Giáo trình phương pháp toán lí phần 1 đinh xuân khoa nguyễn huy bằng

INH XUN KHOA NGUYấN HUY BNG GIáO TRìNH PHƯƠNG PHáP TO¸N LÝ (DÙNG CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM VẬT LÍ) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC VINH Mở đầu Toán cho vật lí mơn học trang bị cho sinh viên ngành vật lí kiến thức tốn cần thiết để làm cơng cụ cho nghiên cứu vật lí Đây mơn học có giao thoa tốn vật lí có khác biệt dạy toán cho người chuyên nghiên cứu toán cho người dùng tốn cơng cụ để nghiên cứu vật lí Hiện nay, vật lí học phát triển thành nhiều hướng chuyên sâu nên kiến thức tốn cho vật lí đa dạng Vì vậy, trường đại học nghiên cứu thường lựa chọn phần kiến thức tốn cho vật lí đặc trưng với hướng nghiên cứu trường Đối với trường đại học sư phạm, khơng địi hỏi cao mức độ nghiên cứu vật lí chuyên sâu nên khơng có khác biệt nhiều nội dung chương trình tốn cho vật lí Tuy nhiên, mơn học trường sư phạm yêu cầu cao tính trực quan, phương pháp trình bày dễ hiểu để làm bật ý nghĩa vật lí tránh để phương trình tốn học phức tạp che khuất chất vật lí Trên sở đúc kết kinh nghiệm thực tiễn dạy học kết hợp với tham khảo giáo trình trường đại học ngồi nước, chúng biên soạn sách để phục vụ cho đào tạo giáo viên vật lí Sách chia làm chương, có bố cục sau: Chương 1: Đại số vectơ Chương 2: Giải tích vectơ Chương 3: Phương trình vật lí-tốn Chương 4: Hàm biến phức Chương 5: Biến đổi tích phân Chương 6: Phương pháp số mơ hình hóa số liệu Trong mỡi chương, ngồi phần lý thuyết chúng tơi đưa vào ví dụ minh họa Cuối mỡi chương phần tập có hướng dẫn giải đáp số để sinh viên tự học nhằm cố kiến thức lý thuyết vận dụng vào thực tế Mặc dù mục đích giáo trình viết cho sinh viên sư phạm chúng tơi mở rộng nhiều nội dung để dùng cho sinh viên ngành kỹ thuật học viên cao học tham khảo -i- Để sách xuất bản, tác giả nhận nhiều ý kiến góp ý xây dựng đồng nghiệp: TS Đinh Phan Khôi, GVC Mạnh Tuấn Hùng, TS Bùi Đình Thuận Cảm ơn NCS Lê Văn Đồi, Phan Văn Thuận Nguyễn Tiến Dũng giúp đỡ tác giá trình biên soạn Cuốn sách biên soạn lần đầu nên khó tránh khỏi thiếu sót Các tác giả mong nhận góp ý xây dựng bạn đọc để sách hoàn thiện Các tác giả - ii - MỤC LỤC Chương ĐẠI SỐ VECTƠ 1.1 Khái niệm vectơ 1.2 Các phép toán bản vectơ 1.3 Hệ vectơ sở .5 1.4 Tích hai vectơ .10 1.5 Tích bội ba 13 1.6 Một số ứng dụng .16 BÀI TẬP CHƯƠNG .24 Chương GIẢI TÍCH VECTƠ 27 2.1 Trường vô hướng 27 2.2 Trường vectơ .38 2.3 Phân loại trường vectơ 51 2.4 Một số định lí tích phân 53 2.5 Các hệ tọa độ cong trực giao 58 2.6 Các toán tử vi phân hệ tọa độ cong trực giao 66 BÀI TẬP CHƯƠNG .71 Chương PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÍ-TỐN 75 3.1 Đại cương về phương trình vật lí-tốn 75 3.2 Phương trình sóng chiều 80 3.3 Các trường hợp truyền sóng chiều .86 3.4 Sự lan truyền sóng hai chiều 100 3.5 Phương trình truyền nhiệt .112 3.6 Các trường hợp truyền nhiệt chiều 116 