Ba tính chất của bài toán tối ưu có thể giải bằng quy hoạch động: Bài toán lớn có thể phân rã thành những bài toán con đồng dạng, những bài toán con đó có thể phân rã thành những bài
Trang 2QUY HOẠCH ĐỘNG
Chuyên đề:
Giảng viên: NGUYỄN DUY DŨNG
Đơn vị: Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
Số ĐT: 0913141823
Email: Dungduyit83@gmail.com
Trang 3QUY HOẠCH ĐỘNG LÀ GÌ?
Bài toán
Quy hoạch động (dynamic programming)
Chia để trị (divide & conquer)
Thiết kế thuật toán
Mô hình hóa Lập trình Kiểm thử
Vét cạn (exhaustive search) Tham lam
(greedy)
Trang 4 Ba tính chất của bài toán tối ưu có thể giải bằng quy hoạch động:
Bài toán lớn có thể phân rã thành những bài toán con đồng dạng, những bài
toán con đó có thể phân rã thành những bài toán nhỏ hơn nữa …(recursive
form).
Lời giải tối ưu của các bài toán con có thể sử dụng để tìm ra lời giải tối ưu
của bài toán lớn (optimal substructure)
Hai bài toán con trong quá trình phân rã có thể có chung một số bài toán
con khác (overlapping subproblems).
Có thể hiểu
Hai tính chất đầu tiên Có thể giải bằng chia để trị và đệ quy
Tính chất thứ ba Đặc trưng cho tính hiệu quả của quy hoạch động
BÀI TOÁN QUY HOẠCH ĐỘNG
Ba tính chất của bài toán tối ưu có thể giải bằng quy hoạch động:
Bài toán lớn có thể phân rã thành những bài toán con đồng dạng, những bài
toán con đó có thể phân rã thành những bài toán nhỏ hơn nữa …(recursive
form).
Lời giải tối ưu của các bài toán con có thể sử dụng để tìm ra lời giải tối ưu
của bài toán lớn (optimal substructure)
Hai bài toán con trong quá trình phân rã có thể có chung một số bài toán
con khác (overlapping subproblems).
Có thể hiểu
Hai tính chất đầu tiên Có thể giải bằng chia để trị và đệ quy
Tính chất thứ ba Đặc trưng cho tính hiệu quả của quy hoạch động
Trang 5 Bài toán giải theo phương pháp quy hoạch động gọi là
bài toán quy hoạch động.
Công thức phối hợp nghiệm của các bài toán con để có nghiệm của bài toán lớn gọi là công thức truy hồi của quy hoạch động.
Tập các bài toán nhỏ nhất có ngay lời giải để từ đó giải quyết các bài toán lớn hơn gọi là cơ sở quy hoạch động
Không gian luu trữ lời giải các bài toán con để tìm cách phối hợp chúng gọi là bảng phương án của quy hoạch động.
CÁC KHÁI NIỆM
Bài toán giải theo phương pháp quy hoạch động gọi là
bài toán quy hoạch động.
Công thức phối hợp nghiệm của các bài toán con để có nghiệm của bài toán lớn gọi là công thức truy hồi của quy hoạch động.
Tập các bài toán nhỏ nhất có ngay lời giải để từ đó giải quyết các bài toán lớn hơn gọi là cơ sở quy hoạch động
Không gian luu trữ lời giải các bài toán con để tìm cách phối hợp chúng gọi là bảng phương án của quy hoạch động.
Trang 6 Giải tất cả các bài toán cơ sở (thông thường rất dễ),
luu các lời giải vào bảng phương án.
Dùng công thức truy hồi phối hợp những lời giải của
những bài toán nhỏ đã lưu trong bảngphương án để
tìm lời giải của những bài toán lớn hơn và lưu chúng
vào bảng phuong án, chotới khi bài toán ban đầu tìm được lời giải.
Dựa vào bảng phương án, truy vết tìm ra nghiệm tối
ưu.
CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH ĐỘNG
Giải tất cả các bài toán cơ sở (thông thường rất dễ),
luu các lời giải vào bảng phương án.
Dùng công thức truy hồi phối hợp những lời giải của
những bài toán nhỏ đã lưu trong bảngphương án để
tìm lời giải của những bài toán lớn hơn và lưu chúng
vào bảng phuong án, chotới khi bài toán ban đầu tìm được lời giải.
Dựa vào bảng phương án, truy vết tìm ra nghiệm tối
ưu.
Trang 7 Nhập vào dãy số nguyên
A=(a 1 ,a 2 …a n ) n≤10 6
, |a i |≤ 10 9
Tìm một đoạn con gồm các phần tử liên tiếp trong dãy A có tổng lớn nhất.
Dữ liệu vào file: DAYSO.INP
Dữ liệu ra file: DAYSO.OUT
- Ghi 1 giá trị duy nhất là tổng lớn nhất tìm được
Ghi chú: Tên chương trình: DAYSO.PAS
BÀI TOÁN 1
A=(a 1 ,a 2 …a n ) n≤10 6
, |a i |≤ 10 9
Tìm một đoạn con gồm các phần tử liên tiếp trong dãy A có tổng lớn nhất.
