Trường Đại Học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương 5 (tuần lễ 10 14/11/2014) Quan hệ 1 Dẫn nhập Trong bài tập dưới đây, chúng ta sẽ làm quen với các kiến thức li[.]
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương (tuần lễ 10-14/11/2014) Quan hệ Dẫn nhập Trong tập đây, làm quen với kiến thức liên quan đến lý thuyết tập hợp (bao gồm quan hệ, quan hệ tương đương quan hệ thứ tự) Sinh viên cần ôn lại lý thuyết chương trước làm tập bên Bài tập mẫu Câu Cho quan hệ R = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)} tập X = {1, 2, 3} Hãy xác định R a) phản xạ b) đối xứng c) bắc cầu Lời giải a) Quan hệ R khơng có tính chất phản xạ (2, 2) ∈ / R; b) Quan hệ R có tính chất đối xứng đối xứng R−1 = R; c) Quan hệ R khơng có tính chất bắc cầu (3, 2) ∈ R (2, 3) ∈ R, (3, 3) ∈ / R Câu Quan hệ R N định nghĩa “n R m m = n + 1” a) đối xứng? b) phản xạ? c) bắc cầu? Lời giải a) Nếu R có tính chất đối xứng, ta có m = n + ⇐⇒ n = m + (vô lý!) b) Nếu R có tính chất phản xạ, n = n + (vơ lý!) c) Nếu R có tính chất bắc cầu, ta có m = n + p = m + =⇒ p = n + (vơ lý!) Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 1/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập cần giải Câu Trong quan hệ sau tập {1, 2, 3, 4}, xác định xem có phản xạ, đối xứng, phản đối xứng bắc cầu hay không {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)} {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} {(2, 4), (4, 2)} {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 4)} Câu Quan hệ R N định nghĩa “n R m m n có ước số chung lớn 1” a) đối xứng? b) phản xạ? c) bắc cầu? Câu Xác định quan hệ R tập tất người phản xạ, đối xứng, phản đối xứng hay bắc cầu Biết (a, b) ∈ R a) a cao b; b) a b sinh ngày; c) a b có ơng bà nội Câu Liệt kê cặp quan hệ tương đương tạo phân hoạch sau {0, 1, 2, 3, 4, 5} {0}, {1,2}, {3,4,5} {0,1}, {2,3}, {4,5} {0,1,2}, {3,4,5} {0}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5} Câu Quan hệ tập {0,1,2,3} sau thứ tự phận? Nếu khơng có thứ tự phận, xác định tính chất thứ tự phận mà quan hệ cịn thiếu {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3) } {(0,0), (1,1), (2,0), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)} Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 2/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính {(0,0), (1,1), (1,2), (2,2), (3,3)} {(0,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,3)} {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,2), (3,3)} Câu Trả lời câu hỏi sau poset ({2, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 48, 60, 72}, |) Tìm phần tử cực đại Tìm phần tử cực tiểu Có phần tử lớn hay khơng? Có phần tử nhỏ hay khơng? Tìm tất cận {2,9} Tìm cận nhỏ {2,9}, có Tìm tất cận {60,72} Tìm cận lớn {60,72}, có Câu Liệt kê cặp có thứ tự quan hệ tập {1, 2, 3, 4} tương ứng với ma trận sau (trong hàng cột tương ứng với số nguyên liệt kê theo thứ tự tăng dần) a) b) c) 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 Câu 10 Xác định quan hệ có phản xạ, đối xứng, phản đối xứng bắc cầu hay không Câu 11 Vẽ đồ thị có hướng từ ma trận Bài dựa vào đó, vẽ đồ thị có hướng bao đóng phản xạ, vẽ đồ thị có hướng bao đóng đối xứng Câu 12 Cho R quan hệ {(a, b) | a 6= b} tập số nguyên Bao đóng phản xạ R gì? Câu 13 Quan hệ sau poset? Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 3/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính a) (Z, =) b) (Z, 6=) c) (Z, ≥) d) (Z, -) Câu 14 Các cặp phần tử so sánh poset (Z+ , |)? 5, 15 6, 8, 16 7, Câu 15 Tìm thứ tự chuỗi sau theo chữ tiếng Anh: quack, quick, quicksilver, quicksand, quacking open, opener, opera, operand, opened zoo, zero, zoom, zoology, zoological Câu 16 Xác định xem quan hệ R tập tất trang Web phản xạ, đối xứng, phản đối xứng, hay bắc cầu, (a, b) ∈ R Tất xem trang Web a xem trang Web b Tại hai trang Web a b liên kết giống Có liên kết giống trang Web a trang Web b Có trang Web có chứa liên kết đến trang Web a lẫn trang Web b Câu 17 Cho R quan hệ tập {1, 2, 3, 4, 5} có chứa cặp (1,1), (1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,1), (3,4), (3,5), (4,2), (4,5), (5,1), (5,2) (5,4) Tìm a) R2 b) R3 c) R4 d) R5 Câu 18 Cho R quan hệ tập {0,1,2,3} có chứa cặp (0,1), (1,1), (1,2), (2,0), (2,2) (3,0) Tìm Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 4/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính a) bao đóng phản xạ R b) bao đóng đối xứng R c) bao đóng bắc cầu R Bài tập nâng cao Câu 19 Gọi R quan hệ phản xạ Chứng minh Rn quan hệ phản xạ với số nguyên dương n Câu 20 Làm để xác định ma trận quan hệ R tập A phi phản xạ? Với định nghĩa quan hệ R tập A phi phản xạ với a ∈ A, (a, a) ∈ / R Câu 21 Làm để xác định ma trận quan hệ R tập A phi đối xứng? Với định nghĩa quan hệ R gọi phi đối xứng (a, b) ∈ R nghĩa (b, a) ∈ / R Câu 22 Cho R quan hệ {(a, b) | a ước b} tập số nguyên Bao đóng đối xứng R gì? Câu 23 Cho ma trận quan hệ tập {a, b, c, d} sau (trong hàng cột tương ứng với chữ liệt kê theo thứ tự tăng dần) 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Vẽ đồ thị có hướng từ ma trận dựa vào đó, vẽ đồ thị có hướng bao đóng phản xạ, vẽ đồ thị có hướng bao đóng đối xứng Câu 24 Các quan hệ sau {0, 1, 2, 3}, quan hệ tương đương Nếu khơng phải, tính chất cịn thiếu để trở thành tương đương Nếu tương đương, lớp đương tương a) {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} b) {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 5/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính c) {(0, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)} d) {(0, 0), (1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} e) {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 2), (3, 3)} Câu 25 Cho R quan hệ tập gồm cặp số nguyên dương cho ((a, b), (c, d)) ∈ R a + d = b + c a) Chứng minh R quan hệ tương đương b) Lớp tương đương (1,2) với quan hệ tương đương R gì? c) Hãy biểu diễn lời lớp tương đương quan hệ tương đương R Tổng kết Thông qua tập phần này, hiểu rõ làm quen với lý thuyết quan hệ (bao gồm quan hệ tương đương quan hệ thứ tự) mà chi tiết lý thuyết trình bày slide chương Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 6/8