3.7 Phương trình Poisson và phương trình Laplace 125 BÀI TẬP CHƯƠNG 133 Chương HÀM BIẾN PHỨC 137 4.1 Số phức 137 4.2 Hàm biến phức 139 BÀI TẬP CHƯƠNG 158 - iii - Chương BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 161 5.1 Đại cương về biến đổi tích phân 161 5.2 Biến đổi Fourier 164 5.3 Một số ứng dụng biến đổi Fourier 169 5.4 Biến đổi Laplace 170 5.5 Một số ứng dụng biến đổi Laplace 180 BÀI TẬP CHƯƠNG 189 Chương PHƯƠNG PHÁP SỐ VÀ MƠ HÌNH HĨA SỐ LIỆU 193 6.1 Mở đầu 193 6.2 Đạo hàm số 193 6.3 Tích phân số 201 6.4 Nghiệm số phương trình vi phân 206 6.5 Mô hình hóa số liệu thực nghiệm 216 BÀI TẬP CHƯƠNG 222 PHỤ LỤC 226 PHỤ LỤC 227 PHỤ LỤC 228 PHỤ LỤC 232 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ 233 TÀI LIỆU THAM KHẢO 273 - iv - Chương ĐẠI SỐ VECTƠ 1.1 Khái niệm vectơ Trong vật lí, có đại lượng mà chúng ta quy định đơn vị đo thì được xác định hoàn toàn số, ví dụ khối lượng, nhiệt độ, lượng, … Các đại lượng này được gọi là đại lượng vô hướng Có đại lượng mà xác định ta cần phải biết cả độ lớn và hướng chúng khơng gian, ví dụ lực, vận tốc, gia tốc Để mô tả đại lượng này chúng ta dùng khái niệm vectơ Vectơ MN (được ký hiệu là MN ) là đại lượng có độ lớn độ dài đoạn MN, có hướng từ điểm đầu Mtới điểm cuối N và được mô tả hình 1.1a Độ lớn vectơ MN (còn gọi là độ dài hay module) được ký hiệu là  MN , là số không âm và có giá trị được quy ước độ dài đoạn MN Hình 1.1 Biểu diễn hình học vectơ MN (a) và vectơ đơn vị eMN (b) Dọc theo hướng vectơ MN có độ dài khác không cho trước, chúng ta chọn được vectơ eMN hướng với MN có độ dài Lúc đó, eMN được gọi là vectơ đơn vị theo hướng MN và được xác định (hình 1.1b): -1- eMN  MN (1.1) MN Một vectơ được xác định biết đầy đủ bốn đại lượng: điểm đặt, phương, chiều độ lớn Khi không quan tâm đến vị trí điểm đặt chúng ta ký hiệu vectơ chữ có dấu mũi tên phía trên, ví dụ: a , A, b , B , chữ in đậm, ví dụ: a, A, b, B, Trong tài liệu này, chúng ta quy ước viết vectơ theo cách có sử dụng dấu mũi tên phía Các vectơ có điểm đặt tuỳ ý được gọi là vectơ tự Khi điểm đặt bị giới hạn đường thẳng chứa vectơ đó thì vectơ được gọi là vectơ trượt, chẳng hạn xét lực tác dụng lên vật rắn có thể chọn điểm vật rắn mà giá lực qua làm điểm đặt Cuối cùng, vectơ mà điểm đặt cần phải cố định thì được gọi vectơ buộc, chẳng hạn xét chuyển động chất điểm thì vectơ lực tác dụng cần phải đặt lên chất điểm đó Để nghiên cứu vectơ buộc và vectơ trượt chúng ta có thể quy về nghiên cứu theo vectơ tự Ở phần tiếp theo, không có yêu cầu gì riêng về điểm đặt thì ta ngầm định vectơ được xem xét là vectơ tự 1.2 Các phép toán bản vectơ Các phép toán cộng, trừ và nhân đại số vectơ được định nghĩa hoàn toàn tương tự đại số số Các định nghĩa này được lấy làm sở và phát biểu sau:   Hai vectơ a b có thứ nguyên được gọi là chúng có độ dài hướng  Một vectơ có hướng ngược với hướng vectơ a có   độ dài, được gọi là vectơ đối