Dữ liệu vào file: DAYSO.INP
Dữ liệu ra file: DAYSO.OUT
- Ghi 1 giá trị duy nhất là tổng lớn nhất tìm được
Ghi chú: Tên chương trình: DAYSO.PAS
Trang 8 Thuật toán đầu tiên: O(n 3 )
Thuật toán O(n 2 ):
- Gọi S[i] là tổng các phần tử từ a 1 tới a i
Bài toán cơ sở: dãy không có phần tử nào
S[0]=0
Công thức tính S: S[i] = S[i-1]+a[i]
Kết quả bài toán:
Res = Max{S[j]-S[i-1]; i: 1 n, j: i n }
BÀI TOÁN 1
Thuật toán đầu tiên: O(n 3 )
Thuật toán O(n 2 ):
- Gọi S[i] là tổng các phần tử từ a 1 tới a i
Bài toán cơ sở: dãy không có phần tử nào
S[0]=0
Công thức tính S: S[i] = S[i-1]+a[i]
Kết quả bài toán:
Res = Max{S[j]-S[i-1]; i: 1 n, j: i n }
Trang 9 Thuật toán O(n):
- Gọi S[i] là tổng các phần tử từ a 1 tới a i
Bài toán cơ sở: dãy rỗng S[0] = 0
Công thức tính S: S[i] = S[i-1]+a[i]
Gọi min là giá trị S nhỏ nhất từ 1 tới i-1
Kết quả bài toán
Xét i: 1 n Res = max{S[i] - min}
BÀI TOÁN 1
Thuật toán O(n):
- Gọi S[i] là tổng các phần tử từ a 1 tới a i
Bài toán cơ sở: dãy rỗng S[0] = 0
Công thức tính S: S[i] = S[i-1]+a[i]
Gọi min là giá trị S nhỏ nhất từ 1 tới i-1
Kết quả bài toán
Xét i: 1 n Res = max{S[i] - min}
Trang 10 Nhập vào dãy số nguyên
A=(a1,a2 …an) n≤106
, |ai |≤ 109
Nối a1 vào sau an ta được 1 vòng tròn số
Tìm một đoạn con gồm các phần tử liên tiếp trong vòng tròn số có tổng lớn nhất.
Dữ liệu vào file: DAYSO.INP
- Dòng 1: chứa số nguyên dương N
- Dòng 2: chứa N số nguyên của dãy A
Dữ liệu ra file: DAYSO.OUT
- Ghi 1 giá trị duy nhất là tổng lớn nhất tìm được
Ghi chú: Tên chương trình: DAYSO.PAS
BÀI TOÁN 2
Nhập vào dãy số nguyên
A=(a1,a2 …an) n≤106
, |ai |≤ 109
Nối a1 vào sau an ta được 1 vòng tròn số
Tìm một đoạn con gồm các phần tử liên tiếp trong vòng tròn số có tổng lớn nhất.
Dữ liệu vào file: DAYSO.INP
- Dòng 1: chứa số nguyên dương N
- Dòng 2: chứa N số nguyên của dãy A
Dữ liệu ra file: DAYSO.OUT
- Ghi 1 giá trị duy nhất là tổng lớn nhất tìm được
Ghi chú: Tên chương trình: DAYSO.PAS
Trang 11 Nhập vào dãy số nguyên
A=(a1,a2 …an) n≤103
, |ai |≤ 109
Tìm dãy chỉ số I = (i1, i2, , ik) dài nhất
1 i1 < i2 < < ik n
a[i1] < a[i2] < < a[ik]
Ví dụ A = ( 1 , 2 , 3 , 8, 9, 4 , 5 , 6 , 2, 3, 9 , 10 )
BÀI TOÁN 3: DÃY CON TĂNG DÀI NHẤT
Nhập vào dãy số nguyên
A=(a1,a2 …an) n≤103
, |ai |≤ 109
Tìm dãy chỉ số I = (i1, i2, , ik) dài nhất
1 i1 < i2 < < ik n
a[i1] < a[i2] < < a[ik]
Ví dụ A = ( 1 , 2 , 3 , 8, 9, 4 , 5 , 6 , 2, 3, 9 , 10 )
Trang 12 Thêm 2 phần tử a0 = -; an+1 = +
Dãy con đơn điệu tăng dài nhất chắc chắn bắt đầu ở a0 và kết thúc ở an+1
Tổng quát hóa: Làm thế nào xác định dãy con đơn điệu tăng dài nhất kết thúc tại a i?
Kiểm tra 3 tính chất của bài toán QHĐ
Dãy con tăng kết thúc tại a i được thành lập bằng cách lấy a i ghép vào sau một
dãy con tăng kết thúc tại a j nào đó đứng trước a i
Nếu xác định được tất cả các dãy con tăng dài nhất đứng trước a i thì có thể xác
định được dãy con tăng dài nhất kết thúc tại a i
BÀI TOÁN 3: DÃY CON TĂNG DÀI NHẤT
Thêm 2 phần tử a0 = -; an+1 = +
Dãy con đơn điệu tăng dài nhất chắc chắn bắt đầu ở a0 và kết thúc ở an+1
Tổng quát hóa: Làm thế nào xác định dãy con đơn điệu tăng dài nhất kết thúc tại a i?
