ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUỐC VIỆT PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤT GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2017 Đ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUỐC VIỆT PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤT GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUỐC VIỆT PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤT GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN, 5/2017 iii Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 1.1 Không gian Banach 1.1.1 1.1.2 1.2 Không gian Banach phản xạ, lồi trơn Ánh xạ j-đơn điệu 11 1.1.3 Giới hạn Banach 15 Bất đẳng thức biến phân 16 1.2.1 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu 16 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 18 Chương Phương pháp lặp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 21 2.1 2.2 Nửa nhóm ánh xạ không giãn 21 2.1.1 Định nghĩa 21 2.1.2 Ví dụ 24 Phương pháp lặp lai ghép đường dốc 25 2.2.1 2.2.2 2.3 Phương pháp lai ghép đường dốc Yamada 25 Phương pháp lặp lai ghép đường dốc 27 Ví dụ minh họa 35 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Bảng ký hiệu H không gian Hilbert thực E E∗ không gian Banach không gian đối ngẫu E SE R mặt cầu đơn vị E tập số thực ∀x D(A) với x miền xác định ánh xạ A R(A) miền ảnh ánh xạ A I lp , < p < ∞ ánh xạ đồng không gian dãy số khả tổng bậc p Lp [a, b], < p < ∞ khơng gian hàm khả tích bậc p đoạn [a, b] d(x, C) lim supn→∞ xn khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C giới hạn dãy số {xn } lim inf n→∞ xn xn → x0 giới hạn dãy số {xn } dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 J dãy {xn } hội tụ yếu x0 ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j Fix(T ) ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f Mở đầu Cho H không gian Hilbert thực, C tập lồi đóng H F : H → H ánh xạ Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển (classical variational inequality) phát biểu sau: Tìm điểm p∗ ∈ C thỏa mãn: hF p∗ , p − p∗ i ≥ ∀p ∈ C (1) Bài toán bất đẳng thức biến phân nhà toán học người Italia, Stampacchia (xem [10] [15]), nghiên cứu đưa vào cuối năm 60 đầu năm 70 kỷ trước Từ đến nay, bất đẳng thức biến phân đề tài thời sự, thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu vai trị quan trọng tốn lý thuyết toán học nhiều ứng dụng thực tế Khi tập ràng buộc C toán (1) cho dạng ẩn tập điểm bất động chung họ (hữu hạn vô hạn) ánh xạ khơng giãn tốn (1) cịn có nhiều ứng dụng toán thực tế xử lý tín hiệu, khơi phục ảnh, phân phối băng thơng tốn điều khiển tối ưu Đối với lớp toán này, phương pháp lai ghép đường dốc Yamada đề xuất năm 2001 (xem [17]) tỏ phương pháp hiệu ánh xạ F : H → H ánh xạ đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz không gian Hilbert H Phương pháp khắc phục khó khăn việc thực phép chiếu mêtric PC chiếu H lên tập lồi đóng C H dùng dãy lặp Picard dạng xn+1 = PC (xn − λn F xn ) để giải, {λn } dãy tham số thỏa mãn số điều kiện định Dựa cách tiếp cận Yamada, có nhiều nghiên cứu nhằm mở rộng cải biên phương pháp lai ghép dạng đường dốc cho bất đẳng thức biến phân tập ràng buộc C tập điểm bất động chung họ hữu hạn, họ vô hạn đếm hay nửa nhóm ánh xạ khơng giãn Các phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Luận văn trình bày phương pháp lặp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ không giãn không gian Banach sở báo [6] [8] Nguyễn Thị Thu Thủy đồng tác giả công bố năm 2015 2017 Nội dung đề tài luận văn trình bày hai chương: Chương "Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu": giới thiệu bất đẳng thức biến phân đơn điệu j-đơn điệu không gian Banach Chương "Phương pháp lặp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu": giới thiệu nửa nhóm ánh xạ khơng giãn, trình bày hội tụ phương pháp lặp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ khơng giãn trình bày ví dụ minh họa Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Cơ Trong q trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên tác giả nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy khoa Tốn–Tin thầy trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Trung học phổ thông Đông Triều - Quảng Ninh anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học Xin cảm ơn anh chị học viên lớp Cao học Toán K9C bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả q trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên 4 Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Quốc Việt Chương Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu Chương trình bày số khái niệm tính chất không gian Banach phản xạ, lồi đều, trơn đều, ánh xạ đơn điệu, ánh xạ j-đơn điệu, đồng thời giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, j-đơn điệu không gian Banach Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1]-[5], [9]-[14] [18] 1.1 Không gian Banach Cho E không gian Banach với không gian đối ngẫu ký hiệu E ∗ Ta dùng ký hiệu k.k cho chuẩn E E ∗ viết tích đối ngẫu hx∗ , xi thay cho giá trị phiếm hàm tuyến tính x∗ ∈ E ∗ điểm x ∈ E, tức hx∗ , xi = x∗ (x) 1.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi trơn Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach E gọi phản xạ, với phần tử x∗∗ ∈ E ∗∗ , không gian liên hợp thứ hai E, tồn phần tử x ∈ E cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) với x∗ ∈ E ∗ Định lý 1.1.2 Cho E khơng gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: (i) E không gian phản xạ; (ii) Mọi dãy bị chặn E có dãy hội tụ yếu Ví dụ 1.1.3 Các khơng gian véc tơ định chuẩn hữu hạn chiều, không gian Hilbert H, không gian lp , không gian Lp [a, b], < p < ∞ không gian Banach phản xạ Ký hiệu SE := {x ∈ E : kxk = 1} mặt cầu đơn vị không gian Banach E Định nghĩa 1.1.4 Không gian Banach E gọi lồi chặt với điểm x, y ∈ SE , x 6= y, ta có k(1 − λ)x + λyk < với λ ∈ (0, 1) Chú ý 1.1.5 Định nghĩa 1.1.4 phát biểu dạng tương đương sau: Khơng gian Banach E gọi lồi chặt với điểm x, y ∈ E, x 6= y, mà kxk = 1, kyk = ta có x + y < Ví dụ 1.1.6 Không gian E = Rn với chuẩn kxk2 xác định 1/2 X n , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn kxk2 = xi i=1 không gian lồi chặt Không gian E = Rn , n ≥ với chuẩn kxk1 xác định kxk1 = n X |xi |, x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn i=1 không gian lồi chặt Thật vậy, lấy x = (1, 0, 0, , 0), y = (0, 1, 0, , 0) ∈ Rn Ta thấy x 6= y, kxk1 = kyk1 = kx + yk1 = Tương tự không gian E = Rn với kxk∞ = max |xi |, 1≤i≤n không lồi chặt x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn Định nghĩa 1.1.7 Không gian Banach E gọi lồi với ε > 0, tồn δ = δ(ε) > cho với x, y ∈ E mà kxk = 1, kyk = 1, kx − yk ≥ ε ta ln có x + y ≤ − δ Ví dụ 1.1.8 Khơng gian Hilbert H, không gian lp , không gian Lp [a, b] với < p < ∞ không gian lồi Ta không gian Hilbert H không gian lồi Thật vậy, từ đẳng thức hình bình hành kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) ∀x, y ∈ H suy kx + yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) − kx − yk2 ∀x, y ∈ H Lấy x, y ∈ SH , hình cầu đóng đơn vị H, với x 6= y kx − yk ≥ ε, ε > Khi kx + yk2 ≤ − ε2 Suy x + y ε2 ≤1− Do r x + y r ε2 ε2 =1− 1− 1− , ≤ 1− 4 δ(ε) = − r ε2 1− Định lý 1.1.9 Mọi không gian Banach lồi đều khơng gian lồi chặt phản xạ Để đo tính lồi không gian Banach E người ta sử dụng khái niệm mô đun lồi E Định nghĩa 1.1.10 Cho E không gian Banach Hàm δE (ε) : [0, 2] → [0, 1] gọi mô đun lồi E x + y o n δE (ε) = inf − : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε Ví dụ 1.1.11 Mơ đun lồi khơng gian Hilbert H r ε2 δH (ε) = − − , ε ∈ (0, 2] ... 15 Bất đẳng thức biến phân 16 1.2.1 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu 16 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 18 Chương Phương pháp lặp lai ghép đường dốc. .. lặp giải bất đẳng thức biến phân nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Luận văn trình bày phương pháp lặp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung nửa... đường dốc giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu": giới thiệu nửa nhóm ánh xạ khơng giãn, trình bày hội tụ phương pháp lặp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung