Một phương pháp gần đúng xác định tần số dao động riêng cơ bản của thanh thẳng có vô hạn bậc tự do

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN 978 604 82 2548 3 53 MỘT PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG XÁC ĐỊNH TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG CƠ BẢN CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Nguyễn Hùng Tuấn Bộ môn Sứ[.]

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3 MỘT PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG XÁC ĐỊNH TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG CƠ BẢN CỦA THANH THẲNG CÓ VƠ HẠN BẬC TỰ DO Nguyễn Hùng Tuấn Bộ mơn Sức bền kết cấu - Trường Đại học Thủy lợi Email: hungtuan@tlu.edu.vn ĐẶT VẤN ĐỀ Tần số dao động riêng yếu tố quan trọng cần xác định toán động lực học cơng trình, đóng góp đáng kể đáp ứng kết cấu Trong phương pháp xác định tần số dao động riêng hệ thẳng có vơ hạn bậc tự do, phương pháp gần đóng vai trị quan trọng tính tốn thực tế Các phương pháp dựa sở tìm tần số dao động riêng theo đường đàn hồi giả định trước thay hệ có vơ hạn bậc tự thành hệ hữu hạn bậc tự Trên sở nguyên lý D'Alembert phương pháp xác định nội lực Cơ học kết cấu (CHKC) [1], kết hợp với tiêu chuẩn kinh điển [24], báo tác giả đề xuất phương pháp gần xác định tần số dao động riêng thẳng có vơ hạn bậc tự Kết nghiên cứu ban đầu thực hai tốn thẳng vơ hạn bậc tự do, độ cứng chống uốn EI khơng đổi, có liên kết khớp hai đầu liên kết đầu ngàm, đầu tự do; so sánh với nghiệm thu theo phương pháp Rayleigh - Ritz phương pháp Bubnov - Garlekin [5,6] Các kết bước đầu cho thấy hiệu phương pháp đề xuất y   M  M  EI y  EI (1) Trong phương trình (1), y'' xác định từ đường đàn hồi giả định trước y(z) Để xác định biểu thức mômen uốn M, sử dụng nguyên lý D'Alembert "Để hệ trạng thái cân động lực học, ta cần thêm lực ảo lực quán tính" Với hệ có vơ hạn bậc tự do, khối lượng phân bố theo chiều dài m, biên độ lực qn tính xác định theo cơng thức q(z) = m.y(z).2 (2) đó:  - tần số dao động Sau xác định biên độ lực quán tính q(z) theo đường đàn hồi giả định y(z), đặt lực q(z) vào kết cấu sử dụng phương pháp CHKC [1], xác định biểu thức mômen uốn M, biểu diễn dạng: M = M(z) = m C(z) 2 (3) Biểu thức (3) có quan hệ tuyến tính ngoại lực - nội lực theo giả thiết CHKC [1] Thay (3) vào vế trái (1) thu G(z, ) = C(z) 2 + EI.y''(z) (4) Trong biểu thức (3), (4) C(z) - hàm số biến số z (tọa độ mặt cắt theo phương trục thanh); NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP G(z, ) - hàm số biến số z (tọa độ ĐỀ XUẤT mặt cắt theo phương trục thanh) tần số 2.1 Ý tưởng phương pháp đề xuất dao động riêng  Do y(z) đường đàn hồi giả định, không Khác với phương pháp Rayleigh -Ritz [5,6] dựa tiêu chí cực tiểu lượng, phải nghiệm xác phương trình vi hay phương pháp Bubnov-Galerkin [5,6] dựa phân (1) nên biểu thức (4) không đồng tính chất hàm trực giao, phương Để xác định tần số dao động riêng pháp đề xuất thực sở phương , sử dụng tiêu chuẩn kinh điển [24] trình vi phân dầm chịu uốn cho biểu thức (4), kết thu được: 53 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3   EI C(z).y(z) m C2 (z) Biểu thức mômen M xác định theo cơng thức (5) ký hiệu trung bình hàm số đoạn [a,b] (chi tiết xem [4]) Để làm rõ ý tưởng trên, mục sau thiết lập công thức cụ thể trường hợp dầm hai đầu khớp z M  VA z   my(z1 )2 (z  z1 )dz1 z 1 z   m   y(z)(l  z)dz   y(z1 )(z  z1 )dz1  2  l  (7) So sánh với (3) ta z z C(z)   y(z)(l  z)dz   y(z1 )(z  z1 )dz1 (8) l0 2.2 Thiết lập công thức xác định tần số dao động riêng trường hợp Thay (8) vào (5) ta tần số dao động dầm hai đầu khớp riêng Xét dầm hai đầu khớp có độ cứng chống uốn EI, khối lượng phân bố chiều VÍ DỤ MINH HỌA dài m, thể Hình Sơ đồ tính để xác Ví dụ Xác định tần số dao động riêng định biểu thức mômen uốn M thể dầm đơn giản hai đầu khớp, độ cứng Hình chống uốn EI, khối lượng phân bố theo chiều dài m (Hình 1), với đường đàn hồi giả định lựa chọn theo phương án sau: a) y(z) = A.z.