(SKKN 2022) dùng tâm tỉ cự của hệ điểm để giải nhanh một số dạng toán hình học lớp 10

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Tâm tỉ cự hệ điểm nội dung hay có nhiều ứng dụng hình học, đặc biệt hình học lớp 10 Tuy nhiên, chương trình THPT thời lượng có hạn nên dạng tốn tâm tỉ cự mang tính chất giới thiệu cách sơ lược chưa rõ ràng Do chưa tiếp cận nhiều kiến thức tâm tỉ cự nên gặp dạng toán vectơ học sinh thường lúng túng không định hướng cách giải cách giải dài dịng Trong q trình giảng dạy nhận thấy, việc hiểu kiến thức tâm tỉ cự hệ điểm giúp em học sinh biết áp dụng vào giải nhanh số dạng toán hình học vectơ lớp 10, em tự tin áp dụng linh hoạt vào giải tốn hình học vectơ tọa độ vectơ khơng gian lớp 12 sau Bên cạnh đó, với hình thức thi trắc nghiệm nay, cần cho học sinh phương pháp có thuật toán rõ ràng học sinh cần tra giả thiết vào có đáp án Nhưng nhìn chung đa số học sinh chưa trang bị cho phương pháp có chưa có tính liên kết phương pháp Là giáo viên tơi ln trăn trở, tìm cách để từ em học lớp 10 cần tạo dựng cho em phương pháp có thuật tốn rõ ràng ln định hướng trước tốn khó để học sinh tìm thấy thuật tốn đó, tạo tích lũy cho thân để giải nhanh toán trắc nghiệm thời gian ngắn Từ lí tơi chọn đề tài: “Dùng tâm tỉ cự hệ điểm để giải nhanh số dạng tốn hình học lớp 10” Mặc dù có nhiều cố gắng, song đề tài nghiên cứu khơng thể tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả kính mong nhận đóng góp ý kiến quý báu quý thầy cô, bạn đồng nghiệp bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! 1.2 Mục đích nghiên cứu Góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn hình học lớp 10 tiến tới ơn thi tốt nghiệp tuyển sinh vào đại học môn Toán THPT 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Nội dung, phương pháp giảng dạy Tốn trường phổ thơng - Hoạt động dạy - học Toán trường THPT Tĩnh gia trường địa bàn tỉnh Thanh Hóa - Hệ thống kiến thức hình học lớp 10 - Các kiến thức toán học cần thiết để thực đề tài 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu từ sách, báo, mạng internet nội dung kiến thức thuộc chương trình Tốn THPT - Phương pháp điều tra: Quan sát, điều tra, thăm dò, trao đổi trực tiếp với đồng nghiệp học sinh, để tìm hiểu thực trạng học mơn hình học lớp 10 - Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm: Thực nghiệm sư phạm đánh giá hiệu sử dụng đề tài nghiên cứu cách áp dụng vào giảng dạy lớp 10 năm học 2020-2021 2021-2022 trường THPT Tĩnh Gia II 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Định nghĩa tâm tỉ cự [5] Cho hệ điểm số thực cho: 1) Khi tồn điểm thỏa mãn: Điểm gọi tâm tỉ cự hệ điểm 2) Với điểm ta có: Chứng minh: 1) Ta có Ở vế phải đẳng thức vectơ xác định Suy điểm thỏa mãn đẳng thức tồn Khi điểm gọi trọng tâm hệ điểm 2) Thật vậy, với điểm tùy ý 2.1.2.Một số kết [1], [4] a Tâm tỉ cự hệ hai điểm * Gọi G tâm tỉ cự hệ hai điểm hai số thực với + ta có +) +) Với điểm ta có: * Đặc biệt +)Hệ thức trở thành trung điểm đoạn thẳng +) Khi trung điểm đoạn thẳng hệ thức: trở thành : b Tâm tỉ cự hệ ba điểm * Gọi tâm tỉ cự hệ ba điểm ba số thực với +ta có +) +) Với điểm ta có: * Đặc biệt - Hệ thức thành trọng tâm tam giác - Khi trọng tâm tam giác hệ thức : thành: +) Cho tam giác , gọi Nếu tâm đường tròn nội tiếp thì: Thật vậy, ta có ba đường phân giác cắt tâm đường tròn nội tiếp tam giác Vẽ hình bình hành , theo quy tắc hình bình hành ta có Trong Theo định lí talét ta có : Vì đường phân giác nên Từ (1) (2) suy : Lập luận tương tự ta có Khi 2.2 Thực trạng việc dạy mơn hình học lớp 10 2.2.1 Về tài liệu dạy học Với yêu cầu đổi cách dạy cách học thi cử, năm gần tài liệu học tập ngày đầy đủ số lượng lẫn chất lượng Tài liệu ôn tập môn hình học lớp 10 nhiều, nhiên nội dung chủ yếu viết theo mạch kiến thức dạng chuyên đề Còn việc áp dụng tâm tỉ cự vào giải tốn hình học lớp 10 tác giả thể đề tài lại chưa đề cập đến nhiều 2.2.2 Về phía giáo viên Qua theo dõi cơng tác dạy học mơn hình học lớp 10 trường THPT Tĩnh Gia số trường khác địa bàn tỉnh, thấy đa số thầy, cô dạy học sinh tập theo cách phân dạng dựa nội dung kiến thức theo chủ đề, kết hợp với việc cho học sinh rèn luyện kĩ làm đề Việc đổi cách ơn tập theo hình thức tác giả thể đề tài chưa có 2.2.3 Về phía học sinh Đa phần học sinh ngại học mơn hình học, học sinh lớp 10, em mơ hồ lần đầu làm quen với hình vectơ Các em thường lúng túng định hướng lời giải nên thường có hướng dài dịng, không đến kết Việc thực cách dạy đề tài giúp em nhanh chóng tìm lời giải cho tốn, tạo hứng thú cho học sinh việc học môn hình học 2.2.4 Một số tốn mở đầu [8] Bài Cho hình bình hành Tìm điểm thỏa mãn: Giải: Cách 1: Gọi tâm hình vng Cách 2: Gọi điểm thỏa mãn: Khi từ Cần xác định điểm thỏa mãn: Với điểm ta có Chọn ta có Lại có Suy Hay Bài Cho hình bình hành Tìm điểm thỏa mãn: Giải: Gọi điểm thỏa mãn: Khi từ Cần xác định điểm điểm thỏa mãn: Với điểm ta có: Chọn ta có Mặt khác: Suy Hay Nhận xét: Ở ta có lời giải ngắn gọn cách hệ số đặc biệt nên ta quy đẳng thức quen thuộc Tuy nhiên cho hệ số học sinh lúng túng, em khó định hướng lời giải Như vậy, cách giải dùng tâm tỉ cự rõ ràng có hiệu cao cho tốn dạng trên, giúp học sinh nhanh chóng định hướng lời giải cho tốn 2.3 Đề xuất biện pháp khắc phục khó khăn, hạn chế thực trạng 2.3.1 Dạng tốn tìm số thực điểm cố định thỏa mãn đẳng thức vectơ [6] Bài toán 1: Cho hệ điểm số thực mà Tìm số thực điểm cố định cho đẳng thức vectơ thỏa mãn với điểm Phương pháp giải: Do đẳng thức (1) với điểm nên với , Suy điểm xác định Lại có Suy Bài Cho tam giác với điểm tùy ý Tìm số điểm cố định cho đẳng thức vectơ sau thỏa mãn với điểm : Hướng dẫn: Do đẳng thức với nên Khi ta có (2) Gọi trung điểm , ta có (3) Thay (3) vào (2) ta , suy trung điểm Đẳng thức Suy k=4 Bài Cho tứ giác với điểm tùy ý Tìm số cho đẳng thức vectơ sau thỏa mãn với điểm Hướng dẫn: Do đẳng thức với nên Khi đó: Ta có: Suy k=2 2.3.2 Dạng toán chứng minh đường thẳng qua điểm cố định [6] Bài toán 2: Cho hệ điểm số thực mà Nếu có đường thẳng qua điểm cố định thỏa mãn : = Phương pháp giải: Với điểm thỏa mãn: = điểm cố định Ta có = = Suy điểm thẳng hàng Bài Cho tứ giác lồi , điểm mặt phẳng thỏa mãn: Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định thay đổi Hướng dẫn: Gọi điểm thỏa mãn = điểm cố định Từ giả thiết ta có: = = Vậy ln qua điểm cố định thay đổi Bài Cho tam giác , điểm mặt phẳng thỏa mãn: Gọi trung điểm Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định thay đổi Hướng dẫn: Vì trung điểm nên ta có: + Gọi điểm thỏa mãn = điểm cố định Khi đó: == Vậy ln qua điểm cố định thay đổi 2.3.3 Dạng toán tìm tập hợp điểm [2] , [7] Dạng 1: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ độ dài vectơ Ta biến đổi đẳng thức cho tốn qũy tích sau đây: với điểm cố định, không đổi số tập hợp điểm điểm nằm đường thẳng qua phương với với cố định tập hợp điểm điểm nằm đường thẳng trung trực với cố định, không đổi định tập hợp điểm điểm nằm đường trịn tâm , bán kính Ngồi ra, ta cịn dùng tính chất sau tâm tỉ cự: Với điểm tâm tỉ cự hệ điểm điểm ta có: Bài Cho Tìm tập hợp điểm cho phương với Hướng dẫn: Gọi I thỏa mãn Suy cố định du Khi Vậy phương với nên thuộc đường thẳng qua song song với Bài Cho Tìm tập hợp điểm mặt phẳng thỏa mãn: Hướng dẫn: Gọi điểm thỏa mãn: suy cố định Gọi điểm thỏa mãn: suy cố định Ta có Suy nằm đường trung trực đoạn thẳng Bài Cho tứ giác Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng thỏa mãn: Hướng dẫn: Gọi điểm thỏa mãn: Suy cố định Ta có: Suy nằm đường trịn tâm bán kính Dạng 2: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức tích vơ hướng tích độ dài độ dài vectơ Ta biến đổi biểu thức ban đầu dạng sau: +) , thuộc đường trịn tâm , bán kính +) , với cố định thuộc đường trịn đường kính Bài tốn 3: Tìm tập hợp điểm mặt phẳng thỏa mãn: với cố định Phương pháp giải: Gọi điểm thỏa mãn: = điểm cố định Từ ]=0 Suy thuộc đường tròn đường kính +) với cố định thuộc đường thẳng qua vng góc với Bài tốn 4: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn: ’’ với cố định, không đổi Phương pháp giải: Ta thực theo bước sau: Bước 1: Gọi điểm thỏa mãn: = điểm cố định Bước 2: Biến đổi -Với , không tồn điểm -Với , - Với , thuộc đường trịn tâm , bán kính Bài Cho Tìm tập hợp điểm mặt phẳng thỏa mãn: Hướng dẫn: Ta có: Gọi điểm thỏa mãn điểm cố định, Khi Từ Suy thuộc đường trịn đường kính Bài Cho có cạnh a Tìm tập hợp điểm mặt phẳng thỏa mãn: Hướng dẫn: Gọi điểm thỏa mãn suy trọng tâm Ta biến đổi trọng tâm cạnh a nên Khi ta có: Vậy tập hợp điểm đường trịn tâm bán kính 2.3.4 Dạng tốn tìm tọa độ điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước [4], [7] Bài toán 5: Trong hệ trục tọa độ cho , ,…, Tìm tọa độ điểm thỏa mãn đẳng thức : Phương pháp giải: Với tâm tỉ cự hệ điểm điểm ta có: = Nếu , ,…, , tọa độ tâm tỉ cự là: , Bài 10 Trong hệ trục cho điểm điểm điểm Tìm tọa độ điểm thỏa mãn: Hướng dẫn: Áp dụng kết tốn Ta có Vậy Bài 11 Trong hệ trục cho biết điểm điểm Điểm tâm đường tròn nội tiếp Khi Hướng dẫn: Ta có tâm đường trịn nội tiếp a Khi ta có a Vậy Suy 2.3.5 Dạng tốn cực trị hình học [3], [5] Dạng 1: Cực trị liên quan đến độ dài vec tơ Bài toán 6: Cho điểm số thực thỏa mãn đường thẳng Tìm điểm cho đạt Phương pháp giải: Bước 1: Gọi điểm thỏa mãn: Bước 2: Biến đổi Bước 3: đạt hình chiếu Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm điểm Tìm điểm thuộc trục cho đạt Hướng dẫn: Gọi thỏa mãn đẳng thức Khi ta có: Suy Ta có: Do điểm cố định, điểm thuộc trục nên nhỏ nhỏ Khi hình chiếu Vậy Bài 13 Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm điểm đường thẳng Tìm điểm thuộc cho đạt Hướng dẫn: Gọi thỏa mãn đẳng thức Khi ta có: Suy Lại có: Do điểm cố định, điểm thuộc nên nhỏ nhỏ Khi hình chiếu hay Phương trình đường thẳng : Điểm giao điểm nên tọa độ nghiệm hệ: Suy Dạng 2: Cực trị liên quan đến bình phương độ dài khoảng cách Bài toán 7: Cho đa giác số thực thỏa mãn: Tìm điểm thuộc đường thẳng cho đạt , max Phương pháp giải: Bước 1: Gọi điểm thỏa mãn: = điểm cố định Bước 2: Biến đổi - Nếu đạt hình chiếu - Nếu đạt max max hình chiếu Bài 14 Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm điểm đường thẳng Tìm đường thẳng điểm cho nhỏ Hướng dẫn: Gọi thỏa mãn đẳng thức Khi ta có: Suy Áp dụng kết qủa tốn ta có Do khơng đổi nên nhỏ nhỏ Điểm cố định nên Phương trình đường thẳng : Điểm giao điểm nên tọa độ nghiệm hệ: Suy Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm điểm điểm C(2;7) đường thẳng Tìm đường thẳng điểm cho lớn Hướng dẫn: Gọi thỏa mãn đẳng thức Khi ta có : Suy Áp dụng kết toán ta có: 10 Do khơng đổi nên lớn nhỏ Điểm cố định nên Phương trình đường thẳng : Điểm giao điểm nên tọa độ nghiệm hệ: Suy 2.3.6 Bài tập tự luyện Bài Cho đoạn thẳng Tìm số cho đẳng thức vectơ sau thỏa mãn với điểm : A B C D Bài Cho tứ giác với điểm tùy ý Tìm điểm cố định cho đẳng thức vectơ sau thỏa mãn với điểm M: AĐiểm thỏa mãn: với trọng tâm B trọng tâm C trung điểm D đỉnh thứ tư hình bình hành Bài Cho tam giác , điểm mặt phẳng thỏa mãn: Khi M thay đổi đường thẳng qua điểm cố định với: A đỉnh thứ tư hình bình hành B trọng tâm C trung điểm D điểm thỏa mãn Bài Cho tam giác có độ dài cạnh Biết tập hợp điểm mặt phẳng thỏa mãn: đường trịn có bán kính Đường kính đường trịn là: A B C D Bài Cho tam giác có trọng tâm trung điểm Tập hợp điểm mặt phẳng thỏa mãn: : A Đường thẳng B Đường trịn tâm ,bán kính C Đường thẳng qua song song với D.Trung trực Bài Cho tam giác Tập hợp điểm mặt phẳng thỏa mãn: là: A.Đường thẳng vng góc với B Đường thẳng song song với C.Trung trực D Đường thẳng qua Bài Trong hệ trục tọa độ cho điểm điểm C(-2;3) Điểm thỏa mãn đẳng thức: Khi giá trị bằng: A B C D Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho điểm điểm C(-2;1) Điểm thuộc trục cho: đạt nhỏ nhất, bằng: A B C D Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho điểm điểm đường thẳng điểm đường thẳng Giá trị lớn là: A B C D 11 Bài 10 Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm điểm điểm C(3;1) đường thẳng Điểm đường thẳng để đạt giá trị nhỏ có tọa độ : A B C D 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường - Bằng kinh nghiệm thân, tác giả đánh giá hiệu đề tài cách so sánh chất lượng học tập học sinh khóa khác khóa thời điểm trước sau áp dụng đề tài, tác giả nhận thấy: Kết kiểm tra sau: Bảng 1: Phân loại trình độ học sinh qua lần kiểm tra sau thực nghiệm Nhóm Đối Tổng Điểm Trung bình Điểm Điểm giỏi lớp tượng số TB ( ≤4) ( 5≤ ≤6) ( 7≤ ≤8) (9≤ ≤10) ( n) SL % SL % SL % SL % 10B4 43 9,3 19 44, 17 39,5 ĐC 10B8 46 6,5 15 32, 25 54,4 6,5 10B7 46 2,2 8,7 29 63 12 26,2 TN 10B2 45 0 6,7 29 64,4 13 28,9 Tổng hợp ĐC 89 7,9 34 TN 91 1,1 38, 7,7 42 47,2 6,7 58 63,7 25 27,5 - Nhận xét: + Về kiến thức độ bền kiến thức: Ở lớp thực nghiệm HS nhớ lâu hơn, xác hơn, thể làm tốt nhóm ĐC Qua kết kiểm tra ta thấy tỉ lệ % điểm khá, giỏi nhóm lớp thực nghiệm cao (giỏi chiếm 27,5 %, chiếm 63,7%) so với nhóm đối chứng (giỏi chiếm 6,7 %, chiếm 47,2%), đồng thời điểm yếu trung bình thấp so với nhóm đối chứng (Nhóm TN điểm TB 1,1%, nhóm ĐC chiếm 7,9%) + Về thái độ, hứng thú môn học: Ở lớp thực nghiệm học sinh sôi nổi, nhiệt tình, hăng say học tập, lớp đối chứng nhìn chung học trầm, học sinh có phần uể oải - Sau có kết giảng dạy, tác giả trình bày trước tổ chun mơn để lấy ý kiến góp ý, nhận xét, đánh giá đồng nghiệp đánh giá cao tính hữu ích đề tài 12 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua nghiên cứu thực đề tài: “Dùng tâm tỉ cự hệ điểm để giải nhanh số dạng tốn hình học lớp 10” Chúng tơi thu kết sau đây: - Cách giải ví dụ theo hướng dẫn đề tài minh chứng cho cải tiến đề tài: Học sinh nhanh chóng định hướng lời giải có kết toán nhanh cách thông thường - Học sinh muốn đạt kết tốt học tập, đặc biệt kết cao kì thi học sinh giỏi hay kì thi tuyển sinh vào đại học, trước hết em phải nắm vững kiến thức cách có hệ thống Các em giải tập kiến thức biết mà cịn phải có kỹ nhanh nhạy, sáng tạo 13 - Tác giả đưa tốn tổng qt có sử dụng tâm tỉ cự, tuyển chọn 15 tập làm ví dụ 10 tập tự luyện minh chứng cho ý tưởng cải tiến đề tài, phù hợp với yêu cầu chương trình hình học lớp 10, tiến tới kì thi tốt nghiệp tuyển sinh vào đại học Trên sở đề tài, thầy cô mở rộng phạm vi nghiên cứu áp dụng cho mảng kiến thức cho dạng toán vectơ tọa độ không gian - Trong trình thực đề tài, tác giả rút nhiều kinh nghiệm để nâng cao chất lượng giảng dạy đặc biệt chất lượng dạy học mơn hình học lớp 10 tiến tới ôn thi tốt nghiệp tuyển sinh đại học lớp 12 sau - Nội dung thể đề tài nhỏ so với yêu cầu kì thi lớn Nhưng đề tài thể tiến, tính sáng tạo cơng tác giảng dạy tác giả Đề tài góp phần tạo hứng thú học tập cho học sinh, hình thành cho em giới quan sáng có tâm hồn đam mê mơn Tốn nhiều Bởi đề tài dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên công tác giảng dạy mơn Tốn trường trung học phổ thơng 3.2 Kiến nghị - Các cấp lãnh đạo cần quan tâm nữa, tạo điều kiện thuận lợi vật chất lẫn tinh thần để động viên, khích lệ niềm đam mê giáo viên giảng dạy, nghiên cứu, để có nhiều sáng kiến kinh nghiệm thiết thực áp dụng - Giáo viên cần phải dành nhiều thời gian tâm huyết cho việc nghiên cứu dạy, đưa nhiều giải pháp hiệu - Trong trình giảng – dạy phải thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để chia sẽ, bàn luận vấn đề phức tạp chuyên môn Đồng thời phải theo dõi học sinh cách sát sao, lắng nghe phản hồi học sinh, để kịp thời rút kinh nghiệm quý báu khắc phục kịp thời hạn chế, nhằm hướng cho em có ý thức phương pháp học tập đắn Trên kinh nghiệm thân tơi đúc rút q trình giảng dạy Rất mong góp ý xây dựng đồng nghiệp để sáng kiến tơi hồn thiện hơn, giúp học sinh học tốt mơn hình học lớp 10 nhằm nâng cao chất lượng giáo dục Thanh Hóa, ngày 28 tháng năm 2022 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN thân viết, khơng chép nội dung người khác Lê Thị Trường 14 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa hình học 10 bản, nhà xuất Giáo Dục Việt Nam [2] Sách tập hình học lớp 10 bản, nhà xuất Giáo Dục Việt Nam [3] Tạp chí tốn học tuổi trẻ tháng 11/2000 nhà xuất Giáo Dục việt nam-Bộ GD [4] Tạp chí tốn học tuổi trẻ tháng 7/2014 nhà xuất Giáo Dục việt nam-Bộ GD [5] Tạp chí tốn học tuổi trẻ tháng 4/2019 nhà xuất Giáo Dục việt nam-Bộ GD [6] Lê Hồng Đức- Nhóm cự Mơn Giải tốn hình học 10 , nhà xuất Hà Nội 15 [7] Phan Huy Khải Trọng tâm kiến thức tập hình học 10, nhà xuất Giáo Dục Việt Nam [8] Ngọc Huyền LB Cơng phá tốn 10, nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội 16 ... đề tài: ? ?Dùng tâm tỉ cự hệ điểm để giải nhanh số dạng tốn hình học lớp 10? ?? Chúng tơi thu kết sau đây: - Cách giải ví dụ theo hướng dẫn đề tài minh chứng cho cải tiến đề tài: Học sinh nhanh chóng... thẳng hệ thức: trở thành : b Tâm tỉ cự hệ ba điểm * Gọi tâm tỉ cự hệ ba điểm ba số thực với +ta có +) +) Với điểm ta có: * Đặc biệt - Hệ thức thành trọng tâm tam giác - Khi trọng tâm tam giác hệ. .. 2.1.2 .Một số kết [1], [4] a Tâm tỉ cự hệ hai điểm * Gọi G tâm tỉ cự hệ hai điểm hai số thực với + ta có +) +) Với điểm ta có: * Đặc biệt + )Hệ thức trở thành trung điểm đoạn thẳng +) Khi trung điểm