Chương II: Phép Đếm pdf

TẬP HỢP Các đối tượng trong một tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp.. , các phần tử thuộc tập hợp hay được ký hiệu bởi các chữ cái in... TẬP HỢPTập Hợp Con  Định nghĩa: Tập A

TẬP HỢP

 Các đối tượng trong một tập hợp được gọi là các phần

tử của tập hợp.

 Kí hiệu: Các tập hợp thường được ký hiệu bởi những

chữ cái in hoa đậm như A, B, X, Y , các phần tử

thuộc tập hợp hay được ký hiệu bởi các chữ cái in

 Để chỉ a là phần tử của tập hợp A ta viết a A, trái ∈ lại nếu a không thuộc A ta viết a A ∉

 Một tập hợp không có bất kì phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng, kí hiệu là ∅, hay {}.

TẬP HỢP

TẬP HỢP

Tập Hợp Con

 Định nghĩa: Tập A được gọi là một tập con của tập hợp B khi và chỉ khi mỗi phần tử của A là một phần tử của B Hay A B khi và chỉ khi lượng từ : ⊆

∀ x ((x A) → (x B)) cho ta giá trị đúng ∈ ∈ Khi đó, ta kí hiệu : A B ⊆

 Nếu A là tập con của tập B và tồn tại ít nhất 1 phần tử

b thuộc B mà b không thuộc A thì khi đó A được gọi là tập con thật sự của B.

Kí hiệu là A B ⊂

A B

TẬP HỢP

 Ví dụ:

• Tập MAT04 gồm các sinh viên trong lớp toán rời rạc là tập con của tập UIT là tập gồm các sinh viên trong trường.

• S = {a,b} là tập con của tập P = {a,b,c,l,g,t}.

• Tập số hữu tỉ Q là tập con của số thực R.

TẬP HỢP

Tập Hợp Bằng Nhau

 Định nghĩa: A và B được xem là 2 tập hợp bằng nhau nếu mỗi phần tử của A đều thuộc B và ngược lại Hay mệnh đề :

∀ x (x A → x B ) x ( x B → x A) cho ta ∈ ∈ ∨ ∀ ∈ ∈ giá trị đúng

Khi đó, ta kí hiệu : A = B.

 Ví dụ:

 Tập A = {a,b,c} bằng tập B = {a,b,c} (hay A=B).

 Tập hợp các quốc gia tham dự Seagames 26 bằng tập hợp các quốc gia thuộc khu vực Đông Nam Á

TẬP HỢP

Tập các tập con của một tập hợp

 Định nghĩa: Tập các tập con của tập hợp A

được kí hiệu là P(A), tức là:

BIỂU DIỄN TẬP HỢP

Các cách biểu diễn tập hợp:

 Xác định bằng lời:

 Tập hợp A gồm các giáo viên trong trường UIT.

 Tập hợp B gồm 4 số nguyên tố đầu tiên.

 Liệt kê các phần tử trong cập dấu {}

CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH

CHẤT1 Phép giao:

 Định nghĩa: Phép giao của 2 tập hợp A và B kí hiệu là

A ∩ B là tập hợp tất cả các phần tử mà vừa thuộc A vừa thuộc B.

Công thức : A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.

 Nếu A ∩ B = ∅ thì A và B gọi là 2 tập rời nhau.

 Tổng quát: cho n tập hợp A 1 , A 2 , …, A n Giao của tất

cả các tập hợp trên được kí hiệu là là tập chứa

các phần tử thuộc tất cả các tập hợp đó.

Công thức: = A 1∩ A 2 ∩ … ∩ A n.

 Giao của tập hợp các số tự nhiên N và tập các số chia

hết cho 2 là tập các số chẵn không âm

 Tập hợp sinh viên nam và tập hợp sinh viên nữ là 2

tập hợp rời nhau vì giao của chúng bằng rỗng

CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH CHẤT

2 Phép hợp:

 Định nghĩa: Phép hợp của 2 tập hợp A và B kí hiệu là

A ∪ B, là tập hợp tất cả các phần tử sao cho nó thuộc tập A hay tập B.

