Luận án các đặc trưng plasmon và tính chất động lực học của hệ điện tử trong graphene

Mục lục Mục lục i  Danh mục ký hiệu chữ viết tắt iv  Danh mục hình vẽ v  Mở đầu ix  Chương 1  Cơ sở lý thuyết nghiên cứu tính chất động lực hệ điện tử tính chất vật lý hệ điện tử hai chiều mạng graphene 1  1.1  Một số khái niệm sở 2  1.1.1  Hệ phương trình Maxwell vĩ mơ số đại lượng quang học đặc trưng 2  1.1.2  Phản ứng vật liệu sóng điện từ phân cực dọc phân cực ngang 6  1.1.3  Dao động tử Lorentz khái niệm hiệu ứng trường địa phương 7  1.1.4  Phương pháp trường tự hợp phép gần pha ngẫu nhiên RPA 9  1.1.5  Hàm điện môi tán sắc plasmon 10  1.2  Tính chất graphene 11  1.2.1  Liên kết hóa học 11  1.2.2  Phân tích cấu trúc mạng tinh thể graphene 12  1.2.3  Cấu trúc điện tử graphene mô tả gần liên kết chặt 13  1.2.4  Độ dẫn quang graphene 29  1.2.5  Tính chất quang siêu mạng graphene 31  1.3  Sự truyền sóng điện từ graphene 38  1.3.1  Các cấu hình TM TE sóng điện từ bề mặt 38  1.3.2  Sóng điện từ SPPs graphene 39  1.4  Gần RPA công thức Lindhard cho hàm điện môi 46  1.5  Kết luận 52  Chương 2  Tính tốn hàm điện mơi gần RPA khảo sát đặc trưng plasmon graphene mơ hình điện tử liên kết chặt với lân cận gần 53  2.1  Phương pháp giải tích tính hàm phân cực giới hạn pha tạp yếu nhiệt độ tuyệt đối 53  2.1.1  Hàm điện môi RPA áp dụng cho graphene 53  2.1.2  Tính phần ảo phần thực P0   q,   56  2.1.3  Tính phần ảo phần thực P   q,   57  2.1.4  Tổng hợp kết tính hàm phân cực 61  1 i 2.1.5  Đặc trưng tán sắc bậc hai plasmon 63  2.1.6  Kết thảo luận 66  2.2  Hàm điện môi đặc trưng plasmon graphene điều kiện nhiệt độ nồng độ pha tạp hữu hạn 71  2.2.1  Phương pháp số tính hàm điện mơi RPA 71  2.2.2  Kết thảo luận 72  2.3  Hiệu ứng nhiệt độ tính bất đẳng hướng cấu trúc vùng lượng lên đặc trưng hàm điện môi phổ plasmon graphene 74  2.3.1  Hiệu ứng nhiệt độ 74  2.3.2  Hiệu ứng bất đẳng hướng mặt lượng 76  2.4  Kết luận 77  Chương 3  3.1  Các đặc trưng plasmon graphene chế độ pha tạp cao 78  Năng lượng hàm sóng điện tử gần TB lân cận thứ hai 79  3.1.1  Phương pháp TB lân cận thứ hai 79  3.1.2  Xác định thông số TB tính bất đẳng hướng cấu trúc vùng lượng xung quanh hai điểm K 83  3.1.3  3.2  Mật độ trạng thái 84  Các đặc trưng plasmon graphene độ pha tạp cao 85  3.2.1  Tính hệ số chồng chập 85  3.2.2  Các đặc trưng plasmon 88  3.3  Kết luận 95  Chương 4  Hàm điện mơi có tính đến hiệu ứng trường địa phương Áp dụng cho kích thích plasmon ứng với chuyển trạng thái điểm K graphene 97  4.1  Hàm điện mơi vĩ mơ có tính đến hiệu ứng trường địa phương 97  4.1.1  Hàm điện môi vĩ mô 103  4.1.2  Hằng số điện môi vĩ mô RPA 104  4.2  Đặc trưng plasmon ứng với chuyển trạng thái hai điểm K 106  4.3  Kết luận 109  Kết luận kiến nghị 110  Tài liệu tham khảo 112  Danh mục cơng trình cơng bố luận án 121  Phụ lục 122  A.  Biến đổi Fourier Coulomb 2D 123  B.  Tính hàm chồng chập trạng thái (2.5) 125  C.  Tính tích phân (2.20) 126  ii D.  Tính phần thực phần ảo hàm phân cực không pha tạp (2.23) 129  E.  Một số tính chất hàm G (2.31) [3] 131  F.  Tính phần ảo hàm phân cực RPA 132  G.  