SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ KHÓA THI NGÀY 30 03 2022 Môn thi Toán Thời gian làm bài 120 phút (không[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THÀNH PHỐ KHĨA THI NGÀY 30.03.2022 Mơn thi: Tốn Thời gian làm : 120 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) Bài (3 điểm) 2 Cho số a, b thỏa mãn điều kiện : 2a 7ab 3b 0, b 2a, b 2a Tính giá trị biểu thức M 8a 3b 2a 5b a b 2a b Bài (3 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab bc ca 2022 Chứng minh a 2022 b 2022 c 2022 2 ab bc ca Bài (3 điểm) Giải phương trình 4x x x 1 1 x Bài (5 điểm) Cho đường tròn O , AB đường kính cố định Gọi C điểm di động O (C khác A B), vẽ đường kính CD đường trịn O Tiếp tuyến B đường tròn O cắt hai đường thẳng AC , AD E F Gọi H trung điểm đoạn thẳng BF , K giao điểm hai đường thẳng OE AH a) Chứng minh năm điểm E , C , D, F , K thuộc đường tròn b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF Chứng minh điểm I thuộc đường thẳng cố định C di động đường tròn (O) Bài (3 điểm) Qua điểm M thuộc cạnh BC ABC ta kẻ đường thẳng song song với cạnh AB, AC ; chúng tạo thành với hai cạnh hình bình hành Tìm vị trí M để hình bình hành có diện tích lớn Bài (3 điểm) Tìm tất cặp số tự nhiên m, n với m n cho A m n ước B 2n 3m n ĐÁP ÁN Bài (3 điểm) 2 Cho số a, b thỏa mãn điều kiện : 2a 7ab 3b 0, b 2a, b 2a Tính giá trị biểu thức M M 8a 3b 2a 5b 2a b 2a b 8a 3b 2a 5b 8a 3b 2a b 2a b 2a 5b 2a b 2a b 2a b 2a b 2 2 12a 14ab 8b 12a 3b 2a 8b 8a 2b 2 4a b 4a b 4a b Bài (3 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab bc ca 2022 a 2022 b 2022 c 2022 2 ab bc ca Chứng minh Ta có : 2022 bc a a b c a a bc bc a 2 bc a b c b c bc b c a a a 2022 a a a 2022 a b c Chứng minh tương tự ta có : b 2022 b Suy c a c 2022 c a 2022 b2 2022 c 2022 2 a b ab bc ca a 2022 b 2022 c 2022 2 ab bc ca Bài (3 điểm) Giải phương trình 4x x x 1 1 x Điều kiện x 1, x 0 4x x x 1 1 x x 1 x x x x x x x x x x 1 9 x x 1 x 1 x 9 x 5 5(tmdk ) x x Bài (5 điểm) Cho đường tròn O , AB đường kính cố định Gọi C điểm di động O (C khác A B), vẽ đường kính CD đường trịn O Tiếp tuyến B đường tròn O cắt hai đường thẳng AC , AD E F Gọi H trung điểm đoạn thẳng BF , K giao điểm hai đường thẳng OE AH E C I A O K D B H F a) Chứng minh năm điểm E , C , D, F , K thuộc đường trịn Ta có CDA CBA (góc nội tiếp chắn cung AC O ) Mà CBA CEB (cùng phụ với ACB) CDA CEF Do tứ giác CDFE nội tiếp (1) Chứng minh HO BD, suy HO AC Chứng minh O trực tâm AEH EO AH K Chứng minh OK OE OA.OB OC.OD Suy OEC ∽ ODK Nên OEC ODK suy tứ giác ECKD nội tiếp (2) Từ (1) (2) suy E , C , K , D, F thuộc đường tròn b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF Chứng minh điểm I thuộc đường thẳng cố định C di động đường tròn (O) Gọi P, Q thứ tự giao điểm đường tròn I với đường thẳng AB OA R Chứng minh OP.OQ OC.OD R 3 2 Chứng minh AP AQ AC AE AB 4 R Lại có : AP AQ AO OQ AO OP R AO OP OQ OP.OQ R OP OQ Suy OP OQ 4 R Từ (3) (4) suy OP, OQ không đổi hay P, Q điểm cố định Do I ln di động đường thẳng cố định trung trực PQ Bài (3 điểm) Qua điểm M thuộc cạnh BC ABC ta kẻ đường thẳng song song với cạnh AB, AC ; chúng tạo thành với hai cạnh hình bình hành Tìm vị trí M để hình bình hành có diện tích lớn A N S1 P S3 S2 B M C Gọi S1 , S2 , S3 , S diện tích hình bình hành MNAP, MBP, MCN , ABC BM x, CM y, BC a ; x, y, a & x y a S2 x x2 MBP ∽ CBA S2 S S a2 a S y y2 MCN ∽ BCA S3 S S a a x y x y x2 y2 S S S S3 S S a2 a x y2 S S 2 2 a S Suy giá trị lớn S1 M trung điểm BC Bài (3 điểm) Tìm tất cặp số tự nhiên m, n với m n cho B 2n 3m n A m n ước A ước B A B m n 2n 3m n m n 8 m n 2 m n 0;1; 2 *)m n 0 2n / 2n 3n n 8n / 8n3 n 1 3 *)m n 1 2n 1 / 2n n 1 n 2n 1 / 2n 1 n 0 3 *)m n 2 2n / 2n n n 2n / 8n3 24n 24n 3 n 1 / n 1 n k , k Vậy cặp số m; n thỏa mãn 1;1 , 1;0 , k 2, k k