có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác như: Giải tích, Phương trình vi tích phân, Lý thuyết tối ưu, Các bao hàm thức vi phân, Vật lí, Việc nghiên cứu điểm bất động sở cho lý thuyết phương trình tốn tử ngẫu nhiên Các cơng trình điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên O.Hans A.Spacek năm 1950 khởi đầu cho hướng nghiên cứu Các viết đặc sắc A T Bharucha Ried năm 1976 thực bước tiến nhảy vọt cho mảng lý thuyết phương trình tốn tử ngẫu nhiên Ngày nay, phương trình tốn tử ngẫu nhiên trở thành trung tâm nghiên cứu Giải tích phi tuyến Lý thuyết xác suất Đến nay, giới có nhiều cơng trình nghiên cứu phong phú phương trình tốn tử ngẫu nhiên cho nhiều kiểu tốn tử nhiều loại không gian khác nhau, từ cho thấy tồn điểm bất động ngẫu nhiên toán tử đơn trị đa trị Với mong muốn tìm hiểu cách chi tiết hệ thống hướng lý thuyết này, lựa chọn đề tài: Phương trình tốn tử ngẫu nhiên hướng dẫn GS TSKH Đặng Hùng Thắng Luận văn tơi gồm chương z Chương 1: trình bày kiến thức chuẩn bị bao gồm khái niệm sử dụng số kết không chứng minh khác Chương 2: trình bày kết tồn điểm bất động giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên Ở đây, chúng tơi nghiên cứu nghiệm phương trình tốn tử ngẫu nhiên tổng qt phương trình tốn tử ngẫu nhiên có nhiễu khơng gian Banach tách Chương 3: trình bày phương pháp lặp để tìm điểm bất động giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên Chúng tơi giới thiệu hai sơ đồ lặp tổng quát để giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên, sơ đồ lặp Mann sơ đồ lặp Ishikawa Sau đó, chúng tơi trình bày điều kiện cần đủ cho hội tụ sơ đồ lặp ngẫu nhiên để tìm điểm bất động phương trình tốn tử tiệm cận tựa - không giãn không gian Banach Từ lý thuyết trên, nghiên cứu mối quan hệ điểm bất động ngẫu nhiên(ở dãy lặp xây dựng hội tụ điểm bất động ngẫu nhiên) nghiệm phương trình tốn tử ngẫu nhiên Luận văn hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Đặng Hùng Thắng Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc chân thành tới GS TSKH Đặng Hùng Thắng, Thầy quan tâm hướng dẫn động viên q trình tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, giáo z khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học tự nhiên quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho q trình học tập nghiên cứu trường Tơi xin chân thành cảm ơn thành viên seminar Toán tử ngẫu nhiên GS TSKH Đặng Hùng Thắng chủ trì giúp tơi nhiều kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa hoc Tôi xin gửi lời cảm ơn đến cấp lãnh đạo, đồng nghiệp trường ĐH Kinh tế - Kỹ thuật cơng nghiệp, gia đình người thân tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, mong nhận ý kiến đóng góp q báu thầy, giáo bạn học viên để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 02 tháng 12 năm 2011 Tác giả Trần Thị Kim Thanh z Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trích dẫn khái niệm số kết (không chứng minh) không gian Banach mà sử dụng chương sau 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω tập khác ∅ gọi không gian mẫu Gọi A σ - đại số tập Ω Mỗi phần tử σ đại số A gọi tập đo Bộ hai (Ω, A) gọi không gian đo Ánh xạ P : A → [0, 1] gọi độ đo xác suất S P∞ thỏa mãn P(∅) = 0, P(Ω) = P( ∞ A ) = n=1 n n=1 P(An ) T với An ∈ A cho An Am = ∅, m 6= n Với A ∈ A, P(A) gọi xác suất tập A Bộ ba (Ω, A, P) gọi không gian xác suất Định nghĩa 1.1.2 Không gian Banach X gọi thỏa mãn điều z kiện Opial dãy {xn } X hội tụ yếu đến x ∈ X x 6= y thì: lim inf n k xn − y k> lim inf n k xn − x k Định nghĩa 1.1.3 Không gian Banach X gọi lồi δX (ε) > 0, ∀ε > đó: δX (ε) = inf {1 − kx+yk :k x k=k y k= 1, k x − y k= ε} gọi môđun lồi không gian X Chúng ta cần bổ đề sau để tính chất đặc trưng khơng gian Banach lồi Bổ đề 1.1.4 Cho p > r > hai số thực cố định, không gian Banach X gọi lồi tồn hàm lồi, tăng chặt, liên tục g: [0, ∞) → [0, ∞) với g(0) = cho ∀x, y ∈ B(0, r), λ ∈ [0, 1] wp (λ) = λ · (1 − λ)p + λp · (1 − λ) : k λx + (1 − λ)y kp ≤ λ k x kp +(1 − λ) k y kp −wp (λ)g(k x − y k) Bổ đề 1.1.5 Giả thiết X không gian Banach lồi đều, < p ≤ λn ≤ q < 1∀n = 1, 2, · · · {xn }, {yn } hai dãy không gian X cho r ≥ 0: lim supn→∞ k xn k≤ r; lim supn→∞ k yn k≤ r; limn→∞ k λn xn + (1 − λn )yn k= r; limn→∞ k xn − yn k= Bổ đề 1.1.6 Cho dãy số không âm {αn }, {βn } {γn } z thoả mãn: αn+1 ≤ (1 + γn )αn + βn ∀n = 1, 2, 3, P ∞, ∞ n=1 γn < ∞ P∞ n=1 βn < 1) Tồn limn→∞ αn 2) Hơn lim inf n→∞ αn = limn→∞ αn = 1.2 Toán tử ngẫu nhiên điểm bất động ngẫu nhiên Cho F tập khác ∅ không gian Banach tách X Định nghĩa 1.2.1 Ánh xạ T : Ω × F → F gọi toán tử ngẫu nhiên x ∈ F , T( , x) đo Ánh xạ T : Ω × F → F gọi toán tử liên tục ∀ω ∈ Ω, ánh xạ T (ω, ) : F → F liên tục Ký hiệu n lần lặp lại T: T (ω, T (ω, T (ω, , T (ω, x))) T n (ω, x), ánh xạ ngẫu nhiên I : Ω × F → F xác định I(x, ω) = x T = I Định nghĩa 1.2.2 Tốn tử ngẫu nhiên T : Ω × F → F gọi a) toán tử ngẫu nhiên k(ω) - co ∀x, y ∈ F ω ∈ Ω ta có k T (ω, x) − T (ω, y) k≤ k(ω) k x − y k k : Ω → [0, 1] ánh xạ đo Nếu k(ω) = 1∀ω ∈ Ω T gọi tốn tử ngẫu nhiên khơng giãn z b) toán tử ngẫu nhiên co ∀x, y ∈ F ω ∈ Ω ta có k T (ω, x) − T (ω, y) kk x − y k với ω ∈ Ω d) toán tử ngẫu nhiên tựa - không giãn G(ω) = {x ∈ F : x = T (ω, x)} = ∅, ω ∈ Ω, x ∈ F, y ∈ G(ω), ta có k T (ω, x) − y k≤k x − y k với ω ∈ Ω e) toán tử ngẫu nhiên tiệm cận co ∃x0 ∈ F limkxk→∞ supx∈F kT (ω,x)−T (ω,x0 )k kx−x0 k < f) tốn tử ngẫu nhiên tiệm cận khơng giãn ∃{kn }(phụ thuộc ω) [1, ∞) với limn→∞ kn = n ∈ N cho ∀x, y ∈ F, ∀ω ∈ Ω k T n (ω, x) − T n (ω, y) k≤ kn k x − y k Lấy kn = n = ta có khái niệm tốn tử ngẫu nhiên khơng giãn g) tốn tử ngẫu nhiên tiệm cận tựa - không giãn với ω ∈ Ω : G(ω) = {x ∈ F : x = T (ω, x)} 6= ∅ ∃{kn } (phụ thuộc ω) [0, ∞) với limn→∞ kn = n ∈ N cho x ∈ F y ∈ G(ω) k T n (ω, x) − y k≤ (1 + kn ) k x − y k ∀ω ∈ Ω h) toán tử ngẫu nhiên liên tục đủ dãy {xn } F hội tụ yếu đến x0 kéo theo {T (ω, xn )} hội tụ mạnh tới T (ω, x0 ) với ω ∈ Ω z ... 1.2 .Toán tử ngẫu nhiên điểm bất động ngẫu nhiên Chương Các kết tồn điểm bất động lời giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên 11 2.1.Sự tồn điểm bất động ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên ... minh khác Chương 2: trình bày kết tồn điểm bất động giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên Ở đây, nghiên cứu nghiệm phương trình tốn tử ngẫu nhiên tổng qt phương trình tốn tử ngẫu nhiên có nhiễu khơng... 11 2.2 .Phương trình tốn tử ngẫu nhiên 19 2.2.1 Phương trình tốn tử ngẫu nhiên 19 2.2.2 Phương trình tốn tử ngẫu nhiên có nhiễu