Ứng dụng vectơ trong giải các bài toán hình học không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM – ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN - - Đề tài: Ứng dụng vectơ giải tốn hình học khơng gian Giảng viên hƣớng dẫn : Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Sinh viên thực : Trần Văn Tú Mã số sinh viên : 3110118046 Lớp : 18ST Đà Nẵng, tháng năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM – ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN - - Đề tài: Ứng dụng vectơ giải tốn hình học khơng gian Giảng viên hƣớng dẫn : Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Sinh viên thực : Trần Văn Tú Mã số sinh viên : 3110118046 Lớp : 18ST Đà Nẵng, tháng năm 2022 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng tận tình giảng dạy tạo điều kiện để tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, cho phép tơi gởi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Ngô Thị Bích Thủy, người trực tiếp hướng dẫn tơi suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn ý kiến quý báu, động viên, giúp đỡ nhiệt tình gia đình, người thân, bạn bè, bạn lớp 18ST trình tơi làm khóa luận tốt nghiệp Trong suốt thời gian nghiên cứu, thân cố gắng khắc phục khó khăn để hồn thành khóa luận Tuy nhiên thời gian có hạn, kiến thức cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi sai sót Vì kính mong thầy giáo bạn góp ý, bổ sung, giúp đỡ để thân tơi hồn thiện đề tài nghiên cứu XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN! Đà Nẵng, tháng năm 2022 Sinh viên Trần Văn Tú Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục khóa luận CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1.Vectơ ….5 1.2 Các phép toán vectơ 1.3 Tích vơ hướng hai vectơ 10 1.4 Một số hệ thức vectơ trọng tâm 13 1.5 Ba vectơ đồng phẳng 15 CHƢƠNG ỨNG DỤNG VÉCTƠ TRONG GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 17 2.1 Chứng minh đẳng thức bất đẳng thức vectơ 17 2.2 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 22 2.3 Chứng minh hai điểm trùng 27 2.4 Chứng minh vectơ đồng phẳng, không đồng phẳng 29 2.5 Quan hệ song song đường thẳng mặt phẳng 36 2.6 Quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng 43 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp 2.7 Khoảng cách 44 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn THPT, hình học không gian mảng kiến thức vô quan trọng chứa nhiều yếu tố trừu tượng Học sinh thường gặp nhiều khó khăn việc phân tích tốn để tìm lời giải Đặc biệt, việc ứng dụng vectơ để giải tốn hình học khơng gian vấn đề mà học sinh rèn luyện trình học lớp Là sinh viên sư phạm, với mong muốn trang bị kiến thức vững cho thân nói riêng sinh viên sư phạm tốn nói chung kĩ vận dụng vectơ vào giải tốn hình học khơng gian, tơi chọn đề tài nghiên cứu là: “Ứng dụng vectơ giải tốn hình học khơng gian” Mục đích nghiên cứu Đưa phương pháp vận dụng vectơ để giải số dạng tốn hình học khơng gian chương trình THPT Phạm vi nghiên cứu Chương trình hành hình học khơng gian tốn lớp 11 lớp 12 Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu số tài liệu liên quan đến phương pháp ứng dụng vectơ vào việc giải toán hình học khơng gian Nghiên cứu thực tế: Trao đổi với số giáo viên THPT dạy chương vectơ khơng gian – Hình học lớp 11 (SGK hành) để tham khảo kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng vectơ vào việc giải tốn hình học khơng gian Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp Bố cục khóa luận: Khóa luận gồm có chương sau: Chương Cơ sở lí luận 1.1 Vectơ 1.2 Các phép tốn vectơ 1.3 Tích vơ hướng hai vectơ 1.4 Một số hệ thức vectơ trọng tâm 1.5 Ba vectơ đồng phẳng Chương 2: Ứng dụng vectơ giải tốn hình học không gian 2.1 Chứng minh đẳng thức bất đẳng thức vectơ 2.2 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 2.3 Chứng minh hai điểm trùng 2.4 Chứng minh vectơ đồng phẳng, không đồng phẳng 2.5 Quan hệ song song đường thẳng mặt phẳng 2.6 Quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng 2.7 Khoảng cách Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Vectơ 1.1.1 Định nghĩa vectơ Vectơ không gian đoạn thẳng có hướng, đầu xác định làm gốc, đầu xác định làm điểm uuur Ví dụ: AB điểm (điểm đầu) A, điểm gốc (điểm cuối) B Chú ý: uuur uuur + Cho điểm A, B phân biệt ta có vectơ AB BA khác uuur uuur + Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng như: AA , BB , gọi vectơ – không 1.1.2 Hai vectơ phương Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ uuur uuur Hai vectơ AB CD gọi phương giá chúng song song trùng Hai vectơ phương có hướng ngược hướng uuur uuur Hai vectơ phương AB CD gọi hướng, chiều từ A đến B trùng với chiều từ C đến D Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp uuur uuur Hai vectơ phương AB CD gọi ngược hướng, chiều từ A đến B ngược với chiều từ C đến D Chú ý: Khi ta có kết sau: + Vectơ - không xem hướng với vectơ + Hai vectơ hướng với vectơ khác vectơ – khơng hai vectơ hướng với + Ta nói hai vectơ hướng hay ngược hướng có hai vectơ phương 1.1.3 Độ dài vectơ Mỗi vectơ có độ dài, khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ uuur uuur Độ dài vectơ AB độ dài đoạn thẳng AB kí hiệu là: AB uuur Như vậy: AB  AB  BA Theo đó, độ dài vectơ – khơng có độ dài Vectơ có độ dài gọi vectơ đơn vị 1.1.4 Hai vectơ Định nghĩa uuur uuur Hai vectơ AB CD gọi chúng hướng có uuur uuur độ dài Kí hiệu: AB  CD Chú ý: + Quan hệ hai vectơ quan hệ tương đương tập vectơ Tập hợp vectơ tạo thành lớp tương đương kí hiệu chữ thường có mũi tên đầu r + Hiển nhiên, vectơ – khơng Kí hiệu: Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp r + Khi cho trước vectơ a điểm O có điểm A cho: uuur r OA  a 1.1.5 Góc hai vectơ Định nghĩa r r r uuur r Cho hai vectơ a , b khác Từ điểm O đó, ta vẽ OA  a uuur r $ gọi số đo của góc hai OB  b Khi số đo góc AOB r r r r vectơ a , b Kí hiệu (a,b) Nhận xét: $ có số đo từ 0o đến 180o + Hiển nhiên góc AOB r r r r + Nếu (a,b)  0o a b hướng r r r r + Nếu (a,b)  180o a b ngược hướng r r r r o (a,b)  90 + Nếu ta nói hai vectơ a b vng góc với Kí r r r r hiệu a  b b  a r r r Quy ước: Nếu hai vectơ a b ta xem góc r r r r r (a,b) có giá trị tùy ý đoạn  (a,b)  180o 1.2 Các phép toán vectơ 1.2.1 Phép cộng vectơ 1.2.1.1 Định nghĩa r r Cho hai vectơ a b Lấy điểm A tùy ý, sau xác định điểm B uuur r uuur r C cho: AB  a BC  b uuur r r Khi vectơ AC gọi tổng hai vectơ a b Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp uuuur uuur uuur uuur r r r BD'  BA  BB'  BC  a  b  c r r uuur uuur uuur uuur uuur r r r a  2c BP  BC  CP  BC  CA  c  c  a  3   r r r uuur uuur uuur uuur uuur uuuur r r r r 2a  b  3c BQ  BD  DQ  BA  BC  DC'  a  c  b  a  3   Do đó: r r r r r r r r uuuur uuur uuur uuur 2a  b  3c a  2c