ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ TRỌNG THÀNH ĐƯỜNG TRÒN SODDY VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGƠ TRỌNG THÀNH ĐƯỜNG TRỊN SODDY VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGÔ TRỌNG THÀNH ĐƯỜNG TRÒN SODDY VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Việt Hải THÁI NGUYÊN - 2019 i Mưc lưc Danh mưc h¼nh Líi c£m ỡn M Ưu Kián thực bờ sung 1.1 1.2 iii iv Ph²p nghàch £o m°t ph¯ng 1.1.1 nh nghắa v tẵnh ch§t 1.1.2 Cæng thực khoÊng cĂch, tẵnh chĐt bÊo giĂc 1.2.1 nh nghắa v tẵnh chĐt 1.2.2 Mët sè k¸t qu£ tåa ë barycentric 11 Tồa ở barycentric thuƯn nhĐt CĂc ữớng trỏn Soddy 20 2.1 nh nghắa v cĂch dỹng cĂc ữớng trỏn Soddy 20 2.2 BĂn kẵnh cĂc ữớng trỏn Soddy 23 2.3 2.4 2.2.1 BĂn kẵnh ữớng trỏn Soddy nëi 23 2.2.2 BĂn kẵnh ữớng trỏn Soddy ngoÔi 24 ÷íng trán Soddy tåa ë barycentric 25 2.3.1 C¡c iºm Soddy v ÷íng th¯ng Soddy 25 2.3.2 Phữỡng trẳnh cĂc ữớng trỏn Soddy 28 Tam gi¡c Soddy v tam gi¡c Euler-Gergonne-Soddy Mởt số vĐn à liản quan 3.1 Tam gi¡c kiºu Soddy 29 35 35 ii 3.2 3.3 3.1.1 Mët sè h» thùc h¼nh håc 3.1.2 Tam gi¡c kiºu Soddy v c¡c tẵnh chĐt 3.1.3 Tam giĂc kiu Soddy cÔnh nguyản 3.1.4 Dỹng tam giĂc kiu Soddy biát mởt cÔnh = ta + tb + tc 3.2.1 C¡c tam gi¡c Heron lỵp κ = 3.2.2 C¡c tam gi¡c Heron lỵp κ = C¡c tam gi¡c lỵp ~ = tb + tc 3.3.1 C¡c tam gi¡c Heron lỵp ~ = 3.3.2 C¡c tam gi¡c Heron lỵp ~ = C¡c tam giĂc lợp Kát luên Ti liằu tham khÊo 35 39 43 45 47 48 48 50 52 54 57 58 iii Danh mưc h¼nh 1.1 nh nghàch £o cõa iºm 1.2 a) nh ÷íng th¯ng khổng qua cỹc; b) nh ữớng trỏn cõ tƠm l cüc 1.3 nh cõa ÷íng trán khỉng qua cüc nghàch £o 4 A0 B = R à AB OA.OB 1.4 KhoÊng cĂch 1.5 Tẵnh chĐt b£o gi¡c 1.6 V½ dư v· cỉng thùc Conway 14 2.1 ÷íng trán Soddy nëi v ÷íng trán Soddy ngoÔi 21 2.2 CĂch dỹng c¡c ÷íng trán Soddy 22 2.3 Tåa ë barycentric cõa c¡c iºm Soddy v ÷íng thng Soddy 26 2.4 TƠm Soddy nởi, ngoÔi v im Eppstein 30 2.5 C¡c ÷íng th¯ng Euler v Gergonne 31 2.6 Tam giĂc Euler-Gergonne-Soddy vuổng tÔi Fl = `G `S 32 2.7 Mởt số im trản cÔnh tam giĂc Euler-Gergonne-Soddy 33 3.1 AD-cevian 36 3.2 CĂc tẵnh chĐt cừa cevian tiáp tuyán nh A 3.3 CĂc hằ thực liản quan ¸n 3.4 P Q ⊥ AD 3.5 Tam gi¡c kiºu Soddy 3.6 ữớng thng Gergonne song song vợi 3.7 Qu tẵch im 3.8 Dỹng tam giĂc kiu Soddy biát mởt cÔnh 3.9 Tam giĂc Heron lợp A tiáp tuyán nh E = X481 37 38 39 C θ ABC AD 40 42 45 3.10 Tam gi¡c Heron lỵp ~=1 ~=2 46 54 56 iv Líi c£m ìn º ho n thnh ữủc luên vôn mởt cĂch hon chnh, tổi luổn nhên ữủc sỹ hữợng dăn v giúp ù nhiằt tẳnh cừa PGS.TS Nguyạn Viằt HÊi, GiÊng viản cao cĐp Trữớng Ôi hồc HÊi Phỏng Tổi xin chƠn thnh by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án thƯy v xin gỷi lới tri Ơn nhĐt cừa tổi ối vợi nhỳng iÃu thƯy  dnh cho tổi Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn o tÔo, Khoa ToĂn Tin, quỵ thƯy cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc K11 (2017 - 2019) Trữớng Ôi hồc khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cụng nhữ tÔo iÃu kiằn cho tổi hon thnh khõa hồc Tổi xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh nhĐt tợi gia ẳnh, bÔn b, nhỳng ngữới  luổn ởng viản, hộ trủ v tÔo mồi iÃu kiằn cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Xin trƠn trồng cÊm ỡn! HÊi Phỏng, thĂng 12 nôm 2019 Ngữới viát Luên vôn Ngổ Trồng Thnh M Ưu Mửc ẵch cừa à ti luên vôn CĂc ữớng trỏn Soddy cừa tam giĂc ABC cõ nhỳng tẵnh chĐt c biằt, bi toĂn dỹng cĂc ữớng trỏn Soddy l trữớng hủp riảng quan trồng cừa bi toĂn Apolilonius Cha ´ cõa ÷íng trán Soddy, iºm Soddy, ÷íng th¯ng Soddy, tam giĂc Soddy, l Frederick Soddy, ngữới  dnh ÷đc gi£i th÷ðng Nobel v· Hâa håc Ph¡t triºn c¡c khĂi niằm ny nhỳng nôm gƯn Ơy, nhiÃu tĂc gi£ (N Dergiades n«m 2007, M Jackson n«m 2013, M Jackson v Takhaev nôm 2015, 2016 )  cổng bố cĂc phĂt hiằn hẳnh hồc sƠu sưc sinh tứ ữớng trỏn Soddy Bi toĂn t l lm thá n o düng ÷đc c¡c ÷íng trán Soddy, x¡c ành c¡c bĂn kẵnh cừa chúng theo cĂc yáu tố cừa tam giĂc cho trữợc? cĂc ữớng trỏn Soddy, cĂc ữớng thng Soddy cõ liản quan gẳ vợi cĂc ữớng trỏn v ữớng thng  biát khĂc? Trẳnh by cĂch giÊi quyát cĂc bi toĂn trản l lỵ tổi chồn à ti " ữớng trỏn Soddy v cĂc vĐn à liản quan" Mửc ẵch cừa à ti l: - Trẳnh by cĂc khĂi niằm, cĂch xĂc nh ữớng trỏn Soddy, tẵnh ữủc cĂc bĂn kẵnh, tẳm ữủc cĂc tẵnh chĐt mợi cừa ữớng trỏn Soddy nởi v ữớng trỏn Soddy ngoÔi Tứ õ ữa cĂch dỹng v phữỡng trẳnh cĂc ÷íng trán, ÷íng th¯ng Soddy tåa ë barycentric - X¡c ành mèi quan h» cõa tam gi¡c Soddy vỵi cĂc im v ữớng thng c biằt khĂc - PhƠn loÔi ữủc cĂc tam giĂc lợp = ta + tb + tc kh£o s¡t c¡c tr÷íng hđp °c bi»t cõa lỵp â v lỵp ~ = tb + tc , 2 Nëi dung · t i, nhúng v§n à cƯn giÊi quyát Nởi dung luên vôn ữủc chia lm chữỡng: Chữỡng Kián thực bờ sung Nhưc lÔi v bờ sung hai chừ à cỡ bÊn ữủc sû dưng l m cỉng cư gi£i quy¸t b i to¡n °t ra: Ph²p nghàch £o v tåa ë barycentric, ch÷ìng n y gỗm cĂc mửc: 1.1 Php nghch Êo mt phng 1.2 Tồa ở barycentric thuƯn nhĐt Chữỡng CĂc ữớng trỏn Soddy Nởi dung chữỡng ny à cêp án sỹ xĂc nh cĂc ữớng trỏn Soddy cĂc bở phên cừa nõ bơng phữỡng phĂp hẳnh hồc sỡ cĐp v phữỡng phĂp tồa ở Ơy l mởt nhỳng trồng tƠm cừa luên vôn Chữỡng ny bao gỗm cĂc mửc sau (têng hñp, bê sung tø c¡c b i b¡o [1], [3], [7]): 2.1 nh nghắa v cĂch dỹng cĂc ữớng trỏn Soddy 2.2 BĂn kẵnh cĂc ữớng trỏn Soddy 2.3 ÷íng trán Soddy tåa ë barycentric 2.4 Tam gi¡c Soddy v tam giĂc Euler-Gergonne-Soddy Chữỡng Mởt số vĐn à liản quan Chữỡng xt cĂc vĐn à liản quan án ữớng trỏn Soddy, tam giĂc Soddy, thỹc chĐt l cĂc trữớng hủp riảng quan trồng liản quan án cĂc khĂi niằm khĂc hẳnh hồc, chng hÔn tam gi¡c Heron Ch÷ìng n y ÷đc tham kh£o v têng hđp theo cĂc bi bĂo [4], [5] Nởi dung gỗm: 3.1 Tam gi¡c kiºu Soddy 3.2 C¡c tam gi¡c lỵp κ = ta + tb + tc 3.3 C¡c tam gi¡c lợp ~ = tb + tc Chữỡng Kián thực bờ sung Ta nhưc lÔi v bờ sung hai nởi dung cƯn cho cĂc chữỡng sau: Thự nhĐt, im qua và php nghch Êo  ữủc nghiản cựu GiĂo trẳnh hẳnh hồc sỡ cĐp; Thự hai, bờ sung thảm tồa ở barycentric (dÔng hẳnh hồc giÊi tẵch), ph¡t triºn tø kh¡i ni»m t¥m t cü quen thuëc 1.1 Php nghch Êo mt phng Ta nhưc lÔi mởt số nh nghắa, tẵnh chĐt quan trồng cừa php nghàch £o qua ÷íng trán hay cán gåi l ph²p ối xựng qua ữớng trỏn trản mt phng Euclide CĂc chựng minh chi tiát cõ th tẳm thĐy cĂc giĂo trẳnh Hẳnh hồc sỡ cĐp hiằn hnh 1.1.1 nh nghắa v tẵnh chĐt nh nghắa 1.1 Trản mt phng cho ữớng trỏn tƠm O, bĂn kẵnh R Php nghch Êo cỹc O, phữỡng tẵch k = R2 l php bián ời trản mt phng, bián P P cho náu P 6= O thẳ OP.OP = R2 ; náu P O thẳ P Ta kỵ hiằu php nghch Êo õ l ữớng trán nghàch £o fRO2 , ÷íng trán (O, R) ÷đc gåi l Ph²p nghàch £o n y công gåi l ph²p ối xựng qua ữớng trỏn Dạ thĐy php nghch Êo cõ tẵnh chĐt ối hủp, tực l fRO2 2 = Id Tø H¼nh 1.1: nh nghàch £o cõa iºm nh nghắa ta suy cĂc tẵnh chĐt sau cừa php nghch Êo: Hẳnh 1.2: a) nh ữớng thng