1 Chương 4 BIẾN ĐỔI Z Chương này giới thiệu biến đổi z mà rất hữu ích trong phân tích và thiết kế hệ thống DSP (hoặc DTSP), giống như biến đổi Laplace cho hệ thống tương tự (hoặc liên tục thời gian) P.
1 Chương BIẾN ĐỔI Z Chương giới thiệu biến đổi z mà hữu ích phân tích thiết kế hệ thống DSP (hoặc DTSP), giống biến đổi Laplace cho hệ thống tương tự (hoặc liên tục thời gian) Phân tích Fourier phát triển cho miền liên tục thời gian hữu ích cho tín hiệu hệ thống rời rạc thời gian Ta thấy biến đổi z biến đổi Fourier liên hệ với Ta chọn để trình bày biến đổi z sau phân tích Fourieer nhiều tác giả khác làm, theo trật tự ngược lại thường thấy Chủ đề là: định nghĩa biến đổi z, hữu ích đơi biến đổi, thuộc tính biến đổi, vẽ cực không, vùng hội tụ, ổn định hệ thống, biến đổi ngược, biến đổi z bên, lọc bậc hai, đáp ứng chuyển tiếp hệ thống với điều kiện đầu 4.1 BIẾN ĐỔI Z Phần mở đầu bao gồm nhiều khía cạnh khác biến đổi z Giống biến đổi khác, biến đổi z áp dụng cho tín hiệu hệ thống rời rạc Ta biết hệ thống đặc trưng phương trình tín hiệu vào ra, đáp ứng xung nó, đáp ứng tần số Tóm lại ta thấy đặc tính thứ tư hệ thống 4.1.1 Định nghĩa: Biến đổi z X(z) tín hiệu rời rạc thời gian x(n) định nghĩa ∞ X(z) = x (n )z -n n= (4.1) z biến phức miền biến đổi xem tần số phức (xem hình 4.5) Nhớ số n thời gian, không gian số thứ khác, thường thời gian Như định nghĩa trên, X(z) chuỗi mũ nguyên z 1 tương ứng với hệ số x(n) Khai triển X(z) để thấy điều này: X(z) = x ( n) z n = x(0) + x(1)z-1 + x(2)z-2 + (4.2) n 0 Trong công thức (4.1) tổng lấy từ n = đến , X(z) không liên hệ với thời gian khứ x(n) Đây biến đổi z bên Biến đổi z bên có thể với điều kiện đầu x(n) (phần 4.7) Nhìn chung, tín hiệu tồn tại thời gian, biến đổi z hai bên định nghĩa như: ∞ X(z) = x n z -n n= -∞ = …x(-2)z + x(-1)z + x(0) + x(1)z 1 2 + x(2)z + … (4.3) 1 Vì X(z) chuỗi mũ vô hạn z , biến đổi tồn giá trị nơi chuỗi hội tụ (tiến tới không n - ) Vì biến đổi z liên hệ mật thiết với vùng hội tụ (ROC) nơi hữu hạn (phần 4.4) Để phân biệt, ta thích X (z ) cho biến đổi z bên Ví dụ 4.1.1 Tìm biểu diễn tốn học tín hiệu hình 4.1, sau tìm biến đổi z Giải (a) Chú ý tín hiệu nhân giảm , có giá trị 0.8 n với n Vì ta viết x(n) = 0.8n u(n) sử dụng biến đổi (4.1) X(z) = x ( n) z n n 0 = + 0.8z–1 + 0.64z–2 + 0.512z–3 +… = + (0.8z–1) + (0.8z–1)2 + (0.8z–1)3 + … Ap dụng cơng thức chuỗi hình học vơ hạn (2.8) + x + x2 + x3 + … = x n n 0 = , x< 1 x (4.4) Với x 0.8z 1 ta có z = 1 z 0.8 0.8 z X(z) = Kết có hình thức hai bên Điều kiện | 0.8 z 1 | nghĩa | z | 0.8 x(n) x(n) 0.8 0.64 1.44 0.512 -1 n -1 -1.2 (a) (a) (b) n -1 -1.728 Hình 4.1:Ví dụ 4.1 (b) Tín hiệu thây đổi dương âm với giá trị tăng Tín hiệu phân kỳ Sau vài lần thử, ta cso thể định biểu diễn toán học như: x(n) = (-1.2)n–1 u(n-1) (4.5) Với ( 1.2 ) n u(n) trễ đơn vị Sử dụng công thức (4.1) ta có X(z) = x( n )z n n 0 = + 1.0(z–1) – 1.2(z–1)2 + 1.44(z–1)3 – 1.718(z–1)4 + … = z–1 [1 + (-1.2z–1) + (-1.2z–1)2 + (-1.2z–1)3 + …] z 1 1 =z = = 1 1 z 1.2 1.2 z 1.2 z –1 4.1.2 Biến đổi z đảo Tín hiệu x(n) biến đổi X(z) đơi biến đổi z x(n) X(z) (4.6) Một cách để tìm biến đổi ngược, có thể, sử dụng định nghĩa biến đổi z Phương pháp tổng quát biến đổi z ngược thảo luận phần 4.5 4.6 Ví dụ 4.1.2 Tìm biến đổi z ngược biểu thức sau z z 0.8 (b) X(z) = z 1.2 (a) X(z) = Giải (a) Lấy khai triển X(z) sử dụng chuỗi hình hoc vô hạn: X(z) = z = z - 0.8 1-0.8 z -1 = + (0.8z–1) + (0.8z–1)2 + (0.8z–1)3 + … = + 0.8z–1 + 0.64z–2 + 0.512z–3 + … Bằng cách so sánh từ thành phần với thành phần công thức (4.2) ta có x(n) = [1 , 0.8 , 0.64 , 0.512 ; …] Hoặc x(n) = 0.8 n u(n) (b) Biểu diễn cho khơng giống biến đổi, ta viết 1 z 1 X(z) = = = z 1 1 z 1.2 1.2 z 1.2 z 1 Kế đến, lấy khai triển X(z) : X(z) = z–1 [1 + (-1.2z–1) + (-1.2z–1)2 + (-1.2z–1)3 + …] = + 1.0z–1 – 1.2z–2 + 1.44z–3 – 1.728z–4 + … Vì x(n) = [0 ,1.0 , -1.2 , 1.44 , -1.728 , …] Mà diễn tả hình thức đóng sau x(n) = (–1.2) n 1 u(n-1) 4.1.3 Đôi biến đổi z Bảng 4.1 đưa nhiều đôi biến đổi z hữu ích, nơi vịng trịng đơn vị vịng trịn có bán kính 1tâm gốc Tất tín hiệu nhân (bên phải), ngoại trừ hai tín hiệu phi nhân (bên trái) Chú ý 1 biến đổi diễn tả tương đương hàm z z , ví dụ Bảng 4.1 : Đơi biến đổi z thơng thường Tín hiệu x(n) Biến đổi X(z) Giảng đồ cực -không j -1 Unit circle -j ROC Mẫu đơn vị (n) Bậc đơn vị u(n) z ( ) 1 z 1 1 z Dốc đơn vị r(n) = nu(n) z -1 ( z -1 )2 Mũ thực an u(n) 0 z < a (4.7a) 1 az 1 anu(n) X(z) = (cosn0)u(n) X(z) = z za or z 1 cos Ω z 1 cos Ω z 2 (4.7b) or z(z cos Ω ) z z cos Ω (4.7c) Hình thức có nhiều phụ thuộc vào ta muốn làm với biến đổi (xem phần 4.1.6 , 4.3 4.6) 4.1.4 Biến đổi z cho hệ thống Biến đổi z áp dụng cho tín hiệu hệ thống hệ thống trình bày đáp ứng xung Mà hàm có số n giống tín hiệu Vì thuộc tính mà biến đổi z hữu ích phân tích thiết kế hệ thống tín hiệu hệ thống tương tác Đặc biệt, biến đổi z đáp ứng xung h(n) H(z) = h( n) z n (Biến đổi bên) (4.8) (Biến đổi hai bên) (4.9) n 0 Hoặc H(z) = h(n) z n n Phụ thuộc hệ thống nhân phi nhân H(z) gọi hàm truyền hàm hệ thống Ví dụ 4.1.3 Một hệ thống có đáp ứng xung h(n) = [1 , , , , , 6] Tìm hàm truyền Giải Hệ thống FIR phi nhân Hàm truyền cho công thức (4.9): H(z) = h(n) z n n = h ( n) z n n 2 = z 2 z 1 z 1 5z 2 z 3 Ngược lại, biết H(z) ta dễ dàng có h(n) 4.1.5 Hàm riêng trị riêng Ta biết đáp ứng tần số hệ thống H( ) với ngõ vào x(n) = e jn , ngõ y(n) = e jn H( ) (3.69b) Vì điều , e jn hàm riêng, H( ) trị riêng hệ thống Bây giờ, với đầu vào x(n) = zn (4.10) ngõ hệ thống y(n) = h(n) x(n) = h(k)z k 0 nk h(k)z = zn k 0 k Trong ngoặc H(z) , y(n) = z n H(z) n Vì miền biến đổi z, z hàm riêng, H(z) trị riêng hệ thống 4.1.6 Hàm truyền thành phần hệ số lọc Đầu tiên, với phương trình lọc tổng quát (công thức (2.21)) (4.11) N y(n) = M a y (n k ) + b x(n k ) k k 1 k M (4.12) k Với a k bk hệ số lọc (hằng số) Bây ta thay x(n) = z n y(n) = z n H(z) để có M n z H(z) = a k 1 k nk z N H (z) + b z k N nk k Từ công thức ta rút biểu diễn H(z) cho lọc đệ qui, kết M bz H(z) = k M N k k ak z (lọc đệ qui) (4.13a) k k 1 Với lọc không đệ qui, mẫu 1, H ( z) M bz k M k (lọc không đệ qui) k (4.13b) Nó ý hàm truyền bên có kết từ cơng thức lọc (4.12) Một số tác gải viết công thức dạng khác (ví dụ, tất thành phần y bên trái công thức), điều dẫn đến biểu diễn khác H(z) Ý tưởng công thức lọc cho, ta thu thập hệ số để đặt vào biểu diễn H(z) mà không cần lấy biến đổi z Ngược lại, biết H(z) ta biết hệ số lọc Ví dụ 4.1.4 Cho z 3z z 0.5 z 0.8 -20 z z (b) H(z) = 10 z z -8 z (a) H(z) = Tìm phương trình tín hiệu Giải (a) Viết H(z) hàm z 1 cách nhân tử số mẫu số với z 1 H(z) = 1 2-3z 3z 1 2 0.5 z 0.8 z (0.5 z 1 0.8 z 2 ) Những hệ số b0 = Vì công thức lọc b = -3 a1 = -0.5 a2 = 0.8 y(n) = -0.5y(n-1) – 0.8y(n-2) + 2x(n) - 3x(n-1) (b) Nhân tử số mẫu số với 0.1 z H(z) = 3 để làm 10z mẫu z 1 z 2 0.5 z 1 0.8 z 2 0.1z 3 Thu thập hệ số: b1 = -2 b2 = a1 = -0.5 Vì công thức lọc a2 = 0.8 a3 = _0.1 2 : y(n) = -0.5y(n-1) + 0.8y(n-2) + 0.1y(n-3) -2x(n-1) + 5x(n-2) 4.2 NHỮNG THUỘC TÍNH CỦA BIẾN ĐỔI Z Trong chương nhiều thuộc tính (một số xem định lý) biến đổi z hai bên trình bày - Tuyến tính - Dịch thời gian - Nhân chập thời gian - Liên hệ với biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT) - Khác Khơng phải tất thuộc tính xem xét chi tiết Về sau đôi biến đổi z hiểu x(n) X(z) 4.2.1 Tuyến tính Tuyến tính diễn tả a1x1(n) + a2x2(n) a1X1(z) + a2X2(z) (4.14) Với a1 , a số Hình thức giống áp dụng cho nhiều tín hiệu Vì tuyến tính nghĩa kết nối tuyến tính ngõ vào đưa kết nối tuyến tính ngõ Với biến đổi z nhiều biến đổi khác tuyến tính thuộc tính quan trọng Nó cho phép ta tìm biến đổi biến đổi ngược kết nối nhiều thành phần Ví dụ 4.2.1 Tìm biến đổi z tín hiệu cosin nhân x(n) = (cosn 0 ) u(n) Giải Biểu diễn x(n) dạng thành phần mũ phức: x(n) = (cosn 0 ) u(n) = jnω0 e u(n) + e jnω0 u(n) 2 X(z) = 1 Z [e jnω0 u (n)] + Z [e jn0 u (n)] 2 Biến đổi thành phần e jn0 u(n) 1 e jω0 z 1 e jn0 u(n) jω0 1 1 e z Vì X( z ) 1 1 jω0 1 jω0 1 1 e z 1 e z z 1 cos ω 2z 1 cos ω z 2 4.2.2 Dịch thời gian Đầu tiên xem biến đổi z mẫu đơn vị (cũng xung đơn vị) (n) xung trễ (n-n0): X(z) = δ(n)z n = z n X(z) = δ(n n ) z n n 0 =1 z 0 n 0 = z n = z z n0 n0 n Vì trễ n mẫu tương ứng với thừa số z biểu diễn biến đổi Bằng biểu diễn tín hiệu x(n) vào thành phần mẫu đơn vị áp dụng tính tuyến tính ta có kết tổng qt x(n – n0) X(z) z n0 x(n + n0) X(z) z n0 Vì điều này, ta sử dụng thích z hệ thống (phần 1.4.2) 1 (trễ thời gian) (4.15a) (Trước thời gian) (4.15b) cho trễ đơn vị z trước đơn vị giảng đồ khối Ví dụ 4.2.2: Mẫu đơn vị trừ với mẫu chậm đơn vị u(n) – u(n-1) = (n) Tìm biến đổi z (a) Bậc đơn vị nhân x(n) = u(n) (b) Bậc đơn vị phi nhân x(n) = -u(-n-1) Nhớ u(n) gọi tín hiệu bên phải, -u(-n-1) u(-n-1) tín hiệu bên trái, tín hiệu tồn hai bên âm dương gọi tín hiệu hai bên (1.62) Giải (a) Ta viết x(n) – x(n-1) = u(n) – u(n-1) = (n) Lấy biến đổi z hai bên, sử dụng thuộc tính dịch thời gian X(z) – z–1 X(z) = Hoặc X(z) = z = 1 z 1 1 z u(n) -2 ° -1 ° n -u(-n -1) -3 -2 -1 ° ° -1 Hình 4.2: Ví dụ 4.2.2 (b) Với tín hiệu phi nhân ta viết n x(n) – x(n-1) = -u(-n-1) + u[-(n-1) – 1] = u(-n) – u(-n-1) = (-n) Nhớ (-n) (n) (xem 1.4.1), biến đổi hai bên cho X(z) – z–1 X(z) = Hoặc X(z) = z = 1 z 1 1 z Chú ý hai tín hiệu (a) (b) có biểu diễn khác miền thời gian miền tần số chúng giống biến đổi z Tuy nhiên hai biến đổi có vùng hội tụ khác (xem 4.4) Ví dụ 4.2.3 Tìm biến đổi z xung chữ nhật nhân có N mẫu p(n) = , 0 n N-1 , khác p(n) -2 -1 … N-1 N N+1 n Hình 4.3:Ví dụ 4.2.3 Giải Ta áp dụng trực tiếp định nghĩa (4.1) để tìm biến đổi, Mặc khác ta viết xung chữ nhật dạng p(n) = u(n) – u(n – N) Lấy biến đổi, sử dụng thuộc tính trễ: P(z) = Z[u(n)] – Z[u(n–N)] = Z[u(n)] – z–NZ[u(n)] = (1 – z–N) Z[u(n)] = z N z 1 4.2.3 Nhân chập thời gian Như biến đổi Fourier, thuộc tính mạnh quan trọng (định lý) biến đổi z cho khía cạnh ứng dụng nhân chập thời gian, phát biểu như: Nhân chập hai hàm thời gian tương ứng với nhân thường miền biến đổi z x1(n) x2(n) X1(z) X2(z) (4.16) Như thông thường, nhân chập kết ngõ nhân chập tín hiệu vào x(n) với đáp ứng xung hệ thống h(n) x(n) h(n) X(z) H(z) (4.17) Với H(z) hàm truyền Sự hội tụ minh họa hình 4.4 Tín hiệu ngõ miền thời gian cho 10 Tín hiệu vào Hệ thống h(n) Miền thời gian: x(n) z Miền z : X(z) Z H(z) Tín hiệu y(n) = x(n) h(n) Z (Nhân chập) Y(z) = X(z) H(z) Hình 4.4: Sơ đồ chuyển miền thời gian sang miền z thuộc tính nhân chập thời gian y(n) = x(n) h(n) miền z Y(z) = X(z) H(z) Từ điều H(z) = Y ( z) X ( z) (4.18) Vì hàm truyền (hoặc hàm hệ thống) hệ thống tỉ số biến đổi z ngõ với biến đổi z ngõ vào Điểm cho ta định hàm hệ thống biến đổi ngược, đáp ứng xung Chứng minh: Thuộc tính nhân chập minh họa sau: Đầu tiên ta viết x(n) = x1(n) x2(n) = x (k)x (n k) k Lấy biến đổi z X(z) = x(z)z n = n n x1(k)x2(n k) z n k Thay đổi trật tự tổng sử dụng thuộc tính trễ thời gian: X(z) = x (k ) x k n = X2(z) x (k ) z k k (n k ) z n = X2(z) X1(z) = X1(z) X2(z) Ví dụ 4.2.4 Áp chuỗi đầu vào x(n) = [1 , , -1 , -2 , , 2] đến hệ thống có đáp ứng xung h(n) = [0 , , 2] Tìm tín hiệu ngõ Giải Lấy biến đổi z x(n) h(n) : X(z) = + 2z–1 - z–2 - 2z–3 + z–4 + 2z–5 H(z) = + z–1 + 2z–2 Biến đổi ngõ Y(z) = H(z) X(z) = z–1 + 4z–2 + 3z–3 - 4z–4 - 3z–5 + 4z–6 + 4z–7 Những hệ thống X(z) cấu thành tín hiệu y(n) y(n) = [0 , , , , - , -3 , , 4] Nếu ta nhân chập x(n) với h(n), e.g phương pháp hình học (phần 2.2.2), ta có kết 11 Ví dụ 4.2.5 Để định nghĩa hệ thống DSP chưa biết (gồm phần cứng phần mềm), ta áp tín hiệu x(n) lấy ngõ y(n) sau: x(n) [1, 2, 1, 2,1, 2] y(n) [0,1, 4, 3, 4, 3, 4, 4] Tìm đáp ứng xung Đây vấn đề định nghĩa hệ thống Giải Ví dụ giống ví dụ 2.3.5 ta tính miền thời gian Ở sử dụng biến đổi z, ta có X ( z ) z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 Y ( z ) z 1 z 2 z 3 z 4 3z 5 z 6 z 7 Vì hàm truyền H ( z) z 1 z 2 z 3 z 4 3z 5 z 6 z 7 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 Mà đơn giản H ( z ) z 1 z 2 Hệ thống ổn định (xem phần 4.4) Đáp ứng xung biến đổi ngược h(n) [0,1, 2] 4.2.4 Một số thuộc tính khác Ở có nhiều thuộc tính biến đổi z, sau số thuộc tính (a) Đảo thời gian x(-n) X(z–1) (4.19) Chứng minh: x ( n) z Z[x(-n)] = n n = x(k )( z 1 k ) = X(z–1) k Ví dụ u(n) 1 z 1 u(-n) 1 z (b) Tỉ lệ với mũ rời rạc X(a–1z) anx(n) (4.20) Chứng minh: Z[an x(n)] = a n x ( n) z n = n x ( n) ( a 1 z ) n = X(a–1z) n Ví dụ biết biến đổi (cos 0n)u(n) dễ dàng tìm biến đổi an(cos 0n) u(n) (bảng 4.1) (c) Nhân thời gian 12 Ta có thuộc tính với biến đổi Fourier diễn tả miền z tích phân so với nhân chập: z X (ν ) X ( )ν 1 dν C 2π j ν x1(n) x2(n) (4.21) Với C tích phân vịng quanh gốc nằm bên vùng hội tụ X1 X2 (d) Vi phân miền z nx(n) z dX(z) dz (4.22) Chứng minh: Lấy vi phân hai bên định nghĩa (4.3), ta có dX ( z ) x(n) (-n)z n1 = -z 1 [nx(n)]z n dz n n = z 1 Z [nx(n)] Là hình thức khác thuộc tính nói Ví dụ tìm biến đổi z tín hiệu X(n) = na n u(n) Ta gọi x (n) = a n u(n) Biến đổi z x (n) (bảng 4.1) X (z) = Vì 1 az 1 X(z) = z dX ( z ) az 1 = dz (1 az 1 ) (e) Liên hiệp phức x * (n) ↔ ( X ( z * ))* (4.23) (f) Giá trị đầu x(0) = lim X(z) z (4.24) Ý nghĩa thuộc tính ta biết X(z) muốn tìm x(0) ta khơng cần lấy biến đổi z ngược (g) Giá trị cuối lim x(n) = lim(( z 1) X ( z )) n z 1 (4.25a) Ý nghĩa thuộc tính giống trường hợp ta biết giá trị cuối x(n) Một ứng dụng thuộc tính tìm đáp ứng trạng thái ổn định (phần ….) hệ thống với đầu vào bậc đơn vị Biến đổi z bậc đơn vị (bảng 4.1) cho Vì đáp ứng trạng thái ổn định hệ thống H(z) ứng với bậc đơn vị ngõ vào cho (4.25b) 13 Khi thay z H(z) ta có đáp ứng tần số H(ω) Vì z = ứng với ω = 0, đáp ứng H(ω) đáp ứng tần số khơng (DC) Trong ví dụ…, phương trình hệ thống y(n) = 0.8y(n – 1) + x(n) đáp ứng bậc tìm có dạng Với 5.0 giá trị ổn định cuối Khơng từ phương trình tín hiệu cho trên, hàm truyền tìm thấy Vì giá trị cuối đáp ứng bậc từ (4.25b) Như mong muốn Chú ý giới hạn (4.25b) tôn ROC (z - 1)H(z) bao gồm đường tròn đơn vị circle 4.2.5 Liên hệ với biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT) Tương ứng với tín hiệu hệ thống rời rạc thời gian, biến đổi z liên hệ với biến đổi Fourier cách biến đổi Laplace liên hệ với biến đổi Fourier với hệ thống tín hiệu liên tục Để làm điều ta thay z = ej (4.26) vào định nghĩa (4.3) biến đổi z có X( ) = H( ) = x(n)e jn h(n)e jn n (tín hiệu) (hệ thống) n - mặt phẳng z j Im(z) = z = ej = - =0 = -1 Đường tròn đơn vị Re(z) Hình.4.5: Dọc theo đường trịn đơn vị, biến đổi z biến đổi Fourier Với biến đổi Fourier ta biết (3.39) (3.60)) Nhớ X( ) H( ) tuần hoàn với chu kỳ 2 Ta kết luận H( ) = H z jω z=e Sự liên hệ X( ) X(z) giống Biên độ pha z tương ứng với -j =- (4.27) 14 z = ej = z = ej = Vì biến đổi Fourier biến đổi z z nằm đường trịn đơn vị (hình 4.5) Khi z di chuyển dọc theo đường tròn tần số thay đổi theo Như vậyX( ) H( ) có chu kỳ 2, ta xem chúng tuần hòan chu kỳ , thường khoảng [- , ] or [0 , ] 4.3 GIẢNG ĐỒ CỰC KHƠNG Biến đổi z tín hiệu hệ thống thực LTI (LSI) hàm tỉ sổ hai đa thức z, ta viết N ( z) D( z ) X(z) or H(z) = Với N(z) đa thức tử D(z) đa thức mẫu Sau ta viết X(z) H(z) hoán đổi nhau, ngoại trừ tham chiếu đến tín hiệu hệ thống đặc biệt 4.3.1 Giản đồ cực-khơng đặc điểm tín hiệu Lấy z1, z2, z3 … nghiệm N(z), p1, p2, p3 … nghiệm D(z), sau biến đổi z đặt hình thức L N(z) G ( z z1 )( z z )( z z ) z-z L H(z) = = G k M1 D(z) ( z p1 )( z p )( z p3 ) z-pM z z k (4.28) z-p k k 1 Với G thừa số độ lợi; z1, z2, z3 … zero mà làm cho H(z) tiến tới zero; p1, p2, p3 … cực mà làm cho H(z) tiến tời vô cực, L bậc tử số, M lầ bậc mẫu số H(z) đa thức thích hợp L M (bậc jcủa tử số nhỏ bậc mẫu số) Im (z) -1 z-plane Unit circle 1Double pole Re (z) -j (b) r(n) (a) u(n) a 1 Hình 4.6: Giản đồ cực-không số hệ thống đơn(d) giản (c) –an u(-n-1) (n) Trên cực-không hữu hạn Bên canh đó, biến z mẫu số tiến tới vô hạn, X(z) tiến tới không, không vô hạn Giống vậy, z tử số tiến tới vô hạn, X(z) tiến tới vô hạn, cực vô hạn Khi bậc M tử số nhỏ bậc N mẫu số, không vô hạn bậc M-N, M > N cực vô hạn bậc M – N Với hầu hết trường hợp ta bở qua cực không vô hạn Phân phối cực không X(z) mặt phẳng z giản đồ cực-không Fig.4.6 shows the pole – zero plot for sereval simple signals Notice the unit sample (n) is very special in that it is the only function which doesn’t have any pole and zero 15 Giản đồ cực-khơng hữu ích phân tích thiết kế hệ thống lọc số Hình 4.7 mối liên hệ giản đồ cực-không đặc tính hệ thống (hoặc tín hiệu) Thật vị trí cực ảnh hưởng đến đặc điểm tín hiệu n Convergent (stable) x(n) n Oscillatory (Marginally Stable) x(n) n oscillatory (Marginally Stable) x(n) x(n) n Convergent (stable) 0 n Divergent (Unstable) n Divergent (Unstable) Hình 4.7: Liên hệ vị trí cực đặc tính b(n) = anu(n) với giá trị khác a Khi tín hiệu x(n) đáp ứng xung h(n) có giá trị thực, cực không thực xuất đơi liên hợp phức Ví dụ 4.3.1 Tìm giản đồ cực-không hệ thống tương ứng với hàm truyền H(z) = z 2 z 3 3.6z 1 4.59z 2 2.38z 3 0.39z 4 Giải Nhân tử mẫu z , ta có H(z) = z2 z N ( z) z 3.6 z 4.59 z 2.38 z 0.39 D( z ) Thừa số tử mẫu: N(z) = z(z+1) D( z ) ( z 1) ( z 1.6 z 0.39) Vì khơng hệ thống z(z+1) = z = 0, z = -1 cực (z–1)2(z2 – 1.6z + 0.39) = z = 1(kép), z = 0.8 + j0.5 , z = 0.8 – j0.5 Hình 4.8 giản đồ cực –không hệ thống 16 Im(z) Unit circle 0.5 -1 (double) 0,8 Re(z) –0.5 Hình 4.8: Ví dụ 4.3.3(giản đồ cực-khơng) Chú ý với mục đích tìm cực khơng ta biến hàm H(z) z 1 thành hàm z 4.3.2 Vẽ biên độ X(z) , H(z) Đây hàm Matlab mà cho phép ta vẽ biên độ |X(z)| or | H(z)| không