a  b  c BD' PQ  BQ  BP     3 3 Vậy PQ BD’ trùng cắt mặt phẳng (ABCD) P B phân biệt Do PQ // BD’ Nhận xét: uuuur uuur Thông qua sử dụng vectơ biểu diễn PQ theo BD ' thông qua vectơ r r r uuur uuuur a, b, c ta dễ dàng chứng minh PQ / /BD' Khi sử dụng vectơ lời giải trở nên đơn giản 2.5.1.3 Bài tập đề nghị Bài 13 Cho tứ giác ABCD, đường thẳng vẽ qua đỉnh A song song với BC cắt BD M, đường thẳng vẽ qua đỉnh B song song với AD cắt AC N Chứng minh: MN / / CD Bài 14 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Lấy M  AC cho AC  3MC Lấy N  C'D cho x.C'D  C'N Tìm giá trị x cho: MN / /BD' Bài 15 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' uuuuur r uuuur r uuuur r Đặt B'A'  a, B'B  b, B'C'  c Gọi M điểm chia đoạn thẳng AC' theo tỉ uuuur uuur MA NC số m, N điểm chia đoạn C'D' theo tỉ số n, tức là: uuuur  m, uuur  n MC' ND uuuur uuuur r r r a) Hãy biểu thị vectơ B'M, B' N theo a, b, c m, n b) Xác định m, n để đường thẳng MN song song với đường thẳng B'D 38 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp 2.5.2 Chứng minh đƣờng thẳng song song với mặt phẳng 2.5.2.1 Phƣơng pháp chung Để chứng minh đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P) nằm mặt phẳng (P) ta làm sau: r r r  Lấy đường thẳng AB vectơ a (P) hai vectơ b, c  Sau chứng minh ba vectơ đồng phẳng, nghĩa chứng minh r r r k,l  R : a  k.b  l.c Thực chất việc chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng chứng minh ba vectơ đồng phẳng 2.5.2.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 17 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Gọi M, N uuuur uuuur uuur uuur điểm thuộc AD' DB cho: MA  k.MD', ND  k.NB  k  0, k  1 Chứng minh MN song song với mặt phẳng  A'BC   Lời giải: Cách r uuur r uuur r uuur Đặt a  AA', b  AB , c  AD Sử dụng cơng thức tích vơ hướng lần lượt, ta có: rr rr rr r r r2 ab  bc  ca  0, a  b  c Từ giả thiết: uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur MA  k.MD'  k MA  AD'  k MA  AD  AA '    39  Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp uuuur k r r  AM  a c k 1   Chứng minh tương tự, ta có: uuur k r r AN   b  c k 1 k 1 Suy ra: uuuur uuur uuuur k r r k r r 1 k r k r r MN  AN  AM   b  c  ac  c  ab k 1 k 1 k 1 1 k k 1 uuuur uuur uuuur  k uuur k uuuur  BC  BA'  MN, BC, BA' đồng phẳng 1 k k 1     Ngồi M  AD' N  BD nên MN   A'BC  Vậy, ta MN song song với mặt phẳng  A'BC  Cách uuuur uuuur uuur uuur Từ giả thiết MA  k.MD', ND  k.NB  k  0, k  1 Suy ra: AM DN   AD, MN, D'B theo thứ tự thuộc ba mặt phẳng song song MD' NB  MN / /  A'BCD'  MN / /  A'BC  (đpcm) Ví dụ 18 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có điểm M, N, P trung điểm AD, BB', C'D' Chứng minh: C'D / /  MNP   Lời giải: Ta thấy C'  mp(MNP) , để chứng minh tốn ta phải chứng minh uuuur uuuur uuur vectơ: C'D, MN, MP đồng phẳng 40 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp uuur r uuur r uuuur r Đặt: AB  b, AD  d, AA'  a Theo giả thiết, ta có: uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuur MP  AP  AM  (AD'  AC')  (AA  AD) 2 r r r r r r r 1r 1r  (a  d  a  b  d  d)  a  b  d 2 uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur MN  AN  AM  (AB  AB')  AM r r r 1r r 1r  (2b  a  d)  a  b  d 2 uuuur uuur uuuur r r r r r r C'D  AD  AC'  d  (a  b  d)  a  b uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur Vậy ta được: C'D   MP  MN , tức là: C'D, MP, MN đồng phẳng 3 Mặt khác C'D  (MNP) suy C'D song song với mặt phẳng (MNP) 2.5.2.3 Bài tập đề nghị Bài 16 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Điểm M chia đoạn AD theo tỷ số  , điểm N chia đoạn A'C theo tỉ số  Chứng minh MN / /(BC'D) Bài 17 Hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng Gọi M, N trọng tâm tam giác ABD ABE Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF) 2.5.3 Chứng minh hai mặt phẳng song song với 2.5.3.1 Phƣơng pháp chung Để chứng minh hai mặt phẳng (P) // (Q), r r r r  Ta lấy (P) vectơ a, b (Q) vectơ x, y r r r r r r  Sau chứng minh ba vectơ (a, x, y); (b, x, y) đồng phẳng 2.5.3.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 19 Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi M, N trung 41 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp điểm AA' CC' ; G trọng tâm tam giác A'B'C' Chứng minh rằng: mp(MGC') / / mp(AB'N)  Lời giải: uuuur r uuur r uuur r Chọn hệ vectơ sở: A,AA '  a,AB  b,AC  c   Ta cần chứng minh tồn x, y, x ', y ' cho: uuuur uuuur uuur  MG  x.AB'  y.AN   uuuur uuuur uuur  MC'  x '.AB'  y'.AN  Tính tốn ta có: uuuur r r r r r r MG  a  b  c  (x  y)a  xb  yc  x  y  3 Tương tự, ta suy x '  0; y '  , suy điều phải chứng minh 2.5.3.3 Bài tập đề nghị Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA, SD a Chứng minh: mp(OMN) // mp(SBC) b Gọi P Q trung điểm AB ON Chứng minh PQ // mp(SBC) Bài 19 Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Giả sử M, N, E trung điểm cạnh BB', CC', AA ' G trọng tâm tam giác A'B'C' Chứng minh: 42 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp a mp(MGC') / /mp(BA ' N) b mp(A'GN) / /mp(B'CE) 2.6 Quan hệ vuông góc đƣờng thẳng mặt phẳng 2.6.1 Phƣơng pháp chung uuur uuur  Để chứng minh AB  CD , ta chứng minh: AB.CD   Để chứng minh AB     , ta chứng minh AB vng góc với đường thẳng cắt thuộc mp     Để chứng minh        , ta chứng minh đường thẳng thuộc mặt phẳng vng góc với đường thẳng thuộc mặt phẳng 2.6.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 20 (Bài tập 3-Tr69-SGK11) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SA  SC, SB  SD Chứng minh rằng: a SO  mp  ABCD  b AC  SD  Lời giải: uuur uuur uuur Chọn hệ vectơ sở: O, OA, OB, OS   uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur a Ta có: SA  OA  OS, SC  OC  OS   OA  OS  Theo đề ta có: SA  SC 43  Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp SA  SC 2   uuur uuur uuur uuur OA  OS  OA  OS    uuur uuur  OA.OS   OA  OS Tương tự ta chứng minh được: OB  OS Từ đó, suy ra: SO  mp  ABCD  uuur uuur uuur uuur uuur b Ta có: AC  2OA; SD  OD  OS uuur uuur uuur uuur uuur Do đó: AD.SD  2OA OD  OS   AC  SD   Ví dụ 21 (Bài tâp 5-Tr69-SGK11) Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB  CD, AC  BD AD  BC  Lời giải: uuur uuur uuur Chọn hệ vectơ sở: A, AB, AC, AD   Ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur  AB  CD  AB AD  AC   AB.AD  AB.AC    uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur  AC  BD  AC AD  AB   AC.AD  AC.AB       (1) (2) Trừ (2) cho (1) vế theo vế, ta được: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC.AD  AB.AD  AD AC  AB    uuur uuur uuur uuur uuur Nên: AD.BC  AD AC  AB   AD  BC (đpcm)   2.6.3 Bài tập đề nghị Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABC tam giác cân đỉnh A, D trung điểm BC, vẽ DE  