Luận án tiến sĩ toán học xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi trong không gian besov

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Mạnh Cường XẤP XỈ VÀ KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÍCH NGHI VÀ KHÔNG THÍCH NGHI TRONG KHÔNG GIAN BESOV LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Mạnh Cường XẤP XỈ VÀ KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÍCH NGHI VÀ KHƠNG THÍCH NGHI TRONG KHƠNG GIAN BESOV LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Mạnh Cường XẤP XỈ VÀ KHƠI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÍCH NGHI VÀ KHƠNG THÍCH NGHI TRONG KHƠNG GIAN BESOV Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 9460101.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Đinh Dũng TS Mai Xuân Thảo HÀ NỘI - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi, hướng dẫn tập thể cán hướng dẫn Các số liệu kết trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Hà Nội, ngày tháng năm 2020 Tác giả luận án Nguyễn Mạnh Cường LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn tận tình GS.TSKH Đinh Dũng TS Mai Xuân Thảo Trước tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Đinh Dũng TS Mai Xuân Thảo, thầy đặt tốn, giúp đỡ, bảo tận tình, chu đáo suốt trình tác giả thực luận án Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Phịng Sau đại học, Khoa Tốn - Cơ - Tin học tập thể thầy cô giáo Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt mơn Giải tích ln quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi có ý kiến đóng góp q báu cho tác giả q trình học tập nghiên cứu Xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Lãnh đạo Trường Đại học Hồng Đức, thầy cô giáo bạn đồng nghiệp Bộ mơn Giải tích-Khoa Khoa học Tự nhiên ln động viên giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu Xin chân thành cám ơn PGS.TS Ninh Văn Thu, TS Lê Huy Chuẩn, TS Vũ Nhật Huy, PGS.TS Đỗ Đức Thuận , thầy cô bạn đồng nghiệp góp nhiều ý kiến quý báu thời gian tác giả tham dự Xêmina mơn Giải tích, Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Xin cảm ơn tập thể cán Viện Nghiên cứu cao cấp Toán tạo điều kiện để tác giả làm việc GS.TSKH Đinh Dũng thời gian GS.TSKH Đinh Dũng làm việc Cuối cùng, xin cám ơn bạn nghiên cứu sinh gia đình, bạn bè chia sẻ, động viên tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các ký hiệu Mở đầu Chương CÁC ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN QUA GIÁ TRỊ LẤY MẪU 1.1 Không gian Besov 1.2 Biểu diễn B-spline giả nội suy qua giá trị lấy mẫu 1.3 Biểu diễn lượng giác qua giá trị lấy mẫu 1.4 Kết luận 13 13 16 29 35 Chương KHƠI PHỤC HÀM SỐ KHƠNG TUẦN HỒN CĨ ĐỘ TRƠN ĐẲNG HƯỚNG 2.1 Các đại lượng xấp xỉ khôi phục hàm số 2.2 Khôi phục hàm số phương pháp tuyến tính 2.3 Khơi phục hàm số khơng tuần hồn phương pháp thích nghi 2.3.1 Định nghĩa 2.3.2 Xấp xỉ khôi phục hàm số phương pháp thích nghi 2.4 Kết luận 37 37 40 45 45 46 58 Chương KHƠI PHỤC VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ TUẦN HỒN CĨ ĐỘ TRƠN HỖN HỢP 59 3.1 Xấp xỉ khôi phục hàm số phương pháp phi tuyến không gian B ap,θ 60 3.2 A 69 Xấp xỉ khôi phục hàm số không gian B p,θ 3.3 Kết luận 82 Kết luận kiến nghị 83 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 84 Tài liệu tham khảo 85 CÁC KÝ HIỆU F:X→Y ánh xạ từ X vào Y R tập số thực Rd không gian Euclide d−chiều Id [0, 1]d Td := [0, 2π ]d hình xuyến d chiều Z tập số nguyên kxk chuẩn véc tơ x kxkX chuẩn véc tơ x không gian X ∅ tập rỗng x∈A phần tử x thuộc tập A x∈ /A phần tử x không thuộc tập A A ⊂ B( B ⊃ A) tập A tập B A∩B giao hai tập A B A∪B hợp hai tập A B A\B hiệu tập A tập B B tích Descartes hai tập A B | A| lực lượng tập hữu hạn A SX mặt cầu đơn vị không gian X span( A) khơng gian tuyến tính sinh tập A { xn } dãy số xn supp( ϕ) giá hàm ϕ α := (α1 , α2 , , α N ) đa số x α := x1 x2α2 x NN đơn thức cấp |α| := ∑iN=1 αi L p ( D ), < p < ∞ khơng gian hàm p−khả tích tập D L∞ ( D ) không gian hàm f với chuẩn sup| f ( x )| C ( A) không gian hàm liên tục tập A A := B A định nghĩa B ∃x tồn x α α x∈D ∀x với x | x |1 := ∑id=1 xi chuẩn l1 véc tơ x = ( x1 , x2 , , xd ) S( A, x ) := sup( a, x ) hàm giá A a∈ A Ao+ tập hợp { x ∈ Rd+ : ( a, x ) ≤ 1, a ∈ A} α := α( A) 1/α := sup{| x |1 : x ∈ Ao+ } s := s( A) số chiều tập hợp { x ∈ Ao+ : | x |1 = 1/α} ( x, y) tích vơ hướng hai véc tơ x y An ( f )  Bn ( f ) ∃C > độc lập với n thỏa mãn An ( f ) ≤ C.Bn ( f ) An ( f )  Bn ( f ) ∃C > độc lập với n thỏa mãn An ( f ) ≥ C.Bn ( f ) An ( f )  Bn ( f ) An ( f )  Bn ( f ) An ( f )  Bn ( f ) tr trang kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm gần đây, phương pháp xấp xỉ đại toán học ứng dụng cách triệt để có hiệu vào lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý ảnh thị giác máy tính Bài tốn khơi phục tín hiệu (hàm số) toán quan trọng lĩnh vực xử lý tín hiệu xử lý ảnh, thực tế khơng có loại máy cho ta thơng tin xác tín hiệu Bài tốn khơi phục tín hiệu từ giá trị lấy mẫu có nguồn gốc từ Định lý ShannonKotelnikov tiếng, khôi phục tín hiệu có giải tần hữu hạn từ giá trị lấy mẫu Một vấn đề tảng đặt tìm phương pháp tối ưu để khơi phục tín hiệu nén tín hiệu từ số hữu hạn giá trị lấy mẫu Lý thuyết sóng nhỏ hình thành phát triển năm 90 kỷ trước, công cụ biểu diễn hiệu xử lý tín hiệu, đặc biệt tốn khơi phục nén tín hiệu từ giá trị lấy mẫu Trong tốn xử lý tín hiệu, xử lý ảnh thị giác máy tính, tín hiệu mơ hình hóa hàm số biến nhiều biến Trước tiên xét số toán truyền thống khôi phục hàm số từ giá trị lấy mẫu: Vấn đề đặt cần khôi phục gần tín hiệu nhiều chiều f từ n giá trị lấy mẫu Trên sở thông tin xây dựng phương pháp để khôi phục Trong cách tiếp cận truyền thống thông tin giá trị lấy mẫu phương pháp khơi phục khơng thích nghi với hàm số, nghĩa điểm lấy mẫu phương pháp khơi phục tín hiệu chọn giống cho tín hiệu Các phương pháp khơi phục khơng thích nghi với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu nghiên cứu cơng trình [9–11,27,28,32,36] tác giả từ Đại học Quốc gia Hà Nội, Đại học Tổng hợp South Carolina-Hoa Kỳ, Đại học Tổng hợp Jena-CHLB Đức, Các tác giả cơng trình tính tốc độ hội tụ đại lượng đặc trưng cho phương pháp khơi phục khơng thích nghi với hàm từ giá trị lấy mẫu tối ưu Tuy nhiên, nhiều trường hợp phương pháp khơi phục khơng thích nghi khơng mềm dẻo linh hoạt dáng điệu tín hiệu khác Đề tài Luận án nghiên cứu phương pháp khơi phục tuyến tính khơng thích nghi từ giá trị lấy mẫu cách tiếp cận cho tốn khơi phục tín hiệu nhiều chiều từ giá trị lấy mẫu cách buộc thông tin giá trị lấy mẫu phương pháp khơi phục phải thích nghi với tín hiệu Cách tiếp cận Giáo sư Đinh Dũng đề xuất nghiên cứu [15, 16] có ý nghĩa quan trọng nén lưu trữ tín hiệu Cụ thể điểm lấy giá trị thử phương pháp khôi