1 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy PGS TS Mỵ Vinh Quang Người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo chuyên môn và tạo điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn này Tô[.]
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy PGS.TS Mỵ Vinh Quang Người tận tình hướng dẫn, bảo chun mơn tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy trường ĐH Sư phạm Tp HCM tận tâm giảng dạy, cung cấp kiến thức quí báu cho lớp Đại số K22 thân Cuối xin gởi lời cảm ơn sâu sắc lời chúc sức khỏe đến gia đình, người thân bạn bè ln động viên, quan tâm giúp đỡ suốt q trình tơi làm luận văn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm mở đầu 1.2 Nhóm Hall 11 1.3 Nhóm Frattini 13 1.4 Nhóm lũy linh, nhóm p -lũy linh .15 1.5 Nhóm siêu giải 20 CHƯƠNG 2: NHÓM CON π -TỰA CHUẨN TẮC 26 2.1 Định lý 26 2.2 Định lý 29 2.3 Định lý 32 2.4 Định lý 33 2.5 Định lý 34 2.6 Định lý (Buckley [2]) 35 2.7 Định lý (Asaad [1]) 35 2.8 Định lý(Van der wall [9]) 35 2.9 Định lý 36 2.10 Định lý 37 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 BẢNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Kí hiệu Ý nghĩa [G : H ] Chỉ số H G Hx Nhóm liên hợp H G NG ( H ) Chuẩn hoán tử H G CG ( X ) Tâm X G Z (G ) Tâm G [ a, b] = aba −1 −1 b Hoán tử a, b [G , G ] Nhóm giao hốn tử G Aut ( G ) Nhóm tự đẳng cấu G H char G H nhóm đặc trưng G φ (G ) Nhóm Frattini G H,K Op ( G ) Nhóm sinh H K Nhóm sinh tất p − nhóm chuẩn tắc G O p (G ) Nhóm sinh tất phần tử có cấp p '− số MỞ ĐẦU Chúng ta biết nhóm H , K nhóm G gọi giao hoán HK = KH Ta định nghĩa nhóm G gọi π - tựa chuẩn tắc G giao hốn với nhóm Sylow G Nhóm π - tựa chuẩn tắc nhóm hữu hạn với nhiều tính chất thú vị có ảnh hưởng quan trọng cấu trúc nhóm hữu hạn Ngồi ra, q trình nghiên cứu nhà tốn học Ito, Buckley, Van der Waall Asaad chứng minh Định lý nối tiếng liên quan đến nhóm hữu hạn sau: Định lý (Ito [13]): Cho G nhóm có cấp lẻ nhóm G ' có cấp nguyên tố chuẩn tắc G Khi G ' nhóm lũy linh Định lý (Buckley [5]): Nếu G nhóm có cấp lẻ nhóm G có cấp số nguyên tố chuẩn tắc G G siêu giải Định lý (Asaad [1]): Nếu nhóm có cấp nguyên tố tựa chuẩn tắc G nhóm cyclic cấp G tựa chuẩn tắc G G nhóm siêu giải Định lý (Van der wall [14]): Đặt pn số nguyên tố nhỏ chia hết G Nếu nhóm G có cấp nguyên tố chuẩn tắc G điều sau tương đương: (1) G nhóm siêu giải (2) G nhóm pn -lũy linh Những tác giả dùng nhiều cách khác để chứng minh chúng Luận văn sử dụng tính chất nhóm π - tựa chuẩn tắc để trình bày cách chứng minh khác mở rộng Định lý để thấy rõ mối quan hệ Định lý ảnh hưởng quan trọng nhóm π - tựa chuẩn tắc Luận văn “Nhóm π - tựa chuẩn tắc nhóm hữu hạn” chia làm chương: Chương 1: Trình bày số khái niệm tính chất quan trọng liên quan đến nhóm π - tựa chuẩn tắc nhóm hữu hạn, nhóm siêu giải được, nhóm lũy linh, nhóm p − lũy linh … Chương giúp người đọc nắm vững khái niệm tính chất để theo dõi tiếp chương 2, phần luận văn Chương 2: Trình bày kết ảnh hưởng nhóm π tựa chuẩn tắc cấu trúc nhóm hữu hạn Luận văn trình bày chi tiết Định lý 3.1, Định lý 3.2, Định lý 3.3, Định lý 3.4, Định lý 3.5, Bổ đề 3.6, Bổ đề 3.7, Bổ đề 3.8, Bổ đề 3.9, Định lý 3.10 báo[4] tác giả Ayesha Shaalan Mặc dù có nhiều cố gắng trình học tập, nghiên cứu làm luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót Kính mong đóng góp ý kiến q thầy bạn CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm mở đầu 1.1.1 Định nghĩa G nhóm, p số nguyên tố chia hết G Khi i) G gọi p - nhóm G lũy thừa p ii) H nhóm G H gọi p -nhóm G H p -nhóm iii) Nhóm H G gọi p -nhóm Sylow G H phần tử tối đại tập p -nhóm G theo quan hệ bao hàm 1.1.2 Định lý Sylow([1],7.1,7.2, trang 37) n Cho p số nguyên tố chia = hết G , G p= m, (m, p ) Khi đó: i) k ∀i =1, 2, , n ln tồn nhóm cấp p G Nói riêng ln tồn p -nhóm Sylow G ii) Mọi p − nhóm G ln nằm p -nhóm Sylow G iii) Mọi p − nhóm Sylow G liên hợp với iv) Số p − nhóm Sylow G đồng dư modulo p 1.1.3 Hệ Cho p số nguyên tố chia hết G P p -nhóm Sylow G Khi i) Số p -nhóm Sylow G ước G nguyên tố với p ii) P p -nhóm Sylow G P chuẩn tắc G 1.1.4 Định nghĩa Cho H nhóm G , H đuợc gọi nhóm tựa chuẩn tắc G H giao hốn với nhóm G Nghĩa HK = KH với nhóm K G 1.1.5 Định lý = KH = Nếu H nhóm tựa chuẩn tắc G HK H , K Nghĩa HK nhóm G Chứng minh: Lấy x, y ∈ HK , x =hk , y =h ' k ' xy −1 = h.k k '−1 h '−1 )h '−1 ] h.h ''.k '' ∈ HK Vậy HK nhóm G Mà H ≤ HK , K ≤ HK nên = h.[(k k '−1= = KH = H , K ⊂ HK Dễ thấy HK ⊂ H , K Vậy HK H,K 1.1.6 Định lý Nếu H nhóm chuẩn tắc G H nhóm tựa chuẩn tắc G Chứng minh: Lấy K nhóm G HK = {hk , h ∈ H , k ∈ K } Lấy tùy ý hk ∈ HK Do H chuẩn tắc ta có k −1hk ∈ H nên k −1hk = h ' suy hk = kh ' Vậy hk ∈ KH tức HK ⊂ KH Tương tự ta có KH ⊂ HK Do HK = KH Vì H nhóm tựa chuẩn tắc G 1.1.7 Định nghĩa H nhóm G Khi H gọi nhóm π − tựa chuẩn tắc G H giao hốn với nhóm Sylow G 1.1.8 Định nghĩa Cho dãy nhóm G , = G0 ≤ G1 ≤ ≤ Gn = G Gi Gi +1= , ∀i 1, , n − dãy gọi dãy chuẩn tắc G kí hiệu G= G n gọi độ dài dãy Gi gọi số hạng dãy, G1 Gn Gi +1 Gi gọi nhân tử dãy 1.1.9 Định nghĩa Dãy chuẩn tắc G gọi dãy nhóm chuẩn tắc G số hạng dãy nhóm chuẩn tắc G 1.1.10 Định nghĩa H nhóm G H gọi nhóm chuẩn tắc (subnormal) = G cho G tồn nhóm H H= , H , H , , H n H H= G H H H n 1.1.11 Định lý ([13], Salt 1, trang 209) Nếu H nhóm π − tựa chuẩn tắc G H nhóm chuẩn tắc G 1.1.12 Định lý Nếu H ≤ K ≤ G H nhóm π − tựa chuẩn tắc G H nhóm π − tựa chuẩn tắc K Chứng minh: Lấy Q p -nhóm Sylow K với p số nguyên tố chia hết K Khi tồn p -nhóm Sylow P G cho Q= P ∩ K Hơn H ≤ K ≤ G nên HQ = H ( P ∩ K ) = HP ∩ K = PH ∩ K = (P ∩ K )H = QH Vậy H nhóm π − tựa chuẩn tắc K 1.1.13 Định lý ([12], Salt 5, trang 209] Nếu N ≤ H ≤ G N chuẩn tắc G H π − tựa chuẩn tắc G H N π − tựa chuẩn tắc G N 1.1.14 Định lý ( Định lý đẳng cấu 1) Giả sử f : G → G ' đồng cấu Khi G Ker f ≅ Im f 1.1.15 Định lý (Định lý đẳng cấu 2) Cho H G, K ≤ G Khi H ∩ K K K (H ∩ K ) ≅ HK H 1.1.16 Định lý Nếu H G, K G, K ≤ H G K H ≅G K H Chứng minh Do K G, K ≤ H nên K H H G nên H K G K Xét toàn cấu ϕ :G K → G H aK aH , ker ϕ = H K Theo Định lý đẳng cấu ta 1.1.17 Định lý Cho H ' H , K ' K H × K H '× K ' ≅ H H ' × K K ' Chứng minh Do H ' H , K ' K nên H '× K ' H × K G K H ≅G K H Xét tồn cấu ϕ : H × K → H H '× K K ' ( a, b ) ( aH ', bK ') Theo Định lý đẳng cấu 1ta có ta có K er ϕ= H '× K ' H ×K H '× K ' ≅H H' ×K K' 1.1.18 Định nghĩa Cho G nhóm Nếu ánh xạ ϕ : G → G đẳng cấu ϕ gọi tự đẳng cấu G Tập hợp tất tự đẳng cấu G kí hiệu Aut (G ) Aut (G ) nhóm với phép nhân đồng cấu Một nhóm H G gọi nhóm đặc trưng G , kí hiệu H char G ϕ ( H ) = H , ∀ϕ ∈ Aut (G ) Nhận xét: ( [1], Mệnh đề 8.2, trang 43 ) i) Nếu ϕ ( H ) ⊂ H , ∀ϕ ∈ Aut (G ) H char G ii) Nếu H char G H G iii) Nếu H char K , K char G H char G iv) Nếu H char K , K G H G 1.1.19 Định lý ( ) Nếu H nhóm chuẩn tắc G cho H , G H = H char G ,G n (m, n) = Theo định lý Larrange Chứng minh.Giả = sử H m= H G = mn Lấy ϕ ∈ Aut (G ) , đặt H ' = ϕ ( H ) H ' có cấp m Do H chuẩn tắc nên d H ∩ H ' d ước m Lại có HH ' nhóm G Đặt = = HH ' H H ' m2 m2 = nên ước mn Mà (m, n) = nên m = d Từ ta H ∩H' d d H ' = H nên H char G 1.1.20 Định lý Cho X , Y nhóm cylic cấp m, n sinh phần tử x, y tức = X = x m ,Y y n Khi số đồng cấu ϕ : X → Y số số nguyên k mà = k 0,1, , n − cho km n Từ đó, ta có Aut ( P )= p − với P nhóm cyclic cấp p ( p số nguyên tố) Chứng minh Giả sử ϕ : X → Y đồng cấu ϕ ( x= ) y k ,0 ≤ k < n Khi theo tính chất đồng cấu ϕ ( xl ) = ( y k ) Vậy đồng cấu ϕ : X → Y có dạng ϕ ( xl ) = ( y k ) l l Theo tính chất đồng cấu ϕ ta ϕ ( eX ) = eY nên = eY ϕ= ( xm ) y ) (= k m y km km n = với k 0,1, , n − Vậy số đồng cấu ϕ : X → Y số số nguyên k mà = k 0,1, , n − cho km n Khi ϕ đồng cấu { Kerϕ = xl ∈ x } : yk ) = eY = { xl ∈ x m ( l m l : kl n} = x ∈ x m n : l , d = ( n, k ) d n n Do Kerϕ = x d nhóm cyclic sinh phẩn tử x d với d = ( n, k ) Xét trường hợp P nhóm cyclic cấp p , số đồng cấu ϕ : P → P p Nếu ϕ đẳng cấu Ker = ϕ n = xd eP với d = ( n, k ) Do Aut ( P )= p − 1.1.21 Định lý Nhóm tự đẳng cấu nhóm cyclic nhóm giao hốn hữu hạn 1.1.22 Định lý Cho X nhóm G Khi có đồng cấu ϕ : N G ( X ) → Aut ( X ) với Kerϕ = CG ( X ) Từ đó, NG ( X ) CG ( X ) nhúng vào Aut ( X ) Chứng minh Xét tương ứng ϕ : N G ( X ) → Aut ( X ) g f :X →X x x g = g −1 xg Ker f = xg = g −1 xg = 1} = g} = { x ∈ X : xg = {1} {x ∈ X : f ( x ) = Lại có Im ( f ) = X nên f ∈ Aut ( X ) Lấy g1 , g ∈ N G ( X ) Khi 10 ... nghĩa Nhóm G gọi nhóm lũy linh G có dãy tâm Độ dài dãy tâm ngắn G gọi lớp lũy linh nhóm G Nhận xét: -Nhóm có lớp lũy linh nhóm {1} -Nhóm có lớp lũy linh lớn nhóm aben -Nhóm lũy linh nhóm giải... K p − nhóm G , K G H ∩ K p − nhóm nên H H ∩ K p − nhóm Vì HK K ≅ H H ∩ K nên HK K p − nhóm, HK p − nhóm Do ta có định nghĩa sau: 1.2.5 Định nghĩa Nhóm sinh tất p − nhóm chuẩn tắc G p − nhóm. .. b [G , G ] Nhóm giao hốn tử G Aut ( G ) Nhóm tự đẳng cấu G H char G H nhóm đặc trưng G φ (G ) Nhóm Frattini G H,K Op ( G ) Nhóm sinh H K Nhóm sinh tất p − nhóm chuẩn tắc G O p (G ) Nhóm sinh tất