Họ, tên thí sinh: Số báo danh:
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
2
1 2
x
y
x
, có đồ thị (C).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng
2
y x m
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi
1 2
,
k k
lần lượt
là hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A và B, tìm m để
1 2
1 1 4
2 0.
5
m
k k
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình:
2
(4 2 3)cos (2 3 3)cos sin2 3sin 0
x x x x
.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
2
2
3( )(1 2) 2 2 1
2 2 2 2
y y x x x
y y x
,
x y R
.
Câu 4 (1,0 điểm). Tính diện tích miền (D) giới hạn bởi các đường:
2 1
; .
x
y xe y e x
.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật với
, 3
AB a BC a
. Hai
mặt phẳng
( ),( )
SAC SBD
cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho
3 .
SC IC
Tính
thể tích hình chóp
.
S ABCD
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
,
AI SB
biết AI vuông góc với
SC.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho a,b, c là các số thực dương, chứng minh bất đẳng thức:
2 2 2
3
3 3 3
3 2
2
a b c
b c c a a b
.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
cho tam giác ABC vuông tại A, phương
trình đường thẳng BC là:
3 3 0
x y
, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn
nội tiếp r = 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm
(3;3;0), (3;0;3); (0;3;3)
A B C .
Tìm tọa độ điểm Dđể tứ diện ABCD là tứ diện đều.
Câu 9.a (1,0 điểm). Trong một hộp kín đựng 2 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 7 viên bi vàng (các viên
bi chỉ khác nhau về màu sắc). Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi, tìm xác suất để 4 viên bi lấy ra không có đủ
cả ba màu.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn
2 2
5
( ):
2
C x y
. Viết
phương trình hypebol (H) biết (H) cắt (C) tại bốn điểm là bốn đỉnh của một hình vuông và (H) có
tâm sai
6.
e
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
(3; 4;0)
M
và mặt cầu
( )
S
có
phương trình
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 25
x y z
. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M
nằm trong mặt phẳng Oxy và cắt
( )
S
theo một dây cung dài nhất.
Câu 9.b (1,0 điểm). Tìm phần ảo của số phức 1
w zi z
, biết
(1 ) 1 3 0
i z i
.
HẾT
SỞ GD - ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC
*****
Ngày thi 14/04/2013
ĐỀ THITHỬĐẠIHỌC MÔN TOÁNKHỐI A – A1
LẦN 2 NĂM 2013
Thời gian: 180 phút
(không kể thời gian phát đề)
Câu 1.a) (1 điểm) Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số
2
1 2
x
y
x
Nội dung Điểm
TXĐ:
1
2
\{ }
D ¡
Ta có
1 1
lim
2 2
x
y y
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàn số.
1 1
2 2
1
lim ; lim
2
x x
y y x
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
0.25
Ta có
2 2
1.(1 2 ) ( 2).( 2) 5
' 0,
(1 2 ) (1 2 )
x x
y x D
x x
, suy ra hàm số đồng biến trên
các khoảng
1 1
; & ;
2 2
0.25
Bảng biến thiên:
x
y’
y
-∞
+∞
+
-1/2
1/2
-∞
+∞
-1/2
+
x
y’
y
-∞
+∞
+
-1/2
1/2
-∞
+∞
-1/2
+
0.25
Đồ thị
4
2
-2
-4
-5 5
y
x
h y
=
1
2
g x
=
-1
2
f x
=
x+2
1-2
x
O
1
0.25
Câu 1.b) (1 điểm) Tìm m để đường thẳng
:
2
y x m
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
Gọi
1 2
,
k k
lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A và B, tìm m để
1 2
1 1 4
2 0
5
m
k k
.
Nội dung Điểm
Phương trình hoành độ giao điểm của
và ( C) là:
2 2
1 1
2
2
2 2
1 2
2 2 4 2 4 (1 2 ) 2 0 (1)
x x
x
x m
x
x x m x mx x m x m
0.25
cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác ½, hay
2
2
4 12 31 0
4 12 31 0 (*)
5
0
2
m m
m m
0.25
Khi đó
cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt có hoành độ là nghiệm phương trình (1) và 0.25
SỞ GD - ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC
*****
Ngày thi 14/04/2013
ĐÁP ÁN MÔN TOÁNKHỐI A – A1
THI THỬĐẠIHỌC LẦN 2 NĂM 2013
Thời gian: 180 phút
2 2
1 2
2 2
1 2
2 2 2
1 2
5 1 (1 2 ) 5 1 (1 2 )
'( ) ; '( )
(1 2 ) 5 (1 2 ) 5
1 1 4( ) 4( ) 2 4( ) 8 4( ) 2
5 5
A B
A B
A B
A B A B A B A B A B
x x
k f x k f x
x k x k
x x x x x x x x x x
k k
Theo viet,
2
1 2
1 2
1 1 4 12 11
4
2
20
.
4
A B
A B
m
x x
m m
m
k k
x x
, do đó
2
1 2
7 2 11
1 1 4
2
2 0 4 28 5 0
5
7 2 11
2
m
m m m
k k
m
Kết hợp điều kiện (*) suy ra
7 2 11
.
2
m
0.25
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình:
2
(4 2 3)cos (2 3 3)cos sin2 3sin 0
x x x x
.
Nội dung Điểm
2
2 2
(4 2 3)cos (2 3 3)cos sin2 3sin 0
4cos 2 3cos 2 3cos 3cos 2sin cos 3sin 0
x x x x
x x x x x x x
0.25
2cos (2cos 3) 3cos (2cos 3) sin (2cos 3) 0
2cos 3 0
(2cos 3)(2cos 3cos sin ) 0
2cos 3cos sin 0
x x x x x x
x
x x x x
x x x
0.25
3 5
2cos 3 0 cos .2
2 6
x x x k
0.25
2cos 3cos sin 0 3cos sin 2cos
.2
3 1
6
cos sin cos cos cos
2 2 6
.2
6
x x x x x x
x x k
x x x x x
x x k
1
( )
12
12
k loai
x k
. Kết hợp ta được nghiệm của pt là:
5
.2
6
( )
12
x k
k
x k
¢
0.25
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
2
2
3( )(1 2) 2 2 1
2 2 2 2
y y x x x
y y x
,x y
¡
.
Nội dung Điểm
ĐK:
2.
x
Ta có
2
2
3( )(1 2) 2 2 1
2 2 2 2
y y x x x
y y x
2
2
3( )(1 2) ( 2 2 2 1) 2
2( ) 1 2 3
y y x x x
y y x
0.25
Đặt
2
1 2
a y y
b x
ta được
2
2
1
3 2
3 2
11 4
,
2 3 10 21 11 0
10 5
a b
b a
ab b
a b
a b a a
0.25
Với a=b=1 suy ra hệ có hai nghiệm là
1 5
2,
2
1 5
2,
2
x y
x y
0.25
Vì
4
1 2 1
5
b x b
không thỏa mãn. Vậy hệ chỉ có 2 nghiệm như trên.
0.25
Câu 4 (1,0 điểm). Tính diện tích miền (D) giới hạn bởi các đường:
2 1
; .
x
y xe y e x
.
Nội dung Điểm
Xét phương trình
2 1
0 0
.
2 1 1 1
x
x x
xe e x
x x
0.25
Khi đó
1 1 1
2 1 2 1
0 0 0
.
x x
D
S xe e x dx xe dx e xdx
0.25
Ta có
1
1
2
0
0
.
2 2
x e
e xdx e
; Tính
1
2 1
0
x
xe dx
, đặt
2 1
2 1
1
.
2
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx
0.25
Suy ra diện tích miền phẳng cần tìm là S =
1
4 4
e
e
.
0.25
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật với
, 3
AB a BC a
. Hai
mặt phẳng
( ),( )
SAC SBD
cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho
3 .
SC IC
Tính
thể tích hình chóp
.
S ABCD
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
,
AI SB
biết AI vuông góc với
SC. (Độc giả kiểm tra lại hình vẽ để điều chỉnh cho đúng)
M
E
O
A
D
B C
S
I
H
Nội dung Điểm
Ta có
2
. 3 3
ABCD
S a a a
X
. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC, BD, theo giả thiết ta
có
( )
SO ABCD
.
2 2 2 2
3 2 .
AC AB BC a a a OC a
Lại có
. .
CI CA
AI SC SOC AIC CI CS CO CA
CO CS
:
0.25
Từ đó
0.25
Qua I kẻ đường thẳng song song với SB cắt BC tại M, suy ra SB//(AIM), do đó
( , ) ( ,( )) ( ,( )).
d SB AI d SB AIM d B AIM
Mà , suy ra
Hạ
( )
IH ABCD
, dễ thấy
0.25
Ta có
.
Suy ra .
.
3
4
( ,( )) 2 ( ,( )) 2. .
33
I AMC
AMI
V
a
d B AIM d C AIM
S
0.25
Câu 6 (1,0 điểm).
Nội dung Điểm
Ta có
2
3
3
3
3
3
3
4.( )
4.
4. . .
3
2 2
a a a a
a b c
b c
b c b c a b c
a
0.25
Tương tự:
2
3
3
3
3
3
3
4.( )
4.
4. . .
3
2 2
b b b b
a b c
c a
c a c a a b c
b
0.25
2
3
3
3
3
3
3
4.( )
4.
4. . .
3
2 2
c c c c
a b c
a b
a b a b a b c
c
0.25
Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được:
2 2 2
3
3 3 3
3 2
2
a b c
b c c a a b
0.25
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
cho tam giác ABC vuông tại A, phương
trình đường thẳng BC là:
3 3 0
x y
, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn
nội tiếp r = 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Nội dung
Điểm
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: B(1;0).
Gọi A(a;0) C(a; .
0.25
Khi đó: AB = ; AC = ; BC = 2
0.25
2
1 3
. . 1
2 2
ABC
S p r AB AC a
suy ra:
1
2
2
3 1
ABC
a
S
r
AB BC CA
hay
2 3 3
2 3 1
a
a
0.25
Với
2 3 3
a
khi đó:
4 3 7 2 3 6
(2 3 3;0), (1;0), (2 3 3;6 2 3) ; .
3 3
A B C G
Với
2 3 1
a
khi đó:
4 3 1 2 3 6
( 2 3 1;0), (1;0), ( 2 3 1; 6 2 3) ; .
3 3
A B C G
0.25
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm
(3;3;0), (3;0;3); (0;3;3)
A B C .
Tìm tọa độ điểm Dđể tứ diện ABCD là tứ diện đều.
Nội dung
Điểm
Ta có
(0; 3;3); ( 3;0;3); ( 3;3;0) 3 2.
AB AC BC AB AC BC
uuur uuur uuur
Vậy tam giác ABC
đều. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên (ABC), do tứ diện ABCD đều nên H là trọng
tâm tam giác ABC, hay
(2;2;2)
H
.
0.25
Gọi d là đường thẳng qua H và vuông góc với (ABC), suy ra d có VTCP là
1
[ , ] (1;1;1)
9
u AB AC
r uuur uuur
, vậy phương trình đường thẳng
2 2 2
:
1 1 1
x y z
d
.
0.25
(2 ;2 ;2 ) ( 1; 1; 2)
D dD t t t AD t t t
uuur
0.25
2
(4;4;4)
3 12 2
(0;0;0)
D
AD AB t t
D
0.25
Câu 9.a (1,0 điểm). Trong một hộp kín đựng 2 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 7 viên bi vàng (các viên
bi chỉ khác nhau về màu sắc). Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi, tìm xác suất để 4 viên bi lấy ra không có đủ
cả ba màu.
Nội dung Điểm
Số cách lấy 4 viên bất kì là
4
14
C
=1001 cách.
0.25
Ta đếm số cách lấy 4 viên có đủ cả 3 màu:
+ TH1: 1Đ, 1T, 2V có
1 1 2
2 5 7
. .
C C C
cách
+ TH2: 1Đ, 2T, 1V có
1 2 1
2 5 7
. .
C C C
cách
+ TH3: 2Đ, 1T, 1V có
2 1 1
2 5 7
. .
C C C
cách
0.25
Vậy số cách lấy 4 viên có đủ ba màu là
1 1 2
2 5 7
. .
C C C
+
1 2 1
2 5 7
. .
C C C
+
2 1 1
2 5 7
. .
C C C
=385 cách
0.25
Xác suất lấy 4 viên không đủ ba màu là
1001 385 616 8
.
1001 1001 13
P
0.25
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn
2 2
5
( ):
2
C x y
. Viết
phương trình hypebol (H) biết (H) cắt (C) tại bốn điểm là bốn đỉnh của một hình vuông và (H) có
tâm sai
6.
e
Nội dung Điểm
Gọi phương trình của (H):
2 2
2 2
1( , 0).
x y
a b
a b
0.25
Do (C), (H) đều nhận O là tâm đối xứng, Ox, Oy là trục đối xứng nên hình vuông tạo thành từ các
giao điểm của (C) và (H) phải có một đỉnh là
( ; ), 0.
M m m m
5
( )
2
M C m
. Mà
( )
M H
nên
2 2 2 2
5( ) 4
b a a b
(1)
0.25
Lại có
2 2 2 2 2
6 6 5 (2)
c
e c a a b a b a
a
0.25
Từ (1) và (2) suy ra
2
2 2 2
1, 5 ( ) : 1.
5
y
a b H x
0.25
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
(3; 4;0)
M
và mặt cầu
( )
S
có
phương trình
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 25
x y z
. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M
nằm trong mặt phẳng Oxy và cắt
( )
S
theo một dây cung dài nhất.
Nội dung Điểm
(S) có tâm I(1;-2;3), bán kính R=5.
0.25
Do ( , ) | | 3
I
d I Oxy z R
(S) cắt Oxy theo đường tròn (C) có tâm H(1;-2;0) là hình chiếu
vuông góc của I lên Oxy và bán kính
2 2
( , ) 4
r R d I Oxy
.
0.25
d qua M và nằm trên Oxy nên nếu d cắt (S) theo dây cung AB thì AB cũng là dây cung của (C),
vậy AB dài nhất khi nó đi qua H.
0.25
( 2;2;0)
MH
uuuur
. Do đó d là đường thẳng qua M và H nên phương trình của d là
1
2
0
x t
y t
z
0.25
Câu 9.b (1,0 điểm). Tìm phần ảo của số phức
1
w zi z
, biết
(1 ) 1 3 0
i z i
.
Nội dung Điểm
Giả sử
( , )
z x yi x y z x yi
¡
.
0.25
Theo giả thiết, ta có
2
(1 )( ) 1 3 0 0 ( 1) ( 3) 0
1
x
i x yi i x y x y i
y
Suy ra
2
z i
.
0.25
Ta có
2
1 (2 ) 2 3 2 2
w i i i i i i i
0.25
Vậy
Im 1
w
.
0.25
HẾT
. điểm A, B phân biệt có hoành độ là nghiệm phương trình (1) và 0.25 SỞ GD - ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC ***** Ngày thi 14/04 /2013 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KHỐI A – A1 THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2013 . TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC ***** Ngày thi 14/04 /2013 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN KHỐI A – A1 LẦN 2 NĂM 2013 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1.a) (1 điểm) Khảo sát,. 1 0 0 0 . x x D S xe e x dx xe dx e xdx 0.25 Ta có 1 1 2 0 0 . 2 2 x e e xdx e ; Tính 1 2 1 0 x xe dx , đặt 2 1 2 1 1 . 2 x x du dx u x v e dv e dx