10 VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ ❶ Giáo viên Soạn: Trương Quang Thiện FB: Trương Quang Thiện ❷ Giáo viên phản biện : Nguyễn Văn Tâm THUẬT NGỮ Mặt phẳng tọa độ Tọa độ vectơ FB: Tâm Nguyễn KIẾN THỨC, KĨ NĂNG Nhận biết tọa độ vectơ thể phép toán vectơ theo tọa độ Thể mối quan hệ vectơ thông qua tọa độ chúng Ứng dụng tọa độ vectơ toán xác định vị trí vật mặt phẳng tọa độ Một tin dự báo thời tiết thể đường 12 bão mặt phẳng tọa độ Trong khoảng thời gian đó, tâm bão di chuyển thẳng từ vị trí có tọa độ 13,8;108,3 đến vị trí có tọa độ 14,1;106,3 Dưa vào thơng tin trên, liệu ta có dự đốn vị trí tâm bão thời điểm khoảng thời gian 12 khơng? Hình 4.31 Ta dùng phần mặt phẳng tọa độ để mô tả phạm vi định Trái Đất mà o o vị trí x vĩ bắc, y kinh đông tâm ấp thấp x; y thể điểm có tọa độ Trong học này, ta gắn cho vectơ mặt phẳng tọa độ cặp số để làm việc với vectơ thơng qua cặp số TỌA ĐỘ VECTƠ HĐ1:Trên trục số , gọi điểm biểu diễn số đặt Gọi điểm biểu diễn số , điểm biểu diễn số Hãy biểu thị vectơ theo vectơ Hình 4.32.a Giải Hãy biểu thị vectơ theo vectơ OM ,ON Chương Hình học ⓾ 3 3 ON OA i 2 Vì OM 4OA 4i ; Trục tọa độ ( gọi trục, hay trục số ) đường thẳng mà xác định điểm O vectơ i có độ dài Điểm O gọi gốc tọa độ, vectơ đơn vị i gọi vectơ đơn vị trục Điểm M trục biểu diễn số OM xo i (Hình 4.32.b) Hình 4.32.b xo HĐ2: Trong hình : i OM , ON a) Hãy biểu thị vectơ theo vectơ , j OM , ON MN b) Hãy biểu thị vectơ theo vectơ , từ biểu thị vectơ MN Giải i OM , ON a) Hãy biểu thị vectơ theo vectơ , j ON 2i j Dựa vào hình vẽ, ta có OM 3i j ; b) Hãy biểu thị vectơ MN theo vectơ OM , ON , từ biểu thị vectơ MN MN ON OM 2i Ta có: j 3i j Hình 4.33 5 2i 3i j j 5i j 2 Trên mặt phẳng, xét hai trục Ox , Oy có chung gốc O vng góc với Vectơ đơn vị trục Ox i , Vectơ đơn vị trục Oy j Hệ gồm hai trục Ox, Oy gọi hệ trục tọa độ Oxy Điểm O gọi gốc tọa độ, trục Ox gọi trục hoành, trục Oy gọi trục tung Mặt phẳng chứa hệ trục Oxy gọi mặt phẳng tọa độ Oxy hay mặt phẳng Oxy (Hình 4.34) Hình 4.34 Hình 4.34 Chương Hình học ⓾ xo ; yo u x i y j Ta nói Oxy u o o Với vectơ mặt phẳng , có cặp số cho xo ; yo u xo ; yo u xo ; yo x ;y u vectơ có tọa độ hay Các số o o tương ứng gọi hoành độ, tung độ u Nhận xét Hai vectơ chúng có tọa độ x x u x; y u x; y y y Ví dụ Tìm tọa độ vectơ đơn vị i , j tương ứng trục Ox,Oy Giải 1;0 Vì i 1.i j nên i có tọa độ 0;1 Vì j 0.i j nên j có tọa độ Luyện tập Tìm tọa độ vectơ Giải 0;0 O i j Vì nên có tọa độ BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TOÁN VECTƠ HĐ3: Trong mặt phẳng tọa độ , cho , , u v a i a) Hãy biểu thị vectơ , , theo vectơ đơn vị , j b) Tìm tọa độ vectơ u v , 4u c) Tìm mối liên hệ vectơ u , a Giải a) Hãy biểu thị véc tơ u , v , a theo véc tơ đơn vị i , j u 2; 3 u i j Vì nên v 4;1 v i j Vì nên a 8; 12 a i 12 j Vì nên b) Tìm tọa độ véc tơ u v , 4u u v i 1 j 6i j 6; Ta có nên u v có tọa độ 4u 4 2.i j 8.i 12 j 8; 12 Ta có nên 4u có tọa độ Chương Hình học ⓾ c) Tìm mối liên hệ vectơ u , a u 2; 3 Vì nên u 2.i j a 8; 12 Vì nên a 8.i 12 j Suy a 4u u x; y Cho hai vectơ u v x x; y y v x; y Khi u v x x; y y ku= kx; ky với k 3 b ;3 a 1; Ví dụ 2 Cho , a a) Tìm tọa độ véc tơ b ; a 2b a b) Hỏi , b có phương khơng? Giải a) Tìm tọa độ véc tơ a b ; a 2b 3 5 b ;3 a b ;5 a 1; nên 2 Vì , 2b 3;6 a 2b 2; Ta có nên b) Hỏi a , b có phương khơng? 