Tr÷íng �¤i Håc B¡ch Khoa Tp Hç Ch½ Minh Khoa Khoa Håc v Kÿ Thuªt M¡y T½nh B i tªp ch÷ìng 2 C¡c ph÷ìng ph¡p chùng minh 1 D¨n nhªp Trong b i tªp d÷îi �¥y, chóng ta s³ l m quen vîi c¡c ph÷ìng ph¡p chùng[.]
Trữớng Ôi Hồc BĂch Khoa Tp.Hỗ Chẵ Minh Khoa Khoa Hồc v K Thuêt MĂy Tẵnh Bi têp chữỡng CĂc phữỡng phĂp chựng minh Dăn nhêp Trong bi têp dữợi Ơy, s lm quen vợi cĂc phữỡng phĂp chựng minh bao gỗm chựng minh trỹc tiáp, phÊn chựng, phÊn Êo v quy nÔp Sinh viản cƯn ổn lÔi lỵ thuyát và cĂc phữỡng phĂp chựng minh chữỡng 2, trữợc lm bi têp dữợi Bi têp mău Chựng minh rơng 'vợi mồi giĂ tr nguyản n 1, 10n+1 + 112n1 111' CƠu CƠu HÂy chựng minh bơng qui nÔp rơng têng cõa + + + + + 2n l mởt số chẵnh phữỡng, vợi mồi n Bi têp cƯn giÊi C¥u Cho Fn l sè Fibonacci number thù n (F0 = 0, F1 = 1, Fn+2 = Fn + Fn+1 vợi n 0) Chựng minh rơng vợi mồi n 1, F3n l mởt số chđn CƠu Chựng minh rơng vợi mồi số nguyản n 1, 32n1 + chia hát cho CƠu Chựng minh rơng vợi mồi số nguyản n 1, 6n Ãu chia hát cho CƠu Chựng minh rơng vợi mồi số nguyản n 1, 52n1 + Ãu chia hát cho CƠu Chựng minh rơng vợi mồi số nguyản n 1, 8n Ãu chia hát cho CƠu Chựng minh rơng vợi mồi số nguyản n 1, 3n > n2 CƠu Chựng minh rơng vợi mồi số nguyản n 4, n! > 2n CƠu 10 a) Chùng minh r¬ng ∀n ∈ N + (n + 1)2 − (n + 2)2 − (n + 3)2 + (n + 4)2 = GiĂo trẳnh CĐu Trúc Rới RÔc Trang 1/6 Trữớng Ôi Hồc BĂch Khoa Tp.Hỗ Chẵ Minh Khoa Khoa Hồc v K Thuêt MĂy Tẵnh b) Tứ õ suy rơng vợi mồi số tỹ nhiản m, tỗn tÔi n nguyản dữỡng cõ th viát m dữợi dÔng tờng bẳnh phữỡng cừa 12, 22, , n2, ngh¾a l : ∀m ∈ N +, ∃n ∈ N +, ∃ε1, , εn ∈ {−1, 1}, m = ε1 12 + ε2 22 + + n n2 (Gủi ỵ: thỷ biu di¹n c¡c gi¡ trà m ∈ {0, 1, 2, 3, 4}) CƠu 11 Xt mởt têp D (N ì N ) ữủc inh nghắa ằ quy nhữ sau: (i) (n, 0) ∈ D (ii) n¸u (n, m) ∈ D, thẳ (n, n + m) D HÂy 1) xĂc nh vi phƯn tỷ cừa D 2) chựng minh bơng php quy nÔp trản k rơng 'náu m = k.n thẳ '(n, m) D' 3) chựng minh rơng náu (n, m) D, thẳ vợi mồi k N , chóng ta s³ câ m = kn C¥u 12 ã ã HÂy tẳm cổng thực tẵnh tờng n số nguyản chđn Ưu tiản Dũng quy nÔp toĂn hồc chựng minh cổng thực tẳm ữủc CƠu 13 Vợi n nguyản dữỡng, tẳm cổng thực tẵnh tờng cừa: a) 12 + 14 + + 21 b) 1.21 + 2.31 + + n(n+1) n CƠu 14 Dũng quy nÔp toĂn hồc chựng minh vợi n nguyản dữỡng rơng: a) + 3.5 + 3.52 + + 3.5n = 3(5 −1) n+1 b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) − 2.7 + 2.72 + + 2.(−7)n = 12 + 2 + + + n2 = 1−(−7)n+1 n(n+1)(2n+1) 13 + 23 + + n3 = [ n(n+1) ]2 (n+1)(2n+1)(2n+3) 12 + 32 + + (2n + 1)2 = 1.1! + 2.2! + + n.n! = (n + 1)! − 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) = n(n+1)(n+2) 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2) = 12 − 22 + 32 − + (−1)n−1 n2 = 1+ + + + n2 14 + + + n4 = 1.3.5 (2n−1) 2.4 (2n) ≥ ≤2− n(n+1)(n+2)(n+3) (−1)n n(n+1) n n(n+1)(2n+1)(3n2 +3n1) 30 2n GiĂo trẳnh CĐu Trúc Rới RÔc Trang 2/6 Trữớng Ôi Hồc BĂch Khoa Tp.Hỗ Chẵ Minh Khoa Khoa Hồc v K Thuêt MĂy Tẵnh Bi têp lm thảm CƠu 15 HÂy chựng minh rơng náu n l số nguyản dữỡng v n3 + l số l thẳ n l số chđn bơng cĂch: Chựng minh giĂn tiáp (phÊn Êo) Chùng minh ph£n chùng C¥u 16 Chùng minh: + 14 + 91 + + n1 1, n ∈ Z CƠu 17 Tẳm cổng thực cừa: 1 1 + + + + n bơng cĂch kim tra vợi cĂc giĂ tr n nhọ Chựng minh cổng thực vứa tẳm thĐy l úng CƠu 18 √ k + − 1), H¢y chùng minh: + √12 + √13 + + √1k > 2( vỵi n > 0, n ∈ Z CƠu 19 CĂc bữợc suy luên sau tẳm lới giÊi cho phữỡng trẳnh p 2x2 = x câ óng hay khỉng? √ (1) 2x2 − = x; (2) Bẳnh phữỡng hai vá ta cõ 2x2 = x2; (3) Trø x2 méi v¸, x2 − = 0; (4) °t nh¥n tû, (x − 1)(x + 1) = 0; (5) x = ho°c x = CƠu 20 Chựng minh rơng ch hai toĂn tỷ v l ừ th hiằn tĐt cÊ cĂc toĂn tỷ luên lỵ khĂc CƠu 21 Chựng minh rơng vợi mồi số nguyản n 1, 22n Ãu chia hát cho CƠu 22 Chựng minh rơng vợi mồi số nguyản n 1, 9n + Ãu chia hát cho CƠu 23 Chựng minh rơng vợi mồi số nguyản dữỡng n 2, n3 − n ·u l bëi cõa C¥u 24 Chùng minh rơng vợi mồi số tỹ nhiản l n, n2 Ãu chia hát cho CƠu 25 Chựng minh rơng vợi mồi số nguyản n 1, 4n + 15n − ·u chia h¸t cho Gi¡o trẳnh CĐu Trúc Rới RÔc Trang 3/6 Trữớng Ôi Hồc BĂch Khoa Tp.Hỗ Chẵ Minh Khoa Khoa Hồc v K Thuêt MĂy Tẵnh CƠu 26 Chựng minh rơng vợi mồi sè nguy¶n n ≥ 3, têng c¡c gâc cõa mởt a giĂc lỗi vợi n nh l 180(n 2) ở CƠu 27 HÂy chựng minh dÂy số Fibonacci cõ mởt số c tẵnh c biằt nhữ sau: a) vợi mồi số nguyản n 1, F4n chia hát cho , v + F4n+1, + F4n+2 cụng vêy b) < (Fn+1/Fn) < vợi mồi sè nguy¶n n > c) Fn2 = Fn−1Fn+1 + (1)n+1, vợi mồi số nguyản n CƠu 28 Dch vử bữu chẵnh ch phĂt hnh hai loÔi tem thữ, l tem xu v 12 xu Trữợc gỷi thữ thổng qua bữu iằn, ngữới gỷi cƯn phÊi dĂn cĂc tem trản