Luận văn thạc sĩ toán học về một số bất đẳng thức tích phân trong giải tích lượng tử

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  NGUYỄN THỊ THU HUẾ VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRONG GIẢI TÍCH LƯỢNG TỬ Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Mã số 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁ[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ THU HUẾ VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRONG GIẢI TÍCH LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Mai Viết Thuận THÁI NGUYÊN - 2020 Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 q−đạo hàm 5 1.2 q−tích phân 12 1.2.1 q−nguyên hàm 12 1.2.2 Tích phân Jackson 13 1.2.3 Định nghĩa số tính chất q−tích phân 15 1.3 q−tích phân chặt (restricted definite q−integral) 18 Chương Một số bất đẳng thức tích phân giải tích lượng tử 21 2.1 Bất đẳng thức q−Steffensen số áp dụng 21 2.2 Bt ng thc qGră uss v mt số áp dụng 36 2.3 Bất đẳng thức q−Chebyshev số áp dụng 40 2.4 Bất đẳng thức q−Hermite-Hadamard 44 LỜI NÓI ĐẦU Bất đẳng thức tích phân chủ đề hay khó tốn học Một số bất đẳng thức tích phân tiếng quan trọng kể đến bất đẳng thức Steffensen J.F Steffensen giới thiệu vào năm 1918, bất đẳng thức Iyengar K.S.K Iyengar đưa vào năm 1938 báo “Note on an inequality” tạp chí “Math Student”, bất ng thc Gră uss c nh toỏn hc G Gră uss công bố vào năm 1935, bất đẳng thức Hermite-Hadamard công bố Hermite-Hadamard vào năm 1891 Những bất đẳng thức nhận quan tâm nghiên cứu mở rộng nhiều nhà toán học giới (xem tài liệu [7, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23] tài liệu tham khảo tài liệu đó) Theo hiểu biết chúng tơi, có số luận văn thạc sĩ chuyên ngành phương pháp tốn sơ cấp trình bày bất đẳng thức tích phân [5], bất đẳng thức Hermite-Hadamard nhận quan tâm [1, 2, 3, 4, 6] Chẳng hạn, H.T.Q Liên [1] trình bày bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho hàm lồi khả vi Các bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho hàm r−lồi, lớp hàm mở rộng hàm lồi, trình bày luận văn thạc sĩ toán học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp C.T.N Mai Bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard-Fejér cho hàm p−lồi tiền lồi bất biến trình bày tài liệu [3] [6] Chú ý kết áp dụng cho số lớp hàm lồi khả vi theo nghĩa thơng thường tích phân khả tích Riemann Tuy nhiên, việc áp dụng kết vào lập trình tính tốn máy tính, ta phải xấp xỉ đạo hàm tích phân phương pháp thích hợp Điều dẫn đến sai số lập trình Một câu hỏi tự nhiên đặt liệu có cách định nghĩa đạo hàm mà không cần lấy giới hạn Một câu trả lời khái niệm q−đạo hàm đề xuất Euler (1707-1783) trình bày cách hệ thống sách chuyên khảo “Quantum Calculus” V Kac P Cheung Xét biểu thức f (x) − f (x0 ) x − x0 (0.1) Khi cho x tiến tới x0 , giới hạn tồn ta thu đạo hàm hàm f (x) điểm x0 ký hiệu df (x0 ) dx Tuy nhiên cho x = qx0 x = x0 +h, q số cố định khác 1, h số cố định khác không không lấy giới hạn ta thu định nghĩa q−đạo hàm (q−derivative) h−đạo hàm (h−derivative) hàm f (x) điểm x0 Trong sách chuyên khảo “Quantum Calculus” (Giải tích lượng tử) [14], tác giả trình bày cách hệ thống định nghĩa số tính chất q−đạo hàm, h−đạo hàm q−tích phân Những năm gần đây, giải tích lượng tử nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học ứng dụng vật lý [11, 18, 21, 22] Ngồi ra, nhiều bất đẳng thức tích phân quan trọng