Tính phần thực hàm phân cực RPA 134  iii Danh mục ký hiệu chữ viết tắt BZ Vùng Brillouin thứ RPA Gần pha ngẫu nhiên SCF Trường tự hợp LFE Trường địa phương TB Liên kết chặt 2DEG Khí electron hai chiều GSL Siêu mạng graphene SPs Plasmon bề mặt SPPs Plasmon – Polaritons EELS Phổ lượng mát chùm electron , , Hằng số điện môi, hàm điện môi, độ dẫn quang ˆ , ˆ Tenxơ điện môi, tenxơ độ dẫn quang   Ma trận điện môi M Hằng số điện mơi vĩ mơ ,  Kích thước hệ, kích thước đơn vị p ,  p Tần số plasmon, tốc độ phân rã plasmon P,  Hàm phân cực, hàm tương quan q, k Vectơ động lượng Rn , Gm Vectơ mạng thực, vectơ mạng đảo Hệ đơn vị sử dụng luận án hệ đo lường quốc tế SI iv Danh mục hình vẽ Hình 1.1 (a) Cấu hình điện tử carbon trạng thái (bên trái) trạng thái kích thích (bên phải), hình mơ tả lai hóa phối trí ba orbital  (b) Vị trí loại liên kết   mạng tinh thể graphene [137] 11  Hình 1.2 (a) Vật liệu graphene coi vật liệu mẹ thù hình khác carbon Graphene 2D cuộn lại tạo cầu carbon 0D, hay ống carbon 1D, ghép với thành dạng graphite 3D [52] (b) Mạng tổ ong graphene tạo thành từ hai mạng hình tam giác hai loại nguyên tử A B [133] 12  Hình 1.3 Mạng tinh thể hình tổ ong vùng BZ graphene (a) Cấu trúc tinh thể graphene tạo thành hai mạng tam giác hai loại nguyên tử ký hiệu A B đan vào nhau, ô đơn vị nhỏ chọn có dạng hình thoi, tạo vectơ đơn vị a1 a Các vectơ nối từ nguyên tử B đến ba nguyên tử A lân cận gần  i , i  1,2,3 (b) Vùng BZ tương ứng, tọa độ điểm Dirac, hay góc vùng BZ xác định từ hai điểm không tương đương K K  [35] 13  Hình 1.4 (a) Cấu trúc vùng lượng ba chiều graphene theo phương trình (1.92) với s  cho thấy dải lượng dẫn dải hóa trị đối xứng tiếp xúc với sáu điểm vùng BZ (b) Cấu trúc vùng lượng bất đối xứng electron – lỗ trống, theo đơn vị t tương ứng với giá trị hữu hạn t , với t  2.7 eV , s  t   0.2t [25] 20  Hình 1.5 (a) Biểu diễn hai chiều đường đẳng mức cấu trúc vùng lượng graphene rõ vùng BZ dạng lục giác Các điểm đối xứng Γ, M, K hình, (b) đường cong tán sắc lượng vẽ theo vector sóng theo phương hình (a) với s  Tại lân cận điểm K, lượng gần phụ thuộc tuyến tính vào vector sóng [35] 24  Hình 1.6 (a) Mạng tinh thể graphene với ô sở chọn có dạng hình chữ nhật chứa ngun tử, (b) vùng BZ tương ứng với vùng hình chữ nhật giới hạn đường đứt nét, sáu điểm K cách chọn vùng BZ theo sở hình thoi “gấp” lại thành hai điểm không tương đương K K  26  Hình 1.7 Cấu trúc vùng lượng graphene với ô sở hình chữ nhật gồm bốn nguyên tử, gồm dải lượng Hình bên trái dải 2, tiếp xúc với hai điểm K, hình bên phải dải 28  Hình 1.8 Cấu trúc vùng lượng graphene với ô sở hình chữ nhật gồm bốn nguyên tử, gồm dải lượng Hình bên trái tồn dải tách Hình 1.7, hình bên phải vẽ đường lượng theo phương k y 29  Hình 1.9 Độ dẫn quang graphene K: đóng góp Drude (trái) inter-band (phải) Với EF  0.45eV   2.6 meV Đường liền màu xanh (hoặc màu đỏ) biểu diễn phần thực (hoặc phần ảo) độ dẫn quang Trong hình F  EF /  Đóng góp Drude chủ yếu vùng tần số thấp, đóng góp ngoại dải miền tần số cao [21] 30  Hình 1.10 (a) Một cấu trúc siêu mạng graphene, (b) dạng tĩnh điện tuần hoàn gây điện cực phần phóng to cách xếp nguyên tử ô mạng v sở theo hai cấu hình A-GSL Z-GSL (c) Vùng BZ cấu hình A-GSL với hai điểm K [9] 31  Hình 1.11 Ơ đơn vị A-GSL có dạng hình chữ nhật giới hạn đường màu đỏ Ơ chứa N màu xanh bao gồn bốn loại nguyên tử a, b, c, d [9] 32  Hình 1.12 Sự thay đổi cấu trúc vùng lượng electron pz mẫu A-GSL với N1  N2  15 với chiều cao rào khác nhau: (a) Ub  ; (b) U b  U ; (c) Ub  2U0 (d) Ub  3U0 , với U0  2 vF L Các đường màu đỏ thêm vào để thấy thay đổi cấu trúc vùng lượng GSL dịch chuyển điểm Dirac graphene Các đường màu đen để điểm cố định mặt lượng [9] 35  Hình 1.13 Độ dẫn quang GSL graphene (đường màu đỏ) Đường màu xanh nước biển màu xanh tương ứng cho phân cực dọc ngang photon [9] 37  Hình 1.14 Sự suy giảm độ dẫn quang graphene pha tạp phạm vi lượng  0,2EF  Hình nhỏ mơ tả chế khóa Pauli trình chuyển inter-band [9] 38  Hình 1.15 (a) Đối xứng hệ graphene mang SPPs, phương truyền sóng SPPs theo trục x hệ tọa độ Descartes (b) Các thành phần tiếp tuyến pháp tuyến vectơ trường hai môi trường biểu diễn, hai mơi trường tiếp xúc mặt mang SPPs có số điện môi 1  [21] 39  Hình 1.16 (a) Mơ tả loại kích thích đơn hạt: mũi tên màu hồng ứng với kích thích ngoại dải, mũi tên màu xanh ứng với kích thích nội dải (b) So sánh phổ tán sắc tính theo phương pháp RPA phương pháp bán cổ điển Đường màu đen liền nét kết RPA, đường màu đen đứt nét kết bán cổ điển với 1    , tương tự đường màu xanh đứt nét ứng với kết RPA, màu xanh chấm chấm tính theo lý thuyết bán cổ điển với 1    Vùng màu xanh phía màu hồng phía tương ứng với vùng kích thích đơn hạt nội dải ngoại dải [68] 45  Hình 2.1 Phân vùng điều kiện để tính tích phân theo phương pháp giải tích, hình vẽ ta chọn   , vF  59  Hình 2.2 So sánh giá trị k F với giá trị đặc biệt để tính tích phân 60  Hình 2.3 Hình vẽ màu giá trị hàm phân cực P(1) với đơn vị   vF2 từ phương trình (2.45) theo đại lượng không thứ nguyên x  q kF y    Hình bên trái thể phần thực, bên phải phần ảo 67  Hình 2.4 Hình vẽ màu giá trị hàm phân cực tái chuẩn hóa PRPA với đơn vị   vF2 từ phương trình (2.8) theo đại lượng khơng thứ nguyên x  q kF y    Hình bên trái thể phần thực, bên phải phần ảo 67  Hình 2.5 Hình bên trái hình vẽ màu giá trị ImP1 graphene , vùng kích thích đơn hạt electron – lỗ trống ứng với vùng xanh nước biển Vùng xanh vùng có phần ảo hàm phân cực không, nên kích thích đơn hạt Hình bên trái biểu diễn đại lượng tương tự cho khí 2DEG, vùng kích thích đơn hạt ứng với vùng có màu [25, 53] 68  vi Hình 2.6 Đồ thị hàm số f  y      x Re P 1  x, y  x a với x  q kF  0.6;0.8;1.0 Theo phương trình (2.53), giao điểm với trục hồnh tương ứng với giá trị yp  p  (hình bên trái), với x  q kF  1.1;1.3;1.5 (hình bên phải) 69  Hình 2.7 Phổ tán sắc plasmon tính giải tích ứng với   1.0 (hình bên trái)   2.4 (hình bên phải) Đường liền nét thể mối quan hệ p  vào q kF , đường đứt nét chấm quan hệ (2.57), y   x Các đường đứt nét gạch biểu diễn vùng điều kiện tương tự Hình 2.1 69  Hình 2.8 Sự phụ thuộc tốc độ phân rã plasmon vào vector sóng với   1.0 (hình bên trái) với   2.4 (hình bên phải) theo phương trình (2.66) 70  Hình 2.9 Hình vẽ màu giá trị hàm điện môi  RPA  q,   thu từ phép gần lân cận điểm Dirac theo phương pháp SCF với   2.4 Đường màu đen mô tả quy luật bậc hai (2.57), đường màu trắng tập hợp điểm có giá trị không hàm điện môi  RPA  q,   thu từ việc tính số phương trình Re  RPA  q,    70  Hình 2.10 So sánh phổ tán sắc plasmon thu hai phương pháp tính số giải tích 73  Hình 2.11 Phổ tán sắc plasmon thu việc tính số tồn vùng BZ mức pha tạp khác nhiệt độ K 73  Hình 2.12 Phổ plasmon tính số tồn vùng BZ nhiệt độ khác graphene không pha tạp 74  Hình 2.13 Các đóng góp inter intra vào hàm phân cực      RPA  q,    Hình vẽ ứng với trường hợp q  0.1 nm1  ,   , T  K (hình bên trái) T  300 K (hình bên phải) 75  Hình 2.14 Sự bất đẳng hướng mặt Fermi graphene mức pha tạp cao 76  Hình 2.15 Phổ tán sắc plasmon tính số vùng BZ nhiệt độ K với giá trị pha tạp khác nhau, theo phương đặc trưng q khác 77  Hình 3.1 (a) Cấu trúc vùng lượng TB lân cận bậc hai vẽ cách chọn ô nguyên thủy hình thoi để so sánh với kết DFT Hình bên mơ tả chữ nhật graphene (b) Độ lệch hai kết TB lân cận bậc hai DFT (c) Trường vectơ vận tốc nhóm v g  k    k Ec  k   vẽ đường đẳng mức lượng (d) Mơ tả vận tốc nhóm trạng thái mức Fermi xung quanh hai điểm K 83  Hình 3.2 (a) Hình bên trái mơ tả đường lượng theo phương k y , đường màu đỏ ứng với cách chọn ô sở hình chữ nhật, đường màu xanh tương ứng với cách chọn sở hình thoi, với thông số TB: t  2.67eV; t   0.15; s  0.08; s  0.001 Hình bên phải hàm DOS tương ứng (b) Hình biểu diễn mật độ số electron theo mức pha tạp Hình bên phải hàm DOS tương ứng 85  Hình 3.3 Hình nhìn từ xuống (theo phương [001]) mặt hàm EELS trường hợp (a) (b) có độ pha tạp tương ứng với EF  0.5eV (c), (d) với EF  1.0eV theo vii phương vectơ q trường tác động: (a), (c) theo phương Oy (b), (d) theo phương Ox 89  Hình 3.4 (a) Tần số (b) tốc độ phân rã plasmon phụ thuộc vào vectơ sóng 90  Hình 3.5 Hình vẽ phân bố màu hàm điện mơi  RPA  q,   tính trường hợp vectơ sóng theo phương Oy Đường tán sắc hai nhánh plasmon có màu trắng, đường màu đen biểu diễn giới hạn vùng kích thích đơn hạt tương ứng 91  Hình 3.6 Hàm mật độ Sq,  kx , k y  vẽ đường đẳng cho trường hợp qacc  0.2944  qy   ,   p2  1.648eV , cho thấy phân bố vùng BZ trạng thái đầu  k  trạng thái cuối  k  q  Sq ,  kx , k y  cho ba trường hợp: (a) qacc  0.0607 , qacc  0.2930 ,   p2  1.678eV , (c) qacc  0.2930 , Hình 3.7 Hàm mật độ   p2  1.013eV ; (b) trình chuyển điện tử 92    p1  1.093eV , cho thấy phân bố vùng BZ trạng thái đầu trạng thái cuối  k  q  k  trình chuyển điện tử 93  Hình 3.8 Sự biến thiên hàm điện môi  RPA  q,   ứng với giá trị q   0,0.293 acc  phụ thuộc vào lượng kích thích 94  Hình 4.1 (a) Vị trí hai điểm K vectơ mạng đảo (b) Mô tả trình chuyển intrainter-valley 107  Hình 4.2 Hàm EELS ứng với số giá trị q (nm-1) 108  Hình 4.3 Quan hệ tán sắc plasmon tuyến tính 109  viii Mở đầu Lý chọn đề tài Năm 2010, giải Nobel vật lý1 trao cho Novoselov Geim cho việc phát khảo sát tính chất loại hình thù hai chiều đặc biệt carbon – vật liệu graphene [109] Graphene phát năm 2004 với tính chất điện tử đặc biệt thích hợp cho địi hỏi cơng nghệ thời lĩnh vực điện tử tập trung nghiên cứu sôi động Nhiều hiểu biết tính chất graphene ghi nhận nhanh chóng Mặc dù có cấu trúc hai chiều ổn định khả dẫn điện dẫn nhiệt tốt (độ linh động điện tử cao nhiệt độ phòng, lên đến cỡ 105 cm2 /Vs [104], cao gấp hai bậc so với vật liệu làm từ silicon, gấp 20 lần so với GaAs) việc không tồn khe lượng cấu trúc điện tử cản trở việc sử dụng graphene làm kênh dẫn điện cấu trúc linh kiện MOSFET (do khả điều khiển dòng điện chạy kênh dẫn graphene trở nên hiệu quả) Mặc dù vậy, người ta lại thấy tính chất graphene lại phù hợp với đòi hỏi lĩnh vực quang điện tử (optoelectronics), quang tử (photonics), đặc biệt nhánh nano-plasmonics [56, 77, 87, 94] So với kim loại, graphene chứng tỏ có tính chất ưu việt, chẳng hạn tương tác mạnh với ánh sáng, độ hấp thụ graphene (nghĩa với lớp nguyên tử) xác định vào khoảng 2.3% [106]; quãng đường truyền plasmon (đại lượng tỉ lệ nghịch với tốc độ phân rã [97]) cao so với việc truyền plasmon vật liệu kim loại [78] Vùng tần số plasmon graphene nằm vùng terahertz (THz) hồng ngoại, plasmon kim loại, thường vùng ánh sáng nhìn thấy tử ngoại, graphene mở khả chế tạo linh kiện quang điện tử hoạt động vùng THz [44, 46, 68, 102, 103, 140] Đặc biệt, đặc trưng plasmon graphene điều khiển thay đổi nồng độ electron phương pháp phân cực tĩnh điện, điều thực kim loại [5, 28, 44, 58, 149] Ngoài ra, hệ lai tạo graphene với kim loại, hệ chứa dải graphene, đĩa graphene, … có tính chất plasmon ưu việt hứa hẹn ứng dụng tương lai gần [43, 70, 148, 161, 162] Cho tới việc nghiên cứu đặc trưng plasmon graphene thường thực giới hạn lượng thấp lượng cao Trong giới hạn lượng thấp bước sóng dài, nghiên cứu lý thuyết dự mơ hình Dirac cho hệ điện tử bên graphene cho thấy tồn mode plasmon có quy luật tán sắc tỉ lệ thuận với bậc hai số sóng [7, 65, 71, 142, 151, 157, 160] Mode plasmon này, có đặc trưng phổ quát hệ điện tử hai chiều, gọi mode Dirac plasmon với ngụ ý trạng thái kích thích tập thể hệ fermion khơng khối lượng có đặc trưng tương đối tính Trong giới hạn lượng cao, nghiên cứu thực nghiệm tồn mode plasmon, gọi pi-plasmons, mà chúng xem có nguồn gốc từ kích thích điện tử pi liên kết (nằm sâu vùng hoá trị) [75, 90] Về mặt lý thuyết, mơ hình Dirac khơng thể mơ tả pi-plasmons giới hạn làm việc mơ hình khoảng lượng hẹp xung quanh điểm Dirac Hơn nữa, mơ hình Dirac mơ tả mặt lượng quanh điểm Dirac mặt nón trịn xoay lý tưởng Điều http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2010/ ix khơng cịn vùng lượng kích thích cao Chính thế, cần thiết phải có đánh giá chặt chẽ giới hạn hoạt động mơ hình Dirac việc mơ tả tính chất động lực học hệ nói chung, mode plasmon nói riêng Với cách đặt vấn đề chứng minh việc tính đến đặc điểm hình học mặt lượng điện tử graphene cách thích hợp cho thấy chất phân cực mode plasmon lượng thấp Hơn nữa, xuất mode plasmon bên cạnh mode Dirac plasmon giới hạn pha tạp mạnh graphene Sự hình thành mode plasmon đặc trưng mode plasmon lượng thấp hai giới hạn graphene pha tạp thấp pha tạp cao chủ đề nghiên cứu chúng tơi trình bày chi tiết luận án Mục đích nghiên cứu đề tài Đề tài tập trung khảo sát tính chất động lực học hệ electron dẫn bên màng graphene điều kiện tác động khác trường ngồi nghiên cứu chế hình thành điều kiện trì trạng thái kích thích tập thể (plasmon) hệ electron, làm sáng tỏ tiềm sử dụng graphene lĩnh vực nano-plasmonics Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài Đối tượng nghiên cứu hệ electron hai chiều mạng tinh thể graphene khiết chế độ pha tạp khác Đề tài tập trung khảo sát tính chất động lực học hệ electron điều kiện môi trường khác (như nhiệt độ, nồng độ hạt tải, lượng kích thích) xác định đặc trưng trạng thái kích thích tập thể hệ electron Phương pháp nghiên cứu Đề tài thực theo phương pháp nghiên cứu lý thuyết kết hợp với mô vật liệu Cụ thể, việc nghiên cứu hiệu ứng dao động tập thể electron vật liệu graphene thực theo hai cách tiếp cận lý thuyết từ vĩ mô đến vi mô ngược lại Đối với cách thứ nhất, sử dụng hệ phương trình Maxwell [55] làm xuất phát điểm để nghiên cứu khả vật liệu cho phép truyền mode sóng điện từ Cách tiếp cận chứng minh phù hợp với sóng điện từ vùng bước sóng dài, tức tần số thấp Ở chiều ngược lại, vùng bước sóng ngắn, chúng tơi xuất phát từ tính chất electron để khảo sát hình thành trạng thái kích thích tập thể hệ electron Cơ sở lý thuyết sử dụng lý thuyết phản ứng tuyến tính (linear response theory) với trọng tâm tính tốn hàm tương quan hai thời gian mật độ electron (two time-variable density-density correlation function) Đây lý thuyết lượng tử việc tính đến hiệu ứng tương tác hệ nhiều hạt thực thi thông qua gần pha ngẫu nhiên (RPA) Với cách tiếp cận vi mơ, để xác định tính chất điện tử graphene sử dụng cách mô tả mơ hình liên kết chặt với cấp độ gần khác nhau, liên kết lân cận gần nhất, liên kết lân cận kế tiếp, tính trực giao khơng trực giao sở hàm sóng ngun tử Các phương pháp tính tốn giải tích tính số sử dụng linh hoạt nhằm mục đích tính tốn tận hàm điện mơi hàm số tần số vector sóng Trong giới hạn bước sóng dài electron bên graphene xử lý fermions tương đối tính thơng qua mơ hình Dirac Việc sử dụng phép gần RPA giới hạn bước sóng dài chứng minh thích hợp, dẫn đến cơng thức Lindard cho hàm phân cực Trong trường hợp xem xét tới giới hạn bước sóng ngắn chúng tơi sử dụng cơng thức Lindard mở rộng rút từ lý thuyết trường tự hợp áp cho hệ điện tử không đồng để tính tới hiệu ứng trường địa phương (local fields effect) [4, 158, x nghiệm đơn phương trình   x   với    xs   Xét phương trình cos=0 đoạn  0, 2  ta có hai nghiệm 1     cos      2  3 Suy 3        3  2               1 2          Thay vào (A4) ta có V q  e2 4 qL2 2      d           3    ,   lại dùng tính chất b  f  x0  : a  x0  b : x0  a, x0  b  f  x    x  x  dx  0 a suy ra: e2 V q  2 qL2 Đây biểu thức Coulomb 2D không gian động lượng 124 (A5) B Tính hàm chồng chập trạng thái (2.5) Xét hàm riêng graphene dạng s  k      i  ,  se k  (B1)    i   s ' e k q  (B2) trạng thái chồng chập với có dạng s'  k  q   Số hạng chồng chập có dạng F ss '  k , q    s  k   s '  k  q  (B3) Thay (B1) (B2) vào (B3), biến đổi ta có F ss '  k , q   1  ss 'cos  , với  góc k k  q ,   k  q   k y q ky k q k  k q x kx Với góc k thỏa mãn  k  arctan  k y k x  Từ hình vẽ ta thấy cos   cos  k   k + q   cos  k cos  k + q  sin  k sin  k + q k x k x  qx k y k y  q y k  k x qx  k y q y    k k q k k q k k q  k  2kq cos  k k q  k  q cos  k q (B4) 125 C Tính tích phân (2.20) Trong phép tính tốn, để đơn giản ta qui định   ; vF  ;   ;   k F Khi    , ta có I   k  q cos    k  d        k  k  q    k  q   2 (C1) Xét phương trình     k  k  q   , hay k  q  k   (C2) Ta có điều kiện  k    k  q , suy  k      q    (C3) Ta có k  q  k  q  2kq cos   k   , suy cos0 =   q  2 k 2kq (C4) Kết hợp thêm điều kiện 1  cos 0  , suy   q   q  2k      q   q  2k   (C5) Tổng hợp điều kiện trên:  k , q,  ,    k     q       q   q  2k       q   q  2k    (C6)     q    q   k   (C7) Giải (C6): Thay (C2) (C4) vào (C1) ta có 126 k  q cos 0   2 k   q 1  k q 2k  k    (C8)   x  xn  Dùng công thức tính chất hàm delta-Dirac:   y  x     , với y '  xn  n y  xn  , y '  xn   , ta có        k  k  q        k  k  q  2kq cos   ,    2 đặt y       k  k  q  2kq cos  , xét phương trình y    , tương đương với cos0 =   q  2 k 2kq Trong khoảng  0, 2  có hai nghiệm 0 Ta có y '     2kq sin 0 k  q  2kq cos  2  2kq sin 0  k    (C9) Với sin 0    cos20 xác định từ (C4) sin 0   q     2k     q    2kq (C10) Thay (C10) vào (C9): y ' 0    q     2k     q     k    (C11) Vậy      k  k  q             0  2 y '   y ' 0  (C12) Xét (C1), dùng (C7), (C8), (C11) (C12): I     2 k   q   k  d     2 k k       2   cos  cos0   q     2k     q     k    Suy 1/2 I   2 k   2  q    q2     Tương tự cho trường hợp q             q      k          , ta có 127 (C13) 2  k  q cos   I    k  d        k  k  q   ,  k  q   (C14) điều kiện toán      q      q  k    q  2 (C15) Suy I   2 k   2  q    q2     1/         q        q   q       k     k         128 (C16) D Tính phần thực phần ảo hàm phân cực khơng pha tạp (2.23) Ta có  q g Im P0  q,     4 1 1/   2 k     q   dk  q     q   2  q  1/ (D1)   2 k     dk  1  q    q   q   g 4 2 q Đổi biến số     2k q q , suy ra: d    dk ; dk   d ;    1 Thay vào (D1) ta có q g Im P0  q,     8 q 1 Chú ý dạng tích phân 1/2  d 1    1   q2 1/2  d 1    1/2  2 d 1    Im P01  q,     (D2) 1   Ta có kết g q2    q  16   q (D3) Để tính phần thực hàm phân cực, ta dùng mối liên hệ Kramers–Kronig   Im P01  q,  '  Re P0  q,    P   d  '       '   1 (D4) Thay (D3) vào (D4), thu   g q2    ' q     16  '2  q  Re P01  q,    P   d '     '        gq   P   d 16        q      q     1    q  , có điểm cực đơn trục thực    , áp   q     dụng lý thuyết thặng dư, ta có giá trị Cauchy tích phân Xét hàm số F    129 m    P   F   d   i   ResF  Z  ,   11       i lim        q         q       1  i lim     q    i  2      q    q2 q 2 Do Re P01  q,     gq 16 q   130 q   (D5) E Một số tính chất hàm G (2.31) [3]  G  x   x x   ln x  x   G  x  G  x   iG  x   i   G   x   x 1 x 1 Trong G  x   x x   cosh 1  x  , x  G  x   x  x  cos1  x  , x     x   iln  x  i  x    x 1 cosh 1  x   ln x  x2 1  1  x2  cos1 cos 1   x     cos 1  x  131 F Tính phần ảo hàm phân cực RPA q Vùng 1A: Vùng ta có điều kiện   q kF   dkI  k , q,   1/2   2k     q   dk  q    q    kF   2k      dk  q  1 q   q    kF q 1/2    2k   q   dk  q     q   kF g  4 g  4 : kF g Im P  q,     4 1 g  4 1/2 1/2     2k    dk  q  1 q     q   g  4 kF q 2   2k   2k 2 ;v   du  dk ; dv  dk cận tích phân tương ứng: q q q q 2k   2k   u 1 F ;v 1 F , thu q q Đặt u  Im P 1  q,    g 8 Xét nguyên hàm dạng q k F  q q    x  1dx  Im P1  q,    g 16 1/2 du u  1 g Im P  q,    4 1 q  2  1/2 dv v  1 (F1)    2     2     G   G     q2     q   q  q2 g q 16   q Vùng 2A: 132 (F2) q 1/2     2k   q   dk  q     q   q   g 8 1 x x   ln x  x   G  x  Ta có 2 Vùng 1B: Trong vùng ta có   q kF   q  k F  q  g 8 q2   q2  du 1  u 1 1/  (F3) g Im P  q,     4 1 kF g q dkI  k , q,     4  q2 g 8 1/2   2k     q   dk  q    q    kF q2   2 k F  q  1/2 dv v  1 (F4)  2     G    q  Vùng 2B: g Im P  q,     4 1 kF g dkI  k , q,      4  q 1/2    2k   q   dk  q    q    kF   kF  q2 g 8   q2 q  1/2 dv 1  v  (F5)    2   G    q  Vùng 3A: g Im P  q,     4 kF g Im P  q,     4 kF 1  dkI  k , q,    (F6) Vùng 3B: 1  dkI  k , q,    Tổng hợp kết ta kết (2.32) 133 (F7) G Tính phần thực hàm phân cực RPA Ta có 2      F F Re P  q,    P kdk    0       k  k  q      k  k  q    4  0     g 1 Chú ý là: F   F   ; F   F    2 0  kdk  (G1) k  q cos  , suy ra: k q   F F             k  k  q      k  k  q    2 0   kdk  d     2k    q cos   k     k q 2 4k  2 k  2kq cos    dk  d  2 20    k     k  q Xét mẫu số  k     k  q   k    2 k    k  q  2kq cos      q  2 k  2kq cos     2 k   q   2 k  4k  2kq cos   Tử số: 2 4k  2 k  2kq cos     2 k   q   k     k  q  ,   suy Re P 1  q,      2      2 k   q   P dk d       2 k  q  2 k  4k  2kq cos    8  0 0             g g    dkJ   k , q,   2 8   g  Trong 134 (G2)     2 k   q    J  k , q,     d 2      2 k   q   2 k  4k  2kq cos    2      2 k      q   d   2      2 k   q  2 k  4k  2kq cos   2 (G3) Đặt A     2 k   q  2 k  4k , B  2kq (G4) Xét tích phân L  k , q,     2    d  A  B cos   , (G5) e i  e  i  1   Z   Khi  biến thiên từ đặt Z  e , dZ  ie d  iZd , cos = 2 Z  2 Z biến thiên đường trịn đơn vị S  0,1 Do i i L  k , q,     S  0,1 dZ    iZ  A  B  Z    Z     dZ   i S  0,1 BZ  AZ  B (G6) có hai điểm cực nghiệm mẫu BZ  AZ  B số nó, theo định lý Vi-ét, tích nghiệm nên nghiệm ngồi nghiệm đường trịn  S  : Hàm dấu tích phân, f  Z   Z1,2   Theo định lý Res  f  Z  , Z   A A2  B A A2    1 B B B B2 thặng dư, ta có (G7) L  k , q,    2 iRes  f  Z  , Z  , với , Z nghiệm đường tròn đơn vị Hay BZ  A L  k , q,    2 i 2  i BZ0  A BZ  A (G8) Bây ta xét điều kiện toán, từ (G4) ta có B  0; A  q    2 k Để có nghiệm (G7) ta phải có điều kiện  q    2 k  2kq A  B '  A  B     2  A  B  q    2 k  2kq 2 Giải hệ ta có điều kiện 135 i   ii           q    q       q  i    q     q ;  ii         q k  q k  k    2 Khi nghiệm đường trịn đơn vị Z2   Z1   A A2   B B2 A B; A A2   A   B Ta có BZ1  A  A2  B ; BZ  A   A2  B , với B B q A2  B     2 k    2kq   q 2     q   2 k       Thay vào (G3) ta có 1/   2 k   2  q   q     J  k , q,    2  k    q      2  q        q   q           q              k    k             Trong (G2) ta gọi J  k , q,    2 J   k , q,      1/2   2k     q     q     k      q       q      2        q  1/2     2k   q    q    k     q      2       q  (G9)   q     q      q     k   k           Từ kết ta tính  g g Re P  q,      dkJ  k , q,   2 4 0 1 (G10) Để tính tích phân ta xét theo vùng Hình 2.1 dùng kết (G9) sau: Vùng 1A: 136 Re P 1  q,   g g   2 4  q       2k   q  dk   2    q  1/2 q  g  4  1/2     2k   q  dk   2    q  (G11) g  f  q,    2 Vùng 1B Re P 1  q,   g g   2 4 1/2    2k   q  0 dk    q    kF g  4 g  4 q   1/    2k   q  dk   2    q  1/ (G12)    2k   q   dk    q  q    kF    2     2     g  f  q,    G    G   2  q   q   Vùng 2A: Re P 1  q,   g g   2 4  q   1/2     2k   q  dk   2    q  g  4 1/2     2k   q  0 dk    q    kF (G13)    2  g  f  q,   G   2  q  Vùng 2B: Re P 1  q,   1/2     2k   q  g g   dk   2 4 0    q  kF  g  4 q   1/2     2k   q  dk   2    q  (G14)  2    g  f  q,   G   2  q  Vùng 3A: 1/ 2 k    2k 2  q  g F    2k   q  dk dk     0    q  4 0    q        2     2     g   f  q,    G    G   2  q   q   g g Re P 1  q,      2 4 kF Vùng 3B: 137 1/ (G15) 1/ 2 k    2k 2  q  g F    2k   q  dk dk     0    q  4 0    q        2       2  g   f  q,   G    G   2  q    q  g g Re P  q,      2 4 1 kF Tổng hợp kết ta thu (2.34) 138 1/ (G16) ... vật liệu graphene [109] Graphene phát năm 2004 với tính chất điện tử đặc biệt thích hợp cho địi hỏi cơng nghệ thời lĩnh vực điện tử tập trung nghiên cứu sôi động Nhiều hiểu biết tính chất graphene. .. đánh giá chặt chẽ giới hạn hoạt động mơ hình Dirac việc mơ tả tính chất động lực học hệ nói chung, mode plasmon nói riêng Với cách đặt vấn đề chúng tơi chứng minh việc tính đến đặc điểm hình học. .. ứng hệ electron mạng tinh thể tác dụng mật độ điện tích ngồi Khi hệ bị tác động vô hướng, phản ứng hệ đặc trưng hàm điện môi dọc Như ta biết, hàm điện môi ngang đặc trưng cho phản ứng hệ tác động