ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƢƠNG THỊ MAI ANH VỀ PHƢƠNG TRÌNH DIOPHANTINE DẠNG Ax 2 By 2 = C LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - LƢƠNG THỊ MAI ANH VỀ PHƢƠNG TRÌNH DIOPHANTINE DẠNG Ax2 - By2 = C LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - LƢƠNG THỊ MAI ANH VỀ PHƢƠNG TRÌNH DIOPHANTINE DẠNG Ax2 - By2 = C Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC (Xác nhận) PGS.TS Nông Quốc Chinh THÁI NGUYÊN - 2018 Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Liên phân số hữu hạn 1.2 Liên phân số vô hạn 1.3 Liên phân số vô hạn tuần hoàn Chương Về phương trình Diophantine bậc dạng Ax2 − By = C 12 2.1 Phương trình Diophantine x2 − Dy = N 12 2.2 Phương trình Diophantine dạng Ax2 − By = C 16 2.3 Một số ví dụ áp dụng 34 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Mở đầu Số học môn tốn học có đối tượng nghiên cứu số ngun Khơng có đơn giản quen thuộc số nguyên Ngày nay, với phát triển khoa học công nghệ, đặc biệt cơng nghệ số hóa, địi hỏi người không ngừng nghiên cứu khám phá quy luật, thuật giải cho toán liên quan tới số nguyên Bao hàm mảng số học, giải phương trình nghiệm ngun hay cịn gọi phương trình Diophantine Lớp phương trình cịn tồn nhiều tốn, giả thuyết chưa có câu trả lời Nó ln vấn đề thu hút nhiều nhà Tốn học quan tâm nghiên cứu tìm hiểu Chính việc tìm lời giải cho tốn hay chứng minh giả thuyết phương trình Diophantine làm nảy sinh lý thuyết, phương pháp khác Tốn học Lớp tốn liên quan tới phương trình Diophantine khơng có quy tắc giải tổng qt, có dạng đơn giản Đó ngun nhân để lớp phương trình thu hút khám phá nghiên cứu nhà Toán học Trong hầu hết kỳ thi quan trọng thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Quốc tế, tốn liên quan đến phương trình Diophantine thường xuyên sử dụng để đánh giá học sinh Do đó, hướng dẫn khoa học PGS.TS Nông Quốc Chinh, chọn hướng đề tài luận văn liên quan tới lớp phương trình Diopantine Cụ thể nghiên cứu tính chất nghiệm mối liên hệ phương trình Diophantine dạng Ax2 −By = C với biểu diễn liên phân số liên tục 3 Luận văn với tên đề tài "Về phương trình Diophantine dạng Ax2 −By = C", với mục đích trình bày kết nghiên cứu Mollin (2002) [8] cơng bố tạp chí Acta Math Univ Comenianae năm 2002 Nội dung luận văn gồm chương Chương tập trung trình bày số kiến thức liên phân số, dùng để nghiên cứu kết chương sau Nội dung chương gồm ba phần, cụ thể nghiên cứu phương trình Diophantine dạng x2 − Dy = N dạng Ax2 − By = C phần cuối số ví dụ minh họa Để hồn thành luận văn, lời em xin chân thành cảm ơn hướng dẫn tỉ mỉ tận tình PGS.TS Nơng Quốc Chinh Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy Trong q trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tác giả nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo khoa Tốn – Tin Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Toàn Thắng, Tiên Lãng, Hải Phòng anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học Xin cảm ơn anh chị học viên lớp Cao học Toán K10B1 bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả q trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, ngày 22 tháng năm 2018 Học viên Lương Thị Mai Anh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi tập trung trình bày liên phân số số kết để áp dụng cho việc nghiên cứu phương trình Diophantine bậc hai, trình bày chương 1.1 Liên phân số hữu hạn Định nghĩa 1.1.1 Liên phân số hữu hạn hay phân số liên tục biểu thức có dạng a0 + a1 + a2 + · · · + an−1 + an a0 , a1 , , an số thực a1 , , an 6= Một liên phân số ký hiệu [a0 ; a1 , , an ] Từ định nghĩa dễ thấy [a0 ; a1 , , ak+1 ] = a0 + [a1 ; a2 , , ak+1 ] Nếu a0 ∈ Z a1 , , an số ngun dương ta nói [a0 ; a1 , an ] liên phân số hữu hạn có độ dài n Rõ ràng liên phân số hữu hạn số hữu tỷ Ngược lại ta có: Định lý 1.1.2 Mỗi số hữu tỷ biểu diễn dạng liên phân số hữu hạn Chứng minh Giả sử x = a b a, b ∈ Z b > Đặt r0 = a, r1 = b Thuật chia Euclide cho ta r0 = r1 q1 + r2 , < r2 < r1 , r1 = r2 q2 + r3 , < r3 < r2 , rn−2 = rn−1 qn−1 + rn , < rn < rn−1 , rn−1 = rn qn Từ dễ thấy a = [q1 ; q2 , , qn ] b Ta có điều phải chứng minh Cho liên phân số hữu hạn [a0 ; a1 , , an ] Với k ≤ n liên phân số Ck = [a0 ; a1 , , ak ] gọi giản phân thứ k [a0 ; a1 , , an ] Cơng thức tính giản phân cho định lý sau Định lý 1.1.3 Cho liên phân số hữu hạn [a0 ; a1 , , an ] Giả sử hai dãy số nguyên dương p0 , p1 , , pn q0 , q1 , , qn xác định truy hồi sau p0 = a0 , q0 = 1, p1 = a0 a1 + q = a1 , pk = ak pk−1 + pk−2 , qk = ak qk−1 + qk−2 Khi giản phân thứ k Ck = [a0 ; a1 , , ak ] cho pk qk Ck = Chứng minh Ta chứng minh quy nạp Với k = ta có C0 = [a0 ] = p0 /q0 Với k = ta có C1 = [a0 ; a1 ] = a0 + a0 a1 + 1 = = p1 /q1 a1 a1 Giả sử định lý cho ≤ k < n Khi với ≤ k < n, pk ak pk−1 + pk−2 = qk ak qk−1 + qk−2 Ck = [a0 ; a1 , , ak ] = Vậy " Ck+1 = [a0 ; a1 , , ak , ak+1 ] = a0 ; a1 , , ak − 1, ak + = (ak + (ak + ak+1 )pk−1 ak+1 )qk−1 # ak+1 + pk−2 + qk−2 ak+1 (ak pk−1 + pk−2 ) + pk−1 ak+1 (ak qk−1 + qk−2 ) + qk−1 ak+1 pk + pk−1 pk+1 = = ak+1 qk + qk−1 qk+1 = Định lý chứng minh Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh đẳng thức quan trọng sau (pk ) (qk ) Định lý 1.1.4 pk qk−1 − pk−1 qk = (−1)k−1 Hệ 1.1.5 (pk , qk ) = Tiếp theo, ta mô tả quan hệ giản phân 7 Định lý 1.1.6 Giả sử (Ck ) dãy giản phân liên phân số hữu hạn [a0 ; a1 , an ] Ta có Ck − Ck−1 Ck − Ck−2 (−1)k−1 = , qk qk−1 ak (−1)k = , qk qk−2 ≤ k ≤ n, ≤ k ≤ n Chứng minh Với đẳng thức thứ ta có Ck − Ck−1 (−1)k−1 pk qk−1 − pk−1 qk = = qk qk−1 qk qk−1 Với đẳng thức thứ hai ta có Ck − Ck−2 = pk qk−2 − pk−2 qk qk qk−2 Thay pk = ak pk−1 + pk−2 , qk = ak qk−1 + qk−2 vào tử số áp dụng đẳng thức thứ ta thu điều phải chứng minh Từ định lý ta thu kết quan trọng sau Định lý 1.1.7 Ta có C1 > C3 > C5 > , C0 < C2 < C4 > Hơn giản phân lẻ C2j−1 lớn giản phân chẵn C2i Chứng minh Từ định lý ta thấy k lẻ Ck < Ck−2 k chẵn Ck > Ck−2 Cũng theo định lý trên, ta có C2m − C2m−1 (−1)2m−1 = C2j−1+2i > C2j+2i > C2i suy C2m < C2m−1 1.2 Liên phân số vô hạn Như kết mục trên, ta biết số hữu tỷ biểu diễn cách liên phân số hữu hạn Chuyển sang tình số vơ tỷ, ta thấy, số vô tỷ biểu thị dạng liên phân số vô hạn Định lý 1.2.1 Cho a0 , a1 , a2 dãy vô hạn số nguyên cho > với i ≥ Đặt Ck = [a0 ; a1 , , ak ] Khi tồn giới hạn lim Ck = α k→∞ Ta gọi α giá trị liên phân số vô hạn [a0 ; a1 , a2 ] viết α = [a0 ; a1 , a2 , ] Chứng minh Theo Định lý 1.1.7 ta có C1 > C3 > C5 > > C2n−1 > C2n+1 > C0 < C2 < C4 < < C2n−2 < C2n < Hơn dãy (C2k+1 ) dãy giản bị chặn C0 dãy (C2k ) tăng bị chặn C1 Vậy tồn lim C2k+1 = α1 k→∞ lim C2k = α2 k→∞ Ta cần chứng minh α1 = α2 Thật theo Định lý ta có C2k+1 − C2k = q2k+1 q2k Bằng quy nạp, ta có qk ≥ k Do lim (C2k+1 − C2k ) = k→∞ Vậy α1 = α2 Định lý chứng minh ... hồn Chương Về phương trình Diophantine bậc dạng Ax2 − By = C 12 2.1 Phương trình Diophantine x2 − Dy = N 12 2.2 Phương trình Diophantine dạng Ax2 − By = C 16 2.3... HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - LƢƠNG THỊ MAI ANH VỀ PHƢƠNG TRÌNH DIOPHANTINE DẠNG Ax2 - By2 = C Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ... lớp phương trình Diopantine Cụ thể nghiên cứu tính chất nghiệm mối liên hệ phương trình Diophantine dạng Ax2 −By = C với biểu diễn liên phân số liên tục 3 Luận văn với tên đề tài "Về phương trình