ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ TUẤN LONG ĐỊNH LÝ WONG ROSAY CHO ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội Năm 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KH[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ TUẤN LONG ĐỊNH LÝ WONG-ROSAY CHO ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ TUẤN LONG ĐỊNH LÝ WONG-ROSAY CHO ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH RIÊNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Ninh Văn Thu Hà Nội - Năm 2019 Mục lục Lời cảm ơn Danh sách ký hiệu Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình 1.2 Ánh xạ chỉnh hình riêng 1.3 Miền giả lồi, dạng Levi 10 1.4 Một số kết bổ trợ 11 Chương Định lý Wong-Rosay cho ánh xạ chỉnh hình riêng 12 2.1 Phát biểu toán 12 2.2 Một số bổ đề bổ trợ 13 2.3 Chứng minh Định lý 2.1.1 14 2.4 Dãy lặp ánh xạ chỉnh hình riêng 19 Kết luận 23 Tài liệu tham khảo 24 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội với hướng dẫn bảo tận tình PGS TS Ninh Văn Thu Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn thầy Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô Khoa Toán - Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tham gia giảng dạy khóa cao học 2017 - 2019, có cơng lao dạy dỗ em suốt trình học tập Nhà trường Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên em để em hoàn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, ngày 23 tháng 11 năm 2019 Học viên Tạ Tuấn Long Danh sách ký hiệu Aut(Ω) Nhóm tự đẳng cấu miền Ω C k (Ω) Không gian hàm khả vi liên tục đến cấp k Tp bΩ Mặt phẳng tiếp tuyến với bΩ p TpC (bΩ) Không gian tiếp xúc phức với bΩ p Lρ (p) Dạng Levi bΩ p ~ (p) N Là vectơ pháp tuyến đơn vị bΩ p Bδ+ (p) dK Ω f k = f ◦ ◦ f ~ (p), bán kính δ Là "nửa" hình cầu tâm pδ = p + δ N Là giả khoảng cách Kobayashi Ω Là hợp thành k lần f Lời nói đầu Giả sử M đa tạp phức Nhóm tự đẳng cấu M (ký hiệu Aut(M )) tập hợp song chỉnh hình M với phép tốn hai ngơi phép hợp thành hai tự đẳng cấu Tôpô Aut(M ) tôpô hội tụ tập compact Định lý Riemann phát biểu miền đơn liên D mặt phẳng C khác C đẳng cấu (hay song chỉnh hình) với hình trịn đơn vị Tuy nhiên, kết khơng cịn trường hợp nhiều chiều Tức là, không tồn ánh xạ song chỉnh hình từ đa đĩa lên hình cầu Vấn đề quan trọng đưa với điều kiện để miền Cn (với n > 1) song chỉnh hình với hình cầu đơn vị Một kết tiếng nghiên cứu theo hướng hai nhà toán học B.Wong J.-P.Rosay nghiên cứu từ năm 70 kỷ trước Năm 1977, B Wong [6] sau năm 1979, J.-P.Rosay [7] chứng minh miền bị chặn Cn với biên giả lồi chặt có nhóm tự đẳng cấu khơng compact ln song chỉnh hình với hình cầu đơn vị Cn Định lý Wong-Rosay phát biểu sau: Giả sử Ω miền bị chặn Cn với biên trơn lớp C (fn ) dãy tự đẳng cấu từ Ω vào Giả sử quĩ đạo điểm Ω tác động dãy (fn ) hội tụ đến điểm biên giả lồi chặt Ω Khi đó, miền Ω song chỉnh hình với hình cầu đơn vị Cn Vì vậy, tiếp tục mạch nghiên cứu trên, chọn đề tài nghiên cứu “Định lý Wong-Rosay cho ánh xạ chỉnh hình riêng” để làm luận văn cao học Mục tiêu luận văn trình bày lại kết báo [2] Cụ thể, chứng minh ánh xạ chỉnh hình riêng miền bị chặn Ck mà dãy lặp hội tụ đến điểm biên giả lồi chặt song chỉnh hình với hình cầu đơn vị Ck Trong luận văn này, ngồi phần Lời nói đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, luận văn bao gồm hai chương Chương trình bày số khái niệm tính chất hàm chỉnh hình, ánh xạ chỉnh hình riêng, miền giả lồi, dạng Levi số kết bổ trợ Chương dành để trình bày chứng minh Định lý kiểu Wong-Rosay cho ánh xạ chỉnh hình riêng Hà Nội, ngày 23 tháng 11 năm 2019 Học viên Tạ Tuấn Long Chương Kiến thức chuẩn bị Giả sử Ω miền Cn ký hiệu Aut(Ω) nhóm ánh xạ song chỉnh hình Ω Ta nhắc lại kết cổ điển H Cartan Ω miền bị chặn Cn Aut(Ω) khơng compact tồn điểm x ∈ Ω, p ∈ ∂Ω dãy tự đẳng cấu ϕj ∈ Aut(Ω) cho ϕj (x) → p Trong trường hợp này, ta gọi điểm biên p điểm biên tụ quĩ đạo Năm 1977, B Wong [6] sau năm 1979, J.