ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ KIM ANH PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ KIM ANH PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ KIM ANH PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Tạ Duy Phƣợng THÁI NGUYÊN - 2018 Mục lục Mở đầu Chương Phương pháp phương trình bậc hai chứng minh hệ thức lượng giác 1.1 Các tính chất nghiệm phương trình bậc hai 1.2 Xây dựng phương trình bậc hai từ phương trình bậc hai biết 2π 4π 1.3 Phương trình bậc hai liên quan đến giá trị lượng giác , 5 2π 4π , 1.3.1 Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác 5 2π 4π 1.3.2 Các hệ thức liên qua đến giá trị lượng giác , 5 π 1.4 Phương trình bậc hai liên quan đến giá trị lượng giác góc 12 π 1.4.1 Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác góc 12 π 1.4.2 Các hệ thức liên quan đến giá trị lượng giác góc 12 11 12 12 14 20 20 21 Chương Phương pháp phương trình bậc ba chứng minh hệ thức lượng giác 23 2.1 Các tính chất nghiệm phương trình bậc ba 23 2.2 Xây dựng phương trình bậc ba từ phương trình bậc ba biết 26 2.3 Phương trình bậc ba liên quan đến giá trị lượng giác π 5π 7π góc , , 27 18 18 18 2.3.1 Các mệnh đề liên qua đến giá trị lượng giác góc π 5π 7π , , 27 18 18 18 2.3.2 Các hệ thức liên qua đến giá trị lượng giác góc π 5π 7π , , 18 18 18 2.4 Phương trình bậc ba liên quan đến giá trị lượng giác π 3π 5π góc , , 7 2.4.1 Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác góc π 3π 5π , , 7 2.4.2 Các đẳng thức liên quan đến giá trị lượng giác góc π 3π 5π , , 7 28 42 42 43 Chương Phương pháp phương trình bậc bốn chứng minh hệ thức lượng giác 51 3.1 Các tính chất nghiệm phương trình bậc bốn 51 3.2 Xây dựng phương trình bậc bốn từ phương trình bậc bốn có 53 3.3 Phương trình bậc bốn liên quan đến giá trị lượng giác π 3π 5π 7π góc , , , 8 8 3.3.1 Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác góc π 3π 5π 7π , , , 8 8 3.3.2 Các hệ thức liên quan đến giá trị lượng giác góc π 3π 5π 7π , , , 8 8 3.4 Phương trình bậc bốn liên quan đến giá trị lượng giác π 5π 9π 13π góc , , , 16 16 16 16 3.4.1 Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác góc π 5π 9π 13π , , , 16 16 16 16 3.4.2 Các đẳng thức liên quan đến giá trị lượng giác góc π 5π 9π 13π , , , 16 16 16 16 54 54 55 66 66 67 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 Mở đầu Lí chọn đề tài Xét ba tốn sau Bài tốn (Olympic Moskva, 1939, vịng 1) Chứng minh cos 4π 2π + cos =− 5 (1) Bài tốn (Vơ địch Quốc tế lần thứ 5, 1963) Chứng minh cos π 2π 3π − cos + cos = 7 (2) 3π 5π 7π π Bài toán (THTT, tháng 10, số 232, năm 1996) tan , tan , tan , tan 8 8 nghiệm phương trình t4 − 6t2 + = (3) Hai hệ thức (1) (2) dễ dàng chứng minh nhờ phép biến đổi lượng giác Tuy nhiên, từ hai hệ thức ta khó phát thêm hệ thức tương tự Mặt khác, dễ dàng chứng minh (xem Mệnh đề 1.3.1) 2π 4π 1 nghiệm phương trình t2 + t − = Tương tự (xem cos , cos 5 π 3π 5π 1 Mệnh đề 2.4.1), cos , cos , cos nghiệm phương trình t3 − t2 − t + 7 2 = toán chứng minh Mệnh đề 3.3.1 Từ tính chất nghiệm phương trình bậc hai bậc ba, ta suy hệ thức (1) (2) (xem Hệ thức 1.3.1 2.4.1b) Từ tính chất nghiệm phương trình bậc hai, bậc ba bậc bốn, ta dễ dàng phát chứng minh 2π 4π π 3π 5π π 3π 5π 7π , , , hay , , , 5 7 8 8 mà không cần sử dụng phép biến đổi lượng giác Đó ý tưởng nhiều hệ thức lượng giác chứa góc chủ đạo luận văn Sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc ba để phát chứng minh hệ thức (hình học lượng giác) tam giác có lẽ lần trình bày [6] phát triển [1] Phát chứng minh hệ thức lượng giác nhờ sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc bốn có lẽ lần trình bày cách hệ thống [2] [3] Như