TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ NGUYỄN THỊ THU THỦY BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG HÀ NỘI 01/2020 MỤC LỤC Chương 1 Sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác s[.]
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ NGUYỄN THỊ THU THỦY BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG HÀ NỘI - 01/2020 MỤC LỤC Chương Sự kiện ngẫu nhiên phép tính xác suất 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Sự kiện Quan hệ kiện 1.1.1 Phép thử Sự kiện 1.1.2 Phân loại kiện 1.1.3 Quan hệ kiện Giải tích kết hợp 11 1.2.1 Quy tắc cộng Quy tắc nhân 11 1.2.2 Chỉnh hợp 12 1.2.3 Chỉnh hợp lặp 12 1.2.4 Hoán vị 12 1.2.5 Tổ hợp 13 Khái niệm định nghĩa xác suất 13 1.3.1 Khái niệm xác suất 13 1.3.2 Định nghĩa cổ điển xác suất 14 1.3.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học 16 1.3.4 Định nghĩa thống kê xác suất 18 1.3.5 Nguyên lý xác suất nhỏ, nguyên lý xác suất lớn 19 Công thức cộng nhân xác suất 20 1.4.1 Xác suất có điều kiện 20 1.4.2 Công thức nhân xác suất 20 1.4.3 Công thức cộng xác suất 23 Công thức Béc–nu–li 27 1.5.1 Dãy phép thử độc lập 27 1.5.2 Lược đồ Béc–nu–li 27 1.5.3 Công thức Béc–nu–li 27 1.5.4 Số có khả lược đồ Béc–nu–li 29 1.5.5 Công thức xấp xỉ 30 Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bay–ét 31 1.6.1 Công thức xác suất đầy đủ 31 1.6.2 Công thức Bay–ét 32 MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy Chương Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất 2.1 2.2 2.3 2.4 Định nghĩa phân loại biến ngẫu nhiên 36 2.1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên 36 2.1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên 37 Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên 37 2.2.1 Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc 37 2.2.2 Hàm phân phối xác suất 39 2.2.3 Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục 42 Các tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên 44 2.3.1 Kỳ vọng 44 2.3.2 Phương sai 49 2.3.3 Độ lệch chuẩn 51 2.3.4 Một số đặc trưng khác 51 Một số phân phối xác suất thông dụng 52 2.4.1 Phân phối 52 2.4.2 Phân phối nhị thức 55 2.4.3 Phân phối Poa–xông 56 2.4.4 Phân phối chuẩn 59 2.4.5 Phân phối bình phương 66 2.4.6 Phân phối Student 67 Chương Biến ngẫu nhiên nhiều chiều 3.1 36 69 Khái niệm phân loại biến ngẫu nhiên nhiều chiều 69 3.1.1 Khái niệm 69 3.1.2 Phân loại 69 Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc 69 3.2.1 Bảng phân phối xác suất đồng thời 69 3.2.2 Bảng phân phối xác suất thành phần (biên) 71 3.2.3 Phân phối có điều kiện 73 Hàm phân phối xác suất 74 3.3.1 Hàm phân phối xác suất đồng thời 74 3.3.2 Hàm phân phối xác suất thành phần (biên) 75 Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục 75 3.4.1 Hàm mật độ xác suất đồng thời 75 3.4.2 Hàm mật độ xác suất biên 77 3.4.3 Hàm mật độ xác suất có điều kiện 78 3.5 Tính độc lập biến ngẫu nhiên 79 3.6 Đặc trưng biến ngẫu nhiên hai chiều 79 3.6.1 79 3.2 3.3 3.4 MỤC LỤC Kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên thành phần MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy 3.6.2 Hiệp phương sai 80 3.6.3 Hệ số tương quan 82 3.7 Hàm hai biến ngẫu nhiên 83 3.8 Luật số lớn định lý giới hạn trung tâm 85 3.8.1 Luật số lớn 85 3.8.2 Định lý giới hạn trung tâm 87 Chương Thống kê Ước lượng tham số 4.1 4.2 4.3 Lý thuyết mẫu 88 4.1.1 Tổng thể mẫu 88 4.1.2 Mẫu ngẫu nhiên 90 4.1.3 Mô tả giá trị mẫu ngẫu nhiên 91 4.1.4 Đại lượng thống kê đặc trưng mẫu ngẫu nhiên 92 4.1.5 Cách tính giá trị cụ thể trung bình mẫu phương sai mẫu 94 4.1.6 Phân phối xác suất thống kê trung bình mẫu, phương sai mẫu, tần suất mẫu ngẫu nhiên 98 Ước điểm cho kỳ vọng, phương sai tỷ lệ 99 4.2.1 Ước lượng điểm 99 4.2.2 Các tiêu chuẩn lựa chọn hàm ước lượng 99 4.2.3 Ước lượng điểm cho kỳ vọng, phương sai xác suất 100 4.2.4 Một số phương pháp tìm ước lượng điểm 100 Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy 101 4.3.1 Khoảng tin cậy kỳ vọng biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn 101 4.3.2 Ước lượng khoảng cho tỷ lệ 106 Chương Kiểm định giả thuyết 5.1 5.2 5.3 5.4 88 109 Các khái niệm 109 5.1.1 Giả thuyết thống kê 109 5.1.2 Tiêu chuẩn kiểm định Mức ý nghĩa Miền bác bỏ 110 5.1.3 Sai lầm loại Sai lầm loại 111 Kiểm định giả thuyết kỳ vọng biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 112 5.2.1 Trường hợp biết phương sai 112 5.2.2 Trường hợp chưa biết phương sai, cỡ mẫu n < 30 114 5.2.3 Trường hợp chưa biết phương sai, cỡ mẫu n ≥ 30 115 Kiểm định giả thuyết tỷ lệ 117 5.3.1 Bài toán 117 5.3.2 Các bước tiến hành 117 So sánh hai kỳ vọng hai biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn 119 5.4.1 MỤC LỤC Trường hợp phương sai σ12 , σ22 biết 119 MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG 5.5 5.4.2 Trường hợp phương sai σ12 , σ22 chưa biết, cỡ mẫu n1 < 30, n2 < 30 120 5.4.3 Trường hợp phương sai σ12 , σ22 chưa biết, cỡ mẫu n1 ≥ 30, n2 ≥ 30 122 So sánh hai tỷ lệ 124 5.5.1 Bài toán 124 5.5.2 Các bước tiến hành 124 Chương Phụ lục bảng số 6.1 6.2 Nguyễn Thị Thu Thủy 127 Phụ lục bảng số 127 6.1.1 Phụ lục 1: Giá trị hàm Gao-xơ 127 6.1.2 Phụ lục 2: Giá trị hàm Láp-la-xơ 127 6.1.3 Phụ lục 3: Giá trị hàm phân phối chuẩn tắc 127 6.1.4 Phụ lục 4: Giá trị phân phối Student 127 6.1.5 Phụ lục 5: Giá trị hàm khối lượng xác suất Poa-xông 127 Hướng dẫn sử dụng bảng số 134 6.2.1 Bảng giá trị hàm Gao-xơ (Phụ lục 1) 134 6.2.2 Bảng giá trị hàm Láp-la-xơ (Phụ lục 2) 134 6.2.3 Bảng giá trị hàm phân phối chuẩn tắc (Phụ lục 3) 134 6.2.4 Bảng giá trị t1n−α phân phối Student (Phụ lục 4) 134 MỤC LỤC Lời nói đầu Lý thuyết xác suất thống kê tốn học ngành khoa học giữ vị trí quan trọng lĩnh vực ứng dụng rộng rãi phong phú đời sống người Cùng với phát triển mạnh mẽ khoa học công nghệ, nhu cầu hiểu biết sử dụng công cụ ngẫu nhiên phân tích xử lý thơng tin ngày trở nên đặc biệt cần thiết Các kiến thức phương pháp xác suất thống kê hỗ trợ hữu hiệu nhà nghiên cứu nhiều lĩnh vực khoa học khác vật lý, hóa học, sinh học, nơng học, kinh tế học, xã hội học, ngơn ngữ học Do "Xác suất thống kê" học phần cần thiết cho sinh viên bậc đại học Bài giảng học phần "Xác suất thống kê", mã học phần MI2020 biên soạn theo Đề cương chi tiết với khối lượng 30 tiết lý thuyết, 30 tiết tập dành cho sinh viên hệ đại học quy (khơng phải chun ngành Toán Tin) Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Mục tiêu học phần: Cung cấp cho sinh viên kiến thức xác suất khái niệm quy tắc suy diễn xác suất biến ngẫu nhiên phân phối xác suất thông dụng (một hai chiều); khái niệm thống kê toán học nhằm giúp sinh viên biết cách xử lý toán thống kê ước lượng, kiểm định giả thuyết Trên sở sinh viên có phương pháp tiếp cận với mơ hình thực tế có kiến thức cần thiết để đưa lời giải cho tốn Nội dung vắn tắt học phần: Sự kiện ngẫu nhiên phép tính xác suất, đại lượng ngẫu nhiên, phân phối xác suất, véc tơ ngẫu nhiên, lý thuyết ước lượng thống kê, lý thuyết định thống kê Chương Sự kiện ngẫu nhiên phép tính xác suất Các tượng tự nhiên hay xã hội xảy cách ngẫu nhiên (không biết trước kết quả) tất định (biết trước kết xảy ra) Chẳng hạn vật nặng thả từ cao chắn rơi xuống đất, điều kiện bình thường nước sơi 100∘ C Đó tượng diễn có tính quy luật, tất nhiên Trái lại, tung đồng xu ta xuất mặt sấp hay mặt ngửa; ta khơng thể biết trước có gọi đến tổng đài; có khách hàng đến điểm phục vụ khoảng thời gian đó; ta khơng thể xác định trước số chứng khốn thị trường chứng khốn Đó tượng ngẫu nhiên Tuy nhiên, tiến hành quan sát nhiều lần tượng ngẫu nhiên hồn cảnh nhau, nhiều trường hợp ta rút kết luận có tính quy luật tượng Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật tượng ngẫu nhiên Việc nắm bắt quy luật cho phép dự báo tượng ngẫu nhiên xảy Chính phương pháp lý thuyết xác suất ứng dụng rộng rãi việc giải toán thuộc nhiều lĩnh vực khác khoa học tự nhiên, kỹ thuật kinh tế–xã hội 1.1 1.1.1 Sự kiện Quan hệ kiện Phép thử Sự kiện Định nghĩa 1.1 (Phép thử Sự kiện) (a) Việc thực nhóm điều kiện để quan sát tượng gọi phép thử (experiment) (b) Hiện tượng, kết xét phép thử gọi kiện hay biến cố (event) (c) Sự kiện sơ cấp hay kết cục phép thử kết mà ta không chia nhỏ được, ký hiệu ω (d) Sự kiện phức hợp kiện phân tích thành kiện nhỏ MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy (e) Tập hợp tất kết cục phép thử tạo thành không gian kiện sơ cấp, ký hiệu Ω = ωi , i ∈ I , Ví dụ 1.1 I tập số (a) Gieo xúc xắc (cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng) phép thử Xúc xắc xuất mặt 1, 2, 3, 4, 5, chấm kiện (b) Gieo đồng xu (cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng) phép thử Đồng xu xuất mặt sấp, mặt ngửa kiện Ví dụ 1.2 Gieo xúc xắc, (a) Sự kiện Ai "xuất mặt i chấm", i = 1, , kiện sơ cấp (b) Sự kiện A "xuất mặt chấm chẵn" kiện phức hợp phân tích thành kiện "xuất mặt 2, 4, chấm" Ví dụ 1.3 (a) Phép thử gieo đồng xu (cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng) có khơng gian kiện sơ cấp Ω = {S, N } (b) Phép thử gieo đồng thời hai đồng xu (cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng) có khơng gian kiện sơ cấp Ω = {SS, SN, NS, NN } Chú ý 1.1 (a) Chú ý chất kiện sơ cấp khơng có vai trị đặc biệt lý thuyết xác suất Chẳng hạn mã hóa kết xem khơng gian kiện sơ cấp phép thử tung đồng xu Ω = {0, 1}, kiện sơ cấp mặt sấp xuất để mặt ngửa xuất (b) Mỗi kết cục ω phép thử 𝒞 gọi kết cục thuận lợi cho kiện A A xảy kết cục phép thử 𝒞 ω Ví dụ 1.4 Nếu gọi kiện A "xuất mặt chấm chẵn" phép thử gieo xúc xắc A có kết cục thuận lợi 2, 4, 1.1.2 Phân loại kiện Có loại kiện (a) Sự kiện chắn kiện định xảy thực phép thử Ký hiệu U Ω S (b) Sự kiện khơng thể có kiện định không xảy thực phép thử Ký hiệu V ∅ (c) Sự kiện ngẫu nhiên kiện xảy ra, không xảy thực phép thử Ký hiệu A, B, C, A1 , A2 1.1 Sự kiện Quan hệ kiện MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy Ví dụ 1.5 Gieo xúc xắc, (a) Sự kiện S “xuất mặt có số chấm ≤ ≥ 1” kiện chắn (b) Sự kiện ∅ “xuất mặt chấm” kiện (c) Sự kiện A “xuất mặt chấm chẵn” kiện ngẫu nhiên 1.1.3 Quan hệ kiện Một cách tương ứng với phép toán tập hợp, lý thuyết xác suất người ta xét quan hệ sau cho kiện phép thử (a) Quan hệ kéo theo: Sự kiện A kéo theo kiện B, ký hiệu A ⊂ B, A xảy B xảy Nếu A ⊂ B B ⊂ A ta nói hai kiện A B trùng nhau, viết A = B (b) Tổng kiện: Sự kiện A gọi tổng kiện A1 , A2 , , An A xảy kiện Ai xảy ra, i = 1, 2, , n Viết là: A = A1 + A2 + · · · + A n A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ A n Hình 1.1: Sơ đồ Venn A ∪ B A ∩ B (c) Tích kiện: Sự kiện B gọi tích kiện A1 , A2 , , An B xảy tất kiện Ai xảy ra, i = 1, 2, , n Viết là: B = A1 A2 A n B = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ A n 1.1 Sự kiện Quan hệ kiện MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy Hình 1.2: Hai kiện xung khắc (d) Sự kiện xung khắc: Hai kiện A B gọi xung khắc với chúng không đồng thời xảy phép thử Như vậy, A B xung khắc A ∩ B = ∅ (e) Sự kiện đối lập: Sự kiện không xảy kiện A gọi kiện đối lập A, ký hiệu A Ac Như A A thỏa mãn tính chất: A ∪ A = S A ∩ A = ∅ Hình 1.3: Sự kiện đối lập (f) Hiệu hai kiện: Hiệu kiện A B, ký hiệu A − B, kiện xảy A xảy B không xảy Trường hợp hay sử dụng kiện hiệu: A = S − A, A = S − A Trường hợp tổng quát, ta biến đổi thành kiện tích sau: A − B = A ∩ B (g) Hệ (nhóm) đầy đủ kiện: Hệ (nhóm) n kiện A1 , A2 , , An gọi hệ (nhóm) đầy đủ kiện định phải xảy kiện sau phép thử Như hệ { A1 , A2 , , An } hệ đầy đủ A ∩ A = ∅, i ̸= j, i j A ∪ A ∪ · · · ∪ A = S 1.1 Sự kiện Quan hệ kiện n MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy Nhận xét 1.1 Các kiện phép thử với phép tốn tổng, tích lấy kiện đối tạo thành đại số Boole, phép tốn có tính chất phép tốn hợp, giao, lấy phần bù tập không gian kiện sơ cấp Chẳng hạn A ∩ ∅ = ∅ ∅ = S A ∪ ∅ = A ( A) = A A ∩ A = ∅ ( A ∩ B) = A ∪ B A ∪ A = S ( A ∪ B) = A ∩ B S = ∅ 10 11 A ∪ B = A ∩ B; A ∩ B = A ∪ B A = A ∩ ( B ∪ B ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ) Chú ý 1.2 (a) Mọi kiện ngẫu nhiên biểu diễn dạng tổng số kiện sơ cấp Sự kiện chắn S tổng kiện sơ cấp Do S cịn gọi khơng gian s kin s cp ả â (b) i vi kiện A ta có hệ đầy đủ A, A ả â i vi hai s kin A B, hệ đầy đủ A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B Tính chất 1.1 (a) A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A (giao hoán) (b) A ∪ B ∪ C = ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ), A ∩ B ∩ C = ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) (kết hợp) (c) A ∩ ( B ∪ C ) = A ∩ B ∪ A ∩ C (phân phối phép cộng phép nhân) Đặc biệt A + A = A; AA = A; A + S = S; AS = A; A + ∅ = A; A∅ = ∅ Ví dụ 1.6 (a) Một mạng điện gồm ba bóng đèn mắc nối tiếp Gọi Ai kiện “bóng đèn thứ i bị cháy”, i = 1, 2, Gọi A kiện “mạng điện” Ta thấy mạng bị điện ba bóng bị cháy Vậy A = A1 + A2 + A3 (b) Một mạng điện gồm ba bóng đèn mắc song song Gọi Bi kiện “bóng đèn thứ i bị cháy”, i = 1, 2, Gọi B kiện “mạng điện” Ta thấy mạng bị điện ba bóng bị cháy Vậy B = B1 B2 B3 (c) Một nhà máy có ba phân xưởng sản xuất loại sản phẩm Giả sử sản phẩm nhà máy ba phân xưởng sản xuất Chọn ngẫu nhiên sản phẩm, gọi Ci kiện "sản phẩm chọn phân xưởng thứ i sản xuất", i = 1, 2, Khi hệ ba kiện {C1 , C2 , C3 } hệ đầy đủ Ví dụ 1.7 Ba xạ thủ A, B, C người bắn viên đạn vào mục tiêu Gọi A1 , A2 , A3 kiện "A, B, C bắn trúng mục tiêu" 1.1 Sự kiện Quan hệ kiện 10 MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy (a) Hãy