vectơ a và ký hiệu là - a   Tổng hai vectơ a b là vectơ c thu được cách  đặt điểm đầu vectơ b điểm cuối vectơ a và nối  điểm đầu vectơ a với điểm cuối vectơ b Cách thức -2- tổng hợp hai vectơ được gọi là quy tắc tam giác và được minh họa hình 1.2 Ngoài quy tắc tam giác, chúng ta cịn dùng quy tắc hình bình hành Từ định nghĩa tổng vectơ chúng ta thấy tổng này khác với tổng đại số đoạn thẳng Vì chúng ta gọi là tổng hình học Hình 1.2 Minh họa phép cộng hai vectơ theo quy tắc tam giác (bên trái) và quy tắc hình bình hành (bên phải)     Hiệu hai vectơ a b (ký hiệu a - b ), vectơ c tìm được   cách lấy vectơ a cộng với vectơ đối b , nghĩa là c =         a - b = a + (- b ) Nếu a = b a - b được định nghĩa vectơ không (ký hiệu là ), có độ lớn và có hướng tuỳ ý    Đối với vectơ a chúng ta có: a + = a   Tích vectơ a với số  tạo vectơ  a , có độ lớn    lần vectơ a và hướng ngược hướng vectơ a tuỳ thuộc  vào  dương hay âm Nếu  =  a vectơ khơng  Tương tự, vectơ a là vectơ không thì với  ta có  =   Từ đây, chúng ta rút quy tắc đại số vectơ: a , b ,  c là vectơ, 1 và2 là vô hướng thì:     a) a + b = b + a (tính giao hốn phép cộng)       b) a +( b + c ) = ( a + b ) + c (tính kết hợp phép cộng)   c) 1(2 a ) = (12) a (tính kết hợp phép nhân) -3-    d) (1+2 ) a = 1 a + 2 a     e) ( a + b ) =  a +  b (tính phân phối) (tính phân phối) Phép chiếu vectơ lên trục Cho vectơ a trục u với chiều dương được xác định vectơ đơn vị eu hình 1.3 Xét hai mặt phẳng vuông góc với trục u và qua điểm đầu và điểm cuối vectơ a , chúng cắt trục u thành đoạn thẳng có độ dài au Chúng ta định nghĩa hình chiếu vectơ a lên trục u, ký hiệu là au, được xác định công thức au  a cos(eu , a )  a cos  , (1.2) đó,α là góc tạo vectơ a và chiều dương trục u Hình 1.3 Biểu diễn hình chiếu vectơ a lên trục Như vậy, hình chiếu vectơ a lên trục u là đại lượng đại số phụ thuộc vào định hướng vectơ a , nó a vuông góc với trục u, nó nhận giá trị dương a tạo với chiều dương trục u góc bé 90o và nhận giá trị âm a tạo với chiều dương trục u góc lớn 90o Độ lớn của au độ dài đoạn thẳng tạo hai mặt phẳng nói với trục u -4- u(x, 0) = f(x),  x  l (3.208) Trước hết, ta tìm nghiệm (3.163) dạng:  u(x,t) = T (t ) sin n 1 n nx l (3.209) Thực khai triển n x n x g ( x, t )   g n (t )sin ; g n ( x, t )   g ( x, t )sin dx (3.210) l l l n 1  l n x f ( x)   f n sin ; l n 1  n x f n   f ( x)sin dx l l l (3.211) Lúc đó Tn(t) thỏa mãn phương trình vi phân thường: Tn' + n2 Tn - fn(t) = 0; Tn(0) = fn ; n = n a l (3.212) Giải phương trình này tìm Tn sau đó thay vào (3.209) ta được nghiệm bài toán 3.6.4 Truyền nhiệt chiều dài vô hạn, không có nguồn nhiệt Xét truyền nhiệt chiều dài vô hạn Giả sử cần tìm nhiệt độ u(x,t) điểm có toạ độ x dài không có nguồn nhiệt, nằm dọc theo trục Ox, thời điểm t Ta có thể coi mơ hình tốn học là dài vô hạn cả trục Ox, đó khơng cịn điều kiện biên mà cịn điều kiện đầu: u(x, 0) = f(x) , - 