phục tín hiệu chọn cho chúng thích nghi với tín hiệu Đề tài tập trung nghiên cứu phương pháp khơi phục thích nghi với tín hiệu từ giá trị lấy mẫu tối ưu tín hiệu đơn giản từ tập hợp có dung lượng hữu hạn đo số phần tử hay giả chiều (pseudo-dimension) chúng, tín hiệu đơn giản tổ hợp tuyến tính n số hạng từ từ điển Giả chiều (pseudo-dimension) [15, 29] đóng vai trị quan trọng Lý thuyết nhận dạng, đánh giá hồi quy Lý thuyết học máy [15, 30] Luận án nghiên cứu đại lượng đặc trưng cho phương pháp khơi phục tối ưu có liên quan đến e-entropy [24], độ dày phi tuyến [36] xấp xỉ n số hạng [6] Ngoài đề tài luận án nghiên cứu phương pháp xấp xỉ khơi phục khơng thích nghi tốt nhất, phương pháp tuyến tính Để xây dựng phương pháp khơi phục thích nghi khơng thích nghi với tín hiệu từ giá trị lấy mẫu tối ưu, xây dựng biểu diễn B-spline giả nội suy biểu diễn lượng giác hàm số qua giá trị lấy mẫu Một biểu diễn hàm số xây dựng dựa sở toán tử giả nội suy [2, 4, 7] B-spline nhân lượng giác de la Vallée Poussin Các phương pháp khôi phục thích nghi với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu cho bậc tiệm cận sai số xấp xỉ tốt phương pháp khôi phục không thích nghi nghiên cứu Tuy nhiên, độ phức tạp tính tốn phương pháp thích nghi đơi lớn phương pháp khơng thích nghi, đặc biệt phương pháp tuyến tính Mục đích nghiên cứu Mục đích Luận án nghiên cứu số vấn đề khôi phục xấp xỉ hàm số khơng gian Besov phương pháp khơi phục thích nghi khơng thích nghi với hàm số, phương pháp tuyến tính phi tuyến Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Đề tài Luận án tập trung nghiên cứu khôi phục xấp xỉ hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu phương pháp thích nghi khơng thích nghi, cụ thể: - Nghiên cứu đại lượng đặc trưng cho phương pháp khơi phục thích nghi khơng thích nghi tốt với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu - Nghiên cứu thuật tốn (phương pháp) khơi phục thích nghi khơng thích nghi với hàm số thuộc khơng gian Besov từ giá trị lấy mẫu tối ưu, nghiên cứu tốc độ hội tụ thuật tốn tính ưu việt chúng so với phương pháp khôi phục không thich nghi truyền thống - Nghiên cứu biểu diễn lượng giác B-spline giả nội suy biểu diễn lượng giác hàm số biến nhiều biến thuộc không gian Besov ứng dụng việc xây dựng thuật tốn (phương pháp) khơi phục thích nghi khơng thích nghi với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu - Nghiên cứu biểu diễn thuật toán tham lam hàm số biến nhiều biến toán xấp xỉ phi tuyến tuyến tính có liên quan 3.2 Phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu vấn đề sau: Khôi phục xấp xỉ hàm số thuộc không gian Besov phương pháp khơi phục thích nghi, phương pháp phi tuyến, phương pháp tuyến tính Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các vấn đề nghiên cứu Luận án khôi phục hàm số từ giá trị lấy mẫu phương pháp khơng thích nghi thích nghi hướng nghiên cứu mới, sử dụng phương pháp lý thuyết xấp xỉ ứng dụng Kết Luận án đóng góp cho hướng nghiên cứu Vì đề tài Luận án có ý nghĩa khoa học, nhiều nhà tốn học nước giới quan tâm Đề tài Luận án có ý nghĩa thực tiễn ứng dụng vấn đề xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, thị giác máy tính Tổng quan Như phần đặt vấn đề nêu, phương pháp xấp xỉ đại toán học ứng dụng nhiều lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý ảnh thị giác máy tính Bài tốn khơi phục tín hiệu loại nhiễu toán quan trọng lĩnh vực xử lý tín hiệu xử lý ảnh, thực tế khơng có loại máy cho ta thơng tin xác tín hiệu, nhiễu ln xuất q trình truyền tải, số hóa, nhiễu xuất điều kiện tự nhiên Sự phụ thuộc chất lượng tín hiệu ảnh vào cơng nghệ xử lý thơng tin địi hỏi phải phát triển mạnh có hiệu thuật tốn xử lý tín hiệu, xử lý ảnh ứng dụng chúng Biểu diễn cách hiệu tín hiệu vấn đề trọng tâm nhiều tốn xử lý tín hiệu, xử lý ảnh khôi phục, nén, khử nhiễu Việc tìm kiếm cơng cụ tốn học cho vấn đề xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, thị giác máy tính đóng vai trị tảng Vấn đề nhiều nhà toán học giới nghiên cứu, dựa tính chất tín hiệu tín hiệu mơ hình hóa hàm số thuộc cỏc khụng gian hm Sobolev, Besov, Holder-Nikolskii , ă việc khơi phục tín hiệu đưa khơi phục xấp xỉ hàm số không gian hàm Một không gian thuận tiện cho việc khôi phục xấp xỉ hàm số không gian Besov Độ trơn Besov hàm số độ trơn quan trọng phổ biến sử dụng nhiều tốn khơi phục xấp xỉ, hàm số có độ trơn cao tốc độ xấp xỉ cao Khơi phục hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu toán lý thuyết xấp xỉ, nhiều nhà tốn học quan tâm ý nghĩa lý thuyết ứng dụng Bài toán tổng quát phát biểu sau: Giả sử f hàm xác định miền D không gian Rd biết giá trị hàm số n điểm thuộc D Các vấn đề đặt xây dựng phương pháp khôi phục f dựa thông tin n giá trị hàm số, đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp theo n, nghiên cứu tính tối ưu phương pháp Đề tài Luận án nghiên cứu vấn đề tốn khơi phục hàm số, cụ thể nghiên cứu phương pháp không thích nghi (tuyến tính) phương pháp thích nghi để khơi phục hàm số thuộc khơng gian Besov có độ trơn đẳng hướng hỗn hợp, đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp nghiên cứu tính tối ưu phương pháp theo đại lượng đặc trưng Khôi phục hàm số từ giá trị lấy mẫu phương pháp tuyến tính cách tiếp cận truyền thống nhiều nhà toán học nghiên cứu, nhiên khơng tính thời có nhiều ứng dụng Trong số trường hợp, phương pháp không mềm dẻo điểm lấy mẫu phương pháp khôi phục chọn giống cho hàm số, dẫn đến sai số xấp xỉ phương pháp khơng tốt Khi phương pháp thích nghi phi tuyến xây dựng cho hàm số có ưu hơn, đặc biệt tốn nén lưu trữ tín hiệu Chính mà nội dung nghiên cứu kết dự kiến Luận án có khả ứng dụng lĩnh vực thực tế nêu Những điều nêu dẫn đến tốn khơi phục xấp xỉ hàm số thuộc không gian khác nhau, in hỡnh l cỏc khụng gian Sobolev, Besov, Holderă Nikolskii Cần ý tốn khơi phục xấp xỉ toán gồm bước liên tiếp nhau, trước hết khôi phục hàm số dựa giá trị lấy mẫu, sau xấp xỉ hàm số từ phương pháp khơi phục Các nhà tốn học Vladimir N Temlyakov, Tino Ullrich nghiên cứu khơi phục xấp xỉ hàm số thuộc không gian Sobolev Wpr phương pháp khơi phục khơng thích nghi, đánh giá tiệm cận sai số phương pháp trường hợp đặc biệt (xem [20, Chương 5]) Trong [33,35], nhà tốn học Vladimir N Temlyakov nghiên cứu khơi phục hàm số không gian Sobolev cho lớp hàm số tuần hồn Ngồi [21, 22], nhà tốn học E M Galeev nghiên cứu khôi phục hàm số cho lớp hàm thuộc không gian Holder-Nikol’skii H pr GS Đinh Dũng nghiên cứu tốn khơi phục xp ă x hm s tun hon vi trn không đẳng hướng thuộc không gian Sobolev Wpr phương pháp tuyến tính lưới Smolyak (xem [19]) Cụ thể, Giáo sư xây dựng phương pháp tuyến tính ước lượng sai số phương pháp qua đại lượng đặc trưng cho lớp hàm số nêu So với khơng gian khác khơng gian Besov thuận tiện cho biểu diễn qua giá trị thử thích hợp cho xấp xỉ khơi phục thích nghi Vì Luận án nghiên cứu khôi phục xấp xỉ hàm số thuộc không gian Besov Khi dựa thơng tin giá trị lấy mẫu, tín hiệu mơ hình hóa hàm số thỏa mãn số tính chất thuộc khơng gian Besov Luận án nghiên cứu vấn đề khôi phục xấp xỉ hàm số phương pháp không thích nghi thích nghi, nhìn chung phương pháp thích nghi cho ta sai số xấp xỉ tốt phương pháp khơng thích nghi độ phức tạp tính tốn lớn Chẳng hạn, từ Định lý 2.1, 2.5 2.6 Chương nhận thấy p < q phương pháp thích nghi cho sai số tốt phương pháp khơng thích nghi (phương pháp tuyến tính) Ngược lại với p ≥ q sai số phương pháp thích nghi phương pháp khơng thích nghi trường hợp phương pháp khơng thích nghi lại có ưu điểm phương pháp thích nghi độ phức tạp tính tốn đơn giản Đầu tiên, Luận án nghiên cứu khôi phục xấp xỉ lớp hàm số khơng tuần hồn thuộc khơng gian Besov có độ trơn đẳng hướng phương pháp thích nghi khơng thích nghi (phương pháp tuyến tính) Khơi phục xấp xỉ hàm số phương pháp tuyến tính nhiều nhà tốn học nghiên cứu có nhiều cơng trình cơng bố Trong [14] tác giả nghiên cứu khôi phục xấp xỉ hàm số phương pháp tuyến tính cho lớp hàm số tuần hồn thuộc khơng gian Besov Bω p,θ với modul trơn đẳng hướng, tác giả xây dựng phương pháp tuyến tính đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp Trong [17, 18] GS.TSKH Đinh Dũng nghiên cứu khôi phục xấp xỉ hàm số cho lớp hàm số không tuần hồn phương pháp tuyến tính khơng α,β gian Besov Bαp,θ B p,θ với modul trơn không đẳng hướng, Giáo sư xây dựng phương pháp tuyến tính đánh giá tiệm cận tốc độ hội tụ phương pháp Trong luận án này, nghiên cứu vấn đề khôi phục xấp xỉ hàm số khơng tuần hồn phương pháp tuyến tính không gian Besov BΩ p,θ với modul trơn đẳng hướng, chúng tơi xây dựng phương pháp tuyến tính qua B-spline đánh giá tiệm cận tốc độ hội tụ phương pháp Chúng ta nhận thấy kết mở rộng kết [17, 18], kết luận án đăng tạp chí Acta Mathematica Vietnamica (xem [CT2]) Trong [15, 16], GS.TSKH Đinh Dũng xây dựng đánh giá hội tụ phương pháp khơi phục thích nghi với giá trị lấy mẫu tối ưu cho hàm số thuộc không gian Besov Bαp,θ lực lượng giả chiều tập hợp hữu hạn Một kết luận án tổng quát mở rộng kết cho lớp hàm số biến thuộc không gian Besov-type BΩ p,θ với modul trơn đẳng hướng Ở đây, xây dựng phương pháp khơi phục thích nghi dựa thuật toán lấy trội n phần tử lớn gọi thuật toán tham lam Vấn đề đặt hàm số nhiều biến, để giải vấn đề mở rộng chứng minh định lý biểu diễn [18] cho lớp hàm nhiều biến khơng tuần hồn có độ trơn đẳng hướng xác định Id := [0, 1]d thuộc không gian Besov 10 BΩ p,θ , < p, θ ≤ ∞, qua chúng tơi tổng qt mở rộng kết cho trường hợp nhiều biến Mặt khác, nhờ định lý biểu diễn B-spline giả nội suy xây dựng đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp tuyến tính để khơi phục xấp xỉ hàm số thuộc không gian Besov BΩ p,θ với modul trơn đẳng hướng, kết luận án Tiếp theo, chúng tơi nghiên cứu khơi phục xấp xỉ hàm số tuần hồn có độ trơn hỗn hợp phương pháp phi tuyến Phương pháp phi tuyến khơng thích nghi, luận án nghiên cứu phương pháp phi tuyến thích nghi Khơi phục xấp xỉ hàm số phương pháp phi tuyến nhiều nhà toán học nghiên cứu, nghiên cứu sai số phương pháp phi tuyến qua đại lượng đặc trưng entropy en độ dày phi tuyến ρn Nhà tốn học V N Temlyakov có cơng trình nghiên cứu đại lượng entropy en (xem [34,37]) Trong [15], GS.TSKH Đinh Dũng nghiên cứu phương pháp phi tuyến cho tốn khơi phục xấp xỉ hàm số khơng tuần hồn B-spline khơng gian Besov Bαp,θ với modul trơn đẳng hướng Trong [13], Giáo sư nghiên cứu cho lớp hàm số tuần hoàn không gian Besov Brp,θ với modul trơn hỗn hợp không đẳng hướng Trong luận án này, nghiên cứu khôi phục xấp xỉ hàm số tuần hoàn phương pháp phi tuyến cho lớp A với modul trơn hàm số xác định Td := [0, 2π ]d thuộc không gian Besov B p,θ hỗn hợp, A tập hữu hạn Rd+ Chúng đạt kết cho trường hợp A = { a} A tập hữu hạn Rd+ , cụ thể xây dựng phương pháp phi tuyến để khơi phục xấp xỉ hàm số tuần hồn A , < p, θ ≤ ∞ lực lượng giả chiều không gian Besov B p,θ tập hợp hữu hạn, đánh giá sai số, tốc độ hội tụ thông qua đại lượng đặc trưng Ngoài phần Mở đầu, luận án gồm chương, Kết luận kiến nghị, Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án, Tài liệu tham khảo Chương 1: Nhắc lại số khái niệm tính chất liên quan đến luận án Phát biểu chứng minh định lý biểu diễn: Định lý biểu diễn giả nội suy qua giá trị lấy mẫu Định lý biểu diễn qua đa thức lượng giác Chương 2: Nghiên cứu khôi phục xấp xỉ hàm số khơng tuần hồn có độ trơn đẳng hướng 11 Chương 3: Nghiên cứu vấn đề khôi phục xấp xỉ hàm số tuần hồn có độ trơn hỗn hợp Các kết luận án báo cáo tại: - Xêmina Bộ môn Giải tích, Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội - Xêmina phòng thư viện, Viện nghiên cứu cao cấp Tốn - Xêmina Bộ mơn Tốn giải tích, Khoa KHTN, Trường ĐH Hồng Đức Các kết luận án đăng 04 báo tạp chí Acta Mathematica Vietnamica , Journal of Computer Science and Cybernetics, Southeast Asian Bulletin of Mathematics 12 Chương CÁC ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN QUA GIÁ TRỊ LẤY MẪU Chương trình bày kết luận án, định lý biểu diễn qua giá trị lấy mẫu hàm số thuộc không gian Besov thành chuỗi B-spline đa thức lượng giác chứng minh tương đương chuẩn Đây sở để xây dựng phương pháp khôi phục xấp xỉ hàm số, đánh giá tiệm cận sai số phương pháp qua đại lượng đặc trưng chương Trong Mục 1.1, chúng tơi trình bày khái niệm không gian Besov lớp hàm số có độ trơn đẳng hướng độ trơn hỗn hợp Trong Mục 1.2, phát biểu chứng minh định lý biểu diễn giả nội suy B-spline cho lớp hàm số khơng tuần hồn có độ trơn đẳng hướng, phần báo [CT2] cơng bố tạp chí Acta Math Vietnamica Trong Mục 1.3 phát biểu chứng minh định lý biểu diễn tương đương chuẩn đa thức lượng giác cho lớp hàm số tuần hoàn có độ trơn hỗn hợp, trình bày sở báo [CT4] chấp nhận đăng tạp chí Southeast Asian Bulletin of Mathematics 1.1 Không gian Besov Cho < p ≤ ∞ D miền Rd Để đơn giản ta ký hiệu chuẩn L p ( D ) k.k p,D Định nghĩa 1.1 Cho f ∈ L p (Id ) l ∈ N Toán tử sai phân cấp l định nghĩa ∆lh f ( x ) l := ∑ (−1) l−j j =0 13  l f ( x + jh) j Định nghĩa 1.2 Nếu f ∈ L p (Id ) ωl ( f , t) p := sup ∆lh f p,Id (lh) |h| 0, ∀t > 0, (ii) Ω(t) ≤ c.Ω(t0 ), ∀t, t0 ∈ R+ , t ≤ t0 , (iii) ∀γ ≥ 1, ∃C = C (γ) cho Ω(γt) ≤ C Ω(t), t ∈ R+ Chú ý điều kiện (iii) cần thỏa mãn với số γ > cố định (chẳng hạn γ = 2) Định nghĩa 1.3 Cho < p, θ ≤ ∞ Không gian Besov BΩ p,θ định nghĩa tập hợp hàm f ∈ L p (Id ) cho chuẩn Besov sau hữu hạn f BΩ p,θ : = k f k p + | f | BΩ , p,θ | f | BΩ nửa chuẩn Besov, xác định p,θ | f | BΩ : = p,θ    R  θ    ωl ( f , t ) p Ω ( t ) I       sup ωl ( f , t) p Ω(t) t ∈I !1 θ dt t θ