Trường Đại Học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương 5 Quan hệ 1 Dẫn nhập Trong bài tập dưới đây, chúng ta sẽ làm quen với các kiến thức liên quan đến lý thuyết tậ[.]
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương Quan hệ Dẫn nhập Trong tập đây, làm quen với kiến thức liên quan đến lý thuyết tập hợp (bao gồm quan hệ, quan hệ tương đương quan hệ thứ tự) Sinh viên cần ôn lại lý thuyết chương trước làm tập bên Bài tập mẫu Câu Cho quan hệ R = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)} tập X = {1, 2, 3} Hãy xác định R a) phản xạ b) đối xứng c) bắc cầu Lời giải a) Quan hệ R khơng có tính chất phản xạ (2, 2) ∈ / R; b) Quan hệ R có tính chất đối xứng đối xứng R−1 = R; c) Quan hệ R khơng có tính chất bắc cầu (3, 2) ∈ R (2, 3) ∈ R, (3, 3) ∈ / R Câu Quan hệ R N định nghĩa “n R m m = n + 1” a) đối xứng? b) phản xạ? c) bắc cầu? Lời giải a) Nếu R có tính chất đối xứng, ta có m = n + ⇐⇒ n = m + (vơ lý!) b) Nếu R có tính chất phản xạ, n = n + (vơ lý!) c) Nếu R có tính chất bắc cầu, ta có m = n + p = m + =⇒ p = n + (vô lý!) Câu Vẽ ma trận đồ thị có hướng tương ứng với quan hệ R câu Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 1/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Lời giải 1 • Ma trận : 0 1 • Đồ thị : 3 Bài tập cần giải Câu Cho Z tập hợp số nguyên, L tập hợp đường thẳng mặt phẳng Xác định quan hệ sau có tính phản xạ, đối xứng, phản đối xứng, bắc cầu, tương đương hay khơng? Giải thích a) Trên tập {1, 2, 3, 4} , quan hệ sau: R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} R2 = {(4, 2), (2, 4), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 4)} R3 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)} R4 = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 4)} R5 = {(4, 4), (4, 1), (4, 2), (1, 4), (1, 1), (1, 2), (2, 4), (2, 2), (3, 3)} R6 = {(1, 2)} b) Trên tập Z, quan hệ: “=”, “≡”, “≤”, “6=” c) Trên tập L, quan hệ: “//”, “⊥”, “cắt nhau”, “chéo nhau” d) Trên tập Z, quan hệ sau: R7 : xRy ⇔ (x + y) chẵn R8 : xRy ⇔ (x − y) chẵn R9 : xRy ⇔ (x2 + y ) chẵn e) Trên tập R, quan hệ sau: R10 : xRy ⇔ |x| = |y| R11 : xRy ⇔ sin2 x + cos2 y = f) Trên tập ZxZ, quan hệ R12 : (a, b)R(c, d) ⇔ a ≤ c Câu Vẽ ma trận đồ thị có hướng tương ứng với quan hệ Rx (1 ≤ x ≤ 6) câu 4a Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 2/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Câu Cho quan hệ a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 ma trận đồ thị có hướng tương ứng với quan hệ Rx tập {1, 2, 3, 4} Xác định Rx có tính phản xạ, đối xứng, phản đối xứng, bắc cầu, tương đương hay khơng? Giải thích 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e) f) Câu Hãy tìm quan hệ A = {1, 2, 3, 4} cho có tính chất: a) Phản xạ đối xứng không bắc cầu b) Phản xạ bắc cầu không đối xứng c) Bắc cầu đối xứng không phản xạ Câu Trên tập {1, 2, 3, 4}, cho quan hệ sau: R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} R2 = {(4, 2), (2, 4), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 4)} Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 3/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính R3 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)} R4 = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 4)} R5 = {(4, 4), (4, 1), (4, 2), (1, 4), (1, 1), (1, 2), (2, 4), (2, 2), (3, 3)} R6 = {(1, 2)} Tìm: a) R1 ◦ R2 , R1 ◦ R3 , R1 ◦ R4 , R1 ◦ R5 , R1 ◦ R6 b) R2 ◦ R3 ◦ R4 ◦ R6 c) (R3 )2 d) (R3 )4 e) Bao đóng phản xạ R2 f) Bao đóng đối xứng R1 ◦ R2 g) Bao đóng bắc cầu R6 Câu Liệt kê cặp quan hệ tương đương tạo phân hoạch sau {0, 1, 2, 3, 4, 5} {0}, {1,2}, {3,4,5} {0,1}, {2,3}, {4,5} {0,1,2}, {3,4,5} {0}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5} Câu 10 Quan hệ tập {0,1,2,3} sau thứ tự phận? Nếu khơng có thứ tự phận, xác định tính chất thứ tự phận mà quan hệ cịn thiếu {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3) } {(0,0), (1,1), (2,0), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)} {(0,0), (1,1), (1,2), (2,2), (3,3)} {(0,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,3)} {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,2), (3,3)} Câu 11 Trả lời câu hỏi sau poset ({2, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 48, 60, 72}, |) Tìm phần tử cực đại Tìm phần tử cực tiểu Có phần tử lớn hay khơng? Có phần tử nhỏ hay khơng? Tìm tất cận {2,9} Tìm cận nhỏ {2,9}, có Tìm tất cận {60,72} Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 4/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Tìm cận lớn {60,72}, có Câu 12 Cho quan hệ R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5), (6, 6)} tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a) R có phải quan hệ tương đương khơng? Vì sao? b) Tìm lớp tương đương [1], [2], [3], [4], [5], [6] c) Tìm phân hoạch A thành lớp tương đương câu b Câu 13 Cho A = {1, 2, 3, 4, 5} × {1, 2, 3, 4, 5} R quan hệ A cho: (a, b)R(c, d) ⇔ a + b = c + d a) R có phải quan hệ tương đương khơng? Vì sao? b) Tìm lớp tương đương [(1,3)], [(2,4)], [(1,1)] c) Tìm phân hoạch A thành lớp tương đương câu b Câu 14 Quan hệ sau poset? a) (Z, =) b) (Z, 6=) c) (Z, ≥) d) (Z, -) Câu 15 Các cặp phần tử so sánh poset (Z+ , |)? 