I. PHẦN CHUNG (7 điểm) (Cho tất cả các thí sinh)
Câu 1 (2đ) Cho hàm số: y = 2x
3
- 3x
2
+ 1
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có
tung độ bằng 8.
Câu 2 (2đ) 1. Giải hệ phương trình:
2
2
3
1
9
1218
yxy
xxy
2. Giải phương trình: 9
x
+ (
x
- 12).3
x
+ 11 -
x
= 0
Câu 3 (1đ) Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và khoảng cách giữa
cạnh bên và cạnh đáy đối diện bằng m.
Câu 4 (1đ) Tính tích phân:
2
2
0
)]4ln()2([ dxxxxI
Câu 5 (1đ) Cho tam giác ABC, với BC = a, CA = b, AB = c.
Thoả mãn hệ điều kiện:
2
2
)(
)(
cabb
bcaa
CMR:
C
B
A
sin
1
sin
1
sin
1
II. PHẦN RIÊNG (3đ) (Thí sinh chỉ làm một trong hai phần)
Theo chương trình chuẩn:
Câu 6a (2đ)
1. Trong mặt phẳng (oxy) cho đường thẳng (d): 3x - 4y + 5 = 0 và đường tròn (C): x
2
+ y
2
+ 2x - 6y + 9 = 0
Tìm những điểm M
(C) và N
(d) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.
2. Trong không gian (oxyz) cho hai mặt phẳng:
(P
1
): x - 2y + 2z - 3 = 0
(P
2
): 2x + y - 2z - 4 = 0 và đường thẳng (d):
3
4
2
1
2
zyx
Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I
(d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P
1
), (P
2
).
Câu 7a (1đ) Đặt: (1 - x + x
2
- x
3
)
4
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
12
x
12
.
Tính hệ số a
7
.
Theo chương trình nâng cao
Câu 6b (2đ)
1. Trong mặt phẳng (oxy) cho đường tròn (C): (x + 1)
2
+ (y - 3)
2
= 1 và điểm
M
5
7
,
5
1
. Tìm trên (C) những điểm N sao cho MN có độ dài lớn nhất.
2. Trong không gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2x - 4y - 2z + 5 = 0 và mặt
phẳng (P): x - 2y + 2z - 3 = 0.
Tìm những điểm M
(S), N
(P) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.
Câu 7b (1đ) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số:
x
xx
xf
2131
)(
3
khi x
0, và 0)0(
f ; tại điểm x
0
= 0.
ĐÁP ÁN ĐỀ THITHỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
I. PHẦN CHUNG (7 điểm) ĐIỂM
Câu 1 (2đ) y = 2x
3
- 3x
2
+ 1
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
* TXĐ: R
* Sự biến thiên: + Giới hạn:
x
ylim =
,
x
ylim =
0,25đ
+ Bảng biến thiên: y’ = 6x
2
- 6x = 6x (x - 1)
y' = 0
)0(;1
)1(;0
yx
yx
0,25đ
Lập BBT; nêu đúng các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị 0,25đ
* Đồ thị: (tự vẽ), rõ ràng, đầy đủ, chính xác. 0,25đ
2) Tìm M
(C) ?
Giả sử M (x
0
; y
0
)
(C)
y
0
= 2x
0
3
- 3x
0
2
+ 1
Tiếp tuyến (
) của (C) tại M:
y = (6x
0
2
- 6x
0
) (x - x
0
) + 2x
0
3
- 3x
0
2
+ 1 0,25đ
(
) đi qua điểm P(0 ; 8)
8 = -4x
0
3
+ 3x
0
2
+ 1
(x
0
+ 1) (4x
0
2
- 7x
0
+ 7) = 0 0,25đ
x
0
= -1 ; (4x
0
2
- 7x
0
+ 7 > 0,
x
0
) 0,25đ
Vậy, có duy nhất điểm M (-1 ; -4) cần tìm. 0,25đ
Câu 2 (2đ)
1) Giải hệ:
3232
3
1
9
320121218
2
22
xyyxyxy
xxxxy
0,25đ
1832 xyx 0,25đ
32;32 x , tương ứng y
33;33 0,25đ
Thử lại, thoả mãn hệ đã cho
Vậy,
33;32,33;32; yx 0,25đ
2) Giải phương trình:
0113123
2
xx
xx
x
x
x
113
13
(*)0113)(
0
xxf
x
x
(a + b + c = 0) 0,5đ
(*)
0)2(
,013ln3)('
f
xxf
x
có nghiệm duy nhất
x
= 2 0,25đ
Vậy, tập nghiệm của phương trình: S = {0 ; 2} 0,25đ
M
Câu 3 (1đ) S
N
A C
O
B
SO
(ABC)
S.ABC chóp
đều
O là tâm tam giác đều ABC.
MBCAO
)(SAMBC
BCSO
BCAM
Trong
SAM kẻ đường cao MN
MN = m
2
3
2
3
3
60sin2
0
a
AOAM
aa
AO 0,25đ
3
SOSAhSO
2
222
a
hAO
SA.MN = SO.AM
22222
3
4
43 mahma
am
2
3
0,25đ
22
433
2
ma
am
h
; và S
(ABC)
=
4
3
a
2
0,25đ
22
3
436
).(
3
1
ma
ma
hABCSV
am
2
3
0,25đ
Câu 4 (1đ) Tính tích phân
2
0
)2( dxxxI
+
2
0
2
)4ln( dxx
=
21
II
2
0
2
2
0
1
2
)1(1)2(
dxxdxxxI
(sử dụng đổi biến:
tx sin1
) 0,25đ
2
0
2
2
2
0
2
2
0
2
2
4
2|)4ln()4ln( dx
x
x
xxdxxI
(Từng phần) 0,25đ
42ln6
(đổi biến
tx tan2
) 0,25đ
2ln64
2
3
21
III 0,25đ
Câu 5 (1đ)
ABC:
)2()(
)1()(
2
2
cabb
bcaa
(1)
sin
2
A + sinAsinC = sin
2
B (Đl sin)
sinAsinC =
2
1
(cos2A - cos2B)
sinAsinC = sin(A + B) sin (B -A)
sinA = sin (B - A) ; (sin (A + B) = sin C > 0)
A = B - A ; (A, B là góc của tam giác)
B = 2A 0,25đ
Tương tự: (2)
C = 2B
A + B + C =
, nên A =
7
; B =
7
2
; C =
7
4
0,25đ
Ta có:
C
B
sin
1
sin
1
=
7
3
sin
7
cos
7
sin2
7
cos
7
3
sin2
7
4
sin
7
2
sin
7
2
sin
7
4
sin
0,25đ
=
Asin
1
7
sin
1
(đpcm) 0,25đ
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Chương trình cơ bản
Câu 6a (2đ)
1) Tìm M
(C), N
(d)?
(d): 3x - 4y + 5 = 0
(C): (x + 1)
2
+ (y - 3)
2
= 1
Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = 1
d (I ; d) = 2
(d)
(C) = Ø
Giả sử tìm được N
0
(d)
N
0
là hình chiếu vuông góc của I trên (d)
N
0
= (d)
, với:
4;3)(
)3;1(
ud
I
0,25đ
5
7
;
5
1
43
31
:
0
N
ty
tx
0,25đ
Rõ ràng
(C) = {M
1
; M
2
} ; M
1
5
11
;
5
2
; M
2
5
19
;
5
8
M
0
(C) để M
0
N
0
nhỏ nhất
M
0
M
1
và M
0
N
0
= 1 0,25đ
Kết luận: Những điểm cần tìm thoả mãn điều kiện bài toán.
M
5
11
;
5
2
; N
5
7
;
5
1
0,25đ
2) Phương trình mặt cầu (S) ?
(P
1
): x - 2y + 2z - 3 = 0
(P
2
): 2x + y - 2z - 4 = 0
Giả sử I (x
0
; y
0
; z
0
)
(d):
3
4
2
1
2
zyx
I (-2 - t ; 2t ; 4 + 3t) là tâm của mặt cầu (S) 0,25đ
Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P
1
), (P
2
)
d (I, (P
1
)) = d (I ; (P
2
))
1
13
1610
3
1
39
3
1
t
t
tt
0,25đ
I
1
= (11 ; 26 ; -35) ; I
2
(-1 ; 2 ; 1)
R
1
= 38 ; R
2
= 2 0,25đ
Vậy, có hai mặt cầu cần tìm:
(S
1
): (x - 11)
2
+ (y - 26)
2
+ (z + 35)
2
= 38
2
(S
2
): (x + 1)
2
+ (y - 2)
2
+ (z - 1)
2
= 2
2
0,25đ
Câu 7a (1đ) Tính hệ số a
7
?
(1 - x + x
2
- x
3
)
4
= (1 - x)
4
(1 + x
2
)
4
0,25đ
=
4
0
2
4
4
0
4
1
i
ii
k
kk
k
xCxC
0,25đ
(Gt)
2;3,3;1;
4,3,2,1,0,
72
ik
ik
ik
0,25đ
40
2
4
3
4
3
4
1
47
CCCCa 0,25đ
Chương trình nâng cao
Câu 6b (2đ)
1) Tìm N
(C)?
(C): (x + 1)
2
+ (y - 3)
2
= 1
Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = 1 ; M
5
7
;
5
1
2
5
8
;
5
6
MIIM 0,25đ
Giả sử tìm được N
(C)
MN
MI + IN = 3 0,25đ
Dấu “=” xảy ra
N là giao điểm của tia đối IM và đường tròn (C).
(IM):
ty
tx
5
8
3
5
6
1
;
21
;NNCIM
5
11
;
5
2
1
N ,
5
19
;
5
8
2
N ; MN
1
< MN
2
0,25đ
Kết luận: Thoả mãn điều kiện bài toán:
5
19
;
5
8
N 0,25đ
2) Tìm M
(S) , N
(P) ?
(S): (x + 1)
2
+ (y - 2)
2
+ (z - 1)
2
= 1
Tâm I (-1 ; 2 ; 1), bán kính R = 1
(P): x - 2y + 2z - 3 = 0
d
PI; = 2 Ø)()(
SP
Giả sử tìm được N
0
(P)
N
0
là hình chiếu vuông góc của I trên (P) 0,25đ
PdN
0
, với:
)2;2;1()()(
)1;2;1(
d
uPd
Id
tz
ty
tx
d
21
22
1
:
3
7
;
3
2
;
3
1
0
N 0,25đ
)()( Sd {M
1
; M
2
}
3
5
;
3
4
;
3
2
1
M
,
3
1
;
3
8
;
3
4
2
M
0,25đ
M
1
M
0
= 1 < M
2
M
0
= 3
M
0
(S) để M
0
N
0
nhỏ nhất
M
0
M
1
Vậy, những điểm cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán.
3
5
;
3
4
;
3
2
M ,
3
7
;
3
2
;
3
1
N 0,25đ
Câu 7b (1đ)
Đạo hàm bằng định nghĩa:
x
fxf
x
)0()(
lim
0
=
2
3
0
2131
lim
x
xx
x
0,25đ
=
2
3
0
21)1()1(31
lim
x
xxxx
x
0,25đ
=
xx
xxxx
x
xx
21)1(
1
lim
1311)31(
3
lim
0
2
3
3
2
0
0,25đ
= -1 +
2
1
= -
2
1
. Vậy,
2
1
'
)0(
f 0,25đ
. 2 0 2 2 0 1 2 )1(1 )2( dxxdxxxI (sử d ng đổi biến: tx sin1 ) 0 ,25 đ 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 4 2| )4ln()4ln( dx x x xxdxxI (Từng phần) 0 ,25 đ 42ln6 (đổi biến tx tan2 ) 0 ,25 đ 2ln64 2 3 21 III. 26 ; -3 5) ; I 2 (-1 ; 2 ; 1) R 1 = 38 ; R 2 = 2 0 ,25 đ Vậy, có hai mặt cầu cần tìm: (S 1 ): (x - 11) 2 + (y - 26 ) 2 + (z + 35) 2 = 38 2 (S 2 ): (x + 1) 2 + (y - 2) 2 + (z - 1) 2 . cao MN MN = m 2 3 2 3 3 60sin2 0 a AOAM aa AO 0 ,25 đ 3 SOSAhSO 2 222 a hAO SA.MN = SO.AM 22 222 3 4 43 mahma am 2 3 0 ,25 đ 22 433 2 ma am h ;