KẾ HOẠCH ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP NĂM HỌC 2010 >> Truy cập trang http //tuyensinh247 com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1 CHUYÊN ĐỀ TICH PHÂN NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1 Định[.]
CHUYÊN ĐỀ TICH PHÂN …………………… NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Định nghĩa nguyên hàm: Hàm số F(x) dược gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F’(x)=f(x) Lưu ý: Các nguyên hàm f(x) K sai khác số C Họ nguyên hàm f(x) K kí hiệu f ( x)dx ; Vậy f ( x)dx F ( x) C Bảng công thức nguyên hàm nguyên hàm mở rộng: x 1 (ax b) 1 1.dx x c; a.dx ax c; x dx C; (ax b) dx C 1 a 1 1 1 1 dx ln | x | C; dx ln | ax b | C; dx x C; dx ax b C; x ax b a a x ax b 1 1 1 dx C; dx C; e x dx e x C; eax b dx e ax b C; x x (ax b) a ax b a 1 cos xdx sin x C; cos(ax b)dx sin(ax b) C; sin xdx cos x C; sin(ax b)dx cos(ax b) C; a a 1 dx tan x C ; dx tan(ax b) C ; cos x cos (ax b) a 1 dx cot x C; dx cot(ax b) C ; sin x sin (ax b) a Phương pháp tìm nguyên hàm: a) Phương pháp đổi biến: f [t ( x)].t '( x)dx F[t ( x)] C b) Phương pháp phần: udv u.v vdu Cơng thức tích phân: Với F(x) nguyên hàm hàm số f(x) đoạn [a;b] b f ( x)dx F ( x) b a F (b) F (a) a b Phương pháp đổi biến số: Xét I f [t ( x)].t '( x)dx a Đặt t=t(x)dt=t’(x)dx; Đổi cận: x=bt=t(b); x=at=t(a) t (b ) Thay vào: I f (t )dt tính tích phân (biến t) t (a) Dạng tích phân b t '( x) a t ( x) dx Vài dạng tích phân đổi biến thơng dụng: Cách đặt Đặt t=t(x) Đặc điểm nhận dạng Mẫu >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! b f (e t ( x) ).t '( x)dx Đặt t=t(x) Mũ f (t ( x)).t '( x)dx Đặt t=t(x) Ngoặc Đặt t= n t ( x) Căn f (ln x) x dx Đặt t=lnx Lnx f (sin x).cos xdx Đặt t=sinx Cosxdx kèm biểu thức theo sinx Đặt t=cosx Sinxdx kèm biểu thức theo cosx a b a b f( n t ( x)).t '( x)dx a b a b a b f (cos x).sin xdx a b a f (tan x) dx cos x b f (cot x) sin a x Đặt t=tanx Đặt t=cotx dx dx kèm biểu thức theo cos x tanx dx kèm biểu thức theo sin x cotx b f (e ax ).eax dx Đặt t=eax eaxdx kèm biểu thức theo eax a Đôi thay cách đặt t=t(x) t=mt(x)+n ta gặp thuận lợi b b Phương pháp tích phân phần: udv (uv) a vdu b a a Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng: Với P(x) đa thức, ta cần ý dạng tích phân sau đây: du P '( x).dx b u P( x) P( x).sin(ax b)dx ta đặt ta có dv sin(ax b)dx a v a cos(ax b) du P '( x).dx b u P( x) P( x).cos(ax b)dx ta đặt ta có dv cos(ax b)dx a v a sin(ax b) du P '( x).dx b u P( x) ( ax b ) dx ta đặt P( x).e ta có ax b ax b dv e dx a v a e a b dx u ln(ax b) du f ( x).ln(ax b)dx ta đặt ta có ax b dv f ( x)dx a v F ( x) Diện tích hình phẳng: Cho hai hàm số y=f(x) y=g(x) liên tục đoạn [a;b], (H) hình phẳng giới hạn đường (C1):y=f(x), (C2):y=g(x), x=a, x=b Khi diện tích hình phẳng (H) là: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! b S | f ( x) g ( x) | dx a Thể tích vật thể trịn xoay: Hình (H) giới hạn bởi: y=f(x), Ox, x=a,x=b Thể tích vật thể hình (H) b quay quanh trục Ox là: V [ f ( x)]2 dx a Lưu ý: Cho (H) hình phẳng giới hạn đường y=f(x), y=g(x), x=a, x=b(ab) Nếu f(x) g(x) b dấu [a;b] thể tích vật thể (H) quay quanh Ox là: V | ( f ( x))2 ( g ( x))2 | dx a I) Tìm nguyên hàm 1) x x3 x 3x 10 2013 dx 2) dx 2 x x 2013x 2012 2x x2 1 3) x x dx 10 4) 5) sin x.cos xdx dx II) Tích phân Bài 1: Tính tích phân 1) I1 = (3x 1) dx 2) I x 3 dx e 3) I2 = 0 x2 dx 2 x 1dx 4) I3 = 1 Bài 2: Tính tích phân 2 x 1 dx 1) J1 = 2x 0 x dx 2) J2 = x 26 x dx x 3) J3 = Bài 3: Tính tích phân 1) K1 = s in3x.cos xdx 2) K2 = cos 2xdx e 3) K3 = x 1 1dx Các tập tự luyện: Tính tích phân: 1) L = ( x 3x 2)dx 2) I = sin2 x dx sin x x2 3xdx 3) J = 4) K = 12 2x 5x 1 x dx 5) M = sin x sin xdx 6) N = 7) P = sin 3xdx x dx /4 8) Q = tan xdx 9) R = sin /6 dx x.cos x >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 0 x 11) F sin x cos 2 x dx 10) E sin cos x dx b III) Phương pháp đổi biến số: Cần tính I = f ( x)dx a 1) Loại 1: Tiến hành theo bước + Chọn đặt: x = u(t) suy dx = u’(t)dt + Tìm cận mới: cho u(t) = a u(t) = b để tìm hai cận + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, tính Bài 1: Tính tích phân 1) I1 = x xdx 2) I1 = x dx 3) I2 = 9 x dx 2) Loại 2: Tiến hành theo bước + Chọn đặt: u = u(x) suy du = u’(x)dx + Tìm cận mới: Nếu hai cận =u(a) = u(b) + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, tính Bài 1: Tính tích phân xe 1) J1 = x2 e dx 2) J2 = 1 4) J4 = x xdx 5) J5 = /2 ln x dx x 3) J3 = x (x 1)5 dx cos x dx 6) J6 = (1 sin x)4 sin x cos xdx Các tập tự luyện: Bài 1: Tính tích phân: 1) I1 = x 8.x dx 2) I2 = x 2X (3 ln x)dx 1 x e (x 1).dx 3) I3 = 0 21 4) I4 = e e x dx 5) I5 = x 2e dx x2 6) I6 = x( x 1)2013 dx Bài 2: Tính tích phân: 1) I1 = (2sin x 3) cos xdx 2) I2 = x x 3dx 3) I3 = x 4x dx x 1 tan x dx 4) I4 = cos x e 5) I5 = 1 3ln x ln xdx x 6) I6 = ex 1 e x dx IV) Phương pháp tích phân phần: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! b Công thức: b udv uv vdu b a a a b Các dạng bản: Giả sử cần tính I P( x).Q( x)dx a Dạng hàm Cách đặt P(x): Đa thức Q(x): sinkx hay coskx * u = P(x) * dv Phần lại biểu thức dấu tích phân P(x): Đa thức Q(x):ekx P(x): Đa thức Q(x):ln(ax+b) * u = P(x) * dv Phần cịn lại biểu thức dấu tích phân * u = ln(ax + b) * dv = P(x)dx P(x): Đa thức Q(x): 1 hay sin x cos x * u = P(x) * dv Phần cịn lại biểu thức dấu tích phân Bài 1: Tính tích phân /4 1) I1 = x cos xdx 3) I3 = x ln( x 1)dx 2) I2 = ( x 1)e2 x dx 4) I4 = xdx2 cos x ln xdx 5) I5 = x2 6) I6 = ( x 3)e dx x 1 Các tập tự luyện: Tính tích phân: e 1) I1 = (1 x) ln xdx e xdx 2) I2 = cos x 3) I3 = ln x 1 x dx 2 ln x 5) I5 = dx x 4) I4= x.cos x.sin xdx x 6) I6 = e dx e 7) I7 = x ln xdx 8) I8 = e x sin xdx V) Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thể tích: 1) Diện tích hình phẳng: Cơ sở lí thuyết: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b b y = (trục hồnh) tính bởi: S = f ( x) dx (1) a Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = a; b x= b tính bởi: S = f ( x) g ( x) dx (2) a >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = Giải: Gọi S diện tích cần tính, áp dụng công thức S = b f ( x) dx a S = x 1dx Phương trình: x2 -1= x = , nghiệm x = [0;2] 1 2 x3 x3 Vậy S = ( x 1)dx + ( x 1)dx = ( x) + ( x) = (đvdt) 3 1 2 Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = – x2 y= x Giải: Cận a,b nghiệm phương trình: – x2 = x x2 + x – = x = x = -2 Gọi S diện tích cần tính, áp dụng cơng thức S = b f ( x) g ( x) dx a S= x x dx 2 Vậy S = 2 1 x3 x 2x = (đvdt) x x dx = ( x x 2)dx = 2 2 2 2 * Lưu ý: Chỉ đưa dấu trị tuyệt đối ngồi tích phân hàm số dấu tích phân khơng đổi dấu [a; b] 2) Thể tích vật thể trịn xoay: Cơ sở lí thuyết: Thể tích vật thể trịn xoay giới hạn đường y = f(x); x = a; x = b; y = xoay b quanh trục Ox tính bởi: V = f ( x)dx (3) a Ví dụ 3: a) Cho hình phẳng giới hạn đường y = 2x – x2 y = Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Ox., Giải: Phương trình 2x – x2 = x = x = b Gọi V thể tích cần tính.Áp dụng cơng thức: V = f ( x)dx a 0 Ta có V = (2 x x )2 dx (4 x x3 x )dx = ( x3 x x5 16 ) = (đvtt) 15 b) Cho hình phẳng giới hạn đường y = – x2 y = x3 Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Ox Giải: Phương trình – x2 = x3 x = x = –1 Gọi V1 thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường y = – x2, x = 0, x = –1 trục Ox hình phẳng quay quanh Ox: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Có V1 = ( x )2 dx = 1 Gọi V2 thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường y = x3, x = 0, x = -1 trục Ox…: Có V2 = ( x3 )2 dx = 1 Vậy thể tích V cần tính là: V = V1 V2 = (đvtt) 35 Chú ý: Khi tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hai đường y = f(x) y = g(x) quay quanh b trục Ox, học sinh ngộ nhận dùng công thức V ( f ( x) g ( x)) dx dẫn đến kết sai KQs : a V= đvtt 105 Các tập tự luyện: 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P): y = – x2 + 4x trục hoành KQ: S = 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn y 0, y sin x, x 0, x 32 ñvdt KQ: S = ñvdt 3)Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường (P): y = – x2 vaø y = – x – KQ: S = ñvdt 4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 5x – 3x – 8, trục Ox [1; 3] KQs: S = 200 đvdt 5) Tính thể tích hình tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: a) (P): y = 8x x = KQ: 16 đvtt 162 b) y = x2 vaø y = 3x KQ: ñvtt x 2 c) y = sin ; y = 0; x = 0; x = KQ: đvtt 6) Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y 0, y x 1, x 0, x Tính thể tích vật thể tạo nên hình (H) quay quanh trục ox 7) Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y 0, y x 2, x 0, x Tính thể tích vật thể tạo nên hình (H) quay quanh trục ox 8) Cho hình phẳng (H) giới hạn đường (C ) : y x3 3x 3x , y 0, x Tính thể tích vật thể tạo nên hình (H) quay quanh trục ox 9) Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y 0, y x x Tính thể tích vật thể tạo nên hình (H) quay quanh trục ox >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! VI) Đề thi tốt nghiệp THPT năm trước có liên quan đến tích phân: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y2 = 2x +1 y = x -1 (TNTHPT năm 2001 – 2002 ) x 3x 3x Bài 2: 1.Tìm nguyên hàm F(x) hàm số y = , biết F(1) = x 2x 2x 10x 12 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= trục hoành Ox x2 (TNTHPT năm 2002 – 2003 ) Bài 3: Cho hàm số y = x – x2 (C) Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn (C) đường y = 0, x =0, x = quay quanh truïc Ox (TNTHPT năm 2003 – 2004 ) Bài 4: Tính tích phân: I = /2 ( x sin x) cos x.dx (TNTHPT năm 2004 – 2005 ) Bài 5: a Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số : y = ex, y = đường thẳng x = /2 b Tính tích phân: I = sin x dx cos x (TNTHPT năm 2005– 2006) e ln x dx Bài 6: Tính tích phân J = x (TNTHPT năm 2006– 2007) Bài 7: Tính tích phân I x (1 x3 )4 dx (TNTHPT năm 2007– 2008) 1 Bài 8: Tính tích phân I = x(1 cos x)dx (TNTHPT năm 2008– 2009) Bài 9: Tính tích phân I x ( x 1) dx (TNTHPT năm 2009– 2010) 5lnx dx x e Bài 10: Tính tích phân sau: I (TN 2010-2011); ln Bài 11: Tính tích phân sau I (e x 1) e x dx; (TN 2011-2012); >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! ... kèm biểu thức theo sin x cotx b f (e ax ).eax dx Đặt t=eax eaxdx kèm biểu thức theo eax a Đôi thay cách đặt t=t(x) t=mt(x)+n ta gặp thuận lợi b b Phương pháp tích phân phần: udv (uv) a ... Các dạng bản: Giả sử cần tính I P( x).Q( x)dx a Dạng hàm Cách đặt P(x): Đa thức Q(x): sinkx hay coskx * u = P(x) * dv Phần lại biểu thức dấu tích phân P(x): Đa thức Q(x):ekx P(x): Đa thức... * dv Phần cịn lại biểu thức dấu tích phân * u = ln(ax + b) * dv = P(x)dx P(x): Đa thức Q(x): 1 hay sin x cos x * u = P(x) * dv Phần cịn lại biểu thức dấu tích phân Bài 1: Tính tích phân /4