5, 15 6, 8, 16 7, Câu 16 Một tập hợp có thứ tự phận (poset) tập hợp A nói có thứ tự phận tốt tập hợp khác ∅ A có phần tử bé Khi ta nói (A, p) tốt Cho biết tập hợp đây, tập hợp thứ tự tốt? a) (N, ≤) b) (Z, ≤) c) (Q, ≤) d) (Q+ , ≤) e) (P, ≤) P tập hợp số nguyên tố f) (A, ≤) A 6= ∅) tập hữu hạn Z Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 5/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Câu 17 a) Cho ví dụ tập hợp tốt khơng có phần tử lớn b) Cho ví dụ tập hợp tốt có phần tử lớn c) Chứng minh tập có thứ tự phận tốt tập có thứ tự tồn phần d) Điều ngược lại câu c có khơng? Bài tập thêm Câu 18 Trong quan hệ sau tập {1, 2, 3, 4}, xác định xem có phản xạ, đối xứng, phản đối xứng bắc cầu hay không {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)} {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} {(2, 4), (4, 2)} {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 4)} Câu 19 Quan hệ R N định nghĩa “n R m m n có ước số chung lớn 1” a) đối xứng? b) phản xạ? c) bắc cầu? Câu 20 Xác định quan hệ R tập tất người phản xạ, đối xứng, phản đối xứng hay bắc cầu Biết (a, b) ∈ R a) a cao b; b) a b sinh ngày; c) a b có ơng bà nội Câu 21 Liệt kê cặp có thứ tự quan hệ tập {1, 2, 3, 4} tương ứng với ma trận sau (trong hàng cột tương ứng với số nguyên liệt kê theo thứ tự tăng dần) a) 1 0 1 Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 6/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính b) c) 1 0 1 1 0 1 0 Câu 22 Xác định quan hệ có phản xạ, đối xứng, phản đối xứng bắc cầu hay không Câu 23 Vẽ đồ thị có hướng từ ma trận Bài dựa vào đó, vẽ đồ thị có hướng bao đóng phản xạ, vẽ đồ thị có hướng bao đóng đối xứng Câu 24 Cho R quan hệ {(a, b) | a 6= b} tập số nguyên Bao đóng phản xạ R gì? Câu 25 Tìm thứ tự chuỗi sau theo chữ tiếng Anh: quack, quick, quicksilver, quicksand, quacking open, opener, opera, operand, opened zoo, zero, zoom, zoology, zoological Câu 26 Xác định xem quan hệ R tập tất trang Web phản xạ, đối xứng, phản đối xứng, hay bắc cầu, (a, b) ∈ R Tất xem trang Web a xem trang Web b Tại hai trang Web a b khơng có liên kết giống Có liên kết giống trang Web a trang Web b Có trang Web có chứa liên kết đến trang Web a lẫn trang Web b Câu 27 Cho R quan hệ tập {1, 2, 3, 4, 5} có chứa cặp (1,1), (1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,1), (3,4), (3,5), (4,2), (4,5), (5,1), (5,2) (5,4) Tìm a) R2 b) R3 c) R4 d) R5 Câu 28 Cho R quan hệ tập {0,1,2,3} có chứa cặp (0,1), (1,1), (1,2), (2,0), (2,2) (3,0) Tìm a) bao đóng phản xạ R b) bao đóng đối xứng R c) bao đóng bắc cầu R Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 7/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Câu 29 Cho ma trận quan hệ tập {a, b, c, d} sau (trong hàng cột tương ứng với chữ liệt kê theo thứ tự tăng dần) 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Vẽ đồ thị có hướng từ ma trận dựa vào đó, vẽ đồ thị có hướng bao đóng phản xạ, vẽ đồ thị có hướng bao đóng đối xứng Câu 30 Các quan hệ sau {0, 1, 2, 3}, quan hệ tương đương Nếu không phải, tính chất cịn thiếu để trở thành tương đương Nếu tương đương, lớp đương tương a) {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} b) {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} c) {(0, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)} d) {(0, 0), (1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} e) {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 2), (3, 3)} Bài tập nâng cao Câu 31 Gọi R quan hệ phản xạ Chứng minh Rn quan hệ phản xạ với số nguyên dương n Câu 32 Làm để xác định ma trận quan hệ R tập A phi phản xạ? Với định nghĩa quan hệ R tập A phi phản xạ với a ∈ A, (a, a) ∈ / R Câu 33 Làm để xác định ma trận quan hệ R tập A phi đối xứng? Với định nghĩa quan hệ R gọi phi đối xứng (a, b) ∈ R nghĩa (b, a) ∈ / R Câu 34 Cho R quan hệ {(a, b) | a ước b} tập số nguyên Bao đóng đối xứng R gì? Tổng kết Thơng qua tập phần này, hiểu rõ làm quen với lý thuyết quan hệ (bao gồm quan hệ tương đương quan hệ thứ tự) mà chi tiết lý thuyết trình bày slide chương Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 8/8