Một số phương pháp sáng tạo và tìm tòi lời giải bài toán hình học cấp trung học cơ sở

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - - LÊ HỮU NAM MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP SÁNG TẠO VÀ TÌM TỊI LỜI GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, NĂM 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - - LÊ HỮU NAM MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP SÁNG TẠO VÀ TÌM TỊI LỜI GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Hữu Hậu THANH HÓA, NĂM 2019 Danh sách Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Theo Quyết định số 1897/QĐ-ĐHHĐ ngày 21 tháng 11 năm 2019 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức Học hàm, học vị, Họ tên GS.TS Đào Tam Cơ quan Công tác Trƣờng ĐH Vinh Chức danh Hội đồng Chủ tịch PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Trƣờng ĐHGD-ĐHQG Hà Nội Phản biện TS Hoàng Văn Thi Sở GD&ĐT Thanh Hóa Phản biện TS Mai Xuân Thảo Trƣờng ĐH Hồng Đức Ủy viên TS Nguyễn Văn Lƣơng Trƣờng ĐH Hồng Đức Thƣ ký Học viên chỉnh sửa theo ý kiến Hội đồng Ngày tháng 12 năm 2019 Xác nhận Ngƣời hƣớng dẫn TS Nguyễn Hữu Hậu * Có thể tham khảo luận văn Thư viện trường Bộ môn i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa ln, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Ngƣời cam đoan Lê Hữu Nam ii LỜI CẢM ƠN Sau hai năm nghiên cứu học tập trƣờng Đại học Hồng Đức, em hoàn thành luận văn với đề tài “Một số phương pháp sáng tạo tìm tịi lời giải tốn hình học cấp Trung học sở” Trƣớc vào nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành TS Nguyễn Hữu Hậu, thầy dành thời gian hƣớng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ em suốt trình học tập nghiên cứu, hoàn thiện đƣợc luận văn Em xin chân thành cảm ơn tới thầy cô đọc, kiểm tra, đánh giá cho ý kiến quý báu để luận văn đƣợc hoàn thiện phong phú Trong trình học tập làm luận văn em nhận đƣợc quan tâm giúp đỡ, cổ vũ tạo điều kiện nhiều từ phía thầy giáo khoa, Khoa học Tự nhiên, Phòng Đào tạo sau Đại học Ban lãnh đạo trƣờng Đại học Hồng Đức Tác giả trân trọng biết ơn giúp đỡ lớn lao Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Tổ Toán- Tin trƣờng THCS THPT Nghi Sơn tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt khóa học Tơi xin cảm ơn bạn học viên lớp cao học K10- Phƣơng pháp toán sơ cấp- Đại học Hồng Đức giúp đỡ tơi suốt q trình học tập làm luận văn Cảm ơn Gia đình động viên tơi suốt q trình Tuy có nhiều cố gắng nhƣng thời gian trình độ cịn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận đƣợc bảo góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn đƣợc hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày 11/11/2019 Học viên Lê Hữu Nam iii MỤC LỤC Mở đầu Chƣơng 1: Kiến thức sở……………………………………………….… 1.1 Quan hệ Hình học phẳng………………………………… 1.1.1 Quan hệ liên thuộc…… ……………………………………………… 1.1.2 Quan hệ song song………….………………………………………… 1.1.3 Quan hệ vng góc…………… ……………………………………… 1.2 Một số vấn đề giải tốn Hình học…….……………………………… 10 1.2.1 Các phƣơng pháp suy luận giải tốn hình học…….…………… 10 1.2.2 Các bƣớc giải tốn hình học…………………………………… 12 1.3 Một số sai lầm phổ biến học sinh giải tốn Hình học phẳng…… 14 Chƣơng 2: Một số phƣơng pháp sáng tạo tốn Hình học phẳng…… 19 2.1 Sử dụng thao tác tƣ duy…………………………………………… 19 2.2 Khai thác giả thiết, kết luận mở rộng tốn…………………………… 22 2.3 Phát biểu tốn dƣới nhiều hình thức khác nhau, thay đổi kết cấu toán tạo thành toán 56 Chƣơng 3: Một số phƣơng pháp tìm tịi cách giải tốn Hình học 61 3.1 Một số phƣơng hƣớng tìm yếu tố phụ hình học 61 3.2 Tìm tịi giải tốn chứng minh 66 3.2.1 Chứng minh hình 66 3.2.2 Chứng minh hai đƣờng thẳng vng góc với 68 3.2.3 Các toán liên quan đến đa giác nội tiếp, ngoại tiếp đƣờng trịn 69 3.2.4 Chứng minh hệ thức hình học 72 3.2.5 Chứng minh thẳng hàng, đồng quy, song song 74 3.3 Tính tốn hình học 76 3.3.1 Tính số đo góc 76 3.3.2 Tính độ dài diện tích 78 3.4 Bài toán cực trị hình học 79 Kết luận 82 Tài liệu tham khảo 83 MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Hình học phẳng mơn học quan trọng cấp Trung học sở , nội dung quan trọng trƣơng trình tốn phổ thông Các kết chứng minh đƣợc chứng minh tƣơng đối hoàn chỉnh đầy đủ tài liệu nƣớc nƣớc Mặt khác kì thi học sinh giỏi cấp ta hay gặp tốn hình học phẳng Để giúp học sinh phổ thơng, giáo viên tìm hiểu kết tốn hình học phẳng nhà tốn học nghiên cứu, đồng thời nắm đƣợc kĩ thuật, sáng tạo tìm tịi cách giải số dạng tốn hình học phẳng hệ thống theo trình tự logic định Việc sáng tạo đƣa số phƣơng thức tìm tịi cách giải bải tốn hình học phẳng nhằm giúp học sinh nhìn nhận khái qt hóa tốn mà học sinh tự giải Từ cho em làm quen tập dƣợt việc nghiên cứu chuyên đề toán học sau Chính lý trên, chúng tơi chọn đề tài nhiên cứu luận văn “Một số phương pháp sáng tạo tìm tịi lời giải tốn hình học cấp Trung học sở” Mục đích đề tài Mục đích nghiên cứu luận văn trình bày số kiến thức hình học phẳng, số sai lầm học sinh giải tốn hình học, đồng thời đƣa số phƣơng pháp sáng tạo tìm tịi lời giải tốn hình học cấp THCS Nội dung nghiên cứu Một số kiến thức hình học phẳng, đƣa số phƣơng pháp sáng tạo toán hình học phẳng: Sử dụng thao tác tƣ duy; Khai thác giả thiết, kết luận mở rộng toán; Phát biểu tốn dƣới nhiều hình thức khác nhau, thay đổi kết cấu toán tạo thành toán Đồng thời đƣa số phƣơng pháp tìm tịi lời giải tốn gồm: Sử dụng yếu tố phụ giải tốn hình học; Tìm tịi giải tốn chứng minh; Tính tốn hình học; Bài tốn cực trị hình học Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu tốn hình học phẳng, tài liệu bồi dƣỡng học sinh giỏi, tài liệu hội thảo toán học, … Dự kiến kết đạt đƣợc Hệ thống hóa đƣa số phƣơng pháp sáng tạo tìm tịi lời giải tốn hình học cấp THCS, số sai lầm học sinh giải tốn hình học Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy học chun đề tốn trƣờng THCS, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học toán cho giáo viên học sinh 6.Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, dự kiến luận văn gồm chƣơng: Chƣơng 1: Kiến thức sở Chƣơng 2: Một số phƣơng pháp sáng tạo tốn Hình học phẳng Chƣơng 3: Một số phƣơng pháp tìm tịi cách giải tốn Hình học CHƢƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Quan hệ hình học phẳng 1.1.1 Quan hệ liên thuộc [9] Các toán quan hệ liên thuộc bao gồm : - Các điểm thẳng hàng (các điểm thuộc đƣờng thẳng); - Các điểm đồng phằng (các điểm thuộc mặt phẳng); - Các điểm thuộc đƣờng tròn; - Các điểm thuộc mặt cầu; - Các đƣờng thẳng đồng quy; - Các mặt phẳng đồng quy 1.1.1.1 Các điểm thẳng hàng Để chứng minh ba điểm thẳng hàng (thuộc đƣờng thẳng) ta sử dụng cách thƣờng dùng sau (đƣợc phát biểu dƣới dạng thu gọn): Cách 1: A, B, C thẳng hàng B A, C  AB  BC  AC Cách 2: A, B, C thẳng hàng  AB, BC song song với đƣờng thằng  Cách 3: (Bổ đề hình thang): Chứng minh ba điểm giao điểm đƣờng chéo, giao điểm phần kéo dài cạnh bên trung điểm đáy hình thang nằm đƣơng thẳng Cách 4: A, B, C thẳng hàng  A, B, C thuộc hai mặt phẳng phân biệt ( P) (Q) Cách 5: A, B, C thằng hàng  AB  k AC Cách 6: A, B, C thẳng hàng  Chúng ảnh ba điểm thẳng hàng qua phép biến hình Cách 7: A, B, C thẳng hàng  Toạ độ C nghiệm phƣơng trình đƣờng thẳng AB (trong mặt phẳng hay khơng gian) Cách 8: Ngồi quy trình trên, sử dụng định lí Ta-let, định lí Mê-nê-la-t, sử dụng tính chất góc đối đỉnh góc kề bù 1.1.1.2 Các điểm đồng phẳng Chúng ta tiến hành theo cách sau để chứng minh: Cách 1: A, B, C, D thuộc mặt phẳng AB, AC, AD song song với mặt phẳng (  ) vng góc với đƣờng thẳng (  ) đó, AB cắt CD ( AC cắt BD ) Cách 2: A, B, C, D thuộc mặt phẳng  Các vec tơ AB, AC , AD , đồng phẳng Cách 3: A, B, C, D thuộc mặt phẳng phƣơng trình mặt phẳng (  ) qua ba điểm A, B, C hệ toạ độ trực chuẩn không gian nghiệm toạ độ D Cách 4: A, B, C, D thuộc mặt phẳng A, B, C, D ảnh bốn điểm A1 , A2 , A3 , A4 thuộc mặt phẳng qua phép vị tự V( o ,k ) Chú ý Ngoài cách nêu, để nhằm khai thác phƣơng pháp khác giải tốn sử dụng Định lý Mê-nê-la-uýt áp dụng cho tứ giác ghềnh sau đây: “Bốn điểm A, B, C, D lần lƣợt thuộc cạnh MN , NP, PQ, QM tứ giác ghềnh MNPQ đồng phẳng AM BN CP  1" AN BP DM 1.1.1.3 Các điểm thuộc đƣờng tròn Để chứng minh điểm A1 , A2 , An thuộc đƣờng tròn ta sử dụng cách sau (đƣợc phát biểu dạng