khổng qua cỹc; b) nh ữớng trỏn cõ tƠm l cỹc a) Qua ph²p nghàch £o fRO2 , ÷íng trán nghàch Êo (O, R) bián thnh chẵnh nõ, nõi cĂch khĂc, ữớng trỏn nghch Êo l hẳnh kp tuyằt ối (tữỡng tü tröc èi xùng ph²p èi xùng) Måi iºm bián thnh im ngoi v ngữủc lÔi (O, R) Hẳnh 1.3: nh cừa ữớng trỏn khổng qua cüc nghàch £o b) Qua ph²p nghàch £o fRO2 , mồi ữớng thng i qua O bián thnh chẵnh nõ (hẳnh kp tữỡng ối) c) Qua php nghch Êo ÷íng trán i qua fRO2 , måi ÷íng th¯ng khỉng i qua O O d) Qua ph²p nghàch £o th¯ng khỉng i qua fRO2 , måi ÷íng trán i qua fRO2 , bián thnh ữớng mồi ữớng trỏn khổng i qua O; mồi ữớng trỏn tƠm O, tƠm O , bĂn kẵnh R /r ữớng trỏn khổng i qua thnh ữớng trỏn ỗng (I, r) bián thnh chẵnh tẵch p, vợi p = PO/(I,r) f) ữớng trỏn Chùng minh O O e) Qua ph²p nghàch £o ph÷ìng bián thnh O bián thnh bĂn kẵnh nõ qua php nghàch £o f r bi¸n cüc O, a), b) hiºn nhi¶n OH ⊥ ∆, gåi H l £nh nghàch Êo cừa H thẳ H cố nh Vợi mồi M ∈ ∆, M l £nh cõa M th¼ OM.OM = OH.OH n¶n iºm H , H , M , \ M thuëc mët ữớng trỏn Ta lÔi cõ M HH = 90 , suy M\ M H = 90◦ , 0 tùc l M thc ÷íng trán ữớng kẵnh OH Êo lÔi, vợi mồi N trản c) HÔ ON luổn cưt tÔi mởt 0 im N (náu N O thẳ ta lĐy im vổ tên trản ) Tự giĂc N HH N 0 nởi tiáp vẳ cõ gâc èi di»n b¬ng 90 Suy ON.ON = OH.OH = R 0 theo c¡ch x¡c ành H, H nh cõa måi M ∈ ∆ l M - ữớng trỏn ữớng kẵnh OH Vêy Ênh cừa ữớng thng khổng qua O l ữớng trỏn i qua O d) Do tẵnh ối hđp ta câ £nh cõa ÷íng trán i qua O l ữớng thng khổng i qua O , hẳnh 1.2a) ữớng trỏn ữớng kẵnh OH OH Vẳ nản e) Tứ cĂch dỹng Ênh nghch £o cõa mët iºm ta suy måi ÷íng trỏn tƠm O, bĂn kẵnh r bián thnh ữớng trỏn ỗng tƠm O, hẳnh 1.2 b) Gồi C l ữớng trỏn tƠm O bián C phữỡng tẵch cừa cỹc phữỡng tẵch p s C ối vợi khổng qua cỹc nghch £o C, O C l ÷íng trán C0 l O, O, t sè tü b¬ng R2 /p H O ): fRO2 (C) = fRO2 ◦ fpO (C) = HhO (C), HhO (C) p (hẳnh kp tữỡng ối) Vẳ tẵch hai l php v tỹ tƠm nản ta cõ (Kỵ hiằu php v tỹ tƠm O l Ta  biát Gåi ta câ ph²p nghàch £o cüc th nh ch½nh php nghch Êo cỹc O (dạ thĐy vợi C0 h = R2 /p khæng i qua O) f) Hiºn nhiản theo nh nghắa cừa phữỡng tẵch 1.1.2 Cổng thực khoÊng cĂch, tẵnh chĐt bÊo giĂc Ta i tẳm khoÊng c¡ch giúa hai £nh nghàch £o cõa hai iºm cho trữợc: Mằnh à 1.1 Náu (O, R) l ữớng trỏn nghàch £o, A0, B0 l £nh nghàch £o cõa A, B th¼ R2 AB AB = OA.OB Chùng minh Ta câ ∆OAB ∼ ∆OB A0 n¶n A0 B OA0 OA · OA0 R2 R2 · AB 0 = = = =⇒ A B = AB OB OA · OB OA · OB OA.OB Minh hồa trản hẳnh 1.4 (1.1) à AB Hẳnh 1.4: Kho£ng c¡ch A0B = ROA.OB H» qu£ 1.1.1 Ph²p nghàch £o b£o to n t sè k²p cõa iºm C A0 D0 A0 : Thay C 0B D0B R2 CB R2 DA R2 DB R2 CA 0 0 0 ;C B = ;DA = ;DB = , C A0 = OC · OA OC · OB OD · OA OD.OB C A0 D0 A0 ta câ : = (A, B, C, D) C 0B D0B 0 0 Vªy (A , B , C , D ) = (A, B, C, D) Chùng minh T sè k²p cõa iºm (A0 , B , C , D0 ) = Ph²p nghàch £o trð n¶n c sưc nhớ cĂc c trững cõ th bián ữớng trán th nh ÷íng th¯ng v ÷íng th¯ng th nh ÷íng trán Nh÷ng nâ thüc sü hi»u qu£ ùng dưng nhí tẵnh chĐt bÊo giĂc, tực khổng thay ời gõc giỳa ữớng cong (thng, trỏn) qua php bián ời Cử thº M»nh · 1.2 Gi£ sû γ1, γ2 l hai ÷íng cong ( ÷íng th¯ng , ÷íng trán ho°c ÷íng tịy þ) tr¶n m°t ph¯ng, ph²p nghich £o fRO2 : γ1 7→ γ10 , γ2 7→ γ20 Khi â ∠ (γ10 , γ20 ) = ∠ (γ1 , γ2 ) Chùng minh Ta ch¿ x²t c¡c ÷íng cong γ1 , l ữớng thng hoc ữớng trỏn Do tẵnh chĐt £nh cõa ph²p nghàch £o ta ph£i chia th nh nhi·u trữớng hủp và v trẵ tữỡng ối cừa (i.) Hai ữớng thng khổng qua , O; ối vợi cüc nghàch £o: (ii.) Mët ÷íng th¯ng qua O v mët ÷íng th¯ng khỉng qua (iii.) Hai ÷íng th¯ng cưt tÔi O; O v cĂc trữớng hủp tữỡng tü γ1 , γ2 cịng l ÷íng trán ho°c mởt ữớng thng, mởt ữớng trỏn Chng hÔn ta chựng minh tr÷íng hđp γ1 ∩ γ2 = P 6= O, hẳnh 1.5 Hẳnh 1.5: Tẵnh chĐt bÊo giĂc a bián thnh ữớng trỏn qua O, tiáp tuyán cừa nõ tÔi O song song vợi a, tữỡng tỹ, ữớng thng b bián thnh ữớng trỏn qua O , tiáp tuyán cừa nõ tÔi O song song vợi b V¼ θ l 0 c¡c gâc giỳa tiáp tuyán tÔi O nản nõ l mởt hai gâc cõa γ1 v γ2 Nh÷ng c¡c ữớng trỏn ny khổng ch cưt tÔi O m cỏn cưt tÔi P Do õ, gõc cụng l gõc giỳa ữớng trỏn tÔi P Do tẵnh ối hủp nản mằnh à hin nhiản trữớng hủp , l hai ữớng trỏn qua O Chú ỵ rơng vợi ữớng trỏn cưt tÔi P ta chuyn và xt tiáp tuyán tÔi P Ta thĐy ữớng thng Mằnh à ữủc sỷ dửng thữớng xuyản vợi , γ2 ti¸p xóc ho°c trüc giao 1.2 Tåa ở barycentric thuƯn nhĐt 1.2.1 nh nghắa v tẵnh chĐt Ta cố nh tam giĂc Kỵ hiằu XY Z ABC , gåi nâ l tam gi¡c cì sð (khỉng suy bián) l diằn tẵch Ôi số cừa tam giĂc XY Z Ta câ ành ngh¾a ành ngh¾a 1.2 Gi£ sû ABC l tam gi¡c cì sð Tåa ë barycentric cõa iºm M èi vỵi tam gi¡c ABC l