ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ THỊ LOAN NGHỊCH ĐẢO SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ THỊ LOAN NGHỊCH ĐẢO SUY[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGÔ THỊ LOAN NGHỊCH ĐẢO SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGÔ THỊ LOAN NGHỊCH ĐẢO SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Đinh Nho Hào THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Lời cảm ơn iii Lời cam đoan Mở đầu Chương Các khái niệm đại số tuyến tính giải tích hàm 1.1 Khơng gian Euclide 1.2 Khơng gian Banach tốn tử liên tục 1.2.1 Không gian Banach 1.2.2 Toán tử tuyến tính liên tục 1.3 Đạo hàm theo nghĩa Fréchet Chương Nghịch đảo suy rộng không gian Hilbert 2.1 Nghiệm bình phương tối thiểu 2.2 Nghịch đảo suy rộng 10 2.3 Định lý Picard 14 Chương Nghịch đảo suy rộng không gian hữu hạn chiều 15 3.1 Phân tích giá trị kỳ dị ma trận 15 3.2 Giả nghịch đảo (nghịch đảo suy rộng) 19 ii 3.3 Nghiệm bình phương tối thiểu 24 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 iii Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Đinh Nho Hào Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc em suốt trình làm luận văn Em xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để em học tập nghiên cứu Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán K11C (khóa 2017-2019), cảm ơn gia đình bạn bè động viên giúp đỡ em nhiều trình học tập 1 Lời cam đoan Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo GS.TSKH Đinh Nho Hào với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu luận văn, kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan kết luận văn kết nghiên cứu thân, không trùng với luận văn tác giả khác Thái Nguyên, ngày tháng Tác giả năm 2019 Mở đầu Phương pháp bình phương tối thiểu xuất phát từ nghiên cứu thiên văn khoa đo đạc Từ quan sát khác tượng người ta cần xấp xỉ Phương pháp có cội nguồn từ nghiên cứu khác Roger Cotes vào năm 1722, Tobias Mayer nghiên cứu chuyển động mặt trăng năm 1750, Pierre-Simon Laplace nghiên cứu chuyển động Mộc Thổ năm 1788 Người mô tả cách tường minh ứng dụng phương pháp bình phương tối thiểu Adrien-Marie Legendre [5] vào năm 1805 ơng phân tích kiện Laplace hình dạng đất Phương pháp Legendre nhà thiên văn học nhà đo đạc hàng đầu thời cơng nhận sử dụng Vào năm 1809, Carl Friedrich Gauss công bố phương pháp ơng cách tính quỹ đạo thiên thể [4] khẳng định rằng, phương pháp ơng tìm từ năm 1795, trước Legendre Gauss cịn liên hệ phương pháp bình phương tối thiểu với kết quan trọng lý thuyết xác suất phân bố chuẩn Có nhiều tranh cãi việc có hay khơng, Gauss tìm phương pháp bình phương tối thiểu trước Legendre ơng cơng bố sau Cơng trình [10] đưa khẳng định, có lẽ điều Dù người phát minh phương pháp nữa, phương pháp bình phương tối thiểu phương pháp tồn hiệu giải tích số, thống kê, Phương pháp bình phương tối thiểu cho ta hiểu nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính, gọi nghiệm bình phương tối thiểu - phần tử tối thiểu hóa bình phương chuẩn Euclide độ lệch (discrepancy) Nghiệm bình phương tối thiểu giải pháp lý tưởng để hiểu hệ phương trình đại số tuyến tính có số phương trình nhiều số ẩn - hệ thường xuyên gặp tốn đo đạc Tuy nhiên, nghiệm bình phương tối thiểu khơng nhất, để khắc phục khiếm khuyết này, Moore [6] vào năm 1920 sau Penrose [8, 9] vào năm 1955, 1956 đưa khái niệm nghịch đảo suy rộng nghiệm suy rộng dựa lý thuyết phổ Có nhiều cách tiếp cận đến nghịch đảo suy rộng khác nhau, luận văn sử dụng định nghĩa nghiệm suy rộng nghiệm bình phương tối thiểu có chuẩn nhỏ Chúng tơi dùng khái niệm dùng ta tiếp cận tốn đặt không chỉnh Các kết luận văn dựa vào tài liệu [1, 2, 3, 7] Luận văn gồm ba chương Trong chương đầu chúng tơi tóm tắt số khái niệm Đại số tuyến tính Giải tích hàm Chương đề cập đến nghịch đảo suy rộng khơng gian Hilbert cịn chương cuối đề cập đến khái niệm không gian Rn Chương Các khái niệm đại số tuyến tính giải tích hàm 1.1 Không gian Euclide Định nghĩa 1.1 Cho E không gian vectơ trường số thực R, tích vơ hướng E ánh xạ : E × E → R (x, y) →< x, y > thỏa mãn điều kiện sau < x, y >=< y, x >, < x + y, z >=< x, z > + < y, z >, < λx, y >= λ < x, y >, < x, x >≥ ∀x ∈ E < x, x >= ⇔ x = Định nghĩa 1.2 Không gian vectơ E trường số thực R gọi không gian vectơ Euclide E có tích vơ hướng Định nghĩa 1.3 Độ dài vectơ x không gian vectơ Euclide E với tích vơ hướng xác định bởi: √ kxk = < x, x > Định nghĩa 1.4 Đối với hai vectơ x y không gian vectơ Euclide ta gọi góc ϕ x y xác định công thức: < x, y > cos ϕ = kxkkyk Khi không gian vector Euclide E Rn , ta viết vector x ∈ Rn dạng x 1 x = xn với xi ∈ R Khi vector chuyển vị x xt = (x1 , , xn ) Giả sử M = (mij ) ∈ Rm,n , u, v ∈ Rk , α1 , , α` ∈ R, u1 , , u` ∈ Rk Ta ký hiệu I ma trận đơn vị, Mt ma trận chuyển vị củaM, ut v tích vô hướng u với v, kM k kM kF chuẩn max{kM xk|x ∈ Rn , kxk ≤ 1}, chuẩn Frobenius of M, P 2 kM kF := , i,j |mi,j | < u1 , , u` > bao tuyến tính u1 , , u` , diag(α1 , , α` ) ma trận đường chéo Rp,` với thành phần α1 , , α` đường chéo (p ≥ 1), (u1 | |u` ) ma trận Rk,` với cột u1 , , u` ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGÔ THỊ LOAN NGHỊCH ĐẢO SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC... khái niệm nghịch đảo suy rộng nghiệm suy rộng dựa lý thuyết phổ Có nhiều cách tiếp cận đến nghịch đảo suy rộng khác nhau, luận văn sử dụng định nghĩa nghiệm suy rộng nghiệm bình phương tối thiểu... Chương Nghịch đảo suy rộng không gian hữu hạn chiều 15 3.1 Phân tích giá trị kỳ dị ma trận 15 3.2 Giả nghịch đảo (nghịch đảo suy rộng) 19 ii 3.3 Nghiệm