vậy, ta có nhịp cầu nối Đại số (phương trình hàm số) với Lượng giác (các hệ thức hàm số lượng giác có liên quan đặc biệt) Đây điểm khác biệt luận văn so với luận văn có hệ thức lượng giác Ý tưởng sử dụng tính chất nghiệm phương trình đại số để phát chứng minh hệ thức lượng giác có lẽ lần trình bày cách hệ thống [3] Lịch sử nghiên cứu Chủ đề hệ thức lượng giác có vị trí vai trị quan trọng chương trình mơn Tốn trường Trung học phổ thơng Đã có nhiều tài liệu viết chủ đề hệ thức lượng giác Tuy nhiên theo quan sát chúng tơi chưa có nhiều tài liệu hay đề tài luận văn cao học phân tích sâu hệ thức lượng giác Mục đích, đối tượng, phạm vi nguyên cứu Luận văn có mục đích trình bày phương pháp phương trình đại số chứng minh hệ thức lượng giác Đối tượng, phạm vi nghiên cứu hệ thức lượng giác góc có liên quan đặc biệt 7 Mục tiêu luận văn Trình bày phương pháp phương trình đại số để phát chứng minh hệ thức lượng giác Ngoài nhằm so sánh phương pháp phương trình đại số với phương pháp chứng minh thơng thường (nhờ biến đổi lượng giác), số bài, luận văn trình bày kĩ thuật chứng minh truyền thống Phương pháp nghiên cứu Sử dụng công cụ phương trình đại số để nghiên cứu hệ thức lượng giác Nội dung luận văn Ngoài phần mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo Luận văn gồm ba chương Chương Phương pháp phương trình bậc hai chứng minh hệ thức lượng giác Đầu Chương trình bày số tính chất nghiệm phương trình bậc hai, sau xây dựng phương trình bậc hai từ phương trình bậc hai có Từ đưa phương trình bậc hai có nghiệm liên quan đến giá trị lượng giác góc đặc biệt đưa nhiều hệ thức lượng giác Chương Phương pháp phương trình bậc ba chứng minh hệ thức lượng giác Đầu Chương trình bày số tính chất nghiệm phương trình bậc ba, sau xây dựng phương trình bậc ba từ phương trình bậc ba có Từ đưa phương trình bậc ba có nghiệm liên quan đến giá trị lượng giác góc đặc biệt đưa nhiều hệ thức lượng giác Chương Phương pháp phương trình bậc bốn chứng minh hệ thức lượng giác 8 Đầu Chương trình bày số tính chất nghiệm phương trình bậc bốn, sau xây dựng phương trình bậc bốn từ phương trình bậc bốn có Từ đưa phương trình bậc bốn có nghiệm liên quan đến giá trị lượng giác góc đặc biệt, từ phát biểu chứng minh nhiều hệ thức lượng giác Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Lời tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sau sắc đến thầy giáo PGS TS Tạ Duy Phượng Thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn để tơi hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cám ơn tồn thể thầy khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian học tập, thực hoàn thành luận văn Xin cám ơn nhà trường THPT Quế Võ Số 1, tỉnh Bắc Ninh Xin cám ơn giúp đỡ bạn bè, người thân đồng nghiệp suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Kim Anh Chương Phương pháp phương trình bậc hai chứng minh hệ thức lượng giác Chương trình bày số tính chất nghiệm phương trình bậc hai ứng dụng phát hiện, chứng minh hệ thức lượng giác 1.1 Các tính chất nghiệm phương trình bậc hai Mọi phương trình bậc hai đưa dạng x2 + ax + b = (1.1) Phương trình (1.1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn tính chất sau Tính chất 1.1.1 σ1 = x1 + x2 = −a Tính chất 1.1.2 σ2 = x1 x2 = b Từ hai tính chất sử dụng tính chất đối xứng nghiệm, ta suy nhiều tính chất khác nghiệm phương trình bậc hai, có lợi cho nghiên cứu phương trình bậc hai chứng minh hệ thức lượng giác Tính chất 1.1.3 x21 + x22 = a2 − 2b 10 Tính chất 1.1.4 x31 + x32 = −a3 + 3ab Tính chất 1.1.5 x41 + x42 = a4 − 4a2 b + 2b2 Tính chất 1.1.6 1 a + =− x1 x2 b Tính chất 1.1.7 1 a2 − 2b + = x21 x22 b2 Tính chất 1.1.8 1 −a3 + 3ab + = x31 x32 b3 Tính chất 1.1.9 1 a4 − 4a2 b + 2b2 + = x41 x42 b4 Bổ đề (Công thức Newton) Tổng lũy thừa Sk = xk1 + xk2 tính theo cơng thức truy hồi Sk = σ1 Sk−1 − σ2 Sk−2 Tính chất 1.1.10 (Cơng thức Waring) Tổng lũy thừa Sk = xk1 + xk2 tính theo cơng thức Sk = k k X (−1)m (k − m − 1)! m!