ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÙNG VĂN THÀNH VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ĐỒNG BỘ HÓA CỦA HỆ NƠ RON PHÂN THỨ HOPFIELD LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - PHÙNG VĂN THÀNH VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ĐỒNG BỘ HÓA CỦA HỆ NƠ RON PHÂN THỨ HOPFIELD LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - PHÙNG VĂN THÀNH VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ĐỒNG BỘ HĨA CỦA HỆ NƠ RON PHÂN THỨ HOPFIELD Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Mai Viết Thuận THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Các định lý tồn nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 11 1.3 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ 13 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 15 Tính ổn định đồng hóa hệ nơ ron Hopfield phân thứ 17 2.1 Tính ổn định hệ nơ ron Hopfield phân thứ 17 2.2 Tính đồng hóa hệ nơ ron Hopfield phân thứ 27 LỜI NĨI ĐẦU Mơ hình mạng nơ ron Hopfield mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên nghiên cứu Chua Yang vào năm 1988 (xem [5]) Mô hình nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học năm gần ứng dụng rộng lớn xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa lĩnh vực khác [3, 6, 14] Năm 2008, nghiên cứu mình, Boroomand Menhaj [3] lần mơ hình hóa mạng nơ ron Hopfield hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) So với mạng nơ ron Hopfield mô tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron Hopfield mơ tả hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) mơ tả đặc tính tính chất mạng nơ ron cách xác [3, 14] Như biết, tính ổn định tính chất quan trọng hệ động lực mạng nơ ron phân phân thứ Hopfield khơng ngoại lệ Do tốn nghiên cứu tính ổn định hệ nơ ron Hopfield phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học nhiều kết thú vị sâu sắc công bố tạp chí quốc tế có uy tín năm gần (xem [15, 17, 18, 20, 21, 22]) Như biết phương pháp hàm Lyapunov phương pháp hiệu để nghiên cứu tính ổn định hệ nơ ron Hopfield với bậc nguyên Năm 2010, Li [12] cộng đưa phương pháp hàm Lyapunov hay gọi phương pháp trực tiếp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến Tuy nhiên khó khăn việc áp dụng phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ xây dựng hàm Lyapunov thích hợp tính đạo hàm phân thứ hàm Lyapunov Năm 2015, Duarte-Mermoud [8] cộng đưa công thức để ước lượng đạo hàm phân thứ cấp α ∈ (0, 1) hàm Lyapunov dạng V (x(t)) = xT (t)P x(t), x(t) ∈ Rn , P ∈ Rn×n ma trận đối xứng, xác định dương Dựa kết bất đẳng thức ma trận tuyến tính, tác giả [22] nghiên cứu tính ổn định hệ nơ ron Hopfield phân thứ Gần đây, cách tiếp cận sử dụng bổ đề S bất đẳng thức ma trận tuyến tính, tác giả [18] đưa vài tiêu chuẩn cho tính ổn định lớp hệ nơ ron Hopfield phân thứ với hàm kích hoạt mở rộng Tuy nhiên, hàm Lyapunov chọn để nghiên cứu tính ổn định hệ nơ ron Hopfield phân thứ cơng trình [18, 22] đơn giản Gần đây, Wang cộng [16] đưa cách chọn hàm Lyapunov hữu hiệu để nghiên cứu tính ổn định hệ nơ ron Hopfield phân thứ Ngoài ra, tác giả cịn đưa số tiêu chuẩn cho tính đồng hóa mạng nơ ron phân thứ Luận văn tập trung trình bày tính ổn định đồng hóa cho hệ nơ ron Hopfield phân thứ sở đọc hiểu tổng hợp kết báo [16] Wang cộng cơng bố năm 2019 Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau đây: Trong Chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo Sau đó, chúng tơi trình bày số định lí tồn nghiệm Cuối chương, chúng tơi trình bày số bổ đề bổ trợ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [8, 10, 11] Trong Chương luận văn, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ cho tính ổn định hệ nơ ron Hopfield phân thứ cách xây dựng hàm Lyapunov lồi cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính Ngồi ra, tốn đồng hóa cho mạng nơ ron phân thứ chúng tơi trình bày chương Nội dung chương chúng tơi tham khảo tài liệu [16] Ngồi ra, chương này, chúng tơi đưa 03 ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết chương Đây coi đóng góp luận văn Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn Tiến sĩ Mai Viết Thuận Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học Người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt bảo tơi suốt q trình thực đề tài Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – tin giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu,cảm ơn người bạn thân thiết chăm sóc động viên khích lệ tơi suốt q trình nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể q thầy trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn Danh mục ký hiệu Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A> ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} kAk chuẩn phổ ma trận A, kAk = A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa A − B ≥ A>0 ma trận A xác định dương, tức hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) kxk chuẩn Euclide véc tơ x = (x1 , x2 , , xn )> ∈ Rn Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn AC m [a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục cấp m trên[a, b] α t0 It tốn tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số dαe p λmax (A> A) số nguyên nhỏ lớn α l1 0 L = diag{l1 , l2 , l3 } L = l2 0 l3 Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau Kiến thức sử dụng chương tham khảo [7, 8, 10, 11] 1.1 1.1.1 Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thơng thường Định nghĩa 1.1 ([11]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho Z t α (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 It x(t) := Γ(α) t0 Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = +∞ R tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước α t0 It := I với I toán tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lý sau: Định lý 1.1 ([11]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân α t0 It x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([11]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có α t0 It x(t) −α =λ +∞ X j=0 1.1.2 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > Đạo hàm phân thứ Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Định nghĩa 1.2 ([11]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho RL α t0 Dt x(t) dn n−α dn := n t0 It x(t) = dt Γ(n − α) dtn Z t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 n := dαe số nguyên nhỏ lớn α dn dtn đạo hàm thông thường cấp n Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function) 1, t ≥ 0, f (t) = 0, t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) RL α Dt f (t) = t−α Γ(1 − α) Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: Z t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau: d } D= dt AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] Mệnh đề 1.1 ([11]) Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng sau: f (t) = α t0 It ϕ(t) + n−1 X ck (t − t0 )k , k=0 ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý Z t α (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t0 Ngoài ra, từ điều kiện ta có ϕ(s) = f (n) (s), ck = f (k) (t0 ) (k = 0, 1, , n − 1) k! Định lý sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Định lý 1.2 ([11]) Cho α ≥ 0, n = [α] + Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu diễn dạng sau RL α t0 Dt f (t) = n−1 X k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Z t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 ... 15 Tính ổn định đồng hóa hệ nơ ron Hopfield phân thứ 17 2.1 Tính ổn định hệ nơ ron Hopfield phân thứ 17 2.2 Tính đồng hóa hệ nơ ron Hopfield phân thứ 27 LỜI NĨI... cứu tính ổn định hệ nơ ron Hopfield phân thứ Ngồi ra, tác giả cịn đưa số tiêu chuẩn cho tính đồng hóa mạng nơ ron phân thứ Luận văn tập trung trình bày tính ổn định đồng hóa cho hệ nơ ron Hopfield. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - PHÙNG VĂN THÀNH VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ĐỒNG BỘ HÓA CỦA HỆ NƠ RON PHÂN THỨ HOPFIELD Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN