028_Đề Hsg Toán 9_Hưng Yên_21-22.Docx

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HƯNG YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC (Có 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2021 2022 Môn thi Toán Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi 20/01/2022 Bài[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HƯNG YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC (Có 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2021-2022 Môn thi : Toán Thời gian làm : 150 phút Ngày thi : 20/01/2022 Bài (4,0 điểm)  x 1   x 5  A     x    x x  x   x    a) Cho biểu thức với  x 0, x 1 Rút gọn biểu thức A tìm tất giá trị x để A 2 b) Tìm hệ số a  cho đường thẳng y ax  1; y 1; y 5 trục tung tạo thành hình thang có diện tích (đơn vị diện tích) Bài (4,0 điểm) a) Giải phương trình : x   x 11x  32  y  xy  0  2 b) Giải hệ phương trình : 4 x  y  y  x  0 Bài (4,0 điểm) 3 a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x  y 2022 b) Tìm số hữu tỉ x để x  x  số phương Bài (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C điểm nằm nửa đường tròn  O   C  A, C B  Gọi H hình chiếu vng góc C AB, D điểm đối xứng với A qua C, I trung điểm CH , J trung điểm DH a) Chứng minh CIJ CBH b) Chứng minh CJH ∽ HIB c) Gọi E giao điểm HD BI Chứng minh HE.HD HC Bài (2,0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy  yz  zx 674 x y z    Chứng minh x  yz  2022 y  zx  2022 z  xy  2022 x  y  z ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm)  x 1   x 5  A     x    x    x x  x   c) Cho biểu thức với  x 0, x 1 Rút gọn biểu thức A tìm tất giá trị x để A 2  x 1   x 5  A     x    x    x x  x    x  x 1    x  x  x 1 x  x  x 1         x  x  1 x  x 1 x    x  1  x  x 1 x 1  x A 2  x 1  0    x  x   x 5  x 1  x 0 1 x x   0 x  x    3     x 1  x  d) Tìm hệ số a  cho đường thẳng y ax  1; y 1; y 5 trục tung tạo thành hình thang có diện tích (đơn vị diện tích) Ký hiệu hình thang ABCD 6  2   2 C  ;5  , D  ;1 ; BC  ; AD  ; S ABCD    : 8 a a  a a Tính  a   a   a 2(tmdk a  0) Vậy phương trình đường thẳng cần tìm y 2 x  Bài (4,0 điểm) c) Giải phương trình : x   x 11x  32 x   x  11x  32  x    x  11x  32  x  0  x  10 x  25  x   x   0   x  5    x   0  * Do  x   0;   x   0  x    x  0    x  5(tmdk )  x   0 d) Giải hệ phương trình :  y  xy  0   2 4 x  y  y  x  0  y  xy  0  2 4 x  y  y  x  0  y  xy 2  1  2 4 x  y  y  x  0   Thay (1) vào (2) ta có : x  y  y  x  y  xy 0  x  y  x  xy 0  x  x  1  y  x  1 0   x  1  x  y  0   y  1  x   y  y 2    y 2   2  x  y  y  y 2(VL)  Vậy     ;  1 ;  ;        x; y   Bài (4,0 điểm) 3 c) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x  y 2022 x  y 2022  x3 2022  y  x  2022  x  12 x 10 11 12 y ktm ktm ktm ktm ktm ktm ktm ktm ktm ktm ktm ktm Vậy khơng có x,y nguyên thỏa mãn d) Tìm số hữu tỉ x để x  x  số phương Đặt x p q với p,q nguyên,  p, q  1, q   p p x  x       y  y   * q q Từ Suy p q   p  6q  y q  Điều chứng tỏ p, q có ước số chung Vì  p, q  1 nên q 1 Vậy x  p Bài tốn trở thành tìm nghiệm ngun phương trình p2  p   y2 2 Để phương trình p  p   y 0 có nghiệm đủ  1    y  k p    nguyên điều kiện cần số phương lẻ (k nguyên dương) 2 Vì y  k  y  k   y  k  23 số nguyên tố y  k    y  k   Nên y  k 23, y  k 1 Vậy y 12, k 11  x  p 5;  Bài (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C điểm nằm nửa đường tròn  O   C  A, C B  Gọi H hình chiếu vng góc C AB, D điểm đối xứng với A qua C, I trung điểm CH , J trung điểm DH D C J E I H A O B d) Chứng minh CIJ CBH Vì ABC nội tiếp đường trịn đường kính AB nên AC  BC  BC  CD  1 Mà IJ / / CD   Từ (1) (2)  IJ  BC  CIJ CBH (cùng phụ với HCB ) e) Chứng minh CJH ∽ HIB CHB vng có tan CBH  CH  3 BH Mà CJ / / AB, CH  AB( gt )  CJ  CH CIJ vng có tan CIJ  CJ CJ   CI HI    CI HI CH CJ  HB HI Xét CJH HIB có : CH CJ HCJ BHI 90 ;  HB HI  CJH ∽ HIB (cgc)  3    f) Gọi E giao điểm HD BI Chứng minh HE.HD HC Ta có : HEI 90 HEI ∽ HCJ  HE HI  HC HJ  HE.HJ HC.HI 1 HJ  HD, HI  HC  HE HD HC 2 Mà Bài (2,0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy  yz  zx 674 x y z    Chứng minh x  yz  2022 y  zx  2022 z  xy  2022 x  y  z Vì xy  yz  zx 674  x  x  yz  2022   x  x  xy  zx  1348   Tương tự : y  y  zx  2022   ; z  z  xy  2022   a b2 c2  a  b  c     xyz Áp dụng bất đằng thức x y z  xyz yxz zxy   2 x  x  yz  2022  y  y  zx  2022  z  z  xy  2022  x  xy  xz y  xy  yz z  xz  yz    x  x  yz  2022  y  y  zx  2022  z  z  xy  2022   x  y  z  xy  xz  yz  x  y  z  xyz  2022  x  y  z  x  y  z  xyz  x  y   xy  x  y   z  3xyz  x  y  z    x  y    x  y  z  z   3xy  x  y  z     x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx   x  y  z  xyz  2022  x  y  z   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx  3.674   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx   xy  yz  zx    x  y  z   x  y  z   x  y  z  x  VT   VT 1  y  z  xy  xz  yz   x  y  z  x  y  z   x  y  z  x  y  z 1