Bài giảng môn toán 5 xác xuất thống kê - ts nguyễn hữu thọ

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2011 -2 012 Bài số 15 TỔNG KẾT MƠN TỐN I XÁC SUẤT CỔ ĐIỂN BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU Nhắc lại bổ xung kiến thức giải tích tổ hợp a.Quy tắc cộng Giải sử cơng việc có k trường hợp để thực hiện: Trường hợp có n1 cách thực Trường hợp có n2 cách thực … Trường hợp k có nk cách thực Khi ta có: n = n1 + n2 + + nk cách thực công việc cho b.Quy tắc nhân.Giải sử cơng việc chia thành k giai đoạn: Có n1 cách thực giai đoạn thứ Có n2 cách thực giai đoạn thứ hai… Có nk cách thực giai đoạn thứ k Khi ta có: n = n1.n2 nk cách thực cơng việc cho c Hốn vị Định nghĩa: Hoán vị n phần tử có thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho gồm n phần tử cho Cơng thức 1: Số hốn vị n phần tử phân biệt Pn = n ! Cơng thức 2: Số hốn vị n phần tử phân biệt lấy k lần liên tiếp n! k P = An = (còn gọi chỉnh hợp chập k n phần tử) k r (n − k )! Công thức 3: Số hoán vị n phần tử phân biệt xếp theo vòng tròn : (n − 1)! Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2011 -2 012 Cơng thức 4: Số hốn vị phân biệt n phần tử mà n1 phần tử thuộc kiểu thứ nhất, n2 phần tử thuộc kiểu thứ hai, , nk phần tử thuộc kiểu thứ k k là: n! n1 ! n ! n k ! d.Phân hoạch Tổ hợp Công thức 1: Ta phân hoạch tập gồm n phần tử thành k ngăn cho: có n1 phần tử ngăn thứ nhất, có n2 phần tử ngăn thứ hai, có nk phân tử ngăn thứ k Khi số cách phân hoạch là:   n n!     n , n , , n  = n ! n ! n !     r k n1 + n2 + + nk = n Công thức 2: Số tổ hợp n phần tử phân biệt tạo lấy r phần tử lúc n   n!   k   = Cn = r    r !(n − r )!   Biến cố a Định nghĩa Các kết xảy phép thử gọi biến cố Như biến cố phép thử tập không gian mẫu Ký hiệu biến cố : Dùng chữ in hoa A, B, C… Chú ý • Mỗi điểm mẫu biến cố gọ biến cố sơ cấp • Biến cố khơng thể biến cố không xảy thực phép thử, ký hiệu ∅ • Biến cố chắn biến cố luôn xảy thực phép thử, tương ứng với không gian mẫu S (hay ) nên ký hiệu S (hay ) Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2011 -2 012 b Quan hệ biến cố Cho A B hai biến cố phép thử với khơng gian mẫu S Khi : • Biến cố A gọi kéo theo biến cố B, ký hiệu A ⊂ B, A xảy B xảy • Biến cố A gọi tương đương với biến cố B, ký hiệu A = B, A xảy B xảy ngược lại • Biến cố đối biến cố A, ký hiệu A , biến cố xảy A không xảy • Hợp (tổng) hai biến cố A B , ký hiệu A ∪ B (hoặc A + B ) biến cố xảy có biến cố biến cố A B xảy Nói cách khác : A ∪ B biến cố gồm điểm mẫu thuộc A thuộc B Định nghĩa hợp n biến cố định nghĩa tương tự : A1 ∪ A2 ∪ ∪ An • Giao (tích) hai biến cố A B , kí hiệu A ∩ B (hoặc AB ) biến cố xảy A B xảy Nói cách khác A ∩ B biến cố gồm điểm mẫu thuộc A B Nếu A1, A2, …, An biến cố liên quan đến phép thử, giao (hay tích) chúng, ký hiệu A1 ∩ A2 ∩ ∩ An • Hai biến cố A B gọi xung khắc A ∩ B = ∅ Xác xuất của biến cố Xét phép thử với không gian mẫu S= = {s1, s2 , sk } Khi đó, với điểm mẫu (biến cố sơ cấp) si gán tương ứng với số thực pi thỏa mãn     pi ∈ 0;1  k  , số thực pi gọi xác suất điểm mẫu (biến cố sơ cấp) si  ∑ p =  i  i =1   Đ nh nghĩa Xét phép thử với không gian mẫu S A biến cố phép thử Khi xác suất biến cố A tổng xác xuất tất diểm mẫu A , ký hiệu P (A) Các bước tìm xác suất(theo lối cổ điển) biến cố A : 1.Đếm số biến số sơ cấp đồng khả không gian mẫu: N Đếm số biến số sơ cấp đồng khả biến cố A : n n Từ P (A) = N a.Công thức cộng Trường hợp biến cố xung khắc Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2011 -2 012 Nếu A B biến cố xung khắc (tức A ∩ B = AB = ∅ ) phép thử ta có: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Trường hợp tổng quát Nếu A B hai biến cố tùy ý phép thử ta có P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB) b.Xác suất có điều kiện Cơng thức nhân Xác suất có điều kiện Định nghĩa: Xác suất biến cố B tính biết biến cố A xảy gọi xác suất có điều kiện ký hiệu P(B|A) Ký hiệu P(B|A) thường đọc “ xác suất để B xảy với điều kiện A xảy ra” đơn giản “xác suất B với điều kiện A” Công thức: Xác suất có điều kiện B với điều kiện A, ký hiệu P(B|A), xác định sau: P (A ∩ B ) P (B | A) = P(A) > P (A) Công thức nhân xác suất Nếu phép thử, biến cố A B xảy P (A ∩ B ) = P (A)P (B A) = P (B )P (A B ) Hai biến cố A B độc lập với P(A ∩ B) = P(A).P(B) c.Công thức xác suất đủ Công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ Nếu biến cố B ,B , …, B k phân hoạch không gian mẫu S (tức B1, B2, , Bk nhóm biến cố đầy đủ đơi xung khắc), P(B i ) ≠ với i = 1, 2, …, k với biến cố A S ta có: k P(A) = ∑ P(Bi ∩ A) = i =1 k ∑ P(B )P(A | B ) i =1 i i Cơng thức Bayes Cho phép tính xác suất có điều kiện P (B | A) biết xác suất có điều kiện P (A | B ) số thông tin khác Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2011 -2 012 a) Dạng đơn giản công thức là: Với A B hai biến cố với xác suất khác khơng, ta ln có: P (A | B )P (B ) P (B | A) = P (A) Định lý (Công thức Bayes tổng quát) Nếu biến cố B ,B , …, B k phân hoạch không gian mẫu S (tức B1, B2, , Bk nhóm biến cố đầy đủ đơi xung khắc), P(B i ) ≠ với i = 1, 2, …, k, với biến cố A S mà P(A) ≠ ta có: P (Br ∩ A) P (Br )P (A | Br ) P(B r |A) = k = k ∑ P(Bi ∩ A) ∑ P(Bi )P(A | Bi ) i =1 i =1 Biến ngẫu nhiên chiều a.Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên quy tắc cho tương ứng phần tử không gian mẫu với số thực b Phân loại biến ngẫu nhiên Từ tính chất tập giá trị biến ngẫu ngẫu nhiên, người ta chia biến ngẫu nhiên thành hai loại: Biến ngẫu nhiên X gọi biến ngẫu nhiên rời rạc tập giá trị tập đếm Biến ngẫu nhiên X gọi biến ngẫu nhiên liên tục giá trị lấp đầy hay số khoảng hữu hạn vô hạn trục số c Phân phối xác suất Ta ký hiệu biến ngẫu nhiên X nhận giá x X = x xác suất để X nhận giá trị x P (X = x ) i Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc Đặt: f (x ) = P (X = x ) , f (x ) hàm giá trị X Hàm xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Cho X biến ngẫu nhiên rời rạc có tập giá trị {x 1, x , x , } Hàm số thực f (x ) xác định » gọi hàm xác suất (hoặc phân phối xác suất) X thoả mãn điều kiện sau: f (x ) ≥ với x tập giá trị X ∑ f (x ) = i xi f (x i ) = P (X = x i ) Hàm phân phối tích lũy Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê 2011 -2 012 Hàm phân phối tích lũy F (x ) biến ngẫu nhiên rời rạc X với phân phối xác suất f (x ) hàm số xác định bởi: F (x ) = P (X ≤ x ) = ∑ f (t ) với −∞ < x < +∞ t ≤x ii Đối với biến ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ xác suất Hàm mật độ xác suất f (x ) biến ngẫu nhiên liên tục X hàm số thực xác định tập số thực » thỏa mãn xác điều kiện sau: f (x ) ≥ , với ∀x ∈ » +∞ ∫ f (x )dx = −∞ b P(a < X < b) = ∫ f (x )dx a Hàm phân phối tích lũy Hàm phân phối tích lũy F (x ) biến ngẫu nhiên liên tục X với hàm mật độ f (x ) hàm thực xác định bởi: x F (x ) = P (X ≤ x ) = ∫ f (t )dt , với −∞ < x < +∞ −∞ 5.Một số hân phối xác suất thường gặp a.Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc i Phân phối rời rạc Định nghĩa Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X với miền giá trị {x 1, x , , x k } xác suất để X nhận giá trị nhau: P (X = x i ) = P (X = x j ), ∀i ≠ j Khi ta nói biến ngẫu nhiên X có phân phối rời rạc, ta có: f (x ; k ) = , x ∈ {x 1, x , , x k } k Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2011 -2 012 Tham số đặc trưng:Cho BNN rời rạc X với miền giá trị {x 1, x 2, , x k } Giá trị trung bình (kỳ vọng) phương sai phân phối rời rạc f (x ; k ) k E (X ) = µ = ∑x i =1 k k i σ = ∑ (x i =1 i k − µ)2 ii Phân phối nhị thức Định nghĩa Phép thử Bernoulli trình thỏa mãn đồng thời tính chất sau: Một thí nghiệm gồm n phép thử loại lặp lặp lại Mỗi biến cố phép thử phân loại theo biến cố thành công biến cố thất bại Xác suất thành công phép thử kí hiệu p Các phép thử độc lập Định nghĩa Số lần thành công X n phép thử Bernoulli gọi biến ngẫu nhiên nhị thức Phân phối xác suất BNN rời rạc gọi phân phối nhị thức Xác suất kí hiệu b(x; n; p) - phụ thuộc vào số phép thử xác suất thành công phép thử Cơng thức tính: Cho phép thử Bernoulli với xác suất thành công p thất bại q = − p Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên nhị thức X (số lần thành công n phép thử độc lập), x b(x ; n, p) = P (X = x ) = C n p xq n −x , x = 0,1,2, , n Chú ý: Do p + q = nên ta được: n ∑ b(x ; n, p) = x =0 Nhiều ta cần tính P(X < r) P(a ≤ X ≤ b) Khi ta cần kết tính sẵn, tổng r nhị thức: B(r ; n, p) = ∑ b(x ; n, p) tính sẵn ghi Bảng A.1 phần phụ lục, với x =0 n = 1, 2, ,20 giá trị xác suất p từ 0,1 đến 0,9 Tham số đặc trưng: Giá trị trung bình (kỳ vọng) phương sai phân phối nhị thức b(x; n, p) xác định bởi: µ = np σ = npq iii Phân phối đa thức Định nghĩa Phép thử nhị thức trở thành phép thử đa thức phép thử có nhiều hai kết Khi phân phối xác suất phép thử đa thức gọi phân phối đa thức Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2011 -2 012 Cơng thức tính: Nếu phép thử có k kết cục E1, E2, …,Ek với xác suất tương ứng p1, p2,…, pk, phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X1, X 2, , Xk biểu thị số lần xuất E1, E2, …,Ek tương ứng, dãy n phép thử độc lập x ,x , ,x k f (x 1, x 2, , x k ; p1, p2 , , pk , n ) = C n k ∑x i =1 i = n, k ∑p i =1 i x x x p1 p2 pk k = iv Phân phối siêu bội Định nghĩa Khi chọn ngẫu nhiên mẫu cỡ n từ N phần tử, ta quan tâm đến xác suất để chọn x phần tử thành công Phép thử kiểu gọi phép thử siêu bội, thỏa mãn hai tính chất sau: Một mẫu cỡ n chọn ngẫu nhiên theo phương thức khơng hồn lại từ N phần tử Trong N phần tử định rõ k phần tử thành công N – k phần tử lại thất bại Số phần tử thành công X phép thử siêu bội gọi biến ngẫu nhiên siêu