3 3 a ;3 b a 2 Do nên hai vectơ , b phương Nhận xét Vectơ v x; y phương với vectơ x y x kx, y ky ( x y xy 0 ) u x; y 0 tồn số k cho HĐ4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm Gọi P , Q tương ứng hình chiếu vng góc điểm M trục hoành Ox trục tung Oy H 4.35 a) Trên trục Ox , điểm P biểu diễn số nào? x OP OP i Biểu thị theo tính độ dài theo o b) Trên trục Oy , điểm Q biểu diễn số nào? Hình 4.35 Chương Hình học ⓾ y j OQ OQ Biểu thị theo tính độ dài theo o x y OPMQ OM c) Dựa vào hình chữ nhật , tính độ dài theo o , o OM i d) Biểu thị theo vectơ đơn vị , j Giải x OP OP Ox i P a) Trên trục , điểm biểu diễn số nào? Biểu thị theo tính độ dài theo o x + Điểm P biểu diễn số OP x i + Biểu thị OP theo i x OP + Độ dài y j Oy Q OQ OQ b) Trên trục , điểm biểu diễn số nào? Biểu thị theo tính độ dài theo o y OQ y j j Q OQ 0 + Điểm biểu diễn số ; Biểu thị theo y OQ + Độ dài x y c) Dựa vào hình chữ nhật OPMQ , tính độ dài OM theo o , o OP OQ xo yo OM Ta có độ dài d) Biểu thị OM theo vectơ đơn vị i , j OM x i y 0j Ta có: Nếu điểm M Nhận xét Với x; y vectơ OM có tọa độ u x; y Chẳng hạn, vectơ , ta lấy điểm u 2; 1 M x; y có độ dài x; y có độ dài có tọa độ OM x y u OM x y u OM Do u 22 1 HĐ5: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm a) Tìm tọa độ vectơ OM , ON b) Biểu thị vectơ MN theo vectơ OM , ON tìm tọa độ vectơ MN c) Tìm độ dài vectơ MN Giải OM ON a) Tìm tọa độ vectơ , Chương Hình học ⓾ x; y nên vectơ OM có tọa độ x; y Vì điểm M có tọa độ x; y x; y ON N Vì điểm có tọa độ nên vectơ có tọa độ MN OM ON b) Biểu thị vectơ theo vectơ , tìm tọa độ vectơ MN MN ON OM x x; y y MN x x; y y Ta có: suy c) Tìm độ dài vectơ MN Ta có: MN x x; y y M x; y Với hai điểm MN MN suy N x; y x x MN y y x x y y MN x x; y y khoảng cách hai điểm M , N Ví dụ A 1; B 3; C 7; Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm , a) Tìm tọa độ vectơ AB , BC So sánh khoảng cách từ B tới A C b) Ba điểm A , B , C thẳng hàng khơng? c) Tìm điểm D x; y để ABCD hình thoi Giải AB a) Tìm tọa độ vectơ , BC So sánh khoảng cách từ B tới A C 2 AB xB x A ; yB y A 1; 2; Vì nên BA 16 20 2 2 BC xC xB ; yC yB 3; 4; Vì nên BC 16 20 2 Vậy khoảng cách từ B tới A C b) Ba điểm A , B , C thẳng hàng không? AB 2; BC 4; Hai vectơ ; khơng phương ( Vì ) Do điểm A , B , C khơng nằm đường thẳng Vậy chúng không thẳng hàng c) Tìm điểm D x; y để ABCD hình thoi Các điểm A , B , C không thẳng hàng BA BC ABCD nên hình thoi AD BC Chương Hình học ⓾ AD x 1; y BC 4; Do , x 4 AD BC y Nên Vậy điểm cần tìm D 5;0 x 5 y 0 Hình 4.36 Luyện tập A 2;1 B 3;3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm , a) Các điểm O , A , B có thẳng hàng khơng? b) Tìm điểm M x; y để OABM hình bình hành Giải a) Các điểm O , A , B có thẳng hàng khơng? OA 2;1 OB 3;3 Do , khơng phương ( Vì 3 ) Do điểm O , A , B khơng nằm đường thẳng Vậy chúng không thẳng hàng b) Tìm điểm M x; y để OABM hình bình hành O OABM A B Các điểm , , không thẳng hàng nên hình bình hành AB OM AB 1; OM x; y Do , x 1 OM AB y 2 Nên Vậy điểm cần tìm M 1; Chương Hình học ⓾ ... ;3 b a 2 Do nên hai vectơ , b phương Nhận xét Vectơ v x; y phương với vectơ x y x kx, y ky ( x y xy 0 ) u x; y 0 tồn số k cho HĐ4: Trong mặt phẳng tọa độ... có độ dài x; y có độ dài có tọa độ OM x y u OM x y u OM Do u 22 1 HĐ5: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm a) Tìm tọa độ vectơ OM , ON b) Biểu... AD x 1; y BC 4; Do , x 4 AD BC y Nên Vậy điểm cần tìm D 5;0 x 5 y 0 Hình 4.36 Luyện tập A 2;1 B 3;3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho