ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU LOAN ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VECTƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI N[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THU LOAN ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VECTƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THU LOAN ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VECTƠ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Đỗ Văn Lưu THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu 1 Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu tốn bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc 1.1 Dưới vi phân Clarke vi phân Michel–Penot 1.2 Điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ qua vi phân Clarke 1.3 Điều kiện tối ưu qua vi phân Michel–Penot 17 Nghiệm xấp xỉ điều kiện tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vectơ 26 2.1 Các khái niệm định nghĩa 26 2.2 Điều kiện tối ưu cho nghiệm xấp xỉ bất đẳng thức biến phân vectơ 28 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 ii Bảng ký hiệu X∗ Đối ngẫu tô pô không gian X; intA Phần tập A; f (x, v) đạo hàm suy rộng Clarke f x theo phương v ∂f (¯ x) Dưới vi phân Clarke f x¯; f ♦ (¯ x; v) Đạo hàm Michel - Penot f x¯ theo phương v; ∂ M P f (¯ x) Dưới vi phân Michel - Penot f x¯; ∇G f (¯ x) Đạo hàm Gâteaux f x¯; ∇f (¯ x) Đạo hàm Fréchet f x¯; N (C; x) Nón pháp tuyến C x ∈ C; T (C; x) Nón tiếp tuyến C x; co Bao lồi cone co A Nón sinh bao lồi A; lin Bao tuyến tính D∗ Nón đỗi ngẫu D I(x) Tập số ràng buộc tích cực Rm + Orthant không âm Rm Rm ++ Orthant dương Rm hx∗ , xi Giá trị x∗ ∈ X ∗ x ∈ X; Ker∇h(x) Hạch ∇h(x); t.ư Tương ứng Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân ứng dụng trình bày sách Kinderlehrer Stampachia [10] Trong năm gần đây, toán bất đẳng thức biến phân vectơ nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu phạm vi áp dụng rộng rãi Người ta nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân tồn nghiệm, điều kiện tối ưu, đối ngẫu, thuật tốn tìm nghiệm, tính ổn định nghiệm cấu trúc tập nghiệm Điều kiện tối ưu cho tốn bất đẳng thức biến phân vectơ khơng trơn nghiên cứu qua vi phân Clarke, Michel–Penot, Mordukhovich vi phân suy rộng D.V Luu D.D Hang [12] thiết lập điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu toàn cục nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân vectơ ngôn ngữ vi phân Clarke vi phân Michel–Penot X.Q Yang X.Y Zheng [17] dẫn điều kiện tối ưu cho nghiệm xấp xỉ toán bất đẳng thức biến phân vectơ khơng trơn Đây vấn đề có tính thời nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Do đó, tơi chọn đề tài: "Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân vectơ" Luận văn trình bày điều kiện tối ưu cho loại nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân vectơ không trơn qua vi phân Clarke Michel–Penot D.V Luu D.D Hang đăng tạp chí J Math Anal Appl 412 (2014), 792–804, điều kiện tối ưu cho nghiệm xấp xỉ bất đăng thức biến phân vectơ không trơn không gian Banach X.Q Yang X.Y Zheng đăng tạp chí J Glob Optim 40 (2008), 455–462 Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Điều kiện tối ưu cho nghiệm toán bất đẳng thức biến phân vectơ: trình bày điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiêm hữu hiệu toàn cục nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân vectơ qua vi phân Clarke vi phân Michel–Penot Chương Nghiệm xấp xỉ điều kiện tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vectơ: trình bày điều kiện cần điều kiện đủ cho nghiệm xấp xỉ toán bất đẳng thức biến phân vectơ không trơn không gian Banach Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Đỗ Văn Lưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học Tốn, nhà trường phịng chức trường, khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Xin chân thành cảm ơn anh chị em lớp cao học bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Thu Loan Chương Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc Chương trình bày điều kiện cần điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu toàn cục bất đẳng thức biến phân vectơ khơng trơn có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập không gian Banach Các kết trình bày chương tham khảo [12] 1.1 Dưới vi phân Clarke vi phân Michel–Penot Giả sử X không gian Banach, X ∗ không gian đối ngẫu tôpô X, x¯ ∈ X f hàm giá trị thực xác định X Trong [2], đạo hàm theo phương Clarke f x¯ theo phương v xác định sau: f (¯ x; v) = lim sup x→¯ x,t↓0 f (x + tv) − f (x) t Dưới vi phân Clarke f x¯ xác định bởi: ∂f (¯ x) = ξ ∈ X ∗ :< ξ, v >≤ f (¯ x; v), ∀v ∈ X , < ξ, v > giá trị ξ ∈ X ∗ x ∈ X Chú ý vi phân Clarke f quy đạo hàm thông thường f khả vi chặt Trong [13], đạo hàm theo phương Michel - Penot f x¯ theo phương v xác định bởi: f ♦ (¯ x; v) = sup lim sup ω∈X t↓0 f (¯ x + t(v + ω)) − f (¯ x + tω) t Dưới vi phân Michel - Penot f x¯ ∂ M P f (¯ x) = ξ ∈ X ∗ :< ξ, v >≤ f ♦ (¯ x; v), ∀v ∈ X Chú ý f khả vi Gâteaux x¯, ∂ M P f (¯ x) = {∇G f (¯ x)}, ∇G f (¯ x) đạo hàm Gâteaux f x¯ Nếu f khả vỉ Fréchet x¯ với đạo hàm Fréchet ∇f (¯ x), ∂ M P f (¯ x) = {∇f (¯ x)} Nếu f Lipschitz địa phương với số L, hàm f (¯ x; ) f ♦ (¯ x; ) dương, cộng tính X, Lipschitz với số L X, ∂f (¯ x) ∂ M P f (¯ x) khác rỗng, lồi, compact *yếu X ∗ k ξ k với ξ ∈ ∂f (¯ x) ξ ∈ ∂ M P f (¯ x) Khi f hàm Lipschitz địa phương x¯, ta có f ♦ (¯ x, v) ≤ f (¯ x, v), (∀v ∈ X), ∂ M P f (¯ x) ⊂ ∂f (¯ x) Nếu f hàm thực lồi X, vi phân hàm lồi f x¯ định nghĩa sau: ∂C f (¯ x) := {ξ ∈ X ∗ : hξ, x − x¯i ≤ f (x) − f (¯ x), ∀x ∈ X} Nhắc lại Định lý 4.9 [1] Mệnh đề 7.3.9(d) [16] Mệnh đề 1.1 Giả sử A : X → Y ánh xạ tuyến tính liên tục f hàm thực lồi Y Khi đó, với x ∈ X, A∗ ∂C f (Ax) ⊂ ∂C (f A)(x) 6 Nếu f liên tục điểm thuộc ImA, với x ∈ X, A∗ ∂C f (Ax) = ∂C (f A)(x), A∗ : Y ∗ → X ∗ ánh xạ liên hợp A, ImA ảnh A Mệnh đề 1.2 Nếu f lồi X Lipschitz địa phương x¯ ∈ X với v ∈ X, f ♦ (¯ x, v) = f (¯ x, v) ∂ M P f (¯ x) = ∂f (¯ x) = ∂C f (¯ x) Nón tiếp tuyến Clarke C ⊂ X điểm x¯ ∈ C định nghĩa sau: T (C; x¯) := {v ∈ X : ∀xn ∈ C, xn → x¯, ∀tn ↓ 0, ∃vn → v cho xn + tn ∈ C, ∀n} Nón pháp tuyến Clarke C x¯ N (C; x¯) := {ξ ∈ X ∗ : hξ, vi ≤ 0, ∀v ∈ T (C; x¯)} Các nón T (C; x¯) N (C; x¯) lồi khác rỗng, T (C; x¯) đóng N (C; x¯) đóng ∗ yếu Với nón D ⊂ X, nón đỗi ngẫu D định nghĩa sau: D∗ = {ξ ∈ X ∗ : hξ, vi ≥ 0, ∀v ∈ D} 1.2 Điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ qua vi phân Clarke Giả sử X không gian Banach thực T ánh xạ từ X vào không gian L(X, Y ) gồm tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Với x ∈ X, T (x) ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y Giả sử g h ánh xạ từ X vào Rm Rl Khi đó, g = (g1 , , gm ), h = (h1 , , hl ) Giả ... Chương Điều kiện tối ưu cho nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân vectơ: trình bày điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiêm hữu hiệu toàn cục nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân vectơ. .. phân Clarke vi phân Michel–Penot Chương Nghiệm xấp xỉ điều kiện tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vectơ: trình bày điều kiện cần điều kiện đủ cho nghiệm xấp xỉ toán bất đẳng thức biến phân vectơ. .. nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân tồn nghiệm, điều kiện tối ưu, đối ngẫu, thuật tốn tìm nghiệm, tính ổn định nghiệm cấu trúc tập nghiệm Điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