Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THỊ THẮM ĐỊNH LÝ TƯƠNG GIAO CANTOR TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THỊ THẮM ĐỊNH LÝ TƯƠNG GIAO CANTOR TRONG KHÔNG GIAN METRIC NĨN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THỊ THẮM ĐỊNH LÝ TƯƠNG GIAO CANTOR TRONG KHƠNG GIAN METRIC NĨN VÀ ỨNG DỤNG Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS BÙI THẾ HÙNG Thái Nguyên - 2018 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2018 Người viết luận văn Phan Thị Thắm Xác nhận trưởng khoa Toán Xác nhận người hướng dẫn khoa học TS Bùi Thế Hùng i Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Thế Hùng, người thầy tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Tốn tồn thể thầy giáo trường ĐHSP Thái Nguyên truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho ý kiến đóng góp quý báu suốt trình học tập thực luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả Phan Thị Thắm ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu 1 Khơng gian metric nón 1.1 Nón khơng gian Banach 1.2 Không gian metric nón hội tụ 1.3 Một số định lý điểm bất động 14 Định lý tương giao Cantor khơng gian metric nón ứng dụng 21 2.1 Khái niệm c-hội tụ không gian Banach 21 2.2 Định lý tương giao Cantor khơng gian metric nón 27 2.3 Ứng dụng 34 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 iii Một số ký hiệu viết tắt N∗ tập số tự nhiên khác không R tập số thực R+ tập số thực không âm R− tập số thực không dương {xn }n≥1 dãy số ∅ tập rỗng A := B A định nghĩa B A⊂B A tập B A 6⊂ B A không tập B A∪B hợp hai tập hợp A B A∩B giao hai tập hợp A B θ véctơ gốc không gian Banach E A\B hiệu hai tập hợp A B B tích Descartes hai tập hợp A B int A phần tôpô tập hợp A kết thúc chứng minh iv Mở đầu Năm 2007, Huang Zhang [10] lần đầu giới thiệu không gian metric nón cách thay tập số thực R định nghĩa metric thơng thường nón định hướng không gian Banach Định nghĩa: Giả sử X tập khác rỗng quan hệ thứ tự phận không gian Banach E sinh nón C xác định bởi: x, y ∈ E; x y y − x ∈ C Ánh xạ d : X × X → E gọi metric nón X (d1) θ d(x, y) với x, y ∈ X d(x, y) = θ x = y ; (d2) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X ; (d3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X Khi (X, d) gọi khơng gian metric nón Sau tác giả chứng minh số định lý điểm bất động ánh xạ co khơng gian với nón chuẩn tắc Năm 2008, Rezapour Hamlbarani [14] chứng minh lại kết Huang Zhang mà khơng cần tính chuẩn tắc nón Từ sau cơng trình có nhiều báo viết vấn đề liên quan đến khơng gian Ngồi việc nghiên cứu Ngun lý điểm bất động ánh xạ co Banach mở rộng chúng cho khơng gian metric nón, người ta quan tâm đến vấn đề sau lớp không gian này: Nguyên lý thác triển liên tục, Nguyên lý tương giao Cantor, Nguyên lý Baire phạm trù, bổ sung đủ số tính chất tơpơ khơng gian metric nón Năm 2011 tác giả Alnafei, Radenovic Shahzad [2] chứng minh Định lý tương giao Cantor không gian metric nón với nón đa diện có phần khác rỗng khơng gian Banach Sau đó, năm 2016 phương pháp hội tụ theo nón dãy, Jachymski Klima [12] chứng minh Định lý tương giao Cantor khơng gian metric nón mà khơng cần tính đa diện nón Mục đích luận văn giới thiệu lại số kết nghiên cứu tác giả Jachymski Klima [12] định lý tương giao Cantor khơng gian metric nón phương pháp hội tụ theo nón dãy ứng dụng vào định lý điểm bất động Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương chúng tơi trình bày số vấn đề nón, khơng gian metric nón, hội tụ khơng gian metric nón tính chất lớp khơng gian Ngồi ra, chương chúng tơi trình bày ngun lý điểm bất động ánh xạ co không gian metric nón giả thiết tính chuẩn tắc khơng chuẩn tắc nón K Chương dành cho việc trình bày khái niệm c- hội tụ đều, hội tụ theo nón dãy khơng gian metric nón mối quan hệ hội tụ theo nghĩa Huang- Zhang hội tụ theo nón dãy Nội dung chương trình bày định lý tương giao Cantor khơng gian metric nón ứng dụng vào định lý điểm bất động ánh xạ co suy rộng với số co tốn tử tuyến tính dương với bán kính phổ nhỏ Chương Khơng gian metric nón Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết nón khơng gian Banach, khơng gian metric nón hội tụ khơng gian metric nón Ngồi ra, chúng tơi cịn trình bày cách chi tiết định lý điểm bất động ánh xạ co không gian metric nón giả thiết nón chuẩn tắc nón khơng chuẩn tắc Một số ví dụ tính tốn mơ tả cho kết trình bày Các khái niệm kết chương chúng tơi trình bày dựa hai báo [10] [14] 1.1 Nón khơng gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Cho X khơng gian tuyến tính trường K với điểm gốc θ Hàm k.k : X → R gọi chuẩn X (i) kxk ≥ với x ∈ X kxk = ⇔ x = θ (ii) kλxk = |λ|kxk với x ∈ X λ ∈ K (iii) kx + yk ≤ kxk + kyk với x, y ∈ X Khi cặp (X, k.k) gọi khơng gian định chuẩn Nhận xét Mọi không gian định chuẩn không gian metric với khoảng cách d(x, y) = kx − yk Khoảng cách xác định gọi khoảng cách sinh chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Không gian định chuẩn X đầy đủ khoảng cách sinh chuẩn gọi không gian Banach Định nghĩa 1.1.3 Giả sử E không gian Banach Tập K E gọi nón (i) K tập khác rỗng, đóng K 6= {θ} (ii) ax + by ∈ K với x, y ∈ K a, b ≥ (iii) K ∩ (−K) = {θ} Ví dụ 1.1.4 Giả sử E := R2 Đặt K := {(x, y) ∈ E : x ≥ 0, y ≥ 0} Khi K nón E Định nghĩa 1.1.5 Giả sử nón K ⊂ E với phần khác rỗng, ta định nghĩa quan hệ thứ tự phận E sinh nón K sau x, y ∈ E : x y y − x ∈ K Nếu x y x 6= y ta viết x ≺ y Nếu y − x ∈ int K ta viết x y Đơi ta viết y x, y x y x thay cho x y, x ≺ y x y Tập A ⊂ E gọi bị chặn tồn y ∈ E cho x y với x ∈ A Tập A ⊂ E gọi bị chặn tồn z ∈ E cho z x với x ∈ A Một véctơ a gọi cận tập A (i) a chặn A, tức x a với x ∈ A (ii) a chặn nhỏ A, tức tồn b ∈ E cho x b với x ∈ A a b Ta kí hiệu cận tập A sup A Định nghĩa 1.1.6 Cho K nón khơng gian Banach E Ta nói (i) K chuẩn tắc tồn số Λ > cho θ x y kéo theo kxk ≤ Λkyk ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THỊ THẮM ĐỊNH LÝ TƯƠNG GIAO CANTOR TRONG KHÔNG GIAN METRIC NĨN VÀ ỨNG DỤNG Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người... Định lý tương giao Cantor khơng gian metric nón mà khơng cần tính đa diện nón Mục đích luận văn giới thiệu lại số kết nghiên cứu tác giả Jachymski Klima [12] định lý tương giao Cantor không gian. .. Khơng gian metric nón 1.1 Nón khơng gian Banach 1.2 Khơng gian metric nón hội tụ 1.3 Một số định lý điểm bất động 14 Định lý tương giao Cantor không gian