 Tập hợp các giáo viên dạy môn Toán và tập các giáo

viên dạy môn Tin là tập các giáo viên thuộc khoa Toán Tin

CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH CHẤT

3 Phép hiệu:

 Định nghĩa: Hiệu của 2 tập hợp A và B được kí hiệu là

A \ B hay A – B là tập gồm tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.

 Hiệu của tập các quốc gia Đông Nam Á và tập các

quốc gia WTO là tập {Lào, Đông-Timo}

 Phần bù của tập các số âm là tập các số dương và số 0

(với tập vũ trụ là tập các số thực)

Tích Descartes

Tích Descartes của 2 tập hợp:

 Định nghĩa: Cho 2 tập hợp A và B tích Descartes của 2 tập hợp A và B ký hiệu là A x B Là tất cả các cặp (a, b) sao cho a thuộc A và b thuộc B.

 Công thức: A x B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}

Tích Descartes

Tích Descartes của nhiều tập hợp:

 Định nghĩa: Cho n tập hợp A 1 A 2 … A n (n>1) Tích Descartes của n tập hợp A 1 A 2 … A n được ký hiệu A 1 x A 2 x … x A n Là tập gồm tất cả các bộ phần tử (a 1 , a 2 , …, a n ) với a i thuộc A i với mọi i

từ 1 đến n.

 Công thức : A 1 x A 2 x … x A n = {(a 1 , a 2 , …, a n ) | a i ∈ A i , i = } Trong trường hợp: A 1 = A 2 = … = A n = A thì tập hợp tích A 1 x A 2

x … x A n = A x A x … x A = A n

n

, 1

NGUYÊN LÝ CỘNG

Cơ sở tập hợp:

nhau tức là giao của 2 tập hợp rời bất kỳ trong n

NGUYÊN LÝ CỘNG

Cở sở tập hợp:

 Ví dụ:

Lớp học có 10 sinh viên nam và 5 sinh viên nữ Khi đó lớp học

có bao nhiêu sinh viên ?

biện pháp thứ 1 cách thực hiện có n, và biện pháp thứ

2 có m cách thực hiện Vậy ta có n + m cách thực hiện công việc.

 Mở rộng: Giả sử ta thực hiện 1 công việc có n biện

pháp khác nhau là A 1 , A 2 , … , A n các biện pháp này

đôi 1 khác nhau Để thực hiện biện pháp A i có n i cách vậy số cách thực hiện công việc trên là: n 1 + n 2 + … +

n i cách.

NGUYÊN LÝ CỘNG

Nguyên lý cộng:

An có 2 cách để đi đến trường là đi bộ và đi xe buýt

Nếu đi bộ thì có 3 con đường để An đến trường Nếu đi

xe buýt thì có 8 chuyến xe buýt đi từ nhà An đến

trường Khi đó, An có 8 + 3 = 11 cách để đi đến trường.

Gọi A là tập các sinh viên nam trong lớp

Gọi B là tập các sinh viên nữ trong lớp

Khi đó, số cặp gồm 1 sinh viên nam và 1 sinh viên nữ để

tham gia văn nghệ cho trường là tập X = A x B Do đó, số cách là |X| = |A x B| = |A| |B| = 10.5 = 50

NGUYÊN LÝ NHÂN

Nguyên lý nhân:

 Định nghĩa: Giả sử thực hiện 1 thủ tục gồm 2 công việc

kế tiếp nhau, công việc thứ 1 có thể thực hiện n cách, công việc thứ 2 có thể thực hiện m cách Khi đó, thủ tục trên có thể thực hiện bằng n.m cách.

 Mở rộng: Cho 1 thủ tục gồm n công việc kế tiếp nhau, công việc A 1 có n 1 cách, công việc A 2 có n 2 cách, … công việc A n có n i cách Khi đó, thủ tục trên có thể thực hiện bằng n 1 n 2 … n i cách

NGUYÊN LÝ CHUỒNG BỒ CÂU

Gọi  x  là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hay bằng x.

chuồng Khi đó tồn tại ít nhất một chuồng chứa từ

Khi đó sẽ có ít nhất 1 chuồng có 3 con bồ câu trở lên.