-P.Rosay [7] chứng minh miền bị chặn Cn với biên giả lồi chặt có nhóm tự đẳng cấu khơng compact ln song chỉnh hình với hình cầu đơn vị Cn Định lý (Wong-Rosay) Giả sử Ω miền bị chặn Cn với biên trơn lớp C (fn ) dãy tự đẳng cấu từ Ω vào Giả sử quĩ đạo điểm Ω tác động (fn ) hội tụ đến điểm biên giả lồi chặt Ω Khi đó, miền Ω song chỉnh hình với hình cầu đơn vị Cn 1.1 Hàm chỉnh hình Kí hiệu C trường số phức Cn = {(z1 , , zn )|zj ∈ C, j = 1, , n} Kí hiệu zj = xj + iyj , xj , yj ∈ R, j = 1, , n, ta viết Dj = ∂ ∂zj = 21 ( ∂x∂ j − i ∂y∂ j ) ∂ ∂ Dj = , ∂zj ∂z j ∂ ∂z j = 12 ( ∂x∂ j + i ∂y∂ j ) Hơn nữa, với j = 1, , n ta đặt dzj = dxj + idyj ; dz j = dxj − idyj Giả sử f : Ω ⊂ Cn → C hàm khả vi liên tục Khi đó, ta định nghĩa: n X ∂f ∂f = dzj ; ∂zj j=1 n X ∂f ∂f = dz j ∂z j j=1 Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω ⊂ Cn tập mở Cn Khi đó, hàm f : Ω → C gọi chỉnh hình Ω nếu: a) f ∈ C (Ω); b) f thỏa mãn phương trình Cauchy-Riemann ∂f = Ω Kí hiệu H(Ω) tập hợp tất hàm chỉnh hình miền Ω Ta nhắc lại ánh xạ F = (f1 , , fm ) : Ω → Cm (m ∈ N∗ ) gọi chỉnh hình fj : Ω → C chỉnh hình với j = 1, 2, , m Kí hiệu Aut(Ω) := {f : Ω → Ω song chỉnh hình} Ta nhắc lại Aut(Ω) nhóm với phép tốn hợp thành gọi nhóm tự đẳng cấu miền Ω Định lý 1.1.2 (Định lý hàm ngược) Giả sử Ω tập mở Cn F : Ω → Cn ánh xạ chỉnh hình Giả sử F (p) khả nghịch điểm p ∈ Ω (JF (z) 6= 0) Khi đó, tồn lân cận V p lân cận W F (p) cho ánh xạ F : V → W song chỉnh hình Chứng minh Theo giả thiết, ta có Ω tập mở Cn , F : Ω → Cn chỉnh hình F (p) khả nghịch điểm p ∈ Ω Vì F (p) khả nghịch Cn nên khả nghịch R2n Do đó, theo Định lý hàm ngược ánh xạ trơn miền R2n , tồn lân cận V p lân cận W F (p) F : V → W vi phơi Kí hiệu G = (g1 , , gn ) : W → V ánh xạ ngược F Bây giờ, ta chứng minh G = (g1 , , gn ) ánh xạ chỉnh hình Vì G ánh xạ ngược F nên ta có G(F (z)) = z, ∀z ∈ V Điều suy gi (F (z)) = zi , ≤ i ≤ n Lấy đạo hàm Dk theo Định lý hàm hợp (The chain rule), ta Dk gi (F (z)) = n X Dj gi (F (z)).Dk f j (z) = j=1 Ta kí hiệu cik = Pn j=1 (Dk fj (z))(D j gi (F (z))) Dk f j = Dk fj , ≤ i, k ≤ n Khi đó, ta có ma trận C = AB, với A = (akj ) = Dk fj (z) , B = (bji ) = Dj gi (F (z)) Mặt khác, JF (z) 6= nên A khả nghịch Do đó, điều suy B = Từ đó, Dj gi (F (z)) = 0, ∀j = 1, , n gi chỉnh hình Vậy, ánh xạ G chỉnh hình 1.2 Ánh xạ chỉnh hình riêng Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X, Y hai không gian tôpô Ánh xạ f : X → Y gọi riêng f −1 (K) compact X với tập compact K ⊂ Y Giả sử Ω Ω0 miền Cn Ck tương ứng Giả sử ánh xạ F : Ω → Ω0 chỉnh hình riêng Kí hiệu #(w) số điểm F −1 (w) với w = (w1 , , wk ) ∈ Ω0 Kí hiệu M tập không điểm hàm J, tức M = Z(J), J hàm Jacobi F Ảnh F (M ) M gọi tập tới hạn F Mỗi w ∈ F (M ) gọi giá trị tới hạn F Mỗi điểm F (Ω) \ F (M ) gọi giá trị qui F Mệnh đề 1.2.2 Nếu Ω Ω0 miền Cn F : Ω → Ω0 ánh xạ riêng a) F (Ω) = Ω0 b) Tập giá trị qui F tập mở, liên thông trù mật Ω0 Định lý 1.2.3 (Định lý Rado) Giả sử Ω ⊂ Cn f : Ω → C ánh xạ liên tục chỉnh hình Ω \ {f = 0} Khi đó, f chỉnh hình Ω ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ TUẤN LONG ĐỊNH LÝ WONG- ROSAY CHO ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH RIÊNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI... song chỉnh hình với hình cầu đơn vị Cn Vì vậy, tiếp tục mạch nghiên cứu trên, chọn đề tài nghiên cứu ? ?Định lý Wong- Rosay cho ánh xạ chỉnh hình riêng? ?? để làm luận văn cao học Mục tiêu luận văn. .. (F (z)) = 0, ∀j = 1, , n gi chỉnh hình Vậy, ánh xạ G chỉnh hình 1.2 Ánh xạ chỉnh hình riêng Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X, Y hai không gian tôpô Ánh xạ f : X → Y gọi riêng f −1 (K) compact X với