ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN HẢO VỀ ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VŨ VĂN HẢO VỀ ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VŨ VĂN HẢO VỀ ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Ngô Thị Ngoan THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Trường hữu hạn 1.1 Một số khái niệm 1.2 Đa thức tương hỗ 1.3 Công thức nghịch o Măobius Đa thức bất khả quy trường 2.1 Đa thức xp − x + a 2.2 Dãy đa thức bất khả quy 2.2.1 Q−phép biến đổi vết 2.2.2 Dãy đa thức bất khả quy số 2.2.3 Dãy đa thức bất khả quy số lẻ hữu hạn trường hữu trường hữu hạn có hạn có 4 13 14 18 18 21 22 đặc 25 đặc 30 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Ngô Thị Ngoan Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn K11D (khóa 2017–2019); Nhà trường phịng chức Trường; Khoa Tốn – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trường Trung học phổ thông Quang Hà giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K11D (khóa 2017–2019) ln động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập, nghiên cứu Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị cơng tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả Vũ Văn Hảo Mở đầu Đa thức bất khả quy khái niệm đóng vai trị quan trọng có nhiều áp dụng Đây vấn đề kinh điển lý thuyết đa thức nói riêng tốn học nói chung Các tốn đa thức bất khả quy tốn phân tích đa thức thành nhân tử bất khả quy đưa vào giảng dạy từ THCS Việc phân tích cho phép học sinh chuyển việc giải phương trình đại số phương trình có bậc thấp Trong chương trình tốn học cao cấp, khái niệm đa thức bất khả quy đưa vào giảng dạy năm chương trình đào tạo Đại học Lúc này, sinh viên tiếp xúc với tiêu chuẩn tính bất khả quy đa thức Z[x], Q[x] tiêu chuẩn Eisenstein, tiêu chuẩn Person, tiêu chuẩn Dumas Đặc biệt sử dụng kỹ thuật quan trọng xét tính bất khả quy đa thức hệ số nguyên thông qua việc rút gọn theo modulo p nguyên tố Trong khuôn khổ luận văn này, tơi trình bày tìm hiểu đa thức bất khả quy trường hữu hạn: Một số lớp đa thức bất khả quy; việc xây dựng đa thức bất khả quy từ hai đa thức bất khả quy cho; việc xây dựng dãy vô hạn đa thức bất khả quy với bậc tăng dần từ đa thức bất khả quy ban đầu trường hữu hạn Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương luận văn trình bày trường hữu hạn Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1] [6] Chúng ta trình bày mở rộng trường, trường phân rã đa thức, cấu trúc trường hữu hạn công thức nghịch đảo Măobius [6] giỳp ta xỏc nh cỏc a thc dng chuẩn (đa thức monic) bất khả quy trường hữu hạn Fq có bậc n Chương luận văn trình bày đa thức bất khả quy trường hữu hạn Chúng ta trình bày lớp đa thức bất khả quy trường Fq [x] với q = pn ; xây dựng đa thức bất khả quy từ hai đa thức bất khả quy cho; xây dựng dãy vô hạn đa thức bất khả quy trường hữu hạn có đặc số cách sử dụng Q− biến đổi; xây dựng dãy vô hạn đa thức bất khả quy có bậc tăng dần trường hữu hạn có đặc số lẻ cách sử dụng R− biến đổi từ đa thức bât khả quy ban đầu Thái Nguyên, ngày 25 tháng năm 2019 Tác giả luận văn Vũ Văn Hảo Chương Trường hữu hạn 1.1 Một số khái niệm Ta nhắc lại, trường F vành giao hốn khác khơng khơng có ước Một trường có hữu hạn phần tử gọi trường hữu hạn Định nghĩa 1.1.1 Trường F gọi trường nguyên tố khơng có trường ngồi thân Nhận xét 1.1.2 (i) Cho F trường nguyên tố Khi xảy hai trường hợp: F có đặc số F ∼ = Q; F có đặc số p F ∼ = Zp Trường hợp F ∼ = Zp Ta thường kí hiệu Fp thay cho F (ii) Cho E trường tùy ý, gọi F giao trường E F trường E, rõ ràng F trường nhỏ E , F trường nguyên tố Trong trường hợp này, ta nói F trường nguyên tố E Như vậy, trường chứa trường nguyên tố Bổ đề 1.1.3 (Cấu trúc trường hữu hạn) (i) Cho F trường hữu hạn có q phần tử Khi tồn số nguyên tố p cho q = pn với số tự nhiên n (ii) Với số nguyên tố p số tự nhiên n 6= 0, tồn trường hữu hạn có pn phần tử (sai khác đẳng cấu trường) 5 Chứng minh (i) Gọi p đặc số trường F , p số nguyên tố Gọi Fp trường nguyên tố F , Fp ∼ = Zp Ta biết F Fp −không gian vectơ hữu hạn chiều Giả sử dimFp (F ) = n < ∞, F có sở {e1 , , en } n P ei với a1 , , an ∈ Fp Từ phần tử F có dạng x = i=1 suy số phần tử F số phần tử (a1 , , an ) ∈ Fp × × Fp (n lần) Do q = pn (ii) Sự tồn trường có q = pn phần tử Xét đa thức f (x) = xq − x ∈ Fp [x] với Fp ∼ = Zp trường nguyên tố có đặc số nguyên tố p Gọi E trường phân rã f (x) Fp Đặt K = {α ∈ E | f (α) = 0} tập hợp nghiệm f (x) Khi K trường E Thật vậy, với α, β ∈ K ta có (α − β)q = αq − β q = α − β, (αβ)q = αq β q = αβ Do α − β, αβ ∈ K Nếu α ∈ K ∗ (α−1 )q = (aq )−1 = α−1 suy α−1 ∈ K Ngoài ra, rõ ràng 1q = nên ∈ K Cuối cùng, ta thấy n a ∈ Fp thỏa mãn ap = a aq = ap = a chứng tỏ Fp ⊆ K Như K trường phân rã f (x) Fp , trường có q = pn phần tử (lưu ý f (x) khơng có nghiệm bội) Tính trường có q = pn phần tử Giả sử Fq trường có q = pn phần tử Khi Fq có đặc số p (giả sử p1 đặc số Fq theo (i) suy 0 q = pn1 ; pn = pn1 p = p1 ) Vì F∗q = Fq \ {0} nhóm với phép nhân nên αq−1 = với α ∈ F∗q ; αq = α với α ∈ Fq Chứng tỏ phần tử Fq nghiệm đa thức f (x) = xq − x ∈ Fp [x] với Fp trường nguyên tố Fq Suy trường Fq trường phân rã f (x) Fp Điều khẳng định tính Fq sai khác đẳng cấu trường Trong luận văn, quan tâm nghiên cứu đa thức bất khả quy trường hữu hạn Fq Đa thức bất khả quy trường Fq phần tử bất khả quy vành đa thức Fq [x] 6 Định nghĩa 1.1.4 Một đa thức với hệ số trường gọi bất khả quy có bậc dương khơng phân tích thành tích hai đa thức có bậc thấp Định lý 1.1.5 Cho F trường hữu hạn có đặc số p Khi ta có n n n n n n (a + b)p = ap + bp , (a − b)p = ap − bp với a, b ∈ F, n ∈ N \ {0} Chứng minh Ta có khai triển (a + b)p = p X k=0 p k ! p k ak bp−k với ! = Cpk , ! p với < k < p (a + b)p = ap + bp Bằng quy nạp k n n−1 n n n theo n, biến đổi (a + b)p = ((a + b)p )p suy (a + b)p = ap + bp Để n n n chứng minh (a − b)p = ap − bp , ta biến đổi mà p | n n n n (a − b)p = (a + (−b))p = ap + (−b)p n n Nếu p lẻ ta có (−1)p = −1, p chẵn p = (−1)p = = −1 Cho p số nguyên tố, ≤ n ∈ Z Đặt q = pn Khi ta có định lý sau Định lý 1.1.6 Nhóm nhân F∗ q trường hữu hạn F xyclic cấp q − Để chứng minh Định lý 1.1.6 ta cần bổ đề sau P Bổ đề 1.1.7 Nếu ≤ m ∈ Z, m = d|m ϕ(d), ϕ(d) kí hiệu cho hàm Euler Chứng minh Nếu d chia hết m, ta kí hiệu Cd nhóm Zm có cấp d, kí hiệu Φd tập tất phần tử sinh Cd Vì phần tử Zm sinh nhóm Cd đó, nên nhóm Zm hợp rời tập Φd ; từ ta có X X m = |Zm | = |Φd | = ϕ(d) d|m d|m Bổ đề 1.1.8 Cho H nhóm hữu hạn cấp n Giả sử rằng, với ước d n, tập phần tử x ∈ H cho xd = có nhiều d phần tử Khi H nhóm xyclic Chứng minh Cho d ước m Nếu tồn x ∈ H có cấp d, nhóm (x) = {1, x, , xd−1 } nhóm xyclic cấp d; mặt khác theo giả thiết, có khơng q d phần tử y ∈ H thỏa mãn y d = Vì y ∈ H cho y d = thuộc vào (x) Đặc biệt, phần tử H có cấp d sinh (x) có tất ϕ(d) phần tử cấp d Vì số phần tử H có cấp d ϕ(d) Lưu ý với trường hợp nhóm H hữu hạn có cấp n, ta ln có [ H= Φ(d0 ) d0 |m,∃x0 ∈H có cấp d0 Φ(d0 ) kí hiệu cho tập tất phần tử H có cấp d0 Do X X m = |H| = |Φ(d0 )| = ϕ(d0 ) d0 |m,∃x0 ∈H có cấp d0 d0 |m,∃x0 ∈H có cấp d0 Nếu tồn d|m mà khơng có phần tử H có cấp d cơng thức cho thấy X X ϕ(d ) < ϕ(d0 ) m≤ d0 |n, d0 6=d d0 |n P d0 |m ϕ(d0 ) = m theo Bổ đề 1.1.7 Từ suy mâu thuẫn Vậy ước d n có phần tử H có cấp d Đặc biệt, có phần tử x ∈ H có cấp m, H trùng với nhóm xyclic (x) Chứng minh Định lý 1.1.6 Định lý suy từ Bổ đề 1.1.8 áp dụng cho H = F∗q m = q − Thật với d|(q − 1), ta có phương trình xd − = có bậc d có hệ số trường Fp , nên có nhiều d nghiệm Fq Chú ý 1.1.9 Từ chứng minh cho thấy kết tổng quát nhóm hữu hạn nhóm nhân trường xyclic Định lý 1.1.10 Cho Fq trường hữu hạn đa thức f ∈ Fq [x] bất khả quy Fq , deg f = n Khi trường phân rã f Fq Fqn Hơn ... khả quy; việc xây dựng đa thức bất khả quy từ hai đa thức bất khả quy cho; việc xây dựng dãy vô hạn đa thức bất khả quy với bậc tăng dần từ đa thức bất khả quy ban đầu trường hữu hạn Nội dung luận. .. ta trình bày lớp đa thức bất khả quy trường Fq [x] với q = pn ; xây dựng đa thức bất khả quy từ hai đa thức bất khả quy cho; xây dựng dãy vô hạn đa thức bất khả quy trường hữu hạn có đặc số cách... Đa thức bất khả quy trường 2.1 Đa thức xp − x + a 2.2 Dãy đa thức bất khả quy 2.2.1 Q−phép biến đổi vết 2.2.2 Dãy đa thức bất khả quy số 2.2.3 Dãy đa thức bất khả quy