SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ
ĐỀ THITHỬĐẠIHỌC
MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013
Thời gian làm bài: 180 phút.
PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số
3 2
2 3 ( 1) 1
y x mx m x
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1
m
.
2. Tìm
m
để đường thẳng
2 1
y x
cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A,B, C thỏa mãn
điểm
C 0;1
nằm giữa A và B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài bằng
30
.
Câu II: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: 2cos4x - (
3
- 2)cos2x = sin2x +
3
2. Giải hệ phương trình
2 2
2 1 2 4( 1)
4 2 7
x y x y
x y xy
.
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: I =
e
1
ln x 2
dx
xln x x
.
Câu IV: (1,0 điểm) ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông và AB = BC = a. Cạnh SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC) . Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 45
0
. Gọi M là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABC. Tính thể tích khối đa diện M.ABC theo a.
Câu V: (1,0 điểm) Cho các số thực không âm
z
y
x
,
,
thoả mãn 3
222
zyx . Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
zyx
zxyzxyA
5
.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(-1;2) và đường thẳng (
):
3 4 7 0
x y
. Viết
phương trình đường tròn đi qua điểm A và cắt đường thẳng (
) tại hai điểm B, C sao cho
ABC vuông
tại A và có diện tích bằng
4
5
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 1 2
:
2 1 1
x y z
và điểm
A(2;1;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng
1
3
.
Câu VII.a (1,0 điểm) Cho khai triển
( )
10
1 2x
+ .
( )
2
2
3 4x 4x
+ + =
0
a
+
1
a
x +
2
a
x
2
+ .+
14
a
x
14
. Tìm giá trị
của a
6
.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I(2;-3). Biết đỉnh A , C lần
lượt thuộc các đường thẳng : x + y + 3 = 0 và x +2y + 3 = 0 .Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng :
1
1
: 2
1
x t
d y t
z
;
2
2 1 1
:
1 2 2
x y z
d
. Viết phương trình mp(P) song song với
1
d
và
2
d
, sao cho khoảng cách từ
1
d
đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ
2
d
đến (P).
Câu VI.b (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2
log ( 2 8) 6
8 2 .3 2.3
x x y x y
y x
.
Hết
HƯỚNG DẪN
Câu 1: Với m=1 ta có
3 2
2 3 1
y x x
TXĐ: D=R Sự biến thiên:
- Giới hạn: lim ; lim
x x
y y
-Ta có:
' 6 ( 1)
y x x
0
' 0
1
x
y
x
-BBT:
x
0 1
y’ + 0 - 0 +
y 1
0
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (
;0) và (1;
), Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1)
Hàm số đạt cực đại tại x=0 và y
CĐ
=1, Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và y
CT
=0
Đồ thị:Ta có
1
'' 12 6 '' 0
2
y x y x
1 1
( ; )
2 2
I là điểm uốn của đồ thị.
Câu 1: 2, Hoành độ giao điểm của (d) và đồ thị (Cm) của hàm số:
3 2
2 3 ( 1) 1
y x mx m x
là nghiệm
Đồ thị (C) cắt trục Oy tại
A 0;1
Đồ thi cắt trục Ox tại
1
B 1;0 ;C ;0
2
Học sinh Tự vẽ đồ thị phương
trình:
3 2
2 3 ( 1) 1 2 1
x mx m x x
2
0
9 8 0 : 3
8
9
m
m m tmdk m
m
.
2
2
0 1
(2 3 3) 0
2 3 3 0 (*)
x y
x x mx m
x mx m
Đường thẳng (d) cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm A;
C; B phân biệt và C nằm giữa A và B khi và chỉ khi PT (*) có 2 nghiệm trái dấu
2.( 3) 0 3
m m
Khi đó tọa độ A và B thỏa mãn
3
2
3
.
2
A B
A B
m
x x
m
x x
và
2 1
2 1
A A
B B
y x
y x
( vì A và B thuộc (d))
AB=
30
2 2
( ) ( ) 30
B A B A
x x y y
2
2 2
9 3
( ) 6 ( ) 4 . 6 4. 6
4 2
B A B A B A
m m
x x x x x x
Câu 2: 1. Giải phương trình: 2cos4x - (
3
- 2)cos2x = sin2x +
3
Phương trình đã cho tương đương với: 2(cos4x + cos2x) = 3 (cos2x + 1) + sin2x
2
cosx=0
4 os3xcosx=2 3 os 2sinxcosx
2cos3x= 3 osx+sinx
c c x
c
+ osx=0 x=
2
c k
+
3x=x- 2
6
2 os3x= 3 osx+sinx cos3x=cos(x- )
6
3 2
6
k
c c
x x k
12
24 2
x k
k
x
Câu 2: 2. Giải hệ phương trình
2 2
2 1 2 4( 1)
4 2 7
x y x y
x y xy
.