gian ba chiều tương ứng với trục thực ảo z Hình 4.9 |H(z)| Im(z) Unit circle Re(z) Hình 4.9: Vẽ biên độ H ( z ) ( z 1) /( z 1) Ví dụ vẽ chiều z hàm truyền có cực khơng 4.3.3 Cực không gốc Cực không gốc hệ thống không ảnh hưởng đến đáp ứng bên độ pha ảnh hưởng đến thời gian đáp ứng nó, nghĩa là, đáp ứng đến sớm hay muộn so với thời gian áp tín hiệu vào Đặc biệt, không chậm đơn vị thời gian, ngược lại cực gốc tăng đáp ứng đơn vị thời gian Ta tự cộng thêm cực không đến hệ thống, cách cộng thừa số thích hợp vào tử mẫu đề đáp ứng hệ thống hệ thống trở thành nhân Ví dụ, xét hàm truyền H(z) = z(z ) (z ) Có ba cực z = 0,1 Phương trình tín hiệu tìm 17 y(n) = 3y(n-1) – 2y(n-2) + x(n-3) mà ngõ tín hiệu phụ thuộc ngõ vào tín hiệu thời điểm trước đố Để hệ thống đáp ứng lập tức, ta cộng thêm đơn vị thời gian không gốc Hàm truyền trở thành z3 H(z) = z(z ) ( z ) Tương ứng với phương trình tín hiệu y(n) = 3y(n-1) – 2y(n-2) + x(n) Vì vậy, với hệ thống đáp ứng với ngõ vào, hàm truyền phải có số cực không nhau, bậc tử mẫu đa thức phải 4.3.4 Hủy cực-không Trong đa thức biến đổi z không hủy cực, đôi cực-không hủy lẫn Vì giảm bậc đa thức, đơn giản theo sau phương trình tín hiệu Kỹ thuật hủy cực –không sử dụng xử lý tín hiệu số thiết kế hệ thống điều khiển Ngõ tương tác ngõ vào hệ thống, ta chọn hệ thống để hủy cực khơng tín hiệu vào Hủy cực-khơng xuất với hệ thống Vấn đề hủy cực khơng khơng hồn tồn có hiệu ứng chiều dài từ hữu hạn, lý khác, hệ thống thiết kế trở nên bất ổn định Ví dụ 4.3.2 Cho hệ thống y(n) = 2.5y(n – 1) – y(n – 2) + x(n) – 5x(n – 1) + 6x(n – 2) áp dụng điều kiện hủy cực –khơng Tìm đáp ứng xung hệ thống rút gọn Giải Sử dụng đặc tính trì hỗn biến đổi z vào phương trình hệ thống vào Sắp xếp lại: Để có hàm truyền: Vì cực p = khơng z = hủy bỏ lẫn nhau, kết hình thành lọc bậc thấp có phương trình dạng Để tìm đáp ứng xung ta khai triển H(z) Biến đổi z ngược ta có đáp ứng xung: Ta tìm đáp ứng xung từ phương trình tín hiệu ta dùng cách khác diễn tả đáp ứng xung gần hình thức Ví dụ 3.4.3 Tìm đáp ứng hệ thống Với ngõ vào 18 Giải Sử dụng biến đổi z ví dụ ta có hàm biến đổi Chú ý hệ thống ổn định Biến đổi z tín hiệu vào Chú ý X(z) có không cực-không biểu thức ngõ ra: trùng khớp với cực H(z), xuất hủy Biến đổi z đảo cho Với hàm truyền khác, hủy cực khơng khơng xảy tín hiệu ngõ có thành phần cộng 4.3.5 Tìm đáp ứng tần số phƣơng pháp hình học Ta biết biến đổi z z giới hạn vịng trịn đơn vị DTFT Vì đáp ứng tần số, tính xấp xỉ phương pháp hình học Xem ví dụ đơn giản, có hàm truyền z 0.8 z 0.8 Có khơng z = 0.8 cực p = -0.8 Với đáp ứng tần số ta thay z = ej : H(z) = e jω 0.8 e jω 0.8 Tử số trình bày vector Z từ z không đến điểm z = ej vòng tròn đơn vị, mẫu số vector P từ cực P đến điểm z (hình 4.10) Ta thích cho gốc pha Vì Z Z Z Z H (ω) = (4.29) ( Z P) P P P P H( ) = Im(z) p -(0.8) z = ej H( ) 10 ( ) P P ω Z Z z Re(z) (0.8) - -/2 (b) 1/9 /2 19 (a) Hình 4.10: Đáp ứng tần số phương pháp hình học Chú ý đáp ứng pha gốc nhìn từ điểm z vòng tròn đơn vị đến cực p z Đáp ứng biên độ pha tương ứng H( ) = Z P ( ) = (Z – P) Xem vài trường hợp đặc biệt với tính tốn đơn giản Tại = 0: H(0) = 0,8 = , 0,8 H(0) = – = rad Tại = : H() = 0,8 =9 , 0,8 H() = – = rad Tại = π π : H( ) = 2 , H( π π ) rad 2 Ta di chuyển điểm z dọc theo vòng trịn đơn vị, vị trí chọn, ta tính đo chiều dài tương ứng gốc pha Kết đáp ứng biên độ hình 4.10b Để có đáp ứng xác hơn, ta cần giá trị khác 3 Khi hàm truyền có nhiều cực khơng, đáp ứng H( ) = Z1 Z Z P1 P2 P3 ( ) = [(Z Z Z ) (P1 P2 P3 )] (4.30a) (4.30b) Dù phương pháp hình học xấp xỉ, cho phép ta ước lượng nhanh chóng kết thiết kết sau tiến hành thêm/bỏ cực khơng để có hệ thống mong muốn 4.4 VÙNG HỘI TỤ (ROC), SỰ ỔN ĐỊNH Chuỗi định nghĩa biến đổi z (4.3) phân kỳ định nghĩa trở thành vô nghĩa Vùng hội tụ (ROC) vùng nơi biến đổi z X(z) H(z) hội tụ ROC cho ta định thuộc tính biến đổi z ngƣợc Đầu tiên xét số ví dụ Mẫu đơn vị (n) có biến đổi z 1, ROC tồn mặt phẳng z Tín hiệu (n+k) với k>0 có biến đổi z zk , ROC tất mặt phẳng z, ngoại từ z = Tín hiệu x(n) = [1 , , , , 5] có biến đổi z X(z) = + 2z-1 + 3z-2 + 4z-3 + 5z-5 ROC toàn mặt phẳng z ngoại trừ điểm z=0 (gốc) Tín hiệu h(n) = [1 , , , , 5] có biến đổi z H(z) = z2 + 2z + + 4z-1 + 5z-2 ROC toàn mặt phẳng z ngoại trừ z = z = 20 4.4.1 ROC hệ thống nhân không nhân Bây ta xem ROC hai tín hiệu bản: nhân khơng nhân Tín hiệu nhân Xét ví dụ, x(n) = 0.8nu(n) = , 0.8 , 0.82 , 0.83 , … X(z) = 0.8n u (n) z n = (0.8z 1 n ) n 0 n = 1 0.8 z 1 0.8 z 1 , Trên, sử dụng công thức chuỗi hình học (2.8) Điều kiện 0.8z-1< nghĩa z> 0.8 Vì ROC tất vùng ngồi vịng trịn bán kính 0.8 (Hình 4.11a) Chú ý biến đổi có khơng gốc cực z=0.8 (b) Tín hiệu phi nhân Xét ví dụ x(n) = -0.8nu(-n-1) 1 X(z) = 0.8 n n n 1 n 0 z n = [0.8 1 z ]n = [0.8 1 z ]n Lấy tổng, ta có X(z) = 1 , 1 1 0.8 z 0.8 z 1 0.8 1 z Điều kiện 0.8-1z < nghĩa z< 0.8 Vì ROC có vùng hội tụ bên vịng trịn bán kính 0.8 (hình 4.11b) Nhìn chung ta có Nhân (Bên phải) , az 1 anu(n) Phi nhân quả: –anu(–n–1) (Bên trái) ROC: z> a , az 1 (4.31) ROC: z< a (4.32) ROC z 0.8 (a) Hàm nhân 0.8 0.8 unit circle circl e z plane ROC unit circle circl e (b) Hàm phi nhân Hình 4.11: ROC hàm nhân phi nhân ... Giải Lấy biến đổi z x(n) h(n) : X (z) = + 2z? ??1 - z? ??2 - 2z? ??3 + z? ??4 + 2z? ??5 H (z) = + z? ??1 + 2z? ??2 Biến đổi ngõ Y (z) = H (z) X (z) = z? ??1 + 4z? ??2 + 3z? ??3 - 4z? ??4 - 3z? ??5 + 4z? ??6 + 4z? ??7 Những hệ thống X (z) cấu... dụng biến đổi z, ta có X ( z ) z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 Y ( z ) z 1 z 2 z 3 z 4 3z 5 z 6 z 7 Vì hàm truyền H ( z) z 1 z 2 z 3 z 4 3z 5 z 6 z. .. Lấy z1 , z2 , z3 … nghiệm N (z) , p1, p2, p3 … nghiệm D (z) , sau biến đổi z đặt hình thức L N (z) G ( z z1 )( z z )( z z ) ? ?z- z L H (z) = = G k M1 D (z) ( z p1 )( z p )( z p3 ) ? ?z- pM