(k − 2m)! m=0 σ1k−2m σ2m , theo định nghĩa 0! = 1! = [x] phần nguyên x Các trường hợp riêng: S2 = σ1 − σ2 = σ12 − 2σ2 S3 = σ1 − σ1 σ2 = σ1 σ12 − 3σ2 2 S4 = σ − σ1 σ2 + σ2 = σ14 − 4σ12 σ2 + 2σ22 11 Chứng minh tính chất trình bày chương [3] 1.2 Xây dựng phương trình bậc hai từ phương trình bậc hai biết Mệnh đề 1.2.1 Nếu x1 , x2 nghiệm phương trình (1.1) với (b 6= 0) 1 , nghiệm phương trình x1 x2 a bt2 + at + = ⇔ t2 + t + = b b (1.2) Mệnh đề 1.2.2 Nếu x1 , x2 nghiệm phương trình (1.1) x21 , x22 nghiệm phương trình t2 − (2b − a2 )t + b2 = (1.3) Mệnh đề 1.2.3 Nếu x1 , x2 nghiệm phương trình (1.1) x31 , x32 nghiệm phương trình t2 + (a3 − 3ab)t + b3 = (1.4) Mệnh đề 1.2.4 Nếu x1 , x2 nghiệm phương trình (1.1) x41 , x42 nghiệm phương trình t2 + (−a4 + 4a2 b − 2b2 )t + b4 = (1.5) Chứng minh Mệnh đề xem mục 2.2 Chương [3] Nhận xét Từ Mệnh đề 1.2.1 đến 1.2.4 tính chất 1.1, ta tiếp tục xây dựng nhiều phương trình bậc hai từ chứng minh nhiều đẳng thức lượng giác 12 1.3 1.3.1 Phương trình bậc hai liên quan đến giá trị 2π 4π lượng giác , 5 Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác Mệnh đề 1.3.1 cos 2π 4π , 5 2π 4π , cos nghiệm phương trình 5 1 t2 + t − = (1.6) Chứng minh Sử dụng cơng thức biến tích thành tổng cơng thức góc nhân đơi, ta có π •2 sin Do cos 2π 4π π 2π π 4π cos + cos = sin cos + sin cos 5 5 5 3π π 5π 3π = sin − sin + sin − sin 5 5 π = − sin 2π 4π + cos =− 5 •4 sin 2π 4π 2π 2π 4π 2π cos cos = sin cos cos 5 5 5 4π 4π = sin cos 5 8π = sin 2π = − sin 4π 2π cos =− 5 2π 4π Theo định lí Viète đảo, cos , cos nghiệm (1.6) 5π Chứng minh Đặt t = sin 10 π π 3π π π Do cos = − sin2 ; sin = sin − sin3 , nên ta có 10 10 10 10 3π π 3π π sin = cos − = cos ⇒ − 2t2 = 3t − 4t3 10 10 Suy cos 13 ⇔ (t − 1) 4t2 + 2t − != √ √ ! 1+ 1− ⇔ (t − 1) t + t+ = 4 √ π π −1 + Mà sin > Vậy sin = 10 10 √ √ 1+ 3π π π − π , cos = cos3 − cos = ⇒ cos = 5 5 Sử dụng công thức − α), ta √ cos α = − cos (π√ 2π −1 + 4π −1 − cos = ; cos = 5 2π 4π 2π 4π ⇒ cos + cos = − ; cos cos =− 5 5 2π 4π Theo định lí Viète đảo, cos , cos nghiệm (1.6) 5 1 Mệnh đề 1.3.2 , nghiệm phương trình 2π 4π cos cos 5 t2 − 2t − = (1.7) Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.2.1 vào (1.6) ta điều phải chứng minh 4π 2π nghiệm phương trình Mệnh đề 1.3.3 cos2 , cos2 5 t2 − t + = (1.8) 16 Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.2.2 vào (1.6) ta Mệnh đề 1.3.3 2π 4π Mệnh đề 1.3.4 cos3 , cos3 nghiệm phương trình 5 1 t2 + t − = (1.9) 64 Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.2.3 vào (1.6) ta Mệnh đề 1.3.4 2π 4π Mệnh đề 1.3.5 cos4 , cos4 nghiệm phương trình 5 t2 − t − = (1.10) 16 256 Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.2.4 vào (1.6) ta Mệnh đề 1.3.5 4π 2π Mệnh đề 1.3.6 sin2 , sin2 nghiệm phương trình 5 5 t2 − t + = (1.11) 16 14 Chứng minh Vì sin2 α = − cos2 α nên (1.8) thay t − t ta Mệnh đề 1.3.6 Mệnh đề 1.3.7 sin4 2π 4π , sin4 nghiệm phương trình 5 25 15 = t2 − t + 16 256 (1.12) Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.2.2 vào (1.11) ta Mệnh đề 1.3.7 1 Mệnh đề 1.3.8 , nghiệm phương trình 2π 4π 2 cos cos 5 t2 − 12t + 16 = (1.13) Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.2.1 vào (1.8) ta Mệnh đề 1.3.8 2π 4π Mệnh đề 1.3.9 tan2 , tan2 nghiệm phương trình 5 25 15 = (1.14) t2 − t + 16 256 = + tan2 α nên thay t t + vào (1.13) ta Chứng minh Vì cos2 α Mệnh đề 1.3.9 1.3.2 Các hệ thức liên qua đến giá trị lượng giác 2π 4π , 5 Từ phương trình tính chất nghiệm phương trình bậc hai ta 2π 4π suy nhiều hệ thức liên quan đến giá trị lượng giác góc , 5 Hệ thức 1.3.1 (Olympic Moskva, 1939, vòng 1) cos 2π 4π + cos =− 5 Chứng minh Xem chứng minh Mệnh đề 1.3.1 Hệ thức 1.3.2 cos 2π 4π cos =− 5 Chứng minh Xem chứng minh Mệnh đề 1.3.1 Hệ thức 1.3.3 cos2 2π 4π + cos2 = 5 15 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.3 vào (1.6) ta có Hệ thức 1.3.3 Chứng minh Áp dụngcơng thức hạ bậcvà Hệ thức 1.3.1 ta có 4π 2π 4π 8π + cos2 =1+ cos + cos cos2 2 5 4π 2π 1 =1+ cos + cos =1− = 5 2 1 Chứng minh Theo công thức Waring với σ1 = − , σ2 = − k = ta có 2 S2 = σ12 − 2σ2 = − = −2 − 4 Hệ thức 1.3.4 2π 4π cos3 + cos3 =− 5 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.4 vào (1.6) ta có Hệ thức 1.3.4 Chứng minh Theo cơng thức góc nhân ba Hệ thức 1.3.1 ta có 2π 4π 6π 12π 2π 4π cos3 + cos3 = cos + cos + cos + cos 5 5 5 2π 4π = cos + cos 5 =− 1 Chứng minh Theo công thức Waring với σ1 = − , σ2 = − k = ta có 1 1 S3 = 3σ1 σ1 − σ2 = − + =− 3 4 Nhận xét Một đẳng thức chứng minh theo nhiều cách khác Hệ thức 1.3.5 cos4 2π 4π + cos4 = 5 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.5 vào (1.6) ta có Hệ thức 1.3.5 Hệ thức 1.3.6 1 + = 2π 4π cos cos 5 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.6 vào (1.6) ta có Hệ thức 1.3.6 Hệ thức 1.3.7 2π cos2 + 4π cos2 = 12 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.7 vào (1.6) ta có Hệ thức 1.3.7 Hệ thức 1.3.8 cos3 2π + cos3 4π = 32 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.8 vào (1.6) ta có Hệ thức 1.3.8 Hệ thức 1.3.9 2π cos4 + cos4 4π = 112 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.9 vào (1.6) ta có Hệ thức 1.3.9 Hệ thức 1.3.10 cos6 2π 4π + cos6 = 5 32 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.4 vào (1.8) ta có Hệ thức 1.3.10 Hệ thức 1.3.11 cos8 2π 4π 47 + cos8 = 5 256 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.5 vào (1.8) ta có Hệ thức 1.3.11 Hệ thức 1.3.12 cos6 2π + cos6 4π = 1152 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.8 vào (1.8) ta có Hệ thức 1.3.12 Hệ thức 1.3.13 cos8 2π + cos8 4π = 12032 17 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.9 vào (1.8) ta có Hệ thức 1.3.13 Hệ thức 1.3.14 4π 19 2π + cos9 =− 5 128 cos9 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.4 vào (1.9) ta có Hệ thức 1.3.14 Hệ thức 1.3.15 161 2π 4π + cos12 = 5 2048 cos12 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.5 vào (1.9) ta có Hệ thức 1.3.15 Hệ thức 1.3.16 cos9 + 2π cos9 4π = 38912 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.8 vào (1.9) ta có Hệ thức 1.3.16 Hệ thức 1.3.17 cos12 2π + cos12 4π = 1318912 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.9 vào (1.9) ta có Hệ thức 1.3.17 Hệ thức 1.3.18 cos16 2207 4π 2π + cos16 = 5 65536 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.5 vào (1.10) ta có Hệ thức 1.3.18 Hệ thức 1.3.19 cos16 2π + cos16 4π = 144637952 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.9 vào (1.10) ta có Hệ thức 1.3.19 Hệ thức 1.3.20 sin2 2π 4π + sin2 = 5 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.1 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.20 Hệ thức 1.3.21 sin2 2π 4π sin = 5 16 18 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.2 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.21 Hệ thức 1.3.22 4π 15 2π + sin4 = 5 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.3 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.22 sin4 Hệ thức 1.3.23 4π 25 2π + sin6 = 5 32 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.4 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.23 sin6 Hệ thức 1.3.24 175 2π 4π + sin8 = 5 256 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.5 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.24 sin8 Hệ thức 1.3.25 + 2π sin = 4π sin Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.6 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.25 Hệ thức 1.3.26 sin4 2π + sin4 4π = 48 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.7 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.26 Hệ thức 1.3.27 sin6 2π + sin6 4π = 128 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.8 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.27 Hệ thức 1.3.28 sin8 2π + sin8 4π = 1792 25 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.9 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.28 Hệ thức 1.3.29 sin12 2π 4π 1125 + sin12 = 5 2048 19 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.4 vào (1.12) ta có Hệ thức 1.3.29 Hệ thức 1.3.30 sin12 2π + sin12 4π = 73728 125 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.8 vào (1.12) ta có Hệ thức 1.3.30 Hệ thức 1.3.31 2π 4π + tan2 = 10 5 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.1 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.31 tan2 Hệ thức 1.3.32 4π 2π tan2 = 5 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.2 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.32 tan2 Hệ thức 1.3.33 2π 4π + tan4 = 90 5 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.3 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.33 tan4 Hệ thức 1.3.34 2π 4π + tan6 = 850 5 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.4 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.34 tan6 Hệ thức 1.3.35 2π 4π + tan8 = 8050 5 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.5 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.35 tan8 Hệ thức 1.3.36 cot2 2π 4π + cot2 = 5 2π tan + 4π tan = 2 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.6 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.36 Hệ thức 1.3.37 cot4 2π 4π + cot4 = 5 tan4 2π + tan4 4π = 18 20 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.7 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.37 Hệ thức 1.3.38 4π 2π + cot6 = 5 cot6 tan6 2π + tan6 4π = 34 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.8 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.38 Hệ thức 1.3.39 cot8 2π 4π + cot8 = 5 tan8 2π + tan8 4π = 322 25 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.9 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.39 1.4 Phương trình bậc hai liên quan đến giá trị π lượng giác góc 12 1.4.1 Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác góc π 12 Mệnh đề 1.4.1 cos π π , sin nghiệm phương trình 12 12 √ t − t + = (1.15) Chứng minh Sử dụng cơng thức góc nhân đơi đẳng thức, ta có π π π • sin cos = sin = 12π 12 π 22 π π π π • sin + cos = sin + sin cos + cos2 = 12 12 12 12 12 12 √ π π ⇔ sin + cos = 12 12 π π Theo định lí Viète đảo, sin , cos nghiệm phương trình (1.15) 12 12 1 Mệnh đề 1.4.2 π , π nghiệm phương trình sin cos 12 12 √ t2 − 6t + = (1.16) ... phương trình đại số để phát chứng minh hệ thức lượng giác Ngoài nhằm so sánh phương pháp phương trình đại số với phương pháp chứng minh thơng thường (nhờ biến đổi lượng giác) , số bài, luận văn trình. .. trình bày phương pháp phương trình đại số chứng minh hệ thức lượng giác Đối tượng, phạm vi nghiên cứu hệ thức lượng giác góc có liên quan đặc biệt 7 Mục tiêu luận văn Trình bày phương pháp phương. .. Anh Chương Phương pháp phương trình bậc hai chứng minh hệ thức lượng giác Chương trình bày số tính chất nghiệm phương trình bậc hai ứng dụng phát hiện, chứng minh hệ thức lượng giác 1.1 Các tính