bë ba sè (x : y : z) cho x : y : z = M BC : M CA : M AB M = (x : y : z) th¼ cơng câ M = (kx : ky : kz), k = Cho ∆ABC gåi G, I, O, H, Oa Tứ nh nghắa ta suy ra: náu lƯn lữủt l trồng tƠm, tƠm ữớng trỏn nởi tiáp, tƠm ữớng trỏn ngoÔi tiáp, trỹc tƠm, tƠm ữớng trỏn bng ti¸p gâc A tam gi¡c â Khi â ta câ: V½ dư 1.2.1 Ta câ tåa ë barycentric cõa G, I, O, H, Oa : a G = (1 : : 1) b I = (a : b : c) c O = (sin 2A : sin 2B : sin 2C) = = a2 b2 + c2 − a2 : b2 c2 + a2 − b2 : c2 a2 + b2 − c2 â l v¼ v¼ v¼ SGBC = SGCA = SGAB SIBC = 21 ra, SICA = 12 rb, SIAB = 21 rc SOBC : SOCA : SOAB =: 1 = R2 sin 2A : R2 sin 2B : R2 sin 2C 2 = sin A cos A : sin B cos B : sin C cos C b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 b2 + a2 − c2 :b :c =a 2bc 2ac 2 2ba 2 2 2 = a b + c − a : b c + a − b : c2 a2 + b2 − c2 d e −S(Oa BC) : S(Oa CA) : S(Oa AB) = −a : b : c H = (tan A : tan B : tan C) = : : b + c − a2 Oa = (−a : b : c) v¼ 10 f C¡c iºm trản CA, AB BC (0 : y : z) Tữỡng (x : : z), (x : y : 0) cõ tồa ở dÔng lƯn lữủt cõ tồa ở tỹ c¡c iºm tr¶n M = (x : y : z) m x + y + z 6= ta thu ÷đc tåa ë barycentric x y z tuy»t èi cõa M : : : , n¸u x + y + z = x+y+z x+y+z x+y+z th¼ (x : y : z) ữủc gồi l tồa ở barycentric chuân cõa M N¸u P (u : v : w), Q(u0 : v : w0 ) thäa m¢n u + v + w = u0 + v + w0 th¼ iºm X chia P Q theo t sè P X : XQ = p : q câ tåa ë l Khi (qu + pu0 : qv + pv : qw + pw0 ) V½ dư 1.2.2 Tẳm tồa ở cĂc im T, T 0, tƠm v tỹ v ngoi cừa ữớng trỏn ngoÔi tiáp v ữớng trỏn nởi tiáp tam giĂc ABC T, T chia iÃu hỏa oÔn thng OI , v th§y t sè R abc S abcs = : = (S l di»n t½ch, s l nûa chu vi tam gi¡c ABC) r 4S s 4S V¼ O = a b2 + c2 − a2 : : = (s.a2 (b2 + c2 − a2 ) : · · · : · · · ) 2 2 vợi tờng cĂc tồa ở bơng 4S v I = (a : b : c) = 8S a : 8S b : 8S c p OT R döng c¡ch tẵnh trản vợi = ta cõ tồa ở cừa T l TI r 4S · sa2 b2 + c2 − a2 + abcs.8S a : : 2 Rót gån biºu thùc: 4S · sa b2 + c2 − a2 + abcs.8S a = = 4sS a2 b2 + c2 − a2 + 2bc = 4sS a2 (b + c)2 − a2 Líi gi£i Ta câ = 4sS a2 (b + c + a)(b + c a) Vêy tƠm v tỹ T = a2 (b + c − a) : b2 (a + c − b) : c2 (a + b c) Tữỡng tỹ tƠm v tỹ ngoi: T = (a2 (a + b − c)(c + a − b) : b2 (b + c − a)(a + b − c) : Cơng câ thº vi¸t c2 (c + a − b)(b + c − a) 2 b c a : : T0 = b+c−a c+a−b a+b−c 11 Trong [6], T ≡ X55 , T ≡ X56 V½ dư 1.2.3 Tåa ë barycentric cõa t¥m Euler O9 = Chùng minh iºm a cos(B − C) : b cos(C − A) : c cos(A − B) â l ta câ t sè OO9 : O9 G = : −1 Trong [5], O9 l X5 1.2.2 Mët sè k¸t qu£ tåa ë barycentric Chóng tỉi tõm tưt cĂc kát quÊ cỡ bÊn  ữủc Paul Yiu nảu [7] (a) CĂc cevian v vát Ba ÷íng th¯ng nèi tø iºm cõa P Giao iºm gåi l v¸t cõa P AP , BP , CP P ¸n ¿nh tam gi¡c gåi l c¡c cevian cõa cĂc cevian ny vợi cĂc cÔnh tam giĂc Tồa ở cĂc vát cõ dÔng AP = (0 : y : z) BP = (x : : z) CP = (x : y : 0) nh lỵ 1.1 Ba iºm X ∈ BC, Y ∈ CA, Z ∈ AB l vát ( nh lỵ Ce'va) cừa mởt im v ch chúng cõ tồa ở dÔng X = (0 : y : z), Y = (x : : z), Z = (x : y : 0), (b) iºm Gergonne v iºm Nagel Ba ti¸p iºm X, Y, Z cừa ữớng trỏn nởi tiáp vợi cĂc cÔnh tam giĂc câ tåa ë 1 X = : : , s − b s − c 1 Y = :0 : , s − a s − c 1 Z = : :0 s−a s−b X = (0 : s − c : s − b), Y = (s − c : : s − a), Z = (s − b : s − a : 0) hay 12 Nh÷ vêy, AX, BY, CZ cưt tÔi im cõ tồa 1 : : s−a s−b s−c â l iºm Gergonne Ge cõa ∆ABC , ë [6] nõ mang nhÂn X7 Tiáp im cừa cĂc ữớng trỏn bng tiáp vợi cĂc cÔnh tam giĂc: X = (0 : s − b : s − c), Y = (s − a : : s − c), Z = (s − a : s − b : 0) (s − a : s − b : s − c), câ gåi l iºm Nagel Na cõa ∆ABC Hai iºm Ge v Na l vẵ dử và im ng hủp (liản hủp ng cỹ) Hai im P, Q (khổng nhĐt thiát õ l vát trản mội cÔnh cừa im cõ tồa ở tản hai trản cÔnh tam giĂc) ữủc gồi l hai im ng hủp náu cĂc vát tữỡng ựng cừa chúng ối xựng qua trung im cÔnh tữỡng ựng Nhữ vêy, BAP = AQ C, CBP = BQ A, ACP = CQ B ∗ cõa P l P Ta câ ∗ 1 P (x : y : z) ⇔ P : : x y z Ta s kỵ hiằu im ng hủp (c) Cæng thùc Conway σ = 2SABC σθ = σ cot Khi õ Kỵ hiằu (hai lƯn diằn tẵch tam gi¡c b2 + c2 − a2 σA = , c2 + a2 − b2 σB = , ABC ), vỵi θ ∈ R, °t a2 + b c C = Chng hÔn: abc cos A abc b2 + c2 − a2 b2 + c2 − a2 σA = 2SABC · cot A = · · = 2· · = 4R sin A 4R sin A.2bc Vợi , tũy ỵ cho ti»n tr¼nh b y ta °t σθϕ = σθ Tẵnh chĐt 1.2.1 Ta cõ hai tẵnh chĐt cõa σθ • σB + σC = a2 , σC + σA = b2 , σA + σB = c2 13 • σAB + σBC + σCA = σ Chựng minh ng thực Ưu hin nhiản câ ¯ng thùc thù hai, ta nhªn A + B + C = 1800 n¶n cot(A + B + C) l Mău số cừa nõ bơng cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A − = Tø â, σAB + σBC + σCA = σ · (cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A) = xt: vẳ Vẵ dử 1.2.4 Tồa ở trỹc tƠm H v tƠm ngoÔi tiáp O theo σθ 1 : : σA σB C H bơng - Trỹc tƠm H câ tåa ë têng c¡c tåa ë cõa hay (σBC : σCA : σAB ) Ta câ - T¥m ngoÔi tiáp cõ tồa ở a2 A : b2 σB : c2 σC = (σA (σB + σC ) : σB (σC + σA ) : σC (σB + A )) Vợi cĂch biu diạn ny, tờng cĂc tồa ở cừa O bơng 2 Chú ỵ - Tồa ở im tƠm Euler biu diạn theo σA , σB , σC 2 l O9 = σ + σBC : σ + σCA : σ + σAB - Tåa ë iºm èi xùng cừa trỹc tƠm qua tƠm ữớng trỏn ngoÔi tiáp, tực l im L chia oÔn thng L = (CA + σAB − σBC HL = : LO −1 1 + − : : : : ) = σB σC σA HO theo t sè â l iºm cõ tản de Longchamps cừa Tẵnh chĐt 1.2.2 ABC , [6] kỵ hiằu l Vợi mồi im P (Cæng thùc Conway) X20 cõa m°t ph¯ng \ = , BCP \ = thẳ ta cõ: ABC kỵ hi»u CBP P −a2 : σC + σϕ : σB + σθ π π C¡c gâc θ, ϕ nơm khoÊng , v gõc dữỡng hay ¥m tòy theo 2 \ v CBA \ kh¡c hữợng hay hữợng cĂc gõc CBP Chựng minh [7] Vẵ dử 1.2.5 Xt hẳnh vuổng BCX1X2 dỹng ngo i tam gi¡c ABC , h¼nh π \1 = 1.6 Ta câ c¡c gâc CBX \ = n¶n X1 = −a2 : σC : σB + σ , BCX T÷ìng tü, X2 = −a2 : σC + σ : σB 14 H¼nh 1.6: Vẵ dử và cổng thực Conway (d) Phữỡng trẳnh ữớng th¯ng ÷íng th¯ng nèi iºm (x1 : y1 : z1 ), (x2 : y2 : z2 ) l x y z x1 y1 z1 = x2 y2 z2 hay (y1 z2 − y2 z1 ) x + (z1 x2 − z2 x1 ) y + (x1 y2 − x2 y2 ) z = Vẵ dử 1.2.6 Mởt số trữớng hủp c biằt: x = 0, y = 0, z = O a2 σA : b2 σB : c2 σC -Ph÷ìng trẳnh cĂc cÔnh BC, CA, AB lƯn lữủt l -Trung trỹc cÔnh BC l ữớng thng nối tƠm vợi trung im I(0 : : 1) nản cõ phữỡng trẳnh b2 σB − c2 σC x − a2 σA y + a2 σA z = 2 2 V¼ b σB − c σC = = σA (σB − σC ) = −σA b c nản viát lÔi thnh b2 − c2 x + a2 (y − z) = - ữớng thng Euler l ữớng thng nối trồng tƠm t¥m H (σBC : σCA : σAB ) G(1 : : 1) vợi trỹc nản cõ phữỡng trẳnh (AB − σCA ) x + (σBC − σAB ) y + (σCA − σBC ) z = ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGƠ TRỌNG THÀNH ĐƯỜNG TRỊN SODDY VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN... trỏn Soddy 2.2 BĂn kẵnh c¡c ÷íng trán Soddy 2.3 ÷íng trán Soddy tåa ë barycentric 2.4 Tam gi¡c Soddy v tam gi¡c Euler-Gergonne -Soddy Chữỡng Mởt số vĐn à liản quan Chữỡng xt cĂc vĐn à liản quan. .. 2.1 ÷íng trán Soddy nởi v ữớng trỏn Soddy ngoÔi 21 2.2 C¡ch düng c¡c ÷íng trán Soddy 22 2.3 Tåa ë barycentric cõa cĂc im Soddy v ữớng thng Soddy 26 2.4 TƠm Soddy nởi, ngoÔi