(l-z)  z z3  Hình Dầm hai đầu khớp b) y(z) = A  , với  z  l/2   l  l3  (1/2 đường đàn hồi dầm đơn giản chịu lực tập trung nhịp) c) y(z)=A.(z4 - 2lz3 + l3 z) (đường đàn hồi dầm đơn giản chịu tải trọng phân bố đều) Nghiệm xác:   Hình Sơ đồ tính xác định nội lực Phản lực liên kết VA xác định từ phương trình: l  M B   VA  l  my(z)2 (l  z)dz (6) 9.8696 EI m l2 Kết tính tốn theo phương pháp đề xuất, so sánh với kết theo phương pháp Rayleigh-Ritz phương pháp BubnovGalerkin thể Bảng Bảng Kết tính tốn tần số dao động riêng ví dụ Trường hợp Phương pháp đề xuất Phương pháp Rayleigh - Ritz a 9.8767 EI m l2 b 9.8704 EI m l2 9.9352 EI [6] m l Phương pháp Bubnov - Galerkin Không cho kết d4 y(z) 0 dz Không cho kết d4 y(z) 0 dz c 9.8697 EI m l2 9.8772 EI [6] m l 9.8767 EI m l2 10.9545 l2 54 (9) EI m Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3 Bảng Kết tính tốn tần số dao động riêng ví dụ Trường hợp Phương pháp đề xuất a 3.5301 EI m l2 4.4721 EI m l2 d4 y(z) 0 dz b 3.5164 EI m l2 3.5301 EI m l2 3.5301 EI m l2 Phương pháp Rayleigh - Ritz Phương pháp Bubnov - Galerkin Không cho kết Ví dụ Xác định tần số dao động riêng dầm đơn giản đầu tự do, đầu ngàm, độ cứng chống uốn EI, khối lượng phân bố theo chiều dài m (Hình 3), với đường đàn hồi giả định lựa chọn theo phương án sau: (l  z) a) y(z)  A l  z z4  b) y(z)  A.    l l   KẾT LUẬN Bài báo đề xuất phương pháp gần xác định tần số dao động riêng hệ vô hạn bậc tự do, sở nguyên lý D'Alembert phương pháp xác định nội lực CHKC, kết hợp với tiêu chuẩn kinh điển Thơng qua ví dụ minh họa với đường đàn hồi giả định khác nhau, bước đầu nhận thấy phương pháp đề xuất đáp ứng u cầu tính tốn thực tế nâng cao độ xác kết tính tốn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lý Trường Thành, Lều Mộc Lan, Hoàng Đình Trí (2007), Cơ học kết cấu, Nhà xuất Xây dựng, Hà Nội [2] N.D.Anh, N.Q.Hai, D.V.Hieu, The Equivalent Linearization Method with a Weighted Averaging for Analyzing of Hình Dầm đầu tự do, đầu ngàm Nonlinear Vibrating Systems, Latin Nghiệm xác: American Journal of Solids and Structures 14 (2017), pp 1-18 3.5160 EI (10)  [3] Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Ngô m l2 Văn Thứ (2012), Lý thuyết xác suất Kết tính tốn theo phương pháp đề thống kê tốn, Nhà xuất Đại học Kinh xuất, so sánh với kết theo phương pháp tế quốc dân Rayleigh-Ritz phương pháp Bubnov- [4] Nguyễn Hùng Tuấn, Lê Xuân Huỳnh, Đỗ Galerkin thể Bảng Phương Hà, Một cải tiến phương pháp Nhận xét : Trong hai ví dụ nêu trên, với Timoshenko áp dụng phân tích ổn định đường đàn hồi giả định lựa chọn thẳng chịu nén tâm, Tạp chí khác nhau, thỏa mãn điều kiện biên Khoa học kỹ thuật Thủy lợi Môi trường, số 60 (3/2018), trang 10 - 17 chuyển vị, phương pháp đề xuất cho kết gần với nghiệm xác so sánh [5] Dương Văn Thứ (2010), Động lực học cơng trình, Nhà xuất Khoa học Tự với phương pháp Rayleigh -Ritz phương nhiên Công nghệ, Hà Nội pháp Bubnov - Galerkin [6] Nguyễn Văn Phượng (2004), Động lực học cơng trình, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội 55 ... giả định lựa chọn theo phương án sau: (l  z) a) y(z)  A l  z z4  b) y(z)  A.    l l   KẾT LUẬN Bài báo đề xuất phương pháp gần xác định tần số dao động riêng hệ vô hạn bậc tự do, ... xuất, so sánh với kết theo phương pháp Rayleigh-Ritz phương pháp BubnovGalerkin thể Bảng Bảng Kết tính tốn tần số dao động riêng ví dụ Trường hợp Phương pháp đề xuất Phương pháp Rayleigh - Ritz a... )dz1 (8) l0 2.2 Thiết lập công thức xác định tần số dao động riêng trường hợp Thay (8) vào (5) ta tần số dao động dầm hai đầu khớp riêng Xét dầm hai đầu khớp có độ cứng chống uốn EI, khối lượng