Điều kiện: x+2y
1 0
Đặt t =
2 1 (t 0)
x y
Phng trỡnh (1) tr thnh : 2t
2
t 6 = 0
2 /
3
t/m
2
t t m
t k
+ H
2 2
2 3
4 2 7
x y
x y xy
2
1
1
1
2
x
x
y
y
Cõu 3: Ta cú: I =
e
1
ln x 2
dx
xln x x
=
e
1
ln x 2
dx
(ln x 1)x
t t = lnx + 1
dt =
1
dx
x
;
i cn: x = 1 thỡ t = 1; x = e thỡ t = 2
Suy ra: I =
2 2
1 1
t 3 3
dt 1 dt
t t
=
2
1
t ln | t |
= 1 ln2
Cõu 4:
BC AB
BC (SAB) BC SB
BC SA
Suy ra gúc gia mp(SBC) v mp(ABC) l gúc
ã
SBA
. Theo gi thit
ã
SBA
= 45
0
Gi M l trung im ca SC, H l trung im ca AC.
Tam giỏc SAC vuụng ti A nờn MA = MS = MC, tam giỏc SBC vuụng ti B nờn MB = MC = MS.
Suy ra M l tõm mt cu ngoi tip hỡnh chúp S.ABC Suy ra tam giỏc SAB vuụng cõn ti A, do ú SA =
AB = a., SA
(ABC), MH // SA nờn MH
(ABC).
Suy ra MH l ng cao khi chúp M.ABC. Suy ra
3
M.ABC ABC
1 a
V MH.S
3 12
Cõu 5: Đặt
z
y
x
t
2
3
)(23
2
2
t
zxyzxyzxyzxyt .
Ta có 30
222
zyxzxyzxy nên 3393
2
tt vì
.0
t
Khi đó .
5
2
3
2
t
t
A
Xét hàm số .33,
2
35
2
)(
2
t
t
t
tf
Ta có 0
55
)('
2
3
2
t
t
t
ttf ,
t 3;3 .
Suy ra )(tf đồng biến trên ]3,3[ . Do đó .
3
14
)3()( ftf
Dấu đẳng thức xảy ra khi .13
zyxt Vậy GTLN của A là
3
14
, đạt đợc khi .1
zyx
Cõu 6a: 1. (1,0 im) Gi AH l ng cao ca
ABC
, ta cú
4
( ; )
5
AH d A
1 4 1 4
. . . 2
2 5 2 5
ABC
S AH BC BC BC
. Gi I ;R ln lt l tõm v bỏn kớnh ca ng
trũn cn tỡm, ta cú :
1
1
2
R AI BC
. Phng trỡnh tham s ca ng thng (
):
x 1 4t
y 1 3t
ỡ
= - +
ù
ù
ớ
ù
= +
ù
ợ
I
ẻ
(
)
ị
I(-1+4t; 1 + 3t) AI = 1
16t
2
+ (3t 1)
2
= 1
t = 0 hoc t =
9
5
+ t = 0
ị
I(-1; 1) Phng trỡnh ca ng trũn l: (x + 1)
2
+ (y 1)
2
= 1
+ t =
9
5
ị
I(-
1
25
;
43
25
). Phng trỡnh ca ng trũn l: (x +
1
25
)
2
+ (y
43
25
)
2
= 1
Cõu 6a: 2. (1,0 im) : ng thng
i qua im M(1 ; 1 ; 2 ) v cú vtcp l
u
= (2 ; -1 ; 1). Gi
n
= (a ; b ; c )
l vtpt ca (P). .Vỡ
( )
P
nờn
. 0
n u
2a b + c = 0
b = 2a + c
n
=(a; 2a + c ; c )
Suy ra phng trỡnh ca mt phng (P) l: a(x 1) + (2a + c )(y 1) + c(z 2 ) = 0
H
M
C
B
A
S
ax + (2a + c )y + cz - 3a - 3c = 0 d(A ; (P)) =
1
3
2 2 2
1
3
(2 )
a
a a c c
2
0
a c
0
a c
Chọn a = 1 , c = -1 Suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là x + y – z = 0
Câu 7 a: Cho khai triển
( )
10
1 2x
+ .
( )
2
2
3 4x 4x
+ + =
0
a
+
1
a
x +
2
a
x
2
+ .+
14
a
x
14
. Tìm giá trị của a
6
.
( )
10
1 2x
+ .
( )
2
2
3 4x 4x
+ + =
( )
10
1 2x
+ .
( )
2
2
2 1 2x
é ù
+ +
ê ú
ë û
= 4
( )
10
1 2x
+ + 4
( )
12
1 2x
+ +
( )
14
1 2x
+
Hệ số của x
6
trong khai triển 4
( )
10
1 2x
+ là 4.2
6
.
6
10
C
Hệ số của x
6
trong khai triển 4
( )
12
1 2x
+ là 4.2
6
.
6
12
C
Hệ số của x
6
trong khai triển 4
( )
14
1 2x
+ là 2
6
.
6
14
C
Vậy a
6
= 4.2
6
.
6
10
C
+ 4.2
6
.
6
12
C
+ 2
6
.
6
14
C
= 482496
Câu 6b: 1. (1,0 điểm) Vì điểm A thuộc đường thẳng x + y + 3 = 0 và C thuộc đường thẳng x+ 2y + 3 = 0 nên A(a ;
- a – 3) và C(- 2c – 3 ; c).
I là trung điểm của AC
2 3 4 1
3 6 4
a c a
a c c
A(-1; -2); C(5 ;-4)
Đường thẳng BD đi qua điểm I(2 ; -3 ) và có vtcp là
u
r
=(1;3) có ptts là
x 2 t
y 3 3t
B
BD
B(2+t ; -3 +3t) .Khi đó :
AB
uuur
= (3 +t ;–1+3t);
CB
uuur
= (- 3+t; 1+3t)
. 0
AB CB
Û
t =
±
1. Vậy A(-1; -2); C(5 ;-4), B(3;0) và D(1;-6) hoặc A(-1; -2); C(5 ;-4), B(1;-6) và D(3;0)
Câu 6b: 2. (1,0 điểm)
1
d
đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là :
1
1; 1;0
u
;
2
d
đi qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp
là:
2
1; 2;2
u
. Gọi
n
là một vtpt của (P), vì (P) song song với
1
d
và
2
d
nên
n
= [
1 2
;
u u
] = (-2 ; -2 ; -1)
(P): 2x + 2y + z + D = 0 ,d(A ; (P) = 2d( B;(P)) 7 2. 5
D D
7 2(5 )
7 2(5 )
D D
D D
3
17
3
D
D
Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 hoặc 2x + 2y + z -
17
3
= 0
Câu 7b: Giải hệ phương trình:
2
log ( 2 8) 6 (1)
8 2 .3 2.3 (2)
x x y x y
y x
. Điều kiện: y – 2x + 8 > 0
(1)
y – 2x + 8 =
6
2
2
y x
Thay
2
y x
vào phương trình (2), ta được
2 3
8 2 .3 2.3
x x x x
8 18 2.27
x x x
8 18
2
27 27
x x
3
2 2
2
3 3
x x
Đặt: t =
2
3
x
(t > 0) Ta có phương trình
3 2
2 0 1 2 0
t t t t t
0
1
0
x
t
y
Vậy nghiệm của hệ phương trình (0;0)
. SỞ GIÁO D C VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2 012 - 2013 Thời gian làm bài: 180 phút. PHẦN CHUNG D NH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0. ;–1+3t); CB uuur = (- 3+t; 1+3t) . 0 AB CB Û t = ± 1. Vậy A (-1 ; -2 ); C(5 ;-4 ), B(3;0) và D( 1 ;-6 ) hoặc A (-1 ; -2 ); C(5 ;-4 ), B(1 ;-6 ) và D( 3;0) Câu 6b: 2. (1,0 điểm) 1 d đi qua điểm A(1. ] = (-2 ; -2 ; -1 ) (P): 2x + 2y + z + D = 0 ,d( A ; (P) = 2d( B;(P)) 7 2. 5 D D 7 2(5 ) 7 2(5 ) D D D D 3 17 3 D D Vậy phương trình mặt