Trường Đại Học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương 2 Luận lý vị từ và Chứng minh 1 Dẫn nhập Trong bài tập dưới đây, chúng ta sẽ làm quen với cách diễn đạt trong[.]
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương Luận lý vị từ Chứng minh Dẫn nhập Trong tập đây, làm quen với cách diễn đạt luận lý học luận lý vị từ làm quen với phương pháp chứng minh bao gồm chứng minh trực tiếp, phản chứng, phản đảo quy nạp Sinh viên cần ôn lại lý thuyết chương 2, phần luận lý vị từ chứng minh trước làm tập bên Các vị từ sau dùng cho câu 1, câu 2, câu 5, câu • F (x, y) : x cha y, • M (x, y) : x mẹ y, • S(x, y) : x chị em gái y, • B(x, y) : x anh em trai y, • H(x, y) : x người hôn phối (chồng vợ) y, • O(x, y) : x lớn tuổi y Bài tập mẫu Câu Hãy xác định biểu thức luận lý vị từ để diễn đạt câu sau đây: a) ‘Mọi người có ơng nội, ông ngoại, bà nội bà ngoại’ b) ‘Bất người cha mẹ được’ Lời giải a) ∀x∃y∃z∃y1 ∃y2 ∃z1 ∃z2 (F (y, x) ∧ M (z, x) ∧ F (y1 , y) ∧ M (y2 , y) ∧ F (z1 , z) ∧ M (z2 , z)) b) ∃x∃y∀z(F (x, y) → ¬M (x, z)) Câu Hãy diễn dịch mệnh đề luận lý vị từ sau a) B(c, m) ∧ (O(c, m) ∨ O(m, c)) b) B(c, m) ∧ F (a, m) → O(a, c) ∧ F (a, c) Lời giải a) c anh em trai m b) Nếu c anh em trai m a cha m, a lớn tuổi c a cha c Câu Chứng minh ’với giá trị nguyên n ≥ 1, 10n+1 + 112n−1 111’ Lời giải Chúng ta chứng minh phép qui nạp sau Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 1/11 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính a) Với n = 1, biểu thức bên trái có trị 102 + 111 = 111 Do vậy, mệnh đề với n = b) Giả sử mệnh đề đứng với n = k nghĩa 10k+1 + 112k−1 111 Nói cách khác, tồn số nguyên x cho 10k+1 + 112k−1 = 111.x Chúng ta cần chứng minh mệnh đề với n = k + 1, nghĩa 10k+2 + 112k+1 111 Khai triển biểu thức bên trái, ta có: 10k+2 + 112k+1 = (10k+2 − 112 10k+1 ) + (112 10k+1 + 112k+1 ) = 10k+1 (10 − 112 ) + 112 (10k+1 + 112k−1 ) = 10k+1 (−111) + 121(10k+1 + 112k−1 ) 111 Do đó, 10k+2 + 112k+1 111; mệnh đề với số nguyên n ≥ qui nạp Câu Hãy chứng minh qui nạp tổng + + + + + 2n − số phương, với n ≥ Lời giải Đầu tiên, ta đặt Sn = + + + + + 2n − Do vậy, ta có Sn+1 = Sn + (2n + 1) a) Kết dễ dàng chứng minh với n = 1, thân số số phương b) Giả sử Sn số phương với n ≥ 1, nghĩa tồn số nguyên x cho Sn = x2 Chúng ta cần chứng minh mệnh đề ’Sn+1 số phương’ Ta có Sn+1 = Sn + (2n + 1) = x2 + 2n + Chọn x = n, ta có Sn+1 = (x + 1)2 Do vậy, kết chứng minh với số nguyên n ≥ bằn phương pháp qui nạp Bài tập bắt buộc Câu Hãy xác định biểu thức luận lý vị từ để diễn đạt câu sau đây: a) ‘Anh ta có chị gái em trai’ b) ‘Tất anh em trai cô ta nhỏ tuổi cô ấy’ c) ‘Thuyên có người chồng’ d) ‘Một chị em gái nhỏ tuổi anh ấy’ Câu Hãy diễn dịch mệnh đề luận lý vị từ sau a) ∀x∀y(S(x, m) ∧ B(c, y) → x = y) b) ∃x((S(x, m) ∨ H(c, x)) ∨ ∃x(H(x, m) ∧ O(x, m))) c) ∀x∀y(S(x, m) ∧ S(y, m) → O(x, y) ∨ O(y, x)) Câu Chuyển câu sau sang vị từ, lượng từ tốn tử logic: Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 2/11 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính a) Khi ổ cứng cịn 30 GB, thông điệp cảnh báo gửi tới người dùng b) Không mở thư mục hệ thống tập tin, không đóng tập tin lại phát có lỗi hệ thống c) Không lưu hệ thống tập tin có người đăng nhập vào hệ thống d) Đoạn phim Youtube buffer cịn MB nhớ tốc độ đường tuyền tối thiểu 56 kbits/s e) Chỉ vài sinh viên máy tính lập trình tốt f) Khơng sinh viên máy tính khơng cần cù g) Khơng phải tất sinh viên máy tính thông minh h) Tất người Pompei trung thành với Caesar ghét ông ta i) Mỗi người trung thành với người j) Người ta muốn ám sát nhà cầm quyền mà người ta không trung thành k) Hai đường thẳng x y cắt trừ chúng song song không nằm mặt phẳng l) Nếu cửa hàng bán lẻ gạo Việt Nam biết cửa hàng gạo tăng giá cửa hàng tăng giá cửa hàng thuộc siêu thị m) Nếu người phụ nữ sinh con, người mẹ người khác n) Mọi ngân hàng Việt Nam cho người vay tiền người có tài sản chấp có tài sản chấp bảo lãnh Câu Cho vị từ N (x) “x chơi Đà Lạt” với tập vũ trụ toàn sinh viên lớp Toán rời rạc Hãy phát biểu vị từ sau: a) ∃xN (x) b) ∀xN (x) c) ¬∃xN (x) d) ∃x¬N (x) e) ¬∀xN (x) f) ∀x¬N (x) Câu Cho vị từ N (x) “x học lóp ngày tuần” với tập vũ trụ toàn sinh viên lớp Toán rời rạc Hãy phát biểu vị từ sau: a) ∃xN (x) b) ∀xN (x) c) ∃x¬N (x) Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 3/11 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính d) ∀x¬N (x) Câu 10 Cho P(x) câu "x nói tiếng Nga" Q(x) câu "x biết ngôn ngữ Java" Hãy diễn đạt câu sau cách dùng P(x), Q(x), lượng từ liên từ logic Cho không gian lượng từ tập hợp tất sinh viên trường bạn a) Có sinh viên trường bạn nói tiếng Nga biết Java b) Có sinh viên trường bạn nói tiếng Nga Java c) Mọi sinh viên trường bạn nói tiếng Nga biết Java d) Khơng có sinh viên trường bạn nói tiếng Nga biết Java Câu 11 Xét vị từ p(x) :00 x2 − 3x + = 000 Cho biết chân trị mệnh đề sau: a) p(0) b) p(1) c) p(2) d) ∃x, p(x) e) ∀x, p(x) Câu 12 Xét vị từ theo biến nguyên tự nhiên: p(x, y): “x ước y” Hãy xác định chân trị mệnh đề sau: a) p(2, 3) b) p(2, 6) c) ∀y, p(1, y) d) ∀x, p(x, x) e) ∀x∃y, p(x, y) f) ∃y∀x, p(x, y) g) ∀x∀y, (p(x, y) ∧ p(y, x)) → (x = y) h) ∀x∀y∀z(p(x, y) ∧ p, (y, z)) → (p(x, z)) Câu 13 Hãy cho biết công thức vị từ đoạn mã giả (pseudo code) sau: for (i = 0; i Cho không gian tập số thực Hãy cho biết chân trị công thức vị từ sau: a) ∀x∀y(P (x, y) ∨ Q(x, y)) b) ∀x∀y((R(x) ∧ S(y)) → Q(x, y)) Câu 30 Trong công thức chỉnh dạng (well-formed formula), biến bị ràng buộc (bound) biến tự (free)? Giải thích lý rõ ràng a) ∀x(∃y(P (x, y) ∧ Q(x)) → ∃z(¬P (y, z))) b) ∃xP (x) ∧ (∀y(Q(y) ∨ P (x)) → Q(y)) Câu 31 Chứng tỏ rằng: a) ∀xP (x) ∧ ∃xQ(x) ∀x∃y(P (x) ∧ Q(y)) tương đương logic b) ∀xP (x) ∨ ∃xQ(x) ∀x∃y(P (x) ∨ Q(y)) tương đương logic Câu 32 Hãy chứng minh n số nguyên dương n3 + 2015 số lẻ n số chẵn cách: Chứng minh gián tiếp (phản đảo) Chứng minh phản chứng Câu 33 Hãy chứng minh đẳng thức sau cách sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp: 1.1! + 2.2! + 3.3! + + n.n! = (n + 1)! − 1, n ≥ x + 4x + 7x + + (3n − 2)x = 12 n(3n − 1)x, n ≥ x số Đặt {an } dãy số tự nhiên cho a1 = 5, a2 = 13 an+2 = 5an+1 − 6an cho tất số tự nhiên n Chứng minh an = 2n + 3n Câu 34 Hãy sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh: Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 9/11 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Chứng minh với số nguyên dương n ≥ 1, 2.7n + 3.5n − chia hết cho 24 Chứng minh với số nguyên dương n ≥ 1, 7n+2 + 82n+1 chia hết cho 57 Chứng minh với số nguyên dương n ≥ 1, 32n+2 − 8n − chia hết cho 64 Chứng minh với số nguyên dương n ≥ 0, 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133 Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình x2 − 27x + 14 = 0, n số tự nhiên Chứng minh Sn = xn1 + xn2 không chia hết cho 715 Nếu x, y số tự nhiên khác Chứng minh xn − y n bội số x − y, n số tự nhiên Câu 35 Chứng minh n đường thẳng khác mặt phẳng qua điểm chia mặt phẳng 2n phần Câu 36 Chứng minh n đường thẳng phân biệt chia mặt phẳng thành tối đa (n2 + n + 2)/2 miền Trắc nghiệm Câu 37 Cho vị từ sau: - P(x): Chương trình x đáp ứng chuẩn ABET - Q(x,y): Chương trình x có mục tiêu đào tạo giống chương trình y - R(x): Kết đầu chương trình x kiểm chứng Câu sau biểu diễn mệnh đề vị từ nào: "Mọi chương trình đào tạo có mục tiêu giống chương trình khác đáp ứng chuẩn ABET kết đầu kiểm chứng tuân theo chuẩn ABET" a) ∀x(P (x) ∧ ¬Q(x)) → ∃x(R(x)) b) ∀x(∃y(Q(x, y) ∧ P (y) ∧ R(x)) → P (x)) c) ∀x(∃y(Q(x, y) ∧ P (y) ∧ R(x)) → P (x) ∨ R(x)) d) ∀x(∀y(Q(x, y) ∧ P (y) ∨ R(x)) → P (x)) Câu 38 Trong câu hỏi giả sử vị từ: - P(x,y): x phụ huynh y - M(x): x nam giới Nếu cho: F (v, w) = M (v) ∧ ∃x∃y(P (x, y) ∧ P (x, v) ∧ (y 6= v) ∧ p(y, w)), F(v,w) có nghĩa a) v anh w b) v cháu trai w c) v w d) v ông w Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 10/11 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Tổng kết Thơng qua tập phần này, làm quen với việc sử dụng, khai báo mệnh đề luận lý, diễn dịch chúng ngôn ngữ thông thường làm quen với phương pháp chứng minh Và tập giúp phần hiểu thêm lý thuyết luận lý học luận lý vị từ việc lý giải sai toán thực tế (tham khảo chi tiết chương 2) Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 11/11 ... first match for (x=0; x