nhà khoa học nghiên cứu đề xuất công bố gần tạp chí quốc tế uy tín [21, 22] Luận văn trình bày số bất đẳng thức tích phân bất đẳng thức Steffensen, bất đẳng thức Iyengar, bt ng thc Gră uss, bt ng thc Chebyshev v bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard sở đọc hiểu trình bày lại cách hệ thống kết H Gauchman [11] Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau: Trong Chương 1, trình bày số khái niệm tính chất quan trọng q−đạo hàm, q−tích phân q−tích phân chặt Trong Chương 2, chúng tơi trình bày số bất đẳng thức tích phân quan trọng bất đẳng thc Steffensen, bt ng thc Iyengar, bt ng thc Gră uss, bất đẳng thức Chebyshev bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard cho q−đạo hàm q−tích phân chặt Ngồi việc đọc hiểu trình bày lại cách hệ thống kết H Gauchman, chúng tơi cịn sửa số lỗi kết Có thể nói đóng góp luận văn 4 Luận văn thực trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn Tiến sĩ Mai Viết Thuận Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học Người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt bảo tơi suốt q trình thực đề tài Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn người bạn thân thiết chăm sóc động viên khích lệ tơi suốt q trình nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn 5 Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày định nghĩa q−đạo hàm, q−tích phân số tính chất Nội dung chương tham khảo sách chuyên khảo V Kac P Cheung [14] 1.1 q−đạo hàm Định nghĩa 1.1 ([14]) Cho f (x) hàm số thực q−sai phân hàm f (x) cho dq f (x) = f (qx) − f (x) Đặc biệt, ta có dq x = (q − 1)x Từ Định nghĩa 1.1, ta tính q−sai phân tích hai hàm số thực f (x), g(x) sau dq (f (x)g(x)) = f (qx)g(qx) − f (x)g(x) = f (qx)g(qx) − f (qx)g(x) + f (qx)g(x) − f (x)g(x) = f (qx) (g(qx) − g(x)) + g(x) (f (qx) − f (x)) = f (qx)dq g(x) + g(x)dq f (x) Bây giờ, ta định nghĩa q−đạo hàm Định nghĩa 1.2 Cho f (x) hàm số thực q−đạo hàm (q−derivative) hàm f (x) định nghĩa Dq f (x) = dq f (x) f (qx) − f (x) = dq x (q − 1)x Nhận xét 1.1 Từ Định nghĩa 1.2, ta nhận thấy f (x) hàm số khả vi lim Dq f (x) = q→1 df (x) = f (x) dx Bây giờ, ta tính q−đạo hàm hàm f (x) = xn , n số nguyên dương Theo định nghĩa, ta có Dq xn = Ký hiệu [n] = q n −1 q−1 (qx)n − xn q n−1 − n−1 = x (q − 1)x q−1 = q n−1 + + Ký hiệu [n] gọi q−analogue n Khi đó, ta có Dq xn = [n]xn−1 Mệnh đề cho ta số quy tắc tính q−đạo hàm Mệnh đề 1.1 Cho a, b ∈ R, f (x), g(x) hai hàm số thực Khi ta có: (i) Dq (af (x) + bg(x)) = aDq f (x) + bDq g(x); (ii) Dq (f (x)g(x)) = f (qx)Dq g(x) + g(x)Dq f (x) Dq (f (x)g(x)) = f (x)Dq g(x) + g(qx)Dq f (x);   (x) (x)−f (x)Dq g(x) (iii) Giả sử g(x) 6= Khi Dq fg(x) = g(x)Dq fg(x)g(qx)   g(qx)Dq f (x) − f (qx)Dq g(x) f (x) = Dq g(x) g(x)g(qx) Chứng minh (i) Theo định nghĩa, ta có af (qx) + bg(qx) − af (x) − bg(x) (q − 1)x a (f (qx) − f (x)) b (g(qx) − g(x)) = + (q − 1)x (q − 1)x Dq (af (x) + bg(x)) = = aDq f (x) + bDq g(x) (ii) Từ Định nghĩa 1.1 Định nghĩa 1.2, ta có dq (f (x)g(x)) (q − 1)x f (qx)dq g(x) + g(x)dq f (x) = (q − 1)x Dq (f (x)g(x)) = Từ suy Dq (f (x)g(x)) = f (qx)Dq g(x) + g(x)Dq f (x) (1.1) Vì vai trị f (x) g(x) nên ta thu Dq (f (x)g(x)) = f (x)Dq g(x) + g(qx)Dq f (x) (1.2) (x) (iii) Ta có f (x) = g(x) fg(x) Áp dụng (1.1), ta thu  Dq f (x) = g(qx)Dq f (x) g(x)  + f (x) Dq g(x) g(x) Từ suy  Dq f (x) g(x)  = g(x)Dq f (x) − f (x)Dq g(x) g(x)g(qx) Bây giờ, sử dụng (1.2), ta có  Dq f (x) = g(x)Dq f (x) g(x)  + f (qx) Dq g(x) g(qx) Suy  Dq f (x) g(x)  = g(qx)Dq f (x) − f (qx)Dq g(x) g(x)g(qx) Nhận xét 1.2 Trong trường hợp tổng qt, khơng có qui tắc tính q−đạo hàm hàm hợp Tuy nhiên, ta có qui tắc tính q−đạo hàm cho hàm f (u(x)), với u = u(x) = αxβ , α, β số Theo định nghĩa, ta có   f (αq β xβ ) − f (αxβ ) Dq [f (u(x))] = Dq f (αxβ ) = qx − x β β β f (αq x ) − f (αx ) αq β xβ − αxβ = αq β xβ − αxβ qx − x Suy
Dq f (u(x)) = Dqβ f (u(x)).Dq u(x) Định nghĩa 1.3 q−analogue (x − a)n đa thức    1, n = 0, n (x − a)q =   (x − a)(x − qa) (x − q n−1 a), n ≥ (1.3) (1.4) Mệnh đề 1.2 Với số tự nhiên n ≥ 1, ta có Dq (x − a)nq = [n](x − a)n−1 q Chứng minh Ta chứng minh quy nạp toán học Với n = 1, ta có Dq (x − a)1q = Dq (x − a) = (qx − a) − (x − a) (q − 1)x = = (q − 1)x (q − 1)x (1.5) Do với n = 1, biểu thức (1.5) Giả sử biểu thức (1.5) với n = k, k+1 tức Dq (x − a)kq = [k](x − a)k−1 = q Theo Định nghĩa 1.3, ta có (x − a)q (x − a)kq (x − q k a) Áp dụng Mệnh đề 1.1, ta có Dq (x − a)k+1 = Dq (x − a)kq (x − q k a) q
= (x − a)kq Dq (x − q k a) + (qx − q k a)Dq (x − a)k−1 q = (x − a)kq + (qx − q k a)Dq (x − a)k−1 q = (x − a)kq + q(x − q k−1 a)[k](x − a)k−1 q = (1 + q[k]) (x − a)kq = [k + 1](x − a)kq Mệnh đề chứng minh hồn tồn Bây giờ, ta trình bày số tính chất khác đa thức (x − a)nq Trước hết, với m, n hai số nguyên dương Ta chứng tỏ m n (x − a)m+n = (x − a)m q q (x − q a)q (1.6) Thật vậy, ta có (x − a)m+n = (x − a)(x − qa) (x − q m−1 a)(x − q m a)(x − q m+1 a) q × (x − q m+n−1 a)   = (x − a)(x − qa) (x − q m−1 a)   m m n−1 m × (x − q a)(x − q(q a)) (x − q (q a)) m n = (x − a)m q (x − q a)q Ta mở rộng Định nghĩa 1.3 cho số nguyên âm cách biểu thức (1.6) cho m = −n ta thu (x − a)−n q = , (x − q −n a)nq (1.7) n số nguyên dương Mệnh đề chứng tỏ công thức (1.6) với m n hai số nguyên 9 Mệnh đề 1.3 Cho m n hai số nguyên Khi m n (x − a)m+n = (x − a)m q q (x − q a)q (1.8) Chứng minh Trường hợp m > n > chứng minh Trường hợp m = n = kết hiển nhiên Ta xét trường hợp sau đây: * Trường hợp 1: m = −m0 < n > Khi đó, theo cơng thức (1.6), (1.7), ta thu 0 m n −m (x − a)m (x − q −m a)nq q (x − q a)q = (x − a)q (x − q −m a)nq = (x − q −m0 a)m q    (x − q m0 (q −m0 a))n−m , n ≥ m0 , q =   , n < m0 n −m0 m −n x−q (q a)q = (x − a)n+m = (x − a)n−m q q * Trường hợp 2: m ≥ n = −n0 < Theo công thức (1.6), (1.7), ta thu m n m m −n (x − a)m q (x − q a)q = (x − a)q (x − q a)q (x − a)m q m−n (x − q a)nq   n0 m−n0 m−n0  (x−a) x−q a q  q   , m ≥ n0 n0 x−q m−n0 a) ( q =  (x−a)m  q   n0 −m m, m < n 0 −m m−n0 m−n n a) (q a)) (x−q (x−q q q     (x − a)m−n , m ≥ n0 q =    (x−qm−n0 a)n0 −m , m < n q = (x − a)m−n = (x − a)m+n q q * Trường hợp 3: m = −m0 < n = −n0 < Theo công thức (1.6), (1.7), ta thu 0 m n −m (x − a)m (x − q −m a)−n q (x − q a)q = (x − a)q q ... số tính chất q? ?tích phân 15 1.3 q? ?tích phân chặt (restricted definite q−integral) 18 Chương Một số bất đẳng thức tích phân giải tích lượng tử 21 2.1 Bất đẳng thức q−Steffensen số. .. 2.3 Bất đẳng thức q−Chebyshev số áp dụng 40 2.4 Bất đẳng thức q−Hermite-Hadamard 44 LỜI NÓI ĐẦU Bất đẳng thức tích phân chủ đề hay khó tốn học Một số bất đẳng thức tích phân. .. khảo tài liệu đó) Theo hiểu biết chúng tơi, có số luận văn thạc sĩ chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp trình bày bất đẳng thức tích phân [5], bất đẳng thức Hermite-Hadamard nhận quan tâm [1, 2,