thu gọn bƣớc): Cách 1: Chỉ điểm O cách điểm A1 , A2 , , An Cách 2: Chứng minh điểm liên tiếp nằm phía “nhìn” hai đỉnh cịn lại hai điểm dƣới góc Cách 3: Chọn ba điểm cố định, lần lƣợt chứng minh điểm lại thuộc đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh ba điểm chọn 69 b) Ta có EAD  FEB  MFE suy tứ giác AEFD nội tiếp Do MA.ME=MF.MD, nghĩa M nằm trục đẳng phƣơng hai đƣờng tròn (O) (O’), chứng minh tƣơng tự với điểm N Suy MN trục đẳng ' phƣơng hai đƣờng tròn đó, MN  OO Bài tập rèn luyện Về phía ngồi tam giác ABC, lấy AC AB làm cạnh huyền dựng tam giác vuông cân CAE ABD Với M trung điểm BC, chứng minh DME tam giác vuông cân Bài 2: Trên cạnh hình bình hành ABCD, dựng phía ngồi hình vng với tâm M, N, P, Q Chứng minh MNPQ hình vng Bài 3: Cho đƣờng tròn (I) nội tiếp tam giác ABC Gọi E,F tiếp điểm với cạnh AB BC Đƣờng phân giác góc A cắt E’ D Chứng minh góc ADC vng 3.2.3 Các tốn liên quan đến đa giác nội tiếp, ngoại tiếp đƣờng tròn Chú ý mở đầu Nếu bốn điểm A,B, C, D nằm đƣờng trịn ta có: - Hai góc ACB ADB hai điểm C D nằm phía đƣờng thẳng AB - Hai góc ACB ADB bù hai điểm C D nằm hai phía đoạn thẳng AB Ngƣợc lai, để chứng minh bốn điểm A, B, C, D cho, nằm đƣờng trịn, ta dùng hai cách: Hoặc: Chứng minh hai góc ACB ADB biết hai điểm C D nằm phía đƣờng thẳng AB Bởi chƣa biết trƣờng hợp hai trƣờng hợp xảy lập luận ta phạm sai lầm Để tránh rắc rối xảy ra, ta đƣa khái niệm góc lƣợng giác hai đƣờng thẳng 70 Trong mặt phẳng định hƣớng cho hai đƣờng thẳng a b có điểm chung O Ta xác định góc  cho phép quay tâm O với góc quay  biến đƣờng thẳng a thành đƣờng thẳng b Hiển nhiên phép quay tâm O với góc quay   kr (với k  Z ) biến a thành b Ngoài thay điểm O điểm O’ tuỳ ý phép quay tâm O’với góc quay   kr (với k  Z ) biến đƣờng thẳng a thành đƣờng thẳng a’ song song trùng với b Định nghĩa Tập hợp góc   k (với k  Z ) đƣợc gọi góc lƣợng giác đƣờng thẳng a b, kí hiệu: (a, b)    kr (với k  Z ) Từ dịnh nghĩa dễ dàng suy ra: Nếu a b song song trùng (a, b)  k (k  Z ) Với hai đƣờng thẳng a, b ta có (a, b)  (b, a)  k (k  Z ) Nhƣ (a, b)    kr (b,a)    kr (k  Z ) Với ba đƣờng thẳng a,b,c ta có: (a,b)+(b,c)+(c,a)= k (k  Z ) Nếu (a,c)=(b,c)+kπ (k  Z) a b song song trùng Một số kết quả: ' ' ' ' + Nếu a  a , b  b (a, b)  (a , b ) + Cho hai điểm A, B cố định Quỹ tích điểm M cho góc lƣợng giác (MA, MB) khơng đổi đƣờng trịn qua hai điểm A, B + Điều kiện cần đủ để điểm A, B, C, D đồng phẳng là: (CA,CB)=(DA,DB) + Nếu ba đƣờng thẳng đồng quy a, b, c c đƣờng phân giác góc tạo thành bới a b (a,c) =(c,b) Bài tốn 3.2.3.1[5; tr187] Cho hai đƣờng trịn (O) (O’) cắt nhaui A B, điểm P khơng nằm hai đƣờng trịn Một đƣờng thẳng qua B cắt (O) (O’) M N Đƣờng thẳng PM cắt (O) C, đƣờng thẳng PN cắt (O’) D, Chứng