mô tả kiện A1 A2 A3 , A1 A2 A3 , A1 + A2 + A3 (b) Biểu diễn kiện sau theo A1 , A2 , A3 : A: Có hai xạ thủ bắn trúng; B: Có nhiều xạ thủ bắn trúng; C: Chỉ có xạ thủ A bắn trúng; D: Chỉ có xạ thủ bắn trúng (c) Các kiện A1 , A2 , A3 có xung khắc không? Lời giải: (a) A1 A2 A3 : "cả ba xạ thủ bắn trúng"; A1 A2 A3 : "cả ba xạ thủ bắn trượt"; A1 + A2 + A3 : "có xạ thủ bắn trúng" (b) A = A1 A2 + A1 A3 + A2 A3 ; B = A1 A2 + A1 A3 + A2 A3 ; C = A1 A2 A3 ; D = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 (c) Các kiện A1 , A2 , A3 khơng xung khắc ba xạ thủ bắn trúng mục tiêu 1.2 1.2.1 Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc nhân 1.2.1a Quy tắc cộng Định nghĩa 1.2 (Quy tắc cộng) Nếu công việc chia thành k trường hợp để thực hiện, trường hợp có n1 cách thực xong cơng việc, trường hợp hai có n2 cách thực xong công việc, , trường hợp k có nk cách thực xong cơng việc khơng có cách thực trường hợp lại trùng với cách thực trường hợp khác Khi ta có n = n1 + n2 + · · · + nk cách thực công việc 1.2.1b Quy tắc nhân Định nghĩa 1.3 (Quy tắc nhân) Giả sử cơng việc chia thành k giai đoạn Có n1 cách thực giai đoạn thứ nhất, n2 cách thực giai đoạn thứ hai, , nk cách thực giai đoạn thứ k Khi ta có n = n1 n2 nk cách thực công việc 1.2 Giải tích kết hợp 11 MI2020 – KỲ 20192 – TĨM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy Ví dụ 1.8 Giả sử để từ A đến C qua B, có đường khác trực tiếp từ A đến C, có đường khác để từ A đến B có đường khác để từ B đến C Hỏi có cách từ A đến C? Lời giải: Đi từ A đến C có lựa chọn: Đi trực tiếp từ A đến C: có n1 = cách; gián tiếp từ A đến C thơng qua B: có n2 = × = (cách) Tổng số cách từ A đến C n = n1 + n2 = + = (cách) 1.2.2 Chỉnh hợp Định nghĩa 1.4 (Chỉnh hợp) Chỉnh hợp chập k n phần tử nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác lấy từ n phần tử cho (k ≤ n) Ký hiệu cơng thức tính: Akn = n! = n ( n − 1) ( n − k + 1) (n − k)! (1.1) Ví dụ 1.9 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số khác nhau? Lời giải: Số số lập A35 = × × = 60 (số) 1.2.3 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 1.5 (Chỉnh hợp lặp) Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử nhóm có thứ tự gồm k phần tử giống lấy từ n phần tử cho Ký hiệu cơng thức tính: k An = nk (1.2) Ví dụ 1.10 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số? Lời giải: Chọn chữ số từ chữ số có thứ tự lặp lại Số số lập A5 = 53 = 125 (số) 1.2.4 Hoán vị Định nghĩa 1.6 (Hoán vị) Hoán vị n phần tử nhóm có thứ tự gồm đủ mặt n phần tử cho Nói cách khác, hốn vị chỉnh hợp chập n n phần tử Ký hiệu cơng thức tính: Pn = Ann = n! (1.3) Ví dụ 1.11 Có người khách cần xếp vào ghế bàn tròn chỗ 1.2 Giải tích kết hợp 12 MI2020 – KỲ 20192 – TĨM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy (a) Nếu có quan tâm đến khung cảnh xung quanh có cách xếp? (b) Nếu quan tâm đến người ngồi xung quanh có cách? Lời giải: (a) P6 = 6! = 720 (cách); (b) P5 = 5! = 120 (cách) 1.2.5 Tổ hợp Định nghĩa 1.7 (Tổ hợp) Tổ hợp chập k n phần tử nhóm khơng phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác lấy từ n phần tử cho (k ≤ n) Ký hiệu cơng thức tính: Cnk = n! k!(n − k )! (1.4) Ví dụ 1.12 Mỗi đề thi gồm câu hỏi lấy 25 câu hỏi cho trước Hỏi lập đề thi có nội dung khác nhau? = Lời giải: Số đề thi lập nên C25 Chú ý 1.3 25 × 24 × 23 = 2300 (đề) 3! (a) Qui ước 0! = (b) Cnk = Cnn−k k (c) Cnk = Cnk− −1 + Cn−1 (d) Khai triển nhị thức Niu–tơn (a, b ∈ R, n ∈ N* ) ( a + b)n = n ∑ Cnk an−k bk = Cn0 an + Cn1 an−1 b + · · · + Cnn−1 abn−1 + Cnn bn k =0 1.3 1.3.1 Khái niệm định nghĩa xác suất Khái niệm xác suất Mọi kiện ngẫu nhiên giống chỗ chúng không chắn, khả xảy kiện lại khác Để đặc trưng cho khả xảy (xuất hiện) kiện người ta dùng số, kiện có khả xảy nhiều đặc trưng số lớn Con số đặc trưng cho khả xuất kiện gọi xác suất kiện Định nghĩa 1.8 (Xác suất) Xác suất (probability) kiện A số nằm 1, số đo lường khả xuất kiện phép thử thực Ký hiệu P( A) 1.3 Khái niệm định nghĩa xác suất 13 MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG 1.3.2 Nguyễn Thị Thu Thủy Định nghĩa cổ điển xác suất Định nghĩa 1.9 (Định nghĩa cổ điển xác suất) Giả sử phép thử có n kết cục đồng khả xảy ra, có m kết cục thuận lợi cho kiện A Khi đó, P( A) = m số kết cục thuận lợi cho A = n tổng số kết cục (1.5) Từ định nghĩa ta suy tính chất sau xác suất Tính chất 1.2 (a) ≤ P( A) ≤ 1, A kiện (b) P(S) = (c) P(∅) = (d) Nếu A ⊂ B P( A) ≤ P( B) Ví dụ 1.13 Một người gọi điện thoại quên số cuối số điện thoại cần gọi mà nhớ chúng khác Tìm xác suất để người chọn ngẫu nhiên số để gọi số cần gọi Lời giải: Gọi A kiện "chọn ngẫu nhiên số để gọi số cần gọi" Số kết cục đồng khả n = A210 Số kết cục thuận lợi cho A m = Vậy P( A) = m = n 90 Ví dụ 1.14 Từ tú-lơ-khơ 52 trộn kỹ rút ngẫu nhiên Tính xác suất xảy kiện sau: (a) Hai rút Át (b) Hai rút có Át, K = 1326 Lời giải: Số kết cục đồng khả n = C52 (a) Số kết cục thuận lợi cho kiện A "hai rút Át" m A = C42 Vậy P( A) = C2 mA = = n 1326 221 (b) Số kết cục thuận lợi cho kiện B "hai rút có Át, K" C41 × C41 mB 1 m B = C4 × C4 , suy P( B) = = = n 1326 663 1.3 Khái niệm định nghĩa xác suất 14 MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy Ví dụ 1.15 Một đồn tàu có toa đánh số I, II, III, IV đỗ sân ga Có hành khách từ sân ga lên tàu Mỗi người độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để: (a) toa I có người, toa II có người toa III có người; (b) toa có người, toa người, toa có người; (c) toa có người Lời giải: Số trường hợp đồng khả có n = 46 = 4096 (a) Số trường hợp thuận lợi cho kiện A "toa I có người, toa II có người toa III có 60 người" C63 × C32 × C11 = 60, suy P( A) = ≃ 0, 0146 4096 (b) Số trường hợp thuận lợi cho kiện B "một toa có người, toa người, toa có 1440 người" C63 × × C32 × × C11 × = 1440, suy P( B) = ≃ 0, 3516 4096 (b) Gọi C kiện "mỗi toa có người" Số trường hợp thuận lợi cho kiện C 1560 C63 × × 3! + C62 × C42 × C42 × 2! = 480 + 1080 = 1560 Do đó, P(C ) = ≃ 0, 3809 4096 Ví dụ 1.16 Ba nữ nhân viên phục vụ A, B C thay rửa đĩa chén giả sử ba người “khéo léo” Trong tháng có chén bị vỡ Tìm xác suất để: (a) chị A đánh vỡ chén chị B đánh vỡ chén; (b) ba người đánh vỡ chén; (c) ba người đánh vỡ chén Lời giải: Số kết cục đồng khả có n = 34 (a) Số kết cục thuận lợi cho kiện D "chị A đánh vỡ chén chị B đánh vỡ chén" ≃ 0, 0494 m D = C43 × = 4, suy P( D ) = 81 (b) Số kết cục thuận lợi cho kiện E "một người đánh vỡ chén" 24 m E = C31 × C43 × = 24, nên P( E) = ≃ 0, 2963 81 (c) Số kết cục thuận lợi cho kiện F "một người đánh vỡ chén" m F = C31 × C44 = Vậy P( F ) = ≃ 0, 037 81 Nhận xét 1.2 Định nghĩa cổ điển xác suất có ưu điểm dễ vận dụng nhiên định nghĩa áp dụng với phép thử có hữu hạn kết cục đồng khả xảy Trong trường hợp có vơ hạn kết cục đồng khả ta sử dụng định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học 1.3 Khái niệm định nghĩa xác suất 15 MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG 1.3.3 Nguyễn Thị Thu Thủy Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Định nghĩa 1.10 (Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học) Giả sử tập hợp vô hạn kết cục đồng khả phép thử biểu thị miền hình học G (đo được, hữu hạn, khác 0), kết cục thuận lợi cho A miền H G Khi P( A) = độ đo H độ đo G (1.6) Chú ý 1.4 Tùy theo G đoạn thẳng, miền phẳng hay khối không gian mà độ đo hiểu độ dài, diện tích hay thể tích Ví dụ 1.17 Hai người bạn hẹn gặp địa điểm khoảng thời gian từ 7h00 đến 8h00 Mỗi người đến điểm hẹn cách ngẫu nhiên thời điểm khoảng thời gian nói họ quy ước đến trước đợi người vịng 10 phút Tính xác suất để hai người gặp Lời giải: Gọi x, y thời điểm đến điểm hẹn hai người, ≤ x, y ≤ 60 Vậy cặp thời điểm đến ( x, y) hai người điểm miền G = {( x, y) ∈ R2 : ≤ x ≤ 60; ≤ y ≤ 60} (hình vng OABC) Gọi E kiện "hai người gặp nhau", E biểu diễn H = {( x, y) ∈ G : | x − y| ≤ 10} (đa giác OMNBPQ) Sử dụng định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học, P( E) = diện tích H diện tích (OMNBPQ) 602 − 502 11 = = ≃ 0, 3056 = diện tích G diện tích (OABC ) 36 60 y 60 C P B N C Q A O M 60 x Hình 1.4: Minh họa cho Ví dụ 1.17 1.3 Khái niệm định nghĩa xác suất 16 MI2020 – KỲ 20192 – TĨM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy Ví dụ 1.18 Cho đoạn thẳng AB có độ dài 10cm Lấy hai điểm C, D đoạn AB (C nằm A D) Tính xác suất độ dài AC, CD, DB tạo thành cạnh tam giác Lời giải: Gọi x độ dài đoạn AC, y độ dài đoạn CD độ dài đoạn DB 10 − x − y Khi ta có điều kiện ≤ x ≤ 10, ≤ y ≤ 10 ≤ x + y ≤ 10 Tập hợp giá trị ( x, y) thỏa mãn điều kiện tương ứng với miền G = {( x, y) ∈ R2 : ≤ x ≤ 10, ≤ y ≤ 10, ≤ x + y ≤ 10} (tam giác OMN) Độ dài đoạn AC, CD, DB tạo thành cạnh tam giác phải thỏa mãn tính chất "tổng hai cạnh lớn cạnh", tức x + y > 10 − x − y, x + (10 − x − y) > y, y + (10 − x − y) > x hay x + y > 5, x < y < Tập giá trị ( x, y) thỏa mãn điều kiện tương ứng với miền H = {( x, y) ∈ G : x + y > 5, x < 5, y < 5} (tam giác PQR) y N Q R M O x P Hình 1.5: Minh họa cho Ví dụ 1.18 Theo định nghĩa hình học, xác suất cần tìm p = diện tích tam giác ( PQR) = = 0, 25 diện tích tam giác (OMN ) Ví dụ 1.19 Trên mặt phẳng kẻ sẵn đường thẳng song song cách khoảng có độ dài 2a, người ta gieo ngẫu nhiên kim dài 2b (b < a) Tính xác suất cho kim cắt đường thẳng số đường thẳng Lời giải: Gọi x khoảng cách từ trung điểm kim đến đường thẳng song song gần ϕ góc mà kim tạo với đường Ta có ≤ x ≤ a, ≤ ϕ ≤ π Như biểu diễn miền đồng khả hình chữ nhật G = [ a, π ] × [ a, π ] Miền thuận lợi cho kiện kim cắt đường thẳng song song H = {( x, ϕ) ∈ G : ≤ x ≤ b sin ϕ; ≤ ϕ ≤ π } Do đó, Z π diện tích H p= = diện tích G 1.3 Khái niệm định nghĩa xác suất b sin ϕdϕ a×π = 2b aπ 17 MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy Nhận xét 1.3 Định nghĩa cổ điển xác suất định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học áp dụng với phép thử có kết cục đồng khả xảy Trong nhiều tốn thực tế, việc tính hết kết cục phép thử không dễ dàng, bên cạnh điều kiện kết cục đồng khả thực tế thường khó thỏa mãn 1.3.4 Định nghĩa thống kê xác suất Định nghĩa 1.11 (Tần suất) Giả sử điều kiện ta lặp lại n lần phép m thử thấy có m lần xuất kiện A Khi đó, tỷ số gọi tần suất xuất A, ký hiệu n f ( A) Như f ( A) = m n (1.7) Ví dụ 1.20 Để xác định tần suất xuất mặt sấp tung đồng xu nhiều lần, người ta ghi lại kết sau: Người thí nghiệm Số lần tung n Số lần xuất mặt sấp m Tần suất f Buýp-phông 4040 2048 0,5080 Piêc-sơn 12000 6019 0,5016 Piêc-sơn 24000 12012 0,5005 Nhận xét 1.4 Tần suất kiện A có tính chất ổn định, nghĩa dao động xung quanh số xác định p số phép thử lớn Số gọi xác suất kiện A theo quan điểm thống kê Định nghĩa 1.12 (Định nghĩa thống kê xác suất) Nếu tần suất xuất kiện A luôn dao động xung quanh số xác định p số phép thử tăng lên lớn mà tần suất xuất kiện A gần tới p số p gọi xác suất kiện A theo quan điểm thống kê Chú ý 1.5 Bằng định nghĩa thống kê xác suất, người ta tìm xác suất để sinh trai lần sinh p = 0, 518, số không thay đổi theo thời gian, địa phương chủng tộc (a) Nhà toán học Láp–la–xơ 10 năm liền theo dõi thành phố Pê–tec–bua, Luân–đôn Béc–lin thấy tỷ số 22/43 Ơng theo dõi 40 năm liền Pa–ri thấy tỷ số 25/49 (b) Nhà toán học Crame theo dõi Thụy–điển năm 1935 thấy tỷ số 0,518 Nhận xét 1.5 (a) Định nghĩa thống kê xác suất khắc phục nhược điểm định nghĩa cổ điển không dùng đến khái niệm đồng khả 1.3 Khái niệm định nghĩa xác suất 18 MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy (b) Định nghĩa khơng giúp ta tính xác xác suất kiện mà tìm giá trị gần đúng; đồng thời số phép thử phải đủ lớn dùng cho phép thử ngẫu nhiên lặp lại nhiều lần cách độc lập điều kiện giống Các định nghĩa xác suất giúp ta cách tích cực việc tính xác suất, định nghĩa có nhược điểm Để khắc phục nhược điểm đó, năm 1933 nhà tốn học Xô–viết Can–mơ–gơ–rôp đưa xác suất theo phương pháp tiên đề Tuy nhiên ta không đề cập đến chương trình 1.3.5 Nguyên lý xác suất nhỏ, nguyên lý xác suất lớn 1.3.5a Nguyên lý xác suất nhỏ Sự kiện khơng thể có có xác suất 0, kiện có xác suất gần xảy thực số lớn phép thử Tuy nhiên qua thực nghiệm quan sát thực tế, người ta thấy kiện có xác suất nhỏ khơng xảy ta thực phép thử hay vài phép thử Từ ta thừa nhận nguyên lý sau đây, gọi “Nguyên lý xác suất nhỏ”: Nếu kiện có xác suất nhỏ thực tế cho phép thử kiện không xảy ra" Nhận xét 1.6 (a) Mức xác suất coi nhỏ tùy thuộc vào toán cụ thể gọi mức ý nghĩa, ký hiệu α (b) Nguyên lý xác suất nhỏ sở phương pháp kiểm định (sẽ đề cập Chương 5) 1.3.5b Nguyên lý xác suất lớn Tương tự trên, ta đưa nguyên lý xác suất lớn: Nếu kiện A có xác suất gần thực tế cho phép thử kiện xảy ra" Nhận xét 1.7 (a) Mức xác suất đủ lớn gọi độ tin cậy, ký hiệu γ = − α Việc quy định mức xác suất lớn tùy thuộc vào toán cụ thể (b) Nguyên lý xác suất lớn sở phương pháp ước lượng khoảng tin cậy (sẽ đề cập Chương 4) 1.3 Khái niệm định nghĩa xác suất 19 ... nghĩa thống kê xác suất 18 1.3.5 Nguyên lý xác suất nhỏ, nguyên lý xác suất lớn 19 Công thức cộng nhân xác suất 20 1.4.1 Xác suất. .. Khái niệm định nghĩa xác suất 15 MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG 1.3.3 Nguyễn Thị Thu Thủy Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Định nghĩa 1.10 (Định nghĩa xác suất theo quan điểm... nghĩa thống kê xác suất khắc phục nhược điểm định nghĩa cổ điển không dùng đến khái niệm đồng khả 1.3 Khái niệm định nghĩa xác suất 18 MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy