Giảng viên chính ĐHBKTPHCM Th S NGUYỄN – MINH – CHÂU Chương III ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM – VẬT RẮN III 1 Khối tâm 1 Vị trí khối tâm G của hệ 2 chất điểm 2 chất điểm M và M1 2 có khối lượng lần lượt m[.]
Giảng viên ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU Chương III: ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM – VẬT RẮN III.1 Khối tâm Vị trí khối tâm G hệ chất điểm:2 chất điểm M1 M2 có khối lượng m1 m2 nối với rắn khơng khối lượng vị trí khối tâm G điểm đặt niêm cân nằm ngang.Khi đó: M1 G M2 m1 M 1G + m2 M G = Vị trí khối tâm G hệ nhiều chất điểm: n m1 m2 ∑ mi M i G = i =1 Đặt hệ chất điểm vào hệ trục tọa độ Descartes: => 0G = M i + M i G => mi 0G = mi M i + mi M i G => ∑ m 0G = ∑ m 0M + ∑ m M G i i i i i ⎧ ∑ mi x i ⎪ xG = M ⎪ r ⎪ r ∑ mi ri => ⎪⎨ y = ∑ mi yi ⇒ rG = G M M ⎪ ⎪ ∑ mi z i ⎪zG = M ⎪⎩ Với M= ∑ mi : Khối lượng hệ chất điểm Vd: Cho chất điểm m1=1kg, m2=2kg, m3=3kg, m4=4kg đặt đỉnh hình chử nhựt cạnh 2cm, 4cm hình vẻ xG = (0 + + + 12) = 2,1cm 1+ + + yG = r r => rG ∑ mi = ∑ mi ri y M2 M1 x y m2 m3 (0 + + + 0) = 1cm => G ( 2,1 ; ) 10 Vị trí khối tâm G vật rắn: r rG = M r ∫ dm.r VR ⎧ ⎪ xG = M ∫ x.dm ⎪ ⎪ y.dm ⇒ ⎨ yG = M∫ ⎪ ⎪ ⎪ z G = M ∫ z.dm ⎩ Mn xG xG m1 m4 y x dm r r Với M: Khối lượng vật rắn dm ⇒ dm = λ dl dl z dm - Mật độ khối lượng mặt: σ (kg / m ) σ = ⇒ dm = σ dS dS dm - Mật độ khối lượng mặt: ρ (kg / m ) ρ = ⇒ dm = ρ dV dV m m m + Nếu vật rắn có khối lượng phân bố thì: λ = ; σ = ; ρ = số l S V + Nếu vật rắn sợi dây thẳng trục x thì: dl = dx + Nếu vật rắn sợi dây cung tròn, bán kính R dy ta dùng tọa độ cực (R,ϕ) dl = R.dϕ x - Mật độ khối lượng dài: λ ( kg / m) λ = dx Giảng viên ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU r = x2 + y2 Tọa độ cực: ⎧ x = r cos ϕ Với ⎨ ⎩ y = r sin ϕ y ϕ = arctg x r dϕ d ϕ + Nếu vật rắn mặt phẳng giới hạn đường thẳng: dS = dx.dy + Nếu vật rắn mặt phẳng giới hạn cung tròn: dS = r.dr dϕ + Nếu vật rắn mặt cầu bán kính R thì: dS = R sin θ dθ dϕ z ⎧ x = r sin θ cos ϕ ⎪ Tọa độ cầu: M (r , θ , ϕ ) với ⎨ y = r sin θ sin ϕ ⎪ z = r cos θ ⎩ π 2π 0 θ Khi tính biết mặt cầu: S = R ∫ sin θ dθ ∫ dϕ + Nếu vật rắn dạng khối lăng trụ hay lập phương: dV = dx.dy.dz x + Nếu vật rắn khối cầu: dV = r dr sin θ dθ dϕ R π R M r ϕ 2π R3 2.2π = πR V = ∫ r dr ∫ sin V = ∫ r dr ∫ sin θ dθ ∫ dϕ = 3 0 0 Vd1: Cho vật tam giác vuông OBC ( OB=a BC=b) khối lượng m phân bố Tìm G? m y b y= x ab a a a C xG = ∫ σ dx.dy = ∫ xdx ∫ dy = ∫ x.dx y ab m VR m 0 • Tương tự y G = b : dy x B dx Vd2: Cho vật rắn khối lượng m ¼ vịng trịn (O,R) Xác định G? xG = ϕ y ∫ σ r1.dr2.d3ϕ.r1cos 23 M VR dS x 2 M y = G x x = π R2 M π R ∫ r dr ∫ cos ϕ.dϕ 0 π R sin ϕ πR = R ≡ 0,424 R 3π Hình đối xứng => xG = yG = 0,424R r ∑ Fi III.2 Chuyển động khối tâm G r r rG = mi ri ∑ M r r r drG r 1 ϑG = = miϑi = pi ∑ ∑ dt M M r r dϑ r r 1 mi a i = Fi aG = G = ∑ ∑ dt M M G r aG r ϑG r ∑P i y Giảng viên ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU III.3 Động lựơng hệ chất điểm vật rắn r r r r a/ Định nghĩa: P = ∑ pi = ∑ miϑi = M ϑG r r r r dP d ( M ϑG ) b/ Định lý: = = Ma G = ∑ F dt dt c/ Định luật bảo toàn động lượng: r r - Bảo toàn toàn phương: ∑ Fr = ⇔ P = hs - Bảo toàn phương: ∑ F ≠ 0, ∑ Fx = ⇒ Px = hs Vd1: r N1 m1 r r N1 ϑ1 r N2 r ϑ2 r m2 Vd2: r r + m2 g + N = r r PTB = PSB m M PTVC = PSVC r r r r m1 ϑ1 + m ϑ = m1 ϑ '1 + m ϑ ' r m2 g r m1g r r ∑ F r= m g r+ N r V r r r ( m + M )V = mϑ '+ MV ' r Vd3: ϑ r r P1 = P2 r r = mϑ + MV r V Vd4: Bảo toàn phương: r ϑ' r ϑ M r V' V=0 r r F ∑ = mrg ⇒ ∑r FX =r ( m + M )V ≠ mϑ '+ MV ' P X TVC = P => mϑ = MV ' X SVC III.4 Vật rắn chuyển động tịnh tiến 1/ Định nghĩa: Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến chất điểm vật rắn chuyển động quãng đường, vận tốc gia tốc với khối tâm A1 B1 G C1 A2 B2 G C2 A1 A2 = B1 B2 = = G1G2 ϑ A = ϑ B = = ϑG a A = a B = = aG 2/ Động vật rắn chuyển động tịnh tiến: 1 Wđ tt = ∑ Wđ i = ∑ mi ϑi2 = M ϑG2 2 3/ Phương trình động lực học vật rắn chuyển động tịnh tiến: r r F ∑ i = M aG III.5 Vật rắn chuyển động quay quanh trục U Giảng viên ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU Δ 1/ Định nghĩa: θ A = θ B = = θ v ω A = ω B = = ω β A = β B = = β Khi vật rắn quay quanh trục chất điểm có góc quay, vận tốc góc gia tốc góc A1 θA A2 2/ Động vật rắn quay quanh trục U: 1 Wđ q / Δ = ∑ Wđ i = ∑ mi ϑi2 = ∑ mi ω i2 ri = ω ∑ mi ri 2 2 Với ri : khoảng cách từ chất điểm thứ i đến trục U Đặt I Δ = ∑m r i i B2 θB B1 : moment quán tính hệ chất điểm trục U I Δ ω 2 3/ Moment quán tính hệ chất điểm trục quayU: => Wđ q / Δ = I Δ = ∑ mi ri2 4/ Moment quán tính vật rắn trục quayU: I Δ = ∫ dm.r VR Vd1: Cho thẳng khối lượng M, dài L, khối lượng phân bố Tính moment trục quayU vng góc với qua điểm L Δ Δ I = λ dx.x = M x Δ ∫L L Δ − r α O dx O x x L − L = M ⎛ L3 ⎛ L3 ⎞ ⎞ ML2 ⎜ − ⎜ − ⎟⎟ = L ⎜⎝ 24 ⎜⎝ 24 ⎟⎠ ⎟⎠ 12 = ML2 d Δ + Nếu chọn gốc O trục U’: I M x3 = Δ' L L + Nếu chọn trục U2 lệch góc α với thanh: I + Nếu chọn trục U3 song song với thanh: I L Δ2 Δ3 = M M L3 ML2 2 dx x sin α = sin α = sin α ∫ L 3 L = ∫ dm.d = d ∫ dm = M d Δ VR Vd2: Cho vành khối lượng M, bán kính R, U vng góc vành qua O I Δ = ∫ dm.R = R 2 Vd3: Đĩa đặc phân bố ∫ dm = M R VR d O R Giảng viên ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU Δ = σ r.dr.dϕ r Δ ∫ 2π R M r dr = ∫0 dϕ πR ∫0 I r dr R M r4 M R 2π = ϕ = πR 0 R Vd4: Đĩa rổng bán kính R1,R2 Δ 2π M IΔ = r dr ∫ dϕ 2 ∫ π ( R2 − R1 ) R1 ⎡ R24 R14 ⎤ M − ⎢ ⎥.2π ⎦ π ( R22 − R12 ) ⎣ M ( = R2 + R12 ) = ML2 12 - Thanh dài: IΔ = - Vành, trụ rỗng: I Δ = MR - Đĩa đặc, trụ đặc: IΔ = MR 2 - Cầu rỗng: IΔ = MR O IΔ = - Cầu đặc: 3.5 Định lý Steiner-Huyghen: Trục U qua G Trục U’//U cách U đoạn d I Δ ' = I Δ + Md Vd: Thanh rắn: Δ’ Δ Δ 1 ⎛L⎞ I Δ ' = ML2 + M ⎜ ⎟ = ML2 12 ⎝2⎠ R I Δ ' = MR + MR = 2MR L/2 Lưu y: Moment quán tính có mang tính chất cộng I (m + M ) Δ' = Im Δ + IM Δ Vd: Hệ niềng M, căm M: I Δ = I M / Δ + 6I m / Δ ⎛1 ⎞ = MR + 6⎜ mR ⎟ = (M + 2m )R ⎝3 ⎠ R2 R1 MR Giảng viên ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU + Nếu khoét lỗ trừ đi:( M:k/l đĩa chưa khoét; M’:k/l đĩa khoét; m: k/l lổ khoét) I dk/Δ = I 01 / Δ − I 02 / Δ I dk/Δ I dk/Δ = MR − mr 2 13 M '.R = 24 M σ πR = ⇒ M = 4m m σ π r R ⎞⎤ ⎡ ⎛ xG = + ⎜ − m ⎟⎥ = − ⎢ 3m ⎣ ⎝ ⎠⎦ O1 • O2 Moment qn tính giá trị vô hướng dương, (là giá trị số học) r Δ III.6 Moment lực M r Moment lực F điểm O r M r F / r r = r × F ⎧ -Điểm đặt: r r ⎪ ⎪ -Phương: đt ⊥với mp tạo ( r , F ) ⎨ r r r ⎪ -Chiều: r , F , M tạo thành tam diện thuận ⎪⎩ -Độ lớn: M = r.F sin α r Moment lực F trục U r r M Fr / Δ = hcM Fr / O uur r M F /Δ Δ r r r r F = Ft + Fn + Fz r r Fz : làm vật trượt U, không làm vật rắn quay => M Frz / Δ = r r r M Fn : kéo vật trượt U, không làm vật rắn quay => Fn / Δ r M Fr / Δ r r r r M Ft / Δ = r × Ft r ⎧F = ⎪⎪ r = ⇔ ⎨F I Δ ≠ φ ⎪r ⎪⎩ F // Δ 3.6.4 Moment tổng ngọai lực vật rắn U: uur r r r r r M ΣF / Δ = ∑ ri × Fit = ∑ ri × mi ait uur r r r r rr r r r r M ΣF / Δ = ∑ mi ⎡⎣ ri × ( β i × ri ) ⎤⎦ = ∑ mi ⎡⎣ (ri ri ).β i − (ri β i ).ri ⎤⎦ uur r r M ΣFr / Δ = ∑ mi ri β = I Δ β uur r M F /0 r Fz Δ r ri r Moment lực F vật rắn trục U r Tác dụng lên vật rắn lực F để vật rắn quay quanh U r Lực F phân thành thành phần: r Ft : làm vật rắn quay quanh U => r F r r M r Fn =0 ( r: khoảng cách từ M đến U ) r F r Ft r F' Giảng viên ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU 3.6.5 Phương trình động lực học vật rắn quay quanh U: r r ΣF / Δ = I Δ β r III.7 Moment động lượng L r 3.7.1 Moment động lượng L O r r r r Li / O = ri × Pi ( ri : vectơ vị trí) uur M ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ Điểm đặt: O r r Phương: vng góc mặt phẳng tạo ri , Pi r r r Chiều: ri , Pi , L/ O tạo thành U diện thuận r Độ lớn: Li / O = ri pi sin α ( ) 3.7.2 Moment động lượng U: r r L/ Δ = hình chiếu L/ O Δ 3.7.3 Moment động lượng vật rắn U: r LΔ = = = ∑ ∑ ∑ r L i Δ = ∑ r r ri × p i = r r r m i [ r i × ( ω i × r i )] = r r m i r i ω i = I Δ ω Ghi chú: ∑ r r ri × m i ϑ i r r r r r r m i [( r i r i ) ω i − ( r i ω i ) r i ] ∑ uur r r M ΣF / Δ vật rắn trục U phương, chiều với β r r L/ Δ vật rắn trục U phương, chiều với ω 3.7.4 Định lý moment động lượng: r r r dL / Δ dω = I/Δ = I / Δ β = dt dt 3.7.5 Định luật bảo tịan moment động lượng: r L/ Δ = const Vd: Ghế Giucopxki (người từ mép đĩa đến R/2) r r LΔ1 = LΔ ⇒ ( I1 + I )ω1 = ( I1 + I 2' )ω2 ⎛1 R ⎛1 ⎞ ⇒ ⎜ MR + mR ⎟ω1 = ⎜⎜ MR + m ⎝2 ⎠ ⎝2 M ⎞ ⎟⎟ω ⎠ G Vd: Viên đạn chạm M, L: M ∑ Fr Δ r = ⇔ LΔ = hs r r LTVC = LSVC ϑ ML2 + mL2 = ML2 Ω'+ mL2 ω ' L III.8 Vật rắn chuyển động lăn không trượt m r ϑ ... động tịnh tiến 1/ Định nghĩa: Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến chất điểm vật rắn chuyển động quãng đường, vận tốc gia tốc với khối tâm A1 B1 G C1 A2 B2 G C2 A1 A2 = B1 B2 = = G1G2 ϑ A = ϑ B... = aG 2/ Động vật rắn chuyển động tịnh tiến: 1 Wđ tt = ∑ Wđ i = ∑ mi ϑi2 = M ϑG2 2 3/ Phương trình động lực học vật rắn chuyển động tịnh tiến: r r F ∑ i = M aG III.5 Vật rắn chuyển động quay... = hs - Bảo toàn phương: ∑ F ≠ 0, ∑ Fx = ⇒ Px = hs Vd1: r N1 m1 r r N1 ? ?1 r N2 r ϑ2 r m2 Vd2: r r + m2 g + N = r r PTB = PSB m M PTVC = PSVC r r r r m1 ? ?1 + m ϑ = m1 ϑ ''1 + m ϑ '' r m2 g r m1g