minh điểm A, P, C, D nằm đƣờng tròn Hướng dẫn giải 71 Bốn điểm A, B, C, D nằm đƣờng tròn (O) nên (AC,AB)=(MC,MB) Bốn điểm A, B, D, N nằm đƣờng trịn (O’) nên (AB,AD)=(NB,ND) Từ suy ra: (AC,AD)=(AC,AB)+(AB,AD)=(MC,MD)+(NB,ND) Hình 3.12 =(PM,MN)+(MN,PN)= (PM,PN)=(PC,PD) Vậy: điểm A,P, C,D nằm đƣờng trịn Bài tốn 3.2.3.2 Cho tam giác ABC, đƣờng cao AA’, BB’, CC’ trực tâm H Đƣờng thẳng B’C’ cắt đƣờng tròn đƣờng kính HC điểm D khác B’ Chứng minh: A’S//AB A Hướng dẫn giải Ta có: HC qua B’ A’ Suy (A’S, A’H)= (B’S, B’H) ’ S ’ Bốn điểm A, H, B , C nằm đƣờng C' H trịn đƣờng kính AH nên : (B’S, B’H)= (AC’, AH) Từ suy (A’S, A’H)= (AC’, AH) hay (A’S, AA’)= (AB, AA’) B' O B A' Suy A’S//AB Hình 3.13 Bài tốn 3.2.3.3 Cho B trung điểm đoạn AC, đƣờng tròn (O) tâm I tiếp xúc với đƣờng thẳng AC A Một tia Bx cắt (O) P, Q Các tia CP, CQ cắt (O) M, N Chứng minh MN//AC Hướng dẫn giải Ta có BA tiếp tuyến BPQ cát tuyến (O) nên BA2=BP.BQ BC2=BP.BQ Vậy đƣờng tròn (O’) ngoại tiếp tam giác CPQ tiếp xúc với đƣờng C 72 thẳng AC C Đối với đƣờng trịn (O) ta có (Mn, MP)=(QN,QP), đƣờng trịn (O’) ta có (QN, QP)=(CA,CP) Nên (MN,MP)=(CA,MP) Suy MN//CA Bài tập tự luyện Hình 3.14 Bài 1: Cho hai đƣờng tròn (O) (O’) cắt A B Một điểm P nằm đƣờng thẳng AB, khác với A B Gọi d tiếp tuyến chung (O) (O’) với tiếp điểm lần lƣợt C C’ Đƣờng thẳng PC cắt (O) D, Đƣờng thẳng PC cắt (O’) D’ Chứng minh: a) Chứng minh tứ giác CDD’C’ nội tiếp b) Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác PDD’ tiếp xúc với (O) (O’) Bài 2: Cho đƣờng tròn (O) hai điểm P,Q không nằm (O) Một đƣờng thẳng d thay đổi qua P cắt (O) M M’ Chứng minh: Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác QMM’ qua điểm cố định Bài 3: Chứng minh tứ giác lồi ngoại tiếp đƣờng tròn tổng độ dài cặp cạnh đối tứ giác 3.2.4 Chứng minh hệ thức hình học Độ dài đoạn thẳng, độ lớn góc, diện tích hình phẳng, thể tích hình khơng gian khái niệm lƣợng hình học Ơclit mà hình học xạ ảnh hay Afin khơng có Các khái niệm liên hệ chặt chẽ với đƣợc thể hệ thức hình học xác định, biểu thức chứa phép tốn độ dài, góc, diện tích thể tích hình Việc tìm tịi chứng minh hệ thức hình học có vai trị quan trọng học tập nghiên cứu hình học Bài tốn 3.2.4.1 Chứng minh tam giác ABC vuông 2R+r=p Hướng dẫn giải Ta có: 73 2R  r  p  abc   p 2 p  abcp  2  2p  abc  2( p  a)( p  b)( p  c)  p p( p  a)( p  b)( p  c) Bình phƣơng hai vế đẳng thức rút gọn ta đƣợc: Hình 3.15 2R  r  p  (a  b2  c )(a  b2  c )(a  b2  c )  Vậy : tam giác ABC tam giác vng với đỉnh góc vng A B C Bài tốn 3.2.4.2 Cho đƣờng trịn (O) bàng tiếp góc A tam giác ABC Gọi H, I, K lần lƣợt cá tiếp điểm đƣờng tròn (O) với đƣờng thẳng BC, CA, AB Đƣờng thẳng IK cắt OB, OC B, Q Chứng minh : IQ PQ PK   AB BC CA Hướng dẫn giải Dễ