AB (E  AB) , biết SE  mp  ABC  Gọi M trung điểm DE Chứng minh: AM  mp  SEC  Bài 21 Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC , đáy ABC tam giác cân  AB  AC  Vẽ SO  mp  ABC  , D trung điểm cạnh AB, E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh: CD  mp  SOE  2.7 Khoảng cách 2.7.1 Khoảng cách từ điểm tới đƣờng thẳng 44 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp 2.7.1.1 Phƣơng pháp chung Để tính khoảng cách điểm M đường thẳng d, ta lấy d hai điểm A, B thực bước sau:  Giả sử N hình chiếu vng góc M d: uuuur uuur uuuur uuur  MN.AB  MN 0  AB      uuur uuur uuur  N,A,B thang hang  ON  .OA  (1  ).OB    Thực phép biến đổi hệ vectơ sở (gốc O gốc hệ uuuur sở)  MN  ? uuuur uuuur  Tính MN  MN 2.7.1.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 22 (Bài tập – Tr 85 – SGK 11 ) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Chứng minh khoảng cách từ điểm B, C, D, A’, B’, D’ tới đường chéo AC’ Tính khoảng cách  Lời giải: uuur r uuur r uuur r Chọn hệ vectơ sở: B,BA  a,BB'  b,BC  c   Giả sử H hình chiếu B lên AC' uuuur uuur uuur r r r Suy ra: AC'  BC'  BA  b  c  a uuur uuuur Do đó: BH  AC'  BH.AC'  rr rr rr (Chú ý: a.b  a.c  b.c  ) Do ta có: 45 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp r r r r 2  ar  (1  )(br  c)   (b  c  a)   a (2 - 3)     uuur r r r uuur a Hay: 3BH  2a  b  c  9BH  6a  BH  Nhận xét: Mặc dù tập khơng khó, nhiên thấy rõ lợi phương pháp vectơ ta không cần xác định rõ ràng vị trí điểm H hình vẽ 2.7.2 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng 2.7.2.1 Phƣơng pháp chung Để tính khoảng cách điểm M mp(ABC) đó, ta gọi H hình chiếu M (ABC)  Suy đẳng thức vectơ dựa vào đồng phẳng của: A, B, C, H (Nếu chọn gốc trùng với A, B, C việc tính tốn dễ dàng hơn)  Dựa vào vng góc MH với mp(ABC) để tìm yếu tố biểu uuuur diễn HM qua sở uuuur  Tính HM  HM 2.7.2.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 22 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB  a, BC  b, CC'  c Tính khoảng cách từ B tới mp (DA 'C')  Lời giải: 46 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp uuur r uuur r uuur r Chọn hệ vectơ sở: B,BA  a,BB'  b,BC  c   Gọi H hình chiếu B mặt phẳng (DC'A') Do H,D,C',A' đồng phẳng nên: uuur uuur uuur uuuur r r r r r BH  .BD  .BC'  (1    ).BA '  .(a  c)   c  b  1     .a   Lại có: uuuur uuur uuur r r r r r r DC'  BC'  BD  b  c  c  a  b  a     uuuur uuuur uuur r r r r r r DA'  BA'  BD   a  b    a  c   b  c uuur uuuur uuur uuuur rr rr rr Chú ý: a.b  a.c  b.c  Do BH.DC'  0, BH.DA'  Nên ta có hệ: r r r    (1  ).a  b       c    (1  ).ar  br       cr     uuur  BH    b2 r a2 r a b r a  b  2 c a  b2 a  b2 c  a  b2  uuur BH   BH     a  b2  c2   r r   2 ba 0 c  a  b2     r r  bc 0  a2    a  b2 a 2b4  a  b2  ab   a 4b2  a  b2  c b  c 2a  a b c. a  b   a b c2  a  b2   2.7.3 Khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo 2.7.3.1 Phƣơng pháp chung uuuur uuur uuur Chú ý: Điểm M  AB    R : OM  OA  1    OB Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta thực bước sau: 47 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp uuur  Gọi HK đường vng góc chung, biến đổi HK theo sở (có chứa tham biến)  Dựa vào tính chất vng góc HK với đường thẳng thiết lập hệ phương trình uuur  Giải hệ phương trình, tìm biểu thức vectơ theo sở HK , áp dụng: uuur uuur HK  HK 2.7.3.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 23: (Ví dụ 2-Tr84-SGK11) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA  a Tính khoảng cách hai đường thẳng  Lời giải: Chọn hệ vectơ sở: uuur r uuur r uuur r A,AS  s,AD  d,AB  b   Giả sử HK đường vng góc chung SC BD  H SC, K  BD  uuur uuur uuur r r r Do H SC  AH   AC  1    AS   b  d  1    s   uuur uuur uuur r r K  BD  AK  AB  1    AD  b  1    d uuur uuur uuur r r r  HK  AK  AH       b  1    s       1 d Lại có: uur r r r uuur r r SC  b  d  s ; BD  d  b rr r r rr (Chú ý: c.s  c.d  s.d  ) 48 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp Do HK đường vng góc chung nên:  uuur uur    HK.SC   uuur r r r     6HK   b  2s  d  uuur uuur  HK.BD         uuur a  36HK  6a  HK  Tương tự câu b, bạn đọc tự nghiên cứu 2.7.3.3 Bài tập đề nghị: Bài 22 Giải tập ( từ đến 8-Tr 86-SGK 11) Bài 23 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng C, cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy, AC  a, BC  b, SA  h Gọi M N trung điểm cạnh AC SB a Tính độ dài MN b Tìm hệ thức liên hệ a, b, h để MN đường vng góc chung AC SB Bài 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn kính AD  2a có cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) với SA  a a Tính khoảng cách từ A B đến mp(SCD) b Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mp(SBC) 49 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu đề tài, làm vấn đề sau: + Liệt kê kiến thức vectơ khơng gian chương trình Hình học lớp 11 (SGK hành) + Đưa dạng toán hình học khơng gian, qua trang bị phương pháp, kĩ để giải toán khơng gian Nếu có quỹ thời gian thích hợp tiếp tục nghiên cứu theo hướng mở rộng nâng cao tơi nghĩ đề tài trở thành đề tài có nhiều tác dụng hỗ trợ thiết thực bổ ích việc rèn luyện phát triển tư góp phần giải nhiều dạng toán Do thời gian nghiên cứu cịn hạn chế nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tơi mong đóng góp ý kiến độc giả để khóa luận hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 50 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Mộng Hy - Các toán phương pháp vectơ phương pháp tọa độ, NXB Giáo dục Nguyễn Văn Lộc (2007) - Phương pháp vectơ giải tốn hình học khơng gian, NXB Giáo dục Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – Lê Hữu Trí (2003) - Phương pháp giải tốn vectơ, NXB Hà Nội Phan Huy Khải – Hàn Liên Hải (1997) - Tốn bồi dưỡng Hình học 10, NXB Hà Nội Phan Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Tạ Mân (1996) - Các giảng luyện thi mơn Tốn – Tập 3, NXB Giáo dục Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ - NXB Giáo dục Trần Phương (2001) - Hình học giải tích, NXB Hà Nội Nguyễn Gia Cốc (1996) - Ôn luyện giải tốn Hình học vectơ, NXB Đà Nẵng Các sách giáo khoa Hình học 10, 11 51          ... kĩ vận dụng vectơ vào giải tốn hình học khơng gian, tơi chọn đề tài nghiên cứu là: ? ?Ứng dụng vectơ giải tốn hình học khơng gian? ?? Mục đích nghiên cứu Đưa phương pháp vận dụng vectơ để giải số... tốn vectơ 1.3 Tích vơ hướng hai vectơ 1.4 Một số hệ thức vectơ trọng tâm 1.5 Ba vectơ đồng phẳng Chương 2: Ứng dụng vectơ giải tốn hình học không gian 2.1 Chứng minh đẳng thức bất đẳng thức vectơ. .. liên quan đến phương pháp ứng dụng vectơ vào việc giải toán hình học khơng gian Nghiên cứu thực tế: Trao đổi với số giáo viên THPT dạy chương vectơ khơng gian – Hình học lớp 11 (SGK hành) để tham