Kiểm tra 3 tính chất của bài toán QHĐ
Dãy con tăng kết thúc tại a i được thành lập bằng cách lấy a i ghép vào sau một
dãy con tăng kết thúc tại a j nào đó đứng trước a i
Nếu xác định được tất cả các dãy con tăng dài nhất đứng trước a i thì có thể xác
định được dãy con tăng dài nhất kết thúc tại a i
Trang 13Bài toán cơ sở: L[0]=1
Công thức truy hồi:
L[i] = max{L[j]: (j<i)&(aj<ai)}+1
dãy con tăng dài nhất
BÀI TOÁN 3: DÃY CON TĂNG DÀI NHẤT
Công thức truy hồi:
L[i] = max{L[j]: (j<i)&(aj<ai)}+1
dãy con tăng dài nhất
- 11 22 66 33 44 99 55 77 +
A
L
(n2) Giải pháp cải tiến?
2 3
Trang 14Để vui Tết Trung thu cho các cháu ban tổ chức thành phố X quyết định phát quà cho mỗi cháu bằng cách tổ chức một trò chơi trên lưới ô vuông như sau:
Vẽ một hình chữ nhật kích thước M x N ô vuông, Các dòng được đánh số từ 1 đến
M, các cột được đánh số từ 1 đến N (các số được đánh từ trên xuống dưới và từ trái sang phải) Mỗi ô nằm trên giao của dòng i và cột j được gọi là ô (i,j) ghi một số nguyên dương A[i,j], (1 ≤ i ≤ M, 1 ≤ j ≤ N) chính là số món quà trên ô đó Có thể di chuyển từ
một ô sang ô thuộc cột bên phải cùng dòng hoặc chênh lệch một dòng.
phát) đến một ô nào đó thuộc cột N (cột đích) sao cho tổng các số của ô đi qua là lớn nhất vì đó chính là tổng số món quà mà các cháu được nhận
N ≤ 100) M dòng tiếp theo mỗi dòng N số nguyên A[i,j] (0 ≤ A[i,j] ≤ 50) của hình chữ nhật
Dòng thứ nhất ghi tổng các số của các ô đi qua
Dòng thứ hai ghi N số là chỉ số dòng các ô đi qua từ cột 1 đến cột N
Ví dụ:
BÀI TOÁN 4: QUÀ TẾT TRUNG THU
Để vui Tết Trung thu cho các cháu ban tổ chức thành phố X quyết định phát quà cho mỗi cháu bằng cách tổ chức một trò chơi trên lưới ô vuông như sau:
Vẽ một hình chữ nhật kích thước M x N ô vuông, Các dòng được đánh số từ 1 đến
M, các cột được đánh số từ 1 đến N (các số được đánh từ trên xuống dưới và từ trái sang phải) Mỗi ô nằm trên giao của dòng i và cột j được gọi là ô (i,j) ghi một số nguyên dương A[i,j], (1 ≤ i ≤ M, 1 ≤ j ≤ N) chính là số món quà trên ô đó Có thể di chuyển từ
một ô sang ô thuộc cột bên phải cùng dòng hoặc chênh lệch một dòng.
phát) đến một ô nào đó thuộc cột N (cột đích) sao cho tổng các số của ô đi qua là lớn nhất vì đó chính là tổng số món quà mà các cháu được nhận
N ≤ 100) M dòng tiếp theo mỗi dòng N số nguyên A[i,j] (0 ≤ A[i,j] ≤ 50) của hình chữ nhật
Dòng thứ nhất ghi tổng các số của các ô đi qua
Dòng thứ hai ghi N số là chỉ số dòng các ô đi qua từ cột 1 đến cột N
3 5
Trang 15Kỹ thuật rào
Xây dựng bảng 2 chiều KQ
KQ[i,j]=Max{KQ[i-1,j-1], KQ[i,j-1], KQ[i+1,j-1]}+a[i,j]
Với 1 ≤ i ≤ M, 1 ≤ j ≤ N Truy vết: lần ngược theo kết quả
BÀI TOÁN 4: QUÀ TẾT TRUNG THU
Kỹ thuật rào
Xây dựng bảng 2 chiều KQ
KQ[i,j]=Max{KQ[i-1,j-1], KQ[i,j-1], KQ[i+1,j-1]}+a[i,j]
Với 1 ≤ i ≤ M, 1 ≤ j ≤ N Truy vết: lần ngược theo kết quả
Trang 160 0 0 0
0
0
0
5
6 15 10 5
Mảng A
Bảng phương án KQ
0 0
0
0 0
7 11 24 27 50
8 16 26 45 46
6 23 33 38 47
Bảng phương án KQ
