ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HOÀNG THU THẢO VỀ MỘT MỞ RỘNG MỚI CỦA BÀI TOÁN NAGELL LJUNGGREN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HOÀNG THU THẢO VỀ MỘT MỞ RỘNG MỚI CỦA BÀI TOÁN NAGELL-LJUNGGREN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HOÀNG THU THẢO VỀ MỘT MỞ RỘNG MỚI CỦA BÀI TỐN NAGELL-LJUNGGREN Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN - 2020 i Mục lục Một số kí hiệu luận văn iii Lời cảm ơn iv Mở đầu Chương 1.Phương trình Nagell-Ljunggren 1.1 Giới thiệu toán Nagell-Ljunggren 1.2 Phương pháp Runge vài kết biết 1.3 Một số kết M.A.Bennett A.Levin phương trình Nagell-Ljunggren Chương 2.Ứng dụng giả thuyết abc để giải phương trình Nagell-Ljunggren 19 2.1 Giả thuyết abc 2.2 Ứng dụng giả thuyết abc để giải phương trình NagellLjunggren 2.2.1.Một số khái niệm ký hiệu cần sử dụng 2.2.2.Bộ ba chấp nhận ba không chấp nhận 2.2.3.Ứng dụng giả thuyết abc để giải phương trình NagellLjunggren 2 Chương 3.Các lời giải phương trình Nagell-Ljunggren suy rộng ba (q,n,l) chấp nhận 3.1 Trường hợp (q, n) = (2; 2) 3.2 Trường hợp (n, l) = (2; 1) 3.3 Trường hợp (q, n, l) = (2; 3; 1) 3.4 Trường hợp (q, n, l) = (2; 3; 2) 3.5 Trường hợp (q, n, l) = (3; 2; 2) 3.6 Trường hợp (q, n, l) = (3; 3; 1) 3.7 Trường hợp (q, n, l) = (3; 2; 3) 26 3 ii 3.8 Trường hợp (q, n, l) = (2; 4; 1) 3.9 Trường hợp (q, n, l) = (4; 2; 2) Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 iii Một số kí hiệu luận văn STT Ký hiệu ω (n) Ω (n) G (n) φ ordp n gcd (a, b) n k [x] dxe 10 rad (n) 11 ω↑n P 12 b 13 |ω| 14 [ω]b Nội dung ký hiệu Số ước nguyên tố khác n Số lượng tất ước nguyên tố n Phần khơng bình phương n Hàm Euler Cấp n theo modulo p Ước chung lớn a, b n! n = k k! (n − k)! [x] = max {n ∈ Z |n ≤ x} - hàm Floor dxe = {n ∈ Z |n ≥ x} - hàm Ceiling Tích ước nguyên tố phân biệt n ω ↑ n = ωω ω | {z } n P = {0, 1, , b − 1}, (b ≥ 2) b Số kí tự ω, độ dài ω P [ω]b = bn−i = m - giá trị ω Trang 4 5 (m)b √ Q (m)b = ω - biểu diễn m sở b √ √ Q = a + b |a, b ∈ Q 20 32 15 16 9 28 19 20 20 20 20 1≤i≤n iv Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Nơng Quốc Chinh, khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Ngun Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, cơng sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tơi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, phòng Đào tạo tạo điều kiện thuận lợi suốt thời gian học tập Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tập thể lớp Cao học Toán K12A7 động viên giúp đỡ nhiều trình học tập làm luận văn Cuối xin cảm ơn bạn bè, người thân, đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tơi hồn thành tốt khóa học Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2020 Học viên Hoàng Thu Thảo Mở đầu Mục đích đề tài luận văn Một toán kinh điển Lý thuyết số Bài tốn Nagell-Ljunggren: Tìm số nguyên n > q ≥ để phương trình Diophantine bn − q y = (1) b−1 có cặp nghiệm nguyên (y, b) thỏa mãn |b| , |y| > Vào khoảng năm 1920 đến 1940, Nagell Ljunggren công bố kết lời giải phương trình Diophante (1), khẳng định ngồi lời giải : (3, 11, 5, 2); (7, 20, 4, 2); (18, 7, 3, 3); (−19, 7, 3, 3); phương trình (1) khơng có lời giải (b, y, n, q) khác điều kiện sau thỏa mãn: (i) q = 2; (ii) ước n; (iii) ước n; (iv) q = n 6≡ 5(mod6) Từ đến nay, với tên gọi phương trình Nagell-Ljunggren, vấn đề nhiều nhà tốn học quan tâm có nhiều cơng bố năm gần - Năm 2015, Michael A.Bennett Aaron Levin công bố kết nghiên cứu tốt nhiều so với kết Yann Bugeaud Preda Mihăilescu năm 2007 - Năm 2017, Andrew Bridy, Robert J.Lemke Oliver, Arlo Shallit Jeffrey Shallit công bố kết mở rộng vấn đề qua báo “On the Generalized Nagell-Ljunggren Problem: Powers with Repetitive Representations” 2 Mục đích luận văn trình bày lại kết hai báo: “The Nagell–Ljunggren equation via Runge’s method” Michael A.Bennett, Aaron Levin “On the Generalized Nagell-Ljunggren Problem: Powers with Repetitive Representations” Andrew Bridy, Robert J.Lemke Oliver, Arlo Shallit Jeffrey Shallit Nội dung đề tài Luận văn chia làm ba chương, đó: Chương Phương trình Nagell-Ljunggren Chương trình bày tốn Nagell-Ljunggren kết phương trình Nagell-Ljunggren sử dụng phương pháp cổ điển Runge Chương Ứng dụng giả thuyết abc để giải phương trình Nagell-Ljunggren Chương thứ hai trình bày giả thuyết abc, số khái niệm, kí hiệu mới, ba chấp nhận quan trọng ứng dụng Giả thuyết abc vào giải phương trình Nagell-Ljunggren Chương Các lời giải phương trình Nagell-Ljunggren suy rộng ba (q, n, l) chấp nhận Chương cuối trình bày chi tiết lời giải toán NagellLjunggren suy rộng trường hợp mà ba (q, n, l) chấp nhận thông qua việc chứng minh định lý Phần kết luận luận văn tổng kết lại toàn kết đạt 3 Chương Phương trình Nagell-Ljunggren 1.1 Giới thiệu toán Nagell-Ljunggren Bài toán 1.1.1 (Bài tốn Nagell-Ljunggren) Tìm số ngun n > q ≥ để phương trình Diophantine bn − y = b−1 q (1.1) có cặp nghiệm nguyên (y, b) thỏa mãn |b| , |y| > 1.2 Phương pháp Runge vài kết biết Vào khoảng năm 1920 đến 1940, Nagell Ljunggren công bố kết lời giải phương trình Diophante (1.1), khẳng định ngồi lời giải : (3, 11, 5, 2); (7, 20, 4, 2); (18, 7, 3, 3); (−19, 7, 3, 3); phương trình (1.1) khơng có lời giải (b, y, n, q) khác điều kiện sau thỏa mãn: (i) q = 2; (ii) ước n; (iii) ước n; (iv) q = n 6≡ 5(mod6) Từ đến nay, với tên gọi phương trình Nagell-Ljunggren, vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm có nhiều cơng bố năm gần Năm 1887, báo mình, C.Runge mơ tả phương pháp dùng để xác định nghiệm ngun phương trình Diophantine có dạng f (x) = g (x), f g đa thức ẩn x với hệ số nguyên Sau này, nhiều nhà toán học Bugeaud, Mihăilescu, sử dụng phương pháp Runge để chứng minh định lý toán học, phương pháp suy luận gọi chung phương pháp Runge Năm 2007, báo “On the Nagell-Ljunggren equation xn − = y q ”, Y.Bugeaud P.Mihăilescu sử dụng phương pháp x−1 Runge chứng minh rằng: Nếu (b, y, n, q) nghiệm phương trình bn − = yq , (1.2) b−1 với |b| , |y| > 1; n > 2; q ≥ 2; ta có ω (n) ≤ Ω (n) ≤ 4, ω (n) số ước nguyên tố khác n, Ω (n) số lượng tất ước nguyên tố n Năm 2015, báo “The Nagell–Ljunggren equation via Runge’s method”, M.A.Bennett A.Levin sử dụng phương pháp Runge chứng minh kết tốt nhiều so với kết Bugeaud Mihăilescu Đó là: Nếu (b, y, n, q) nghiệm phương trình (1.2) ω (n) ≤ Ω (n) ≤ Mục tiêu chương trình bày lại kết thu M.A.Bennett A.Levin báo “The Nagell–Ljunggren equation via Runge’s method” Trước hết, ta nhắc lại số kết thu Nagell, Ljunggren, Mihăilescu, Bugeaud, Phương trình Nagell–Ljunggren (1.2) có nghiệm biết là: 3 35 − −1 18 − (−19) − = 11 , = 20 , =7 , = 73 (N L) 3−1 7−1 18 − (−19) − ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HOÀNG THU THẢO VỀ MỘT MỞ RỘNG MỚI CỦA BÀI TỐN NAGELL- LJUNGGREN Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN... HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN - 2020 i Mục lục Một số kí hiệu luận văn iii Lời cảm ơn iv Mở đầu Chương 1.Phương trình Nagell- Ljunggren 1.1 Giới thiệu toán Nagell- Ljunggren. .. trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2020 Học viên Hoàng Thu Thảo Mở đầu Mục đích đề tài luận văn Một toán kinh điển Lý thuyết số Bài tốn Nagell- Ljunggren: Tìm số ngun n > q ≥ để phương trình