bội Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên siêu bội gọi phân phối siêu bội giá trị kí hiệu P (X = x ) = h(x ; N , n, k ) Công thức tính: Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên siêu bội X (biểu thị số thành công mẫu cỡ n chọn ngẫu nhiên từ N phần tử) có k phần tử thành cơng N – k phần tử đặt thất bại, xác định công thức: n C kxC N−xk − h(x ; N , n, k ) = , x = 0,1, 2, , n n CN Tham số đăc trưng: Trung bình (kỳ vọng) phương sai phân phối siêu bội h(x; N, n, k) xác định bởi: N −n k  k nk   σ = µ= n 1 −   N N −1 N  N   v Phân phối nhị thức âm Xét phép thử có tính chất tương tự tính chất phép thử nhị thức, số phép thử lặp lại (độc lập) số lượng biến cố thành công xuất số ấn định trước Khi đó, ta quan tâm đến xác suất để có k lần thành cơng dừng lại lần thực phép thử thứ x Dãy phép thử kiểu gọi dãy phép thử nhị thức âm a Định nghĩa Số phép thử X để có k biến cố thành cơng phép thử nhị thức âm gọi biến ngẫu nhiên nhị thức âm, phân phối xác suất gọi phân phối nhị thức âm, kí hiệu xác suất b * (x ; k, p) Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê 2011 -2 012 b Công thức Nếu phép thử lặp lặp lại cách độc lập với biến cố thành công xuất lần thực có xác suất p biến cố thất bại xuất với xác suất q = − p , phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X (biểu thị số phép thử cần phải thực để có lần thứ k biến cố thành công xuất hiện) −1 b * (x ; k, p) = C xk−1 p kq x −k , x = k, k + 1, k + 2, vi Phân phối hình học Trường hợp đặc biệt phân phối nhị thức âm phân phối hình học kí hiệu giá trị g(x ; p) Định nghĩa Nếu phép thử lặp lặp lại cách độc lập xác suất xuất biến cố thành công phép thử p biến cố thất bại q = – p, phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X (biểu thị số phép thử phải thực đến biến cố thành công xuất hiện) g(x ; p) = pq x −1, x = 1, 2, 3, Tham số đặc trưng Giá trị trung bình (kỳ vọng) phương sai biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân 1− p phối hình học, là: µ = , σ = p p2 vii Phân phối Poisson trình Poisson Định nghĩa Các phép thử cho kết giá trị số biến ngẫu nhiên X , biểu thị số biến cố sơ cấp xuất suốt khoảng thời gian cho trước (thể có độ dài bất kỳ) miền xác định, gọi phép thử Poisson Định nghĩa Số biến cố sơ cấp X xuất phép thử Poisson gọi biến ngẫu nhiên Poisson phân phối xác suất gọi phân phối Poisson Công thức Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Poisson X, biểu thị số biến cố sơ cấp xuất khoảng thời gian cho trước vùng định trước ký hiệu t, e −λt (λt )x p(x ; λt ) = , x = 0,1,2, x! λ số biến cố xuất trung bình đơn vị thời gian vùng, e ≈ 2.71828 r Chú ý Bảng A.2 chứa tổng xác suất Poisson : P (r ; λt ) = ∑ p(x ; λt ) x =0 với số giá trị λt thay đổi từ 0,1 đến 18 Tham số đặc trưng Giá trị trung bình(Kỳ vọng) phương sai phân phối Poisson p(x ; λt ) λt Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2011 -2 012 b Đối với biến ngẫu nhiên liên tục i Phân phối liên tục Định nghĩa Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi có phân phối liên tục khoảng a;b  hàm mật độ khoảng xác định bởi:    a ≤ x ≤ b  f (x ; a, b) =  b −a   x ∉ a;b       Nhận xét: Nếu BNN liên tục X có phân phối [a;b ] , hàm phân phối X xác định bởi: 0 , x < a   x   x −a F (x ) =  ∫ f (x )dx = , a ≤ x ≤b   b −a −∞  1 , x > b    Tham số đặc trưng: Kỳ vọng phương sai phân phối xác định bởi: a +b (b − a )2 µ= σ = 12 ii Phân phối chu n Định nghĩa Một biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối hình chuông gọi biến ngẫu nhiên chu n Mật độ X ký hiệu n(x ; µ, σ) Phân phối chu n: Cho biến ngẫu nhiên chuNn X , với kỳ vọng µ phương sai σ Khi hàm mật độ biến ngẫu nhiên X xác định bởi: n(x ; µ, σ) = − e (x −µ )2 σ2 , − ∞ < x < +∞, π = 3.14159 e = 2.71828 σ 2π Tham số đặc trưng Nếu X BNN chuNn có hàm mật độ n(x ; µ, σ) E (X ) = µ, σX = σ 10 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2011 -2 012 i Giả thiết H đưa kiểm định có dạng: θ = θ0 cịn đối thiết H có dạng: θ < θ0 ( θ > θ0 ) ii Giả thiết kiểm định có dạng: θ ≤ θ0 (hoặc θ ≥ θ0 ) đối thiết H tương ứng có dạng: θ > θ0 (hoặc θ < θ0 ) b.Kiểm định hai phía: giả thiết H đưa kiểm định có dạng θ = θ0 cịn đối thiết H có dạng θ ≠ θ0 Tiêu chu n kiểm định giả thiết thống kê Giả sử ta cần nghiên cứu tham số θ biến ngẫu nhiên X , người ta cần đưa giả thiết cần kiểm định H : θ = θ0 Từ BNN gốc tổng thể, lập mẫu ngẫu nhiên cỡ n : W = (X1, X 2, , Xn ) , ta ˆ ˆ chọn thống kê: Θ = Θ(X , X , , X ; θ ) n ˆ ˆ Nếu H thống kê Θ có phân phối xác suất hồn tồn xác định Khi thống kê Θ gọi tiêu chu n kiểm định giả thiết H Miền bác bỏ giả thiết ˆ Sau chọn tiêu chuNn kiểm định Θ , với α bé cho trước (thông thường α ∈ {0, 01; 0, 05} ) với ˆ điều kiện H đúng, ta tìm miền Wα cho Θ nhận giá trị miền Wα với xác suất ˆ α , tức là: P (Θ ∈ W ) = α α Khi miền Wα gọi Miền bác bỏ giả thiết H , α gọi Mức ý nghĩa kiểm định(hay gọi cỡ miền bác bỏ) + Miền lại gọi Miền chấp nhận giả thiết H + Số nằm miền bác bỏ miền chấp nhận gọi là: Giá trị tới hạn 4.Giá trị quan sát Thực phép thử mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X 2, , Xn ) ta mẫu cụ thể: w = (x 1, x , , x n ) ˆ ˆ Tính giá trị cụ thể Θ w = (x 1, x , , x n ) ta θ0 = Θ(x 1, x , , x n ) Khi θ0 gọi giá trị quan sát + Nếu θ0 ∈ Wα bác bỏ giả thiết H thừa nhận đối thiết H + Nếu θ0 ∉ Wα giả thiết H chấp nhận 6.Sai lầm loại I, sai lầm loại II 27 2011 -2 012 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê Các khả xảy kiểm định giả thiết: Thực tế Quyết định Bác bỏ H Không bác bỏ H H H sai Sai lầm loại I Xác suất α Quyết định Xác suất − α Quyết định Xác suất − β Sai lầm loại II Xác suất β Thủ tục kiểm định giả thiết thống kê + Xác định tham số cần quan tâm, phát biểu giả thiết H đối thiết H + Từ tổng thể nghiên cứu lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n ˆ ˆ + Chọn tiêu chuNn kiểm định Θ xác định quy luật phân bố xác suất Θ với điều kiện giải thiết H + Với mức ý nghĩa α , xác định miền bác bỏ Wα tốt tùy thuộc vào đối thiết H ˆ + Từ mẫu cụ thể, tính giá trị quan sát tiêu chuNn kiểm định θ = Θ(x , x , , x ) n + Tùy thuộc vào quan hệ giá trị quan sát tiêu chuNn kiểm định miền bác bỏ mà dẫn tới kết luận: Nếu θ0 ∈ Wα bác bỏ giả thiết H thừa nhận đối thiết H Nếu θ0 ∉ Wα giả thiết H chấp nhận Chú ý H : θ = θ  i Đối với kiểm định hai phía:  , miền bác bỏ H có dạng Wα = (−∞; −a ] ∪ [a; +∞)  H : θ ≠ θ0   H : θ = θ  ii Đối với kiểm định phía:  , miền bác bỏ giả thiết H có dạng Wα = (a; +∞)  H : θ > θ0   H : θ = θ  iii Đối với kiểm định phía:  , miền bác bỏ có dạng Wα = (−∞; a )  H : θ < θ0   Ở a giá trị giới hạn B.KIỂM ĐNNH VỀ TRUNG BÌNH (KỲ VỌNG) 1.Kiểm định giả thiết trung bình Xét tổng thể với biến ngẫu nhiên X có trung bình µ = E (X ) chưa biết Ta cần kiểm định giả thiết:   H : µ = µ0  H : µ ≠ µ0   Đây tốn kiểm định hai phía Ta xét trường hợp sau: 28 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2011 -2 012 a.Trường hợp 1: biết phương sai σ n ≥ 30 (nếu n < 30 X phải có p.phối chuNn n(x ; µ, σ ) ) + Từ tổng thể rút mẫu ngẫu nhiên kích thước n : W = (X1, X 2, , Xn ) + Xét thống kê: Z = X − µ0 σ/ n µ = µ0 , Z = X − µ0 σ/ n : tiêu chuNn kiểm định giả thiết Ta biết rằng, với giả thuyết H có phân phối chuNn tắc N (z ; 0,1) + Từ đối thuyết H chọn miền bác bỏ hai phía: (−∞; −z α ] ∪ [z α ; +∞) đó:   X − µ0    = 1−α −z < P  α/2 < z α/2      σ/ n   + Tính z = x − µ0 Tìm z α dựa vào Bảng A.3 đưa kết luận σ/ n Chú ý: Trong trường hợp này, toán kiểm định phía ta có thủ tục tương tự, nhiên xác định miền bác bỏ cần lưu ý sau H :  ● Đối với toán kiểm định phía:   H :   H :  ●Cịn tốn kiểm định phía   H :   µ = µ0 , ta bác bỏ H z > z α µ > µ0 µ = µ0 ta bác bỏ H z < −z α µ < µ0 b Trường hợp 2: chưa biết σ cỡ mẫu n ≥ 30 Ta xét tiêu chuNn kiểm định tương tự trường hợp 1, cần thay σ s Z = X − µ0 S/ n c Trường hợp 3: Chưa biết σ , cỡ mẫu n < 30 , tổng thể có phân phối chuNn + Trong trường hợp ta cần xét tiêu chuNn kiểm định là: T = X − µ0 S/ n + Với giả thiết T có phân phối Student với v = n − bậc tự   X − µ0     + Với mức ý nghĩa α từ: P −tα/2,n −1 < < tα/2,n −1  = − α    S/ n   Ta xác định miền bác bỏ: (−∞; −tα/2,n −1 ] ∪ [tα/2,n −1; +∞) , tα/2,n −1 xác định Bảng A4 + Tính t = x − µ0 đưa kết luận s/ n 29 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2011 -2 012 Chú ý Trong trường hợp này, kiểm định phía ta có thủ tục tương tự, nhiên miền bác bỏ cần lưu ý sau: H :  ● Đối với tốn kiểm định phía   H :   µ = µ0 , ta bác bỏ H t > tα,n −1 µ > µ0 H :  ● Cịn tốn kiểm định phía    H :  µ = µ0 , ta bác bỏ H t < −tα,n −1 µ < µ0 2.Kiểm định giả thiết hiệu hai trung bình Xét hai tổng thể Gọi X1 X hai BNN đo đặc tính chung cá thể 2 hai tổng thể có kỳ vọng (chưa biết) phương sai tương ứng là: µ1, µ2 σ1 , σ2 Từ hai BNN xây dựng hai mẫu ngẫu nhiên độc lập với cỡ n1, n2 Xét tốn kiểm định (hai phía) giả thuyết hiệu hai kỳ vọng:   H : µ1 − µ2 = d , d số biết  H : µ1 − µ2 ≠ d0   Đây toán kiểm định hai phía, bước thủ tục tương tự xét toán kiểm định trung bình, cần lưu ý tới cơng thức chon tiêu chuNn kiểm định Ta xét trường hợp sau: 2 a.Trường hợp 1: Biết σ1 σ2 với cỡ mẫu đủ lớn Khi tiểu chuNn kiểm định: Z = (X1 − X ) − d σ1 σ2 + n1 n2 Với giả thiết H Z có phân phối chuNn tắc, kết hợp với mức ý nghĩa α ta xác định miền bác bỏ: (−∞; −z α/2 ] ∪ [z α/2 ; +∞) , z α/2 xác định từ Bảng A3 2 2 b Trường hợp 2: Chưa biết σ1 σ2 σ1 = σ2 = σ , hai BNN có phân phối chuNn Khi tiêu chuNn kiểm định: T = (X1 − X ) − d0 S p / n1 + / n 2 , với S p = S12 (n1 − 1) + S (n2 − 1) n1 + n − Với giả thiết H T có phân phối Student v = n1 + n2 − bậc tự Giả thuyết hai phía khơng bị bác bỏ khi: −tα/2,n +n −2 < t < tα/2,n +n −2 , 2 hay miền bác bỏ (−∞; −tα/2;n +n −2 ] ∪ [tα/2;n +n −2 ; +∞) 2 2 c Trường hợp 3: Chưa biết σ σ σ1 ≠ σ2 , hai BNN có phân phối chuNn 2 30 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê Khi tiêu chuNn kiểm định: T ' = 2011 -2 012 (X1 − X ) − d0 S12 S 22 + n1 n2 Với giả thiết T ' có phân phối xấp xỉ Student với bậc tự xác định bởi: 2 (s1 / n1 + s2 / n2 )2 v= [(s1 / n1 )2 / (n1 − 1)] + [(s2 / n2 )2 / (n2 − 1)] Thủ tục kiểm định không bác bỏ H khi: −tα/2,v < t ' < tα/2,v Tức miền bác bỏ là: (−∞; −tα/2;v ] ∪ [tα/2;v ; +∞) Chú ý Ta có thủ tục tương tự toán kiểm định phía, với lưu ý xác định miền bác bỏ Xem Bảng sau: Bài Toán kiểm định   H : µ1 − µ2 = d0 , σ ,σ  biết H : µ1 − µ2 < d   z=   H : µ1 − µ2 = d0 ,  H : µ1 − µ2 > d   z= biết σ1, σ2 H : µ − µ = d   , σ1 = σ2 chưa biết  H : µ1 − µ2 < d0   Tiêu chu n kiểm định t= (x − x ) − d Miền bác bỏ z < −z α (σ / n1 ) + (σ2 / n2 ) z > zα (x − x ) − d 2 (σ1 / n1 ) + (σ2 / n2 ) (x1 − x ) − d0 s p (1 / n1 ) + (1 / n2 ) ; t < −tα v = n1 + n − sp =   H : µ1 − µ2 = d0 ,  H : µ1 − µ2 > d   σ1 = σ2 chưa biết t= 2 (n1 − 1)s1 + (n2 − 1)s2 n1 + n − (x1 − x ) − d0 s p (1 / n1 ) + (1 / n2 ) ; t > tα v = n1 + n − sp = H : µ − µ = d   , σ1 ≠ σ2 chưa biết  H : µ1 − µ2 < d0   t'= 2 (n1 − 1)s1 + (n2 − 1)s2 n1 + n − (x − x ) − d0 2 (s1 / n1 ) + (s2 / n2 ) 31 t ' < −tα Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê v=   H : µ1 − µ2 = d0 ,  H : µ1 − µ2 > d   σ1 ≠ σ2 chưa biết t'= v= 2011 -2 012 2 (s1 / n1 + s2 / n2 )2 2 (s1 / n1 )2 (s2 / n2 )2 + n1 − n2 − (x − x ) − d0 t ' > tα 2 (s1 / n1 ) + (s2 / n2 ) 2 (s1 / n1 + s2 / n2 )2 2 (s1 / n1 )2 (s2 / n2 )2 + n1 − n2 − C KIỂM ĐNNH GIẢ THIẾT VỀ TỶ LỆ Kiểm định tỷ lệ a.Khái niệm Giả sử tổng thể có hai loại phần tử: có tính chất ℑ khơng có tính chất ℑ , tỷ lệ phần tử có tính chất ℑ p0 chưa biết Bài tốn kiểm định giả thiết: H : p = p0 với đối thiết H gọi toán kiểm định tỷ lệ Ta xét toán kiểm định giả thuyết tỷ lệ số lần thành công phép thử nhị thức giá trị cụ thể Tức là, ta kiểm định giả thuyết H : p = p0 với p tham số phân phối nhị thức Đối thuyết phía hai phía: p < p0, p > p0 p ≠ p0 b.Đối với mẫu cỡ nhỏ i Để kiểm định: H : p = p0 , H : p < p0 , ta sử dụng phân phối nhị thức để tính: P = P (X ≤ x p = p0 ) Giá trị x số lần thành công mẫu cỡ n : Nếu P ≤ α , tốn có mức ý nghĩa α ta bác bỏ H , chấp nhận H ii Để kiểm định: H : p = p0 , H : p > p0 , mức ý nghĩa α , ta tính: P = P (X ≥ x p = p0 ) Khi ta bác bỏ H (chấp nhận H ) P ≤ α iii Để kiểm định: H : p = p0 , H : p ≠ p0 , 32 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2011 -2 012 mức ý nghĩa α , ta tính: P = 2P (X ≤ x p = p0 ) x < np0 P = 2P (X ≥ x p = p0 ) x > np0 Khi ta bác bỏ H (chấp nhận H ) P ≤ α Các bước kiểm định giả thuyết tỷ lệ (cỡ mẫu nhỏ) với đối thuyết khác sử dụng xác suất nhị thức cho Bảng A.1, tiến hành sau: H : p = p0 H : p < p0 , p > p0 p ≠ p0 Chọn mức ý nghĩa α Thống kê tiêu chuNn: Biến ngẫu nhiên nhị thức X với p = p0 Tính tốn: Tìm x số lần thành cơng, tính giá trị P thích hợp Kết luận: Đưa kết luận phù hợp dựa vào giá trị P b Đối với mẫu cỡ lớn + Tiêu chuNn kiểm định: Z = X − np0 np0q + Để kiểm định H : p = p0 , ta có giá trị quan sát cho bởi: z= x − np0 np0q , q = − p0 Khi đó: Đối với tốn kiểm định hai phía: H : p = p0 H : p ≠ p0 mức ý nghĩa α , miền bác bỏ là: (−∞; −z α/2 ) ∪ (z α/2 ; +∞) z α xác định bởi: P (Z > z α ) = α Đối với tốn kiểm định phía: H : p = p0 H : p < p0 33 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê 2011 -2 012 mức ý nghĩa α , miền bác bỏ (−∞; −z α ) z α xác định bởi: P (Z > z α ) = α Đối với tốn kiểm định phía: H : p = p0 , H : p > p0 mức ý nghĩa α , miền bác bỏ (z α ; +∞) z α xác định bởi: P (Z > z α ) = α Kiểm định hiệu hai tỷ lệ Xét toán kiểm định giả thuyết rằng: hai tỷ lệ hai tham số nhị thức Tức ta muốn kiểm định giả thuyết H : p1 = p2 với đối thuyết p1 < p2 , p1 > p2 p1 ≠ p2 Điều tương đương với giả thuyết H : p1 − p2 = đối thuyết p1 − p2 < , p1 − p2 > p1 − p2 ≠ ˆ ˆ Thống kê mà ta dựa vào để kiểm định biến ngẫu nhiên P1 − P2 Các mẫu độc lập cỡ n1, n2 ˆ ˆ chọn ngẫu nhiên từ hai phân phối nhị thức tỷ lệ thành công P , P cho hai mẫu tính tốn + Tiêu chuNn kiểm định: Z = đó: ˆ p= x1 + x2 n1 + n ˆ ˆ P1 − P2 ˆˆ[(1 pq / n1 ) + (1 / n2 )] ˆ ˆ , với x 1, x số lần thành công mẫu, q = − p Giá trị quan sát z để kiểm định p1 = p2 xác định bởi: z= ˆ ˆ p1 − p2 ˆˆ[(1 pq / n1 ) + (1 / n2 )] Khi miền bác bỏ: + Với đối thuyết p1 ≠ p2 mức ý nghĩa α , miền bác bỏ (−∞; −z α/2 ) ∪ (z α/2 ; +∞) 34 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê + Với đối thuyết p1 < p2 , miền bác bỏ (−∞; −z α ) 2011 -2 012 + Với đối thuyết p1 > p2 , miền bác bỏ (z α ; +∞) V HỔI QUY TUYẾN TÍNH Kỳ vọng có điều kiện a Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc Kỳ vọng có điều kiện BNN rời rạc Y với điều kiện X = x xác định bởi: n µY x = E (Y | x ) = ∑ yi P (X = x ;Y = yi ) i =1 Kỳ vọng có điều kiện BNN rời rạc X với điều kiện Y = y xác định bởi: n µX y = E (X | y ) = ∑ x i P (X = x i ;Y = y ) i =1 b Đối với biến ngẫu nhiên liên tục Kỳ vọng có điều kiện BNN liên tục Y với điều kiện X = x xác định bởi: +∞ µY x = E (Y | x ) = ∫ yf (y | x )dy , −∞ Kỳ vọng có điều kiện BNN liên tục X với điều kiện Y = y xác định bởi: +∞ µX y = E (X | y ) = ∫ xf (x | y )dx −∞ đó: f (y | x ) = f (x , y ) với x không đổi f (x | y ) = f (x , y ) với y không đổi 2.Ước lượng tham số hồi quy + Phương trình hồi quy tổng thể: µY x = α + βx + Giả sử ước lượng α β a b ta ta ước lượng y = µY đường hồi quy phù hợp (hoặc đường hồi quy thực nghiệm): y = a + bx ˆ + Ta cần tìm a b: ước lượng α β Công thức: 35 x theo Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 5- Xác suất Thống kê { 2011 -2 012 } Với mẫu (x i , yi ); i = 1, 2, , n ước lượng bình phương tối thiểu a b hệ số hồi quy α β xác định công thức sau: b= n  n  n    n ∑ x i yi −  ∑ x i   ∑ yi        i =1  i =1    i =1  n   n ∑ x i2 − ∑ x i         n i =1 n = ∑ (x i =1 i − x )(yi − y ) n ∑ (x i =1 i =1 i − x )2 n n i =1 i =1 ∑ yi − b ∑ x i a= n = y − bx Các ước lượng bình phương tối tiểu α β ước lượng không chệch Định lý Ước lượng không chệch σ là: s = n S − bS xy ˆ (y − y )2 SSE =∑ i = yy n −2 n −2 n −2 i =1 3.Khoảng tin cậy cho hệ số hồi quy Xét thống kê: T = (B − β ) / (σ / S xx ) S /σ B −β = có phân phối t với n − bậc tự do; đó: S / S xx Khoảng tin cậy (1 − α)100% tham số β đường hồi quy µY |x = α + β x : b− tα/2s < β