a BÀI 5 – TÂM TỈ CỰ KIẾN THỨC CƠ BẢN Cho 3 điểm , ,A B C (có thể cho 2 điểm hoặc n điểm trong trường hợp tổng quát) Điểm I gọi là tâm tỉ cự của hệ 3 điểm , ,A B C gắn với các hệ số , ,α β γ ( )0α β γ+[.]
a BÀI – TÂM TỈ CỰ KIẾN THỨC CƠ BẢN Cho điểm A, B, C (có thể cho điểm n điểm trường hợp tổng quát) Điểm I gọi tâm tỉ cự hệ điểm A, B, C gắn với hệ số α , β , γ (α + β + γ ≠ 0) : α x A + β xB + γ xC xI = α + β +γ α y A + β yB + γ yC 1) Tọa độ điểm I thỏa mãn α IA + β IB + γ IC = ⇒ yI = α + β +γ α z A + β z B + γ zC zI = α + β +γ 2) Với điểm M , ta có α MA + β MB + γ MC = (α + β + γ ) MI 2 (α β + γ ) MI + α IA2 + β IB + γ IC α MA + β MB + γ MC =+ Đặc biệt: Nếu α= β= γ= M trọng tâm ∆ABC DẠNG - CỰC TRỊ ĐỘ DÀI VECTƠ Giả thiết Cho n điểm A1 , A2 , , An với n số k1 , k2 , , kn mà k1 + k2 + + kn = k ≠ đường thẳng d (hoặc mặt phẳng ( P ) ) Tìm điểm M đường thẳng d (hoặc mặt phẳng ( P ) ) cho k1 MA1 + k2 MA2 + + kn MAn nhỏ Phương pháp giải Gọi I tâm tỉ cự hệ n điểm A1 , A2 , , An với n số k1 , k2 , , kn , nghĩa điểm I thỏa mãn k1 IA1 + k2 IA2 +…+ kn IAn = Áp dụng công thức: k1 MA1 + k2 MA2 + + kn MAn = ( k1 + k2 + + kn ) MI Bài tốn trở tìm vị trí điểm M để MI nhỏ = k1 + k2 + + kn MI 56 Thầy Đỗ Văn Đức – Website: http://thayduc.vn/ BÀI TẬP LUYỆN TẬP Cho điểm A ( 2; − 3;7 ) , B ( 0; 4; − 3) , C ( 4; 2;3) Biết M ( a ; b ; c ) điểm thuộc ( Oxy ) để biểu thức T = MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ Giá trị biểu thức a + b + c A C D Cho ∆ABC có A (1;0;0 ) , B ( 3; 2; ) , C ( 0;5; ) Biết M ( a ; b ; c ) điểm thuộc ( Oxy ) cho MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ Giá trị a + b + c A B B C D Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 0; − 2; − 1) , B ( −2; − 4;3) , C (1;3; − 1) mặt Điểm M ∈ ( P ) thỏa mãn MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ phẳng ( P ) : x + y − z − = Hoành độ điểm M A − C − D Cho tứ diện ABCD có A ( 0;1;0 ) , B (1;0;1) , C ( 5; − 1;1) , D ( 3; − 3; ) Điểm M ( a ; b ; c ) thỏa mãn MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ Giá trị a + b + c bằng: A B B C D Trong không gian Oxyz , cho A (1; 2;3) , B ( 2;1; − 3) , C ( 0; − 1;1) ( P ) : x + y − z = Điểm M ( a ; b ; c ) thuộc ( P ) thỏa mãn MA + 3MB − MC đạt giá trị nhỏ Giá trị c A B − C − D − Trong không gian Oxyz , cho A ( 0;1; ) , B ( −1;0;3) , C ( 3; 2; − ) đường thẳng x −1 y +1 d : = = z Điểm M ( a ; b ; c ) thuộc d thỏa mãn MA − 3MB + MC nhỏ Giá trị a + b + c 53 55 48 53 A − B − C − D − 7 Bài – Tâm tỉ cự 57 A ( −1;3;5 ) , B ( 2;6; − 1) , C ( −4; − 12;5 ) ( P ) : x + y − z − =0 Gọi M điểm thuộc ( P ) cho MA − 4MB + MA + MB + MC Trong không gian Oxyz , cho đạt giá trị nhỏ Cao độ điểm M 3 A zM = B zM = C zM = D zM = Gọi Trong không gian Oxyz , cho A (1; 2;3) , B ( 2; − 1;3) , C (1;3;0 ) ( P ) : x + y + z = M điểm thuộc ( P ) Giá trị nhỏ MA + MB + MC + 3MB + MC A 446 Trong B không gian 446 Oxyz , C cho 223 D B (1; 2;3) , C ( −2;1; ) 223 mặt 11 10 ( S ) : x + y + z − = Điểm M ( a ; b ; c ) thuộc ( S ) thỏa 2 23 MO + MB + MO + MB − 5MC đạt giá trị lớn Giá trị a + b − 14c 2 A −80 B −81 C −82 cầu mãn D −83 DẠNG – CỰC TRỊ ĐỘ DÀI BÌNH PHƯƠNG VƠ HƯỚNG CỦA VECTƠ Giả thiết Cho n điểm A1 , A2 , , An với n số k1 , k2 , , kn mà k1 + k2 + + kn = k ≠ đường thẳng d (hoặc mặt phẳng ( P ) ) Tìm điểm M đường thẳng d (hoặc mặt phẳng ( P ) ) cho = T k1MA12 + k2 MA22 +…+ kn MAn2 nhỏ Phương pháp giải Gọi I tâm tỉ cự hệ n điểm A1 , A2 , , An với n số k1 , k2 , , kn , nghĩa điểm I thỏa mãn k1 IA1 + k2 IA2 +…+ kn IAn = T k1 IA12 + k2 IA22 + + kn IAn2 + ( k1 + k2 + + kn ) MI Áp dụng công thức: = Bài tốn trở tìm vị trí điểm M để MI nhỏ BÀI TẬP LUYỆN TẬP 10 Cho điểm A (1;1;1) , B ( −1; 2;1) , C ( 3;6; − ) Biết M ( a ; b ; c ) thỏa mãn M ∈ ( Oxy ) biểu thức T = MA2 + MB + MC đạt giá trị nhỏ Giá trị a + b + c A B C D 58 11 Thầy Đỗ Văn Đức – Website: http://thayduc.vn/ Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 0;0; − 1) , B ( −1;1;0 ) , C (1;0;1) Điểm M ( a ; b ; c ) thỏa mãn 3MA2 + MB − MC đạt giá trị nhỏ Giá trị 4a + 2b + c A −3 12 Trong không gian B C −2 Oxyz , D ( P ) : x − y + 2z = M ( a ; b ; c ) thuộc ( P ) cho mặt phẳng A (1; 2; − 1) , B ( 3;1; − ) , C (1; − 2;1) Điểm điểm cho MA2 − MB − MC lớn Giá trị a + b + c A 13 B −2 C −4 D −6 x= + t Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ( ∆ ) : y =−1 + 2t ( t ∈ ) z = 3t hai điểm A ( 2;0;3) , B ( 2; − 2; − 3) Điểm M thuộc đường thẳng ( ∆ ) Giá trị nhỏ MA4 + MB A 200 14 B 400 C 100 D 300 8 Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 2; 2;1) , B − ; ; Đường thẳng d qua tâm 3 3 đường tròn nội tiếp ∆OAB vng góc với mặt phẳng ( OAB ) Biết M điểm di động d Giá trị nhỏ MA2 + MB A 20 15 B 25 C 30 D 35 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1;1; − 1) , B ( −1; 2;0 ) , C ( 3; − 1; − ) Giả sử M ( a ; b ; c ) thuộc ( S ) : ( x − 1) + y + ( z + 1) = 861 cho P = MA2 − MB + MC đạt 2 giá trị nhỏ Giá trị a + b + c A 49 B 51 C 55 D 47 PHẦN - LUYỆN TẬP 16 Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1;1; ) , B ( 0; − 1; − 3) Xét điểm M thay đổi mặt phẳng ( Oxz ) , giá trị nhỏ OM + MA + 3MB bằng? A B C D Bài – Tâm tỉ cự 17 59 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1; 2;3) , B ( −1;0; −3) , C ( 2; −3; −1) a) Tìm M thuộc mặt phẳng (α ) : x + y − z − =0 cho S = 3MA2 + MB − MC đạt giá trị nhỏ x −1 y +1 z −1 b) Tìm M thuộc đường thẳng Δ : = = cho P = MA − MB + 5MC đạt −1 giá trị nhỏ 36 thỏa mãn c) Tìm M thuộc mặt cầu ( S ) : ( x − 2) + ( y − 2) + ( z − 8) = F =MA2 − MB + MC đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 18 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 2;3;1) , B ( −1; −2;0 ) , C (1; 2; −2 ) a) Lập phương trình mặt phẳng ( ABC ) song song với b) Tìm a, b cho mặt phẳng (α ) : ( 2a + b ) x + ( 3a + 2b ) y − z + = ( ABC ) c) Tìm M ∈ ( β ) : x + y − z + = cho S = MA2 + MB − 3MC nhỏ nhất; d) Tìm N ∈ (γ ) : x + y − z − 29 = cho P = NA − NB + NA nhỏ 19 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( −2;3;1) , B ( 5; −2;7 ) , C (1;8; −1) Tìm tập hợp điểm M khơng gian thỏa mãn b) AM + AB = BM + CM a) MA2 + MB = MC 20 x −1 y + z Cho A (1; 4; ) , B ( −1; 2; ) Δ : = = Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ −1 cho a) MA2 + MB nhỏ b) 3OM + AM − BM nhỏ c) Diện tích tam giác MAB nhỏ 21 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm Tìm tọa độ điểm ( P) : x + y + z = A M ( −2;1;1) A ( −3;5; −5 ) , B ( 5; −3;7 ) mặt phẳng M mặt phẳng ( P ) cho MA2 − MB lớn B M ( 2; −1;1) C M ( 6; − 18;12 ) - Hết - D M ( −6;18;12 ) ... gian Oxyz , cho điểm A (1;1; ) , B ( 0; − 1; − 3) Xét điểm M thay đổi mặt phẳng ( Oxz ) , giá trị nhỏ OM + MA + 3MB bằng? A B C D Bài – Tâm tỉ cự 17 59 Trong không gian Oxyz. .. đường thẳng d (hoặc mặt phẳng ( P ) ) cho = T k1MA12 + k2 MA22 +…+ kn MAn2 nhỏ Phương pháp giải Gọi I tâm tỉ cự hệ n điểm A1 , A2 , , An với n số k1 , k2 , , kn , nghĩa điểm I thỏa mãn ... Bài – Tâm tỉ cự 57 A ( −1;3;5 ) , B ( 2;6; − 1) , C ( −4; − 12;5 ) ( P ) : x + y − z − =0 Gọi M điểm thuộc ( P ) cho MA − 4MB + MA + MB + MC Trong không gian Oxyz ,