lĂ thữ tữỡng ựng vợi chi phẵ n phÊi trÊ theo trồng lữủng cừa nõ HÂy chựng minh rơng luổn lm ữủc iÃu ny vợi n > 44 CƠu 29 Chựng minh rơng n ữớng thng phƠn biằt s chia mt phng th nh tèi a (n2 + n + 2)/2 mi·n C¥u 30 Chúng ta nh nghắa mởt cĂch ằ quy dÂy sè Ulam b¬ng c¡ch x¡c ành u1 = 1, u2 = 2, v vợi mội chuội số nguyản n, ta xĂc nh n bơng số Ulam ká tiáp náu nõ cõ th ữủc viát mởt cĂch nhĐt bơng têng cõa hai sè Ulam kh¡ch nhau; v½ dư: u3 = 3, u4 = 4, u5 = 6, Chựng minh rơng tỗn tÔi mởt số lữủng vổ hÔn cĂc số Ulam CƠu 31 BĐt ng thực Bernoulli's ch rơng náu x > 1, x 6= v n l mởt số nguyản dữỡng lợn hỡn 1, thẳ ta s³ câ (1 + x)n > + nx HÂy chựng minh bĐt ng thực ny CƠu 32 Vợi mồi số tỹ nhiản n 1, hÂy chựng minh rơng xn yn chia hát cho x y CƠu 33 Biát r l mởt số cho r + 1/r l mởt số nguyản HÂy chựng minh rơng vợi mồi số nguyản dữỡng n, rn + 1/rn cụng l mởt số nguyản CƠu 34 Cho dÂy số S(n) = n2 + n + 41 Chùng minh r¬ng S(n) l mởt số nguyản tố vợi mồi n = 1, 2, , 40, nh÷ng S(n) s³ khỉng cỏn l số nguyản tố vợi mồi n 41 CƠu 35 Náu hai thnh phố bĐt ký thuởc tiu bang A Ãu ữủc kát nối vợi bơng ữớng mởt chiÃu, thẳ ta cõ th xĂc nh ữủc mởt thnh phố Ưu A v mởt hnh trẳnh tứ A i thæng qua méi mët th nh kh¡c mët lƯn CƠu 36 iÃu gẳ sai chuội lỵ luên dữợi Ơy rơng tĐt cÊ cĂc bổng hoa Ãu cõ còng mët m u? - °t P (n) l mët m»nh à rơng tĐt cÊ cĂc bổng hoa mởt têp n bỉng ·u câ cịng m u - Ta th§y rã r ng, P (1) ln óng - N¸u gi£ sû P (n) úng Nghắa l, giÊ sỷ rơng tĐt cÊ cĂc bổng hoa mởt têp n bổng hoa bĐt ký Ãu cõ mu sưc - Xt mởt têp bĐt ký n + bổng; ữủc Ănh số lƯn lữủt l 1, 2, 3, , n, (n + 1) - Dỹa theo giÊ nh trản, chuội n bổng hoa Ưu ti¶n cõa nhúng bỉng hoa n y câ cịng m u, v chi n bỉng hoa sau cơng s³ câ cịng mët mu GiĂo trẳnh CĐu Trúc Rới RÔc Trang 4/6 Trữớng Ôi Hồc BĂch Khoa Tp.Hỗ Chẵ Minh Khoa Khoa Hồc v K Thuêt MĂy Tẵnh - Do hai têp hủp bæng hoa n y câ sü giao thoa n − bổng, nản tĐt cÊ n + bổng hoa ny ph£i cịng mët m u - i·u n y chùng minh r¬ng P (n + 1) l óng v ÷đc chùng minh bơng phữỡng phĂp qui nÔp Tờng kát Thổng qua cĂc bi têp phƯn ny,  lm quen vợi cĂc phữỡng phĂp chựng minh (tham khÊo chi tiát lỵ thuyát chữỡng 2) V cĂc bi têp ny cụng  giúp phƯn no hiu thảm và viằc lỵ giÊi úng sai cĂc bi toĂn thỹc tá GiĂo trẳnh CĐu Trúc Rới RÔc Trang 5/6