1
THI TH I HC, CAO NG 2012
Mụn thi : TON)
Phần bắt buộc.
Câu 1.(2 điểm) Cho hàm số
1
12
x
x
y
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm )2;1(
I tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn
nhất .
CÂU 2. (2 điểm).
1. Giải phơng trình : 01cossin2sinsin2
2
xxxx .
2. Tìm giá trị của m để phơng trình sau đây có nghiệm duy nhất :
0)23(log)6(log
2
25,0
xxxm
CÂU 3 . (1điểm) Tính tích phân:
2
1
2
2
4
dx
x
x
I
.
CÂU 4. (1 điểm). Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và
aCDBCAB
. Gọi C và D lần lợt là hình chiếu của điểm B trên AC và AD. Tính thể tích
tích tứ diện ABCD.
CÂU 5. (1 điểm) Cho tam giác nhọn ABC , tìm giá trị bé nhất của biểu thức:
CBAAS 2cos2coscos23cos
.
Phần tự chọn (thí sinh chỉ làm một trong hai phần : A hoặc B )
Phần A
CÂU 6A. (2 điểm).
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với )5;2(,)1;1(
BA , đỉnh C nằm trên đờng
thẳng 04
x , và trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng 0632
yx . Tính diện
tích tam giác ABC.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d lần lợt có phơng trình : d
: z
y
x
1
2
và d :
1
5
3
2
2
z
y
x
.
Chứng minh rằng hai đờng thẳng đó vuông góc với nhau. Viết phơng trình mặt phẳng )(
đi
qua d và vuông góc với d
CÂU7A. (1 điểm) Tính tổng :
n
n
n
nnnn
CnCCCCS )1()1(432
3210
Phần B.
CÂU 6B. (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với )2;1(,)1;2(
BA , trọng tâm G của tam
giác nằm trên đờng thẳng
02
yx
. Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng
13,5 .
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d lần lợt có phơng trình : d
: z
y
x
1
2
và d :
1
5
3
2
2
z
y
x
.
Viết phơng trình mặt phẳng )(
đi qua d và tạo với d một góc
0
30
CÂU7B. (1 điểm) Tính tổng :
n
nnnn
CnCCCS )1(32
210
2
ỏp ỏn THI TH I HC, CAO NG
Mụn thi : TON
Câu 1. 1. Tập xác định : 1
x .
1
3
2
1
12
xx
x
y ,
2
)1(
3
'
x
y ,
Bảng biến thiên:
Tiệm cận đứng :
1
x
, tiệm cận ngang
2
y
2. Nếu
)(
1
3
2;
0
0
C
x
xM
thì tiếp tuyến tại M có phơng trình )(
)1(
3
1
3
2
0
2
00
xx
xx
y
hay
0)1(3)2()1()(3
0
2
00
xyxxx
. Khoảng cách từ )2;1(
I tới tiếp tuyến là
2
0
2
0
4
0
0
4
0
00
)1(
)1(
9
6
)1(9
16
19
)1(3)1(3
x
x
x
x
x
xx
d . Theo bất đẳng thức Côsi
692)1(
)1(
9
2
0
2
0
x
x
, vây 6d . Khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi
3131)1(
)1(
9
0
2
0
2
0
2
0
xxx
x
.
Vậy có hai điểm M :
32;31 M
hoặc
32;31 M
CÂU 2.
1)
01cossin)1cos2(sin201cossin2sinsin2
22
xxxxxxxx
.
22
)3cos2()1(cos8)1cos2( xxx . Vậy 5,0sin
x hoặc 1cossin
xx .
Với 5,0sin
x ta có
kx 2
6
hoặc
kx 2
6
5
Với 1cossin
xx ta có
4
sin
2
2
4
sin1cossin
xxx , suy ra
kx 2
hoặc
kx 2
2
3
2)
0)23(log)6(log
2
25,0
xxxm )23(log)6(log
2
22
xxxm
38
13
236
023
2
2
2
xxm
x
xxxm
xx
Xét hàm số
13,38)(
2
xxxxf
ta có 82)('
xxf , 0)('
xf khi
4
x
, do đó )(xf
nghịch biến trong khoảng )1;3(
, 6)1(,18)3(
ff . Vậy hệ phơng trình trên có nghiệm duy nhất
khi
186
m
CÂU 3. Đặt
tx sin2
thì
tdtdx cos2
, khi
1
x
thì
6
t
, khi
2
x
thì
2
t
, vậy:
2
1
2
6
2
2
2
2
sin
cos4
dt
t
t
dx
x
x
I
2
6
2
6
2
6
2
)(cot1
sin
1
ttddt
t
3
3
CÂU 4. Vì ABCDBCCD
, nên )(ABCmpCD
và do đó
)()( ACDmpABCmp
.Vì ACBC
' nên )(ACDmpBC
.
3
Suy ra nếu V là thể tích tứ diện ABCD thì
').''(
3
1
BCDACdtV
.
Vì tam giác ABC vuông cân nên
2
2
'''
a
BCCCAC .
Ta có
2222222
3aCDBCABBDABAD
nên
3aAD
. Vì BD là đờng cao của tam giác
vuông ABD nên
2
'. ABADAD
, Vậy
3
'
a
AD . Ta có
12
2
3
1
3
3
2
2
2
1
'.'.
2
1
sin''.
2
1
)''(
2
aaa
AD
CD
ADACDACADACDACdt . Vậy
2
2
.
