Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 53 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
53
Dung lượng
2,2 MB
Nội dung
CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ III HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ BÀI HÀM SỐ BẬC HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG I = LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA Hàm số bậc hai hàm số cho công thức: y = ax + bx + c, x biến số, a, b, c số a Tập xác định hàm số bậc hai Chú ý : + Khi a = , b , hàm số trở thành hàm số bậc y = bx + c + Khi a = b = , hàm số trở thành hàm y = c ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI a) Đồ thị hàm số y = ax , a parabol có đỉnh gốc tọa độ, có trục đối xứng trục tung (là đường thẳng x = ) Parabol quay bề lõm lên a , xuống a b) Đồ thị hàm số y = ax + bx + c, a parabol có: b + Đỉnh I − ; − 2a 4a b 2a + Bề lõm hướng lên a , hướng xuống a + Trục đối xứng đường thẳng x = − + Giao điểm với trục tung M ( 0; c ) + Số giao điểm với trục hoành số nghiệm phương trình ax + bx + c = a0 a0 BẢNG BIẾN THIÊN Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ a0 a0 b + Khi a , hàm số đồng biến khoảng − ; + nghịch biến khoảng 2a b + Khi a , hàm số đồng biến khoảng −; − nghịch biến khoảng 2a b −; − 2a b − ; + 2a - Để vẽ đường parabol y = ax + bx + c ta tiến hành theo bước sau: b Xác định toạ độ đỉnh I − ; − ; 2a 4a Vẽ trục đối xứng x = − b ; 2a Xác định toạ độ giao điểm parabol với trục tung, trục hoành (nếu có) vài điểm đặc biệt parabol; Vẽ parabol BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Câu 1: Trong hàm số sau, hàm số hàm số bậc hai? Với hàm số bậc hai đó, xác định a, b, c hệ số x , hệ số x hệ số tự a) y = −3 x b) y = x ( x − x + 1) с) y = x(2 x − 5) Lời giải a) Hàm số y = −3 x hàm số bậc hai y = −3 x + 0.x + Hệ số a = −3, b = 0, c = b) Hàm số y = x ( x2 − x + 1) y = x3 − 12 x + x có số mũ cao nên không hàm số bậc hai c) Hàm số y = x(2 x − 5) y = x − 20 x có số mũ cao nên hàm số bậc hai Hệ số a = 8, b = −20, c = Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Câu 2: Xác định parabol y = ax + bx + trường hợp sau: a) Đi qua điểm M (1;12) N (−3; 4) b) Có đỉnh I (−3; −5) Lời giải a) Thay tọa độ điểm M (1;12) N (−3; 4) ta được: a = a + b + = 12 a + b = b = a (−3) + b (−3) + = 9a − 3b = Vậy parabol y = x + x + b) Hoành độ đỉnh parabol Nên ta có: −b 2a −b = −3 b = 6a 2a Thay tọa độ điểm I vào ta được: −5 = a (−3)2 + b (−3) + 9a − 3b = −9 3a − b = −3(2) Từ (1) (2) ta hệ b = 6a b = b = 6a b = 6a 3a − 6a = −3 a = 3a − b = −3 a = Vậy parabol y = x + x + Câu 3: Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = x − x + b) y = −3x − x − Lời giải 3 1 a) Đồ thị hàm số có đỉnh I ; − 2 2 Trục đối xứng x = Giao điểm parabol với trục tung (0; 4) Giao điểm parabol với trục hoành (2; 0) (1;0) Điểm đối xứng với điểm (0; 4) qua trục đối xứng x = (3; 4) Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Vẽ parabol qua điểm xác định trên, ta nhận đồ thị hàm số: b) Đồ thị hàm số có đỉnh I (−1;0) Trục đối xứng x = −1 Giao điểm parabol với trục tung (0; −3) Giao điểm parabol với trục hoành I (−1;0) Điểm đối xứng với điểm (0; −3) qua trục đối xứng x = −1 (−2; −3) Vẽ parabol qua điểm xác định trên, ta nhận đồ thị hàm số: Câu 4: Cho đồ thị hàm số bậc hai Hình a) Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh đồ thị hàm số b) Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến hàm số c) Tìm cơng thức xác định hàm số Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Lời giải a) Trục đối xứng đường thẳng x = Đỉnh I (2; −1) b) Từ đồ thị ta thấy khoảng (−; 2) hàm số xuống nên hàm số nghịch biến (−; 2) Trên khoảng (2; +) hàm số xuống nên đồng biến (2; +) c) ) Gọi hàm số y = ax + bx + c(a 0) Đồ thị hàm số có đỉnh I (2; −1) nên ta có b b = −4a =2 − 2a a.22 + b.2 + c = −1 4a + 2b + c = −1 Ta lại có điểm (1;0) thuộc đồ thị nên ta có: a + b + c = Vậy ta có hệ sau: b = −4 a b = −4a b = −4 a b = −4 a b = −4 4a + 2b + c = −1 4a + 2.(−4a) + c = −1 c − 4a = −1 a = a = a + b + c = a + ( −4 a ) + c = c − 3a = c = c = Vậy parabol y = x − x + Câu 5: Nêu khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến hàm số sau: a) y = x + x − b) y = −2 x + x + Lời giải a) Hệ số a = 0, b = −b −4 −2 = = 2a 2.5 −2 −2 Vậy hàm số nghịch biến khoảng −; đồng biến ; + b) Ta có a = −2 0, b = − b −8 = =2 2a (−2) Vậy hàm số cho đồng biến khoảng (−; 2) nghịch biến khoảng (2; +) Câu 6: Khi du lịch đến thành phố St Louis (Mỹ), ta thấy cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, cổng Arch Giả sử ta lập hệ toạ độ Oxy cho chân cổng qua Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ gốc O Hình 16 (x y tính mét), chân cổng vị trí có tọa độ (162;0) Biết điểm M cổng có toạ độ (10; 43) Tính chiều cao cổng (tính từ điểm cao cổng xuống mặt đất), làm tròn kết đến hàng đơn vị Lời giải Từ đồ thị ta thấy điểm thuộc đồ thị là: A(0;0), B(10; 43), B(162;0) Gọi hàm số y = ax + bx + c(a 0) Thay tọa độ điểm A, B, C vào ta hệ: a.02 + b.0 + c = c = a.10 + b.10 + c = 43 100a + 10b = 43 a.1622 + b.162 + c = 162 a + 162b = c = 43 a = − 1520 3483 b = 760 Từ ta có y = − 43 3483 x + x 1520 760 Hoành độ đỉnh đồ thị là: x = − Khi đó: y = − b = 81 2a 43 3483 812 + 81 186( m) 1520 760 Vậy chiều cao cổng 186m BÀI TẬP Câu Vẽ đường parabol sau: Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ a) y = x − x + ; b) y = −2 x + x + ; c) y = x + x + ; d) y = − x + x − Câu Từ parabol vẽ Bài tập 6.7, cho biết khoảng đồng biến khoảng nghịch biến hàm số bậc hai tương ứng Câu Xác định parabol y = ax + bx + , trường hợp sau: a) Đi qua hai điểm A(1;0) B(2; 4) ; b) Đi qua điểm A(1;0) có trục đối xứng x = ; c) Có đỉnh I (1;2) ; d) Đi qua điểm A(−1;6) có tung độ đỉnh −0, 25 Câu Xác định parabol y = ax + bx + c , biết parabol qua điểm A(8;0) có đỉnh I (6; −12) Câu Gọi ( P ) đồ thị hàm số bậc hai y = ax + bx + c Hãy xác định dấu hệ số a biệt thức , trường hợp sau: a) ( P ) nằm hồn tồn phía trục hoành; b) ( P ) nằm hoàn toàn phía trục hồnh; c) ( P ) cắt trục hồnh hai điểm phân biệt có đỉnh nằm phía trục hồnh; d) ( P ) tiếp xúc với trục hồnh nằm phía trục hồnh Câu Hai bạn An Bình trao đổi với An nói: Tớ đọc tài liệu thấy nói cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (H.6.14) có dạng parabol, khoảng cách hai chân cổng m chiều cao cổng tính từ điểm mặt đất cách chân cổng 0,5 m 2,93 m Từ tór tính chiểu cao cổng parabol 12 m Sau hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu kiện bạn nói, chiều cao cổng parabol mà bạn tính khơng xác Dựa vào thơng tin mà An đọc được, em tính chiều cao cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết bạn An tính có xác khơng nhé! Page CHUN ĐỀ III – TỐN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Câu Bác Hùng dùng 40 m lưới thép gai rào thành mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào theo chiều rộng x (mét) b) Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn mà bác Hùng rào Câu Quỹ đạo vật ném lên từ gốc O (được chọn điểm ném) mặt phẳng toạ −3 độ Oxy parabol có phương trình y = x + x , x (mét) khoảng cách theo 1000 phương ngang mặt đất từ vị trí vật đến gốc 0, y (mét) độ cao vật so với mặt đất (H.6.15) a) Tìm độ cao cực đại vật q trình bay b) Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau bay vật đến gốc O Khoảng cách gọi tầm xa quỹ đạo II = HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN VẤN ĐỀ TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ y = ax + bx + c ĐỒNG BIẾN TRÊN KHOẢNG (a; b) Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ = PHƯƠNG PHÁP a = + Trường hợp a = : Yêu cầu toán b a + Trường hợp a : Yêu cầu toán b A ; B − ; + ( ) 2a a + Trường hợp a : Yêu cầu toán b A ; B − ; − ( ) 2a Lưu ý: - Việc tìm điều kiện để hàm số y = ax + bx + c nghịch biến khoảng ( A; B) làm tương tự - Có thể dựa vào định nghĩa tính đồng biến, nghịch biến hàm số để thực toán = BÀI TẬP Câu Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = - x + 2mx + đồng biến ( −;3) Lời giải Ta có a = −1 , − b = m nên hàm số cho đồng biến (−; m) 2a Do vậy, yêu cầu toán − b 3 m 2a Kết luận: m Câu Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = −4 x + 4mx − m + nghịch biến ( −2; +) Lời giải Ta có a = −4 0; − b m m = nên hàm số cho nghịch biến ; + 2a 2 Do vậy, yêu cầu toán m −2 m −4 Kết luận: m −4 Câu Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = (m + 1) x − 4mx + nghịch biến ( −;1) Lời giải Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Ta có a = m + 0, − b 2m nên hàm số cho nghịch biến = 2a m + Do vậy, yêu cầu toán 2m −; m +1 2m ( m − 1) m = m +1 Kết luận: m = Câu Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = mx − (m + 1) x + đồng biến (1;+ ) Lời giải Ta có a = m , − b m2 + = với m 2a 2m + Trường hợp m = : Hàm số cho trở thành y = − x + , hàm số nghịch biến nên đồng biến (1;+ ) Tức m = không thỏa mãn yêu cầu toán + Trường hợp m : Ta có a = m nên hàm số có BBT sau: x y Dựa vào BBT thấy hàm số đồng biến (1;+ ) Tức m bị loại + Trường hợp m : Ta có a = m nên hàm số có BBT sau: x y m m Dựa vào BBT thấy yêu cầu toán 1 + m m = 1 1 + m 2m 2m Tóm lại: m = Câu Tìm giá trị tham số m để hàm số y = mx + 2(m − 1) x + 2m + nghịch biến ( −1; ) Lời giải Ta có a = m , − b 1− m = với m 2a m Page 10 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ f ( x) = − x + 540 ( x − 30000) = − x + 840x − 16200000 100 100 Lợi nhuận thu lớn hàm f ( x ) đạt giá trị lớn 30000;50000 1 Ta có: f ( x ) = − x − 4200 + 1440000 1440000, x 30000;50000 10 max x30000;50000 f ( x ) = f ( 42000 ) = 1440000 Vậy với giá bán 42000 đồng bưởi cửa hàng thu lợi nhuận lớn II = HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN TỔNG HỢP Câu Cho hàm số y = x − x + , có đồ thị ( P ) a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị ( P ) b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình ( x − 4) x − + m = Lời giải Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x − x + Tọa độ đỉnh I ( 3; −1) Trục đối xứng x = Hệ số d : bề lõm quay lên Hàm số nghịch biến khoảng ( −;3) đồng biến khoảng ( 3;+ ) Bảng biến thiên Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm A ( 0;8) , cắt trục hoành hai điểm B ( 4;0) C ( 2;0) Page 39 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ y x b) Ta có x − x + x − ( x − )( x − ) hay y = y = ( x − 4) x − = − ( x − )( x − ) x − − x − x + x 2 ( ) x Do từ đồ thị hàm số y = f ( x ) = x2 − 6x + suy đồ thị hàm số y = ( x − 4) x − sau: ● Đồ thị hàm số y = f ( x ) phần bên phải đường x = ta giữ nguyên ● Đồ thị hàm số y = f ( x ) phần bên trái đường x = ta lấy đối xứng qua trục hoành y x ( x − 4) x − + m = ( x − 4) x − = −m phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = ( x − 4) x − đường thẳng y = −m (song song với Ox ) Do số Phương trình nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị đường thẳng Dựa vào đồ thị, ta có ● −m m −m −1 m : phương trình có nghiệm ● −m = m = −m = −1 m = : phương trình có nghiệm ● −1 −m m : phương trình có nghiệm x − x + Câu Vẽ đồ thị hàm số y = x − x + x Lời giải Page 40 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Khi x y = − x + Cho x = y = , ta điểm A (1;3) Cho x = y = , ta điểm B ( 0;4) Khi x y = x + x − Tọa độ đỉnh I ( 2; −1) Hệ số a = −1 : bề lõm quay lên Cho x = y = , ta điểm M (1;0) Cho x = y = , ta điểm N ( 3;0) y O x Câu Xác định parabol y = ax + 3x − , biết parabol a) Cắt trục hồnh điểm có hồnh độ b) Có trục đối xứng x = −3 11 c) Có đỉnh I − ; − 4 d) Đạt cực tiểu x = Lời giải a) Vì parabol ( P ) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ nên điểm A ( 2;0) thuộc ( P ) Thay x = , y = vào ( P ) , ta = 4a + − a = −1 Vậy ( P ) : y = − x2 + 3x − b) Vì ( P ) có trục đối xứng x = −3 nên − Vậy ( P ) : y = b = −3 − = −3 a = 2a 2a 2 x + 3x − Page 41 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 11 Vì ( P ) có đỉnh I − ; − nên ta có 4 b − =− b = a 3 = a 2a a =3 = 11a 9 + 8a = 11a − = − 11 4a c) Vậy ( P ) : y = 3x2 + 3x − d) a a a Vì ( P ) đạt cực tiểu x = nên suy b : vô nghiệm − = − = a = − 2a 2a Vậy khơng có ( P ) thỏa u cầu toán Câu Xác định parabol y = ax + bx + , biết parabol a) Đi qua hai điểm M (1;5) N ( −2;8) b) Có đỉnh I ( 2; −2) c) Đi qua điểm A ( 3; −4) có trục đối xứng x = − d) Đi qua điểm B ( −1;6 ) đỉnh có tung độ − Lời giải a) a + b + = a = Vì ( P ) qua hai điểm M (1;5) N ( −2;8) nên ta có 4a − 2b + = b = Vậy ( P ) : y = 2x2 + x + b) Vì ( P ) có đỉnh I ( 2; −2) nên ta có b − =2 b = −4a b = −4a a = a = 2a b = −4 b = −4 b − 4ac = 8a 16a − 16a = − = −2 4a a = Do ( P ) parabol nên a nên ta chọn b = −4 Vậy ( P ) : y = x2 − 4x + c) Vì ( P ) qua điểm A ( 3; −4) có trục đối xứng x = − nên ta có 4 a=− 9a + 3b + = −4 3a + b = −2 b − 2a = − b = a b = − Page 42 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Vậy ( P ) : y = − x − x + d) Vì ( P ) qua điểm B ( −1;6 ) có tung độ đỉnh − nên ta có a − b + = a = + b a − b = a = + b a = 16 b = 12 b − + b = + b − = − b − ac = a b − b − 36 = ( ) 4a a = b = −3 • a = 16 Với ta có ( P ) : y = 16x2 + 12x + b = 12 • Với a = 1, b = −3 ta có ( P ) : y = x2 − 3x + Vậy ( P ) : y = 16x2 + 12x + ( P ) : y = x2 − 3x + Câu Xác định parabol y = x + bx + c , biết parabol a) Có trục đối xứng x = cắt Oy điểm M ( 0;4 ) b) Có đỉnh I ( −1; −2 ) c) Đi qua hai điểm A ( 0; −1) B ( 4;0) d) Có hồnh độ đỉnh −2 qua điểm N (1; −2) Lời giải a) Vì ( P ) có trục đối xứng x = nên − b = b = −2a b = −4 2a Hơn ( P ) cắt trục Oy điểm M ( 0;4 ) nên 2.0 + b.0 + c = c = Vậy ( P ) : y = x2 − x + b) Vì ( P ) có đỉnh I ( −1; −2 ) nên suy b − 2a = −1 b = 2a b = b = 16 − c = 16 c = b − ac = a − = −2 4a Vậy ( P ) : y = x2 + x c) c = −1 2.0 + b.0 + c = −1 Vì ( P ) qua hai điểm A ( 0; −1) B ( 4;0) nên suy 31 b = − 32 + 4b + c = Page 43 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Vậy ( P ) : y = x − d) 31 x − Vì ( P ) có hoành độ đỉnh −2 nên − b = −2 b = 4a b = 2a Hơn ( P ) qua điểm N (1; −2) nên + b + c = −2 + + c = −2 c = −12 Vậy ( P ) : y = x2 + 8x −12 Câu Xác định parabol y = ax + c , biết parabol a) Đi qua hai điểm M (1;1) , B ( 2; −2) b) Có đỉnh I ( 0;3) hai giao điểm với Ox A ( −2;0) Lời giải a) a + c = a = −1 Vì ( P ) qua hai điểm M (1;1) , B ( 2; −2) nên suy 4a + c = −2 c = Vậy ( P ) : y = − x2 + b) c = c = Vì ( P ) có đỉnh I ( 0;3) giao với Ox A ( −2;0) nên suy 4a + c = a = − Vậy ( P ) : y = − x + Câu Xác định parabol y = ax − x + c , biết parabol a) Có hồnh độ đỉnh −3 qua điểm M ( −2;1) b) Có trục đối xứng đường thẳng x = cắt trục hoành điểm A ( 3;0) Lời giải a) Vì ( P ) có hồnh độ đỉnh −3 qua M ( −2;1) nên suy a=− b = −3 b = 6a − 2a 4a + + c = 4a + c = −7 c = − 13 13 Vậy ( P ) : y = − x − x − 3 Page 44 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ b) Vì ( P ) có trục đối xứng x = cắt trục hoành A ( 3;0) nên suy b =2 b = −4a a = − 2a 9a + c = 12 c=3 9a − 12 + c = Vậy ( P ) : y = x2 − 4x + Câu Xác định parabol y = ax + bx + c , biết parabol a) Đi qua ba điểm A (1;1) , B ( −1; −3) , O ( 0;0) b) Cắt trục Ox hai điểm có hồnh độ −1 , cắt trục Oy điểm có tung độ −2 c) Đi qua điểm M ( 4; −6 ) , cắt trục Ox hai điểm có hoành độ Lời giải a) a + b + c = a = −1 Vì ( P ) qua ba điểm A (1;1) , B ( −1; −3) , O ( 0;0) nên suy a − b + c = −3 b = c = c = Vậy ( P ) : y = − x2 + x b) Gọi A B hai giao điểm cuả ( P ) với trục Ox có hồnh độ −1 Suy A ( −1;0 ) , B ( 2;0) Gọi C giao điểm ( P ) với trục Oy có tung độ −2 Suy C ( 0; −2) a − b + c = a = Theo giả thiết, ( P ) qua ba điểm A, B, C nên ta có 4a + 2b + c = b = −1 c = −2 c = −2 Vậy ( P ) : y = x2 − x − c) Gọi E F hai giao điểm ( P ) với trục Ox có hồnh độ Suy E (1;0) , F ( 3;0) Theo giả thiết, ( P ) qua ba điểm M , E , F nên ta có 16a + 4b + c = −6 c = − a − b a = −2 15a + 3b = −6 b = a + b + c = 9a + 3b + c = 8a + 2b = c = −6 Vậy ( P ) : y = −2x2 + 8x − Câu Xác định parabol y = ax + bx + c , biết parabol Page 45 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ a) Có đỉnh I ( 2; −1) cắt trục tung điểm có tung độ −3 b) Cắt trục hoành hai điểm A (1;0 ) , B ( 3;0) có đỉnh nằm đường thẳng y = −1 c) Có đỉnh nằm trục hoành qua hai điểm M ( 0;1) , N ( 2;1) d) Trục đối xứng đường thẳng x = , qua M ( −5;6 ) cắt trục tung điểm có tung độ −2 Lời giải a) b − 2a = b = 4a Vì ( P ) có đỉnh I ( 2; −1) nên ta có − = −1 b − 4ac = 4a 4a (1) Gọi A giao điểm ( P ) với trục tung điểm có tung độ −3 Suy A ( 0; −3) Theo giả thiết, A ( 0; −3) thuộc ( P ) nên a.0 + b.0 + c = −3 c = −3 ( 2) a = − b = 4a a = Từ (1) ( ) , ta có hệ 16a + 8a = b = b = −2 c = −3 c = −3 c = −3 Do ( P ) parabol nên a nên ta chọn a = − ; b = −2; c = −3 Vậy ( P ) : y = − x − x − b) Vì ( P ) cắt trục hoành hai điểm A (1;0 ) , B ( 3;0) nên 0 = a.1 + b.1 + c a + b + c = 0 = a.9 + b.3 + c 9a + 3b + c = (1) Hơn nữa, ( P ) có đỉnh thuộc đường thẳng y = −1 nên − = −1 = 4a b − 4ac = 4a 4a ( 2) a + b + c = b = −4a a = a = Từ (1) ( ) , ta có hệ 9a + 3b + c = c = 3a b = b = −4 c = b2 − 4ac = 4a b − 4ac = 4a c = Do ( P ) parabol nên a nên ta chọn Ox Vậy ( P ) : y = x2 − 4x + Page 46 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ c) Vì ( P ) có đỉnh nằm trục hồnh nên (1) − = = b − 4a = 4a c = Hơn nữa, ( P ) qua hai điểm M ( 0;1) , N ( 2;1) nên ta có 4a + 2b + c = ( 2) b2 − 4a = b2 − 4a = c = a = Từ (1) ( ) , ta có hệ c = c = b = −2a b = 4a + 2b + c = 4a + 2b = 4a − 4a = c = a = b = −2 c = Do ( P ) parabol nên a nên ta chọn a = 1; b = −2; c = Vậy ( P ) : y = x2 − x + d) Vì ( P ) có trục đối xứng đường thẳng x = nên − (1) b = b = −6a 2a Hơn nữa, ( P ) qua M ( −5;6 ) nên ta có = 25a − 5b + c ( 2) Lại có, ( P ) cắt trục tung điểm có tung độ −2 nên −2 = a.0 + b.0 + c c = −2 (3) b = −6a 48 Từ (1) , ( ) ( 3) ta có hệ 25a + 30a − = a = ; b = − ; c = −2 55 55 c = −2 Vậy ( P ) : y = 48 x − x−2 55 55 Câu 10 Xác định parabol y = ax + bx + c , biết hàm số a) Có giá trị nhỏ x = đồ thị hàm số qua điểm A ( 0;6) b) Có giá trị lớn x = đồ thị hàm số qua điểm B ( 0; −1) Lời giải a) Vì hàm số giá trị nhỏ x = đồ thị hàm số qua điểm A ( 0;6) nên ta có Page 47 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ b − 2a = a = b = − a b = − a a = = b − 4ac = −16a 16a − 8a = b = b = −2 − a c = c = c = c = c = Do ( P ) parabol nên a nên ta chọn a = , b = −2, c = Vậy ( P ) : y = b) x − 2x + Vì hàm số giá trị lớn x = đồ thị hàm số qua điểm B ( 0; −1) nên ta có b − 2a = b = −4a b = −4a a = = b − 4ac = −12a 16a + 16a = b = − 4a c = −1 c = −1 c = −1 c = −1 a = −1 b = c = −1 Do ( P ) parabol nên a nên ta chọn a = −1, b = 4, c = −1 Vậy ( P ) : y = − x2 + x −1 Câu 11 Cho hàm số y = mx − 2mx − 3m − ( m 0) Xác định giá trị m trường hợp sau a) Đồ thị hàm số qua điểm A ( −2;3) b) Có đỉnh thuộc đường thẳng y = 3x − c) Hàm số có giá trị nhỏ −10 Lời giải a) Đồ thị hàm số qua điểm A ( −2;3) nên ta có 4m + 4m − 3m − = m = Vậy m = thỏa mãn yêu cầu toán b) Ta có x = − b 2m = = , suy y = −4m − Do tọa độ đỉnh I (1; −4m − 2) 2a 2m Theo giả thiết, đỉnh I thuộc đường thẳng y = 3x − nên ta có −4m − = 3.1 −1 m = −1 Vậy m = −1 thỏa mãn yêu cầu toán c) Theo câu b) ta có tung độ đỉnh y = − = −4m − 4a Page 48 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ a m Để hàm số có giá trị nhỏ −10 m = − m − = − 10 − = − 10 4a Vậy m = thỏa mãn yêu cầu toán Câu 12 Cho parabol ( P ) : y = − x2 + 4x − đường thẳng d : y = −2 x + 3m Tìm giá trị m để a) d cắt ( P ) hai điểm phân biệt A , B Tìm tọa độ trung điểm AB b) d ( P ) có điểm chung Tìm tọa độ điểm chung c) d không cắt ( P ) d) d ( P ) có giao điểm nằm đường thẳng y = −2 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm d ( P ) − x + x − = −2 x + 3m (*) a) x − x + 3m + = Để d cắt ( P ) hai điểm phân biệt A, B phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ' = − ( 3m + ) − 3m m x + x y + yB Tọa độ trung điểm AB có dạng I A B ; A với x A , xB hai nghiệm (*) Theo định lí Viet, ta có x A + xB = , suy xI = Ta có x A + xB =3 y A + yB ( −2 x A + 3m ) + ( −2 xB + 3m ) = = − ( x A + xB ) + 3m = −6 + 3m 2 Vậy I ( 3; −6 + 3m) b) Để d ( P ) có điểm chung phương trình (*) có nghiệm ' = − ( 3m + ) = − 3m = m = Với m = b =3 , phương trình (*) có nghiệm kép (nghiệm nhất) x = − 2a Thay x = vào hàm số y = − x + x − , ta y = Vậy tọa độ điểm chung ( 3;1) Page 49 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ c) Để d không cắt ( P) phương trình ' = − ( 3m + ) − 3m m d) (*) vô nghiệm Gọi M ( xM , yM ) giao điểm d ( P ) Giao điểm nằm đường thẳng y = −2 suy yM = −2 Mặt khác M thuộc ( P ) nên thay x = xM y = yM = −2 vào ( P ) , ta −2 = − xM2 + xM − xM2 − xM = xM = M ( 0; −2 ) xM = M ( 4; −2 ) • Với M ( 0; −2 ) Vì M thuộc d nên ta có −2.0 + 3m = −2 m = − • Với M ( 4; −2 ) Vì M thuộc d nên ta có −2.4 + 3m = −2 m = Vậy m = − m = thỏa yêu cầu toán Câu 13 Cho parabol ( P ) : y = x2 − 4x + đường thẳng d : y = mx + Tìm giá trị m để a) d cắt ( P ) hai điểm phân biệt A , B cho diện tích tam giác OAB b) d cắt ( P ) hai điểm phân biệt A , B có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x13 + x23 = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) d x − x + = mx + x − ( + m ) x = a) x = x = + m Để d cắt ( P ) hai điểm phân biệt A, B + m m −4 Với x = y = suy A ( 0;3) Oy Với x = + m y = m2 + 4m + suy B ( + m; m2 + 4m + 3) Gọi H hình chiếu B lên OA Suy BH = xB = + m Theo giả thiết toán, ta có SOAB = OA.BH = 2 m + = 2 m+4 = m = −1 m = −7 Vậy m = −1 m = −7 thỏa yêu cầu toán b) Giả sử x1 = x2 = + m Theo giả thiết, ta có x13 + x23 = + ( + m) = 4+m = m = −2 Page 50 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Vậy m = −1 m = −7 thỏa yêu cầu toán Cách Áp dụng cho trường hợp khơng tìm cụ thể x1 , x2 Ta có x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = (*) Do x1 , x2 hai nghiệm phương trình x2 − ( + m) x = nên theo định lý Viet, ta có x1 + x2 = + m Thay vào (*) , ta ( + m ) − 3.0 ( + m ) = x1 x2 = m = −2 Câu 14 Chứng minh với m , đồ thị hàm số y = mx2 + ( m − 2) x − 3m + qua hai điểm cố định Lời giải Gọi A ( x0 ; y0 ) điểm cố định đồ thị hàm số y0 = mx02 + ( m − 2) x0 − 3m + , với m m ( x02 + x0 − 3) − x0 − y0 + = , với m x0 = −3 x0 = x + x0 − = y = − y = 13 − x − y + 0 0 Vậy đồ thị qua hai điểm cố định A1 (1; −3) A2 ( −3;13) với giá trị m Câu 15 Chứng minh parabol sau tiếp xúc với đường thẳng cố định b) y = mx2 − ( 4m −1) x + 4m −1 ( m 0) a) y = 2x2 − ( 2m −1) x + 8m2 − Lời giải a) Gọi y = ax + b đường thẳng mà parabol ln tiếp xúc Phương trình trình hồnh độ giao điểm x2 − ( 2m −1) x + 8m2 − = ax + b 2x2 − (8m − + a ) x + 8m2 − − b = (1) phương trình (1) ln có nghiệm kép với m u cầu toán = (8m − + a ) − (8m2 − − b ) = , với m 16 ( −4 + a ) m + ( −4 + a ) + ( + b ) = , với m a = −4 + a = ( −4 + a ) + ( + b ) = b = −3 Vậy parabol y = 2x2 − ( 2m −1) x + 8m2 − tiếp xúc với đường thẳng y = x − Page 51 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ b) Gọi y = ax + b đường thẳng mà parabol ln tiếp xúc Phương trình trình hồnh độ giao điểm mx2 − ( 4m −1) x + 4m −1 = ax + b mx2 − ( 4m −1 + a ) x + 4m −1 − b = ( 2) phương trình ( ) ln có nghiệm kép với m u cầu toán = ( 4m − + a ) − 4m ( 4m − − b ) = , với m 16m2 + 8m ( −1 + a ) + ( −1 + a ) − 16m2 + 4m (1 + b ) = , với m ( 2a + b − 1) m + ( −1 + a ) = , với m 2a + b − = a = −1 + a = b = −1 Vậy parabol y = mx2 − ( 4m −1) x + 4m −1 tiếp xúc với đường thẳng y = x − Câu 16 Chứng minh đường thẳng sau tiếp xúc với parabol cố định a) y = 2mx − m + 4m + ( m 0) 1 b) y = ( 4m − 2) x − 4m2 − m 2 Lời giải a) Gọi y = ax + bx + c , a parabol cần tìm Phương trình trình hồnh độ giao điểm ax + bx + c = 2mx − m2 + 4m + ax2 + (b − 2m) x + c + m2 − 4m − = (1) phương trình (1) ln có nghiệm kép với m Yêu cầu toán = ( b − 2m ) − 4a ( c + m2 − 4m − ) = , với m (1 − a ) m2 − (b − 4a ) m + b2 − 4ac + 8a = , với m 1 − a = a = b − 4a = b = b − 4ac + 8a = c = Vậy đường thẳng y = 2mx − m + 4m + tiếp xúc với parabol y = x + x + b) Gọi y = ax + bx + c , a parabol cần tìm Phương trình trình hồnh độ giao điểm ax2 + bx + c = ( 4m − 2) x − 4m2 − Page 52 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ ax2 + ( b − 4m + 2) x + c + 4m2 + = ( 2) phương trình ( ) ln có nghiệm kép với m Yêu cầu toán = ( b − 4m + ) − 4a ( c + 4m2 + ) = , với m 4m − ( b + ) − 4a ( c + 4m2 + ) = , với m 16 (1 − a ) m2 − ( b + ) m + ( b + ) − 4ac − 8a = , với m 16 (1 − a ) m − ( b + ) m + ( b + ) − 4ac − 8a = 1 − a = a = b + = b = −2 c = −2 ( b + ) − 4ac − 8a = Vậy đường thẳng y = ( 4m − 2) x − 4m2 − tiếp xúc với parabol y = x − x − Page 53