12
2
3
1
2
aa
V
36
3
a
CÂU 5. CBAAS 2cos2coscos23cos
= )cos()cos(2cos23cos CBCBAA
.
)cos(1cos23cos CBAA
.
Vì
0)cos(1,0cos
CBA
nên
AS 3cos
, dấu bằng xẩy ra khi
1)cos(
CB
hay
2
180
0
A
CB
. Nhng
13cos
A
, dấu bằng xẩy ra khi
0
1803 A
hay A =
0
60
Tóm lại : S có giá trị bé nhất bằng -1 khi ABC là tam giác đều.
Phần A (tự chọn)
CÂU 6A.
1. Ta có );4(
C
yC . Khi đó tọa độ G là
3
2
3
51
,1
3
421
CC
GG
yy
yx
. Điểm G nằm trên
đờng thẳng 0632
yx nên 0662
C
y , vậy 2
C
y , tức là
)2;4(
C . Ta có
)1;3(,)4;3( ACAB
, vậy 5
AB , 10AC , 5. ACAB .
Diện tích tam giác ABC là
2510.25
2
1
2
1
2
22
ACABACABS
=
2
15
2.Đờng thẳng d đi qua điểm )0;2;0(M và có vectơ chỉ phơng
)1;1;1( u
Đờng thẳng d đi qua điểm )5;3;2('
M và có vectơ chỉ phơng
)1;1;2(' u
Ta có
)5;1;2( MM
,
)3;3;0('; uu
, do đó
012'.'; MMuu
vậy d và d chéo nhau.
Mặt phẳng )(
đi qua điểm )0;2;0(M và có vectơ pháp tuyến là )1;1;2(' u nên có phơng
trình: 0)2(2
zyx hay
022
zyx
CÂU 7A. Ta có
nn
nnnn
n
xCxCxCCx
2210
)1( , suy ra
132210
)1(
nn
nnnn
n
xCxCxCxCxx
.
Lấy đạo hàm cả hai vế ta có :
1
)1()1(
nn
xnxx
nn
nnnn
xCnxCxCC )1(32
2210
Thay
1
x
vào đẳng thức trên ta đợc S.
Phần B (tự chọn)
CÂU 6B.
1. Vì G nằm trên đờng thẳng 02
yx nên G có tọa độ )2;( ttG
. Khi đó
)3;2( ttAG
,
)1;1( AB
Vậy diện tích tam giác ABG là
1)3()2(2
2
1
2
1
22
2
22
ttABAGABAGS =
2
32 t
4
Nếu diện tích tam giác ABC bằng 13,5 thì diện tích tam giác ABG bằng 5,43:5,13
. Vậy 5,4
2
32
t
, suy
ra 6
t hoặc 3
t . Vậy có hai điểm G : )1;3(,)4;6(
21
GG . Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
)(3
BaGC
xxxx
và
)(3
BaGC
yyyy
.
Với )4;6(
1
G ta có
)9;15(
1
C
, với )1;3(
2
G ta có
)18;12(
2
C
2.Đờng thẳng d đi qua điểm )0;2;0(M và có vectơ chỉ phơng
)1;1;1( u
Đờng thẳng d đi qua điểm )5;3;2('
M và có vectơ chỉ phơng
)1;1;2(' u
.
Mp )(
phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến
n
vuông góc với
u
và
2
1
60cos)';cos(
0
un
. Bởi vậy
nếu đặt
);;( CBAn
thì ta phải có :
2
1
6
2
0
222
CBA
CBA
CBA
02
)(632
22
222
CACA
CAB
CCAAA
CAB
Ta có
0)2)((02
22
CACACACA
. Vậy
CA
hoặc
CA
2
.
Nếu
CA
,ta có thể chọn A=C=1, khi đó
2
B
, tức là
)1;2;1(n
và
)(
mp
có phơng trình
0)2(2
zyx hay
042
zyx
Nếu
CA
2
ta có thể chọn
2,1
CA
, khi đó
1
B
, tức là
)2;1;1( n
và
)(
mp
có phơng trình
02)2(
zyx hay
022
zyx
CÂU 7B. Ta có
nn
nnnn
n
xCxCxCCx
2210
)1( , suy ra
132210
)1(
nn
nnnn
n
xCxCxCxCxx
.
Lấy đạo hàm cả hai vế ta có :
1
)1()1(
nn
xnxx
nn
nnnn
xCnxCxCC )1(32
2210
Thay 1
x vào đẳng thức trên ta đợc S.
. 2 1 2 6 2 2 2 2 sin cos4 dt t t dx x x I 2 6 2 6 2 6 2 )(cot1 sin 1 ttddt t 3 3 CÂU 4. Vì ABCDBCCD , nên )(ABCmpCD và do đó )()( ACDmpABCmp .Vì ACBC ' nên )(ACDmpBC . 3 Suy ra nếu V là thể tích tứ diện ABCD thì ').''( 3 1 BCDACdtV. ').''( 3 1 BCDACdtV . Vì tam giác ABC vuông cân nên 2 2 ''' a BCCCAC . Ta có 2222222 3aCDBCABBDABAD nên 3aAD . Vì BD là đờng cao của tam giác vuông ABD nên 2 '. ABADAD ,. 2 0 2 0 4 0 0 4 0 00 )1( )1( 9 6 )1 (9 16 19 )1(3)1(3 x x x x x xx d . Theo bất đẳng thức Côsi 692 )1( )1( 9 2 0 2 0 x x , vây 6d . Khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi 3131)1( )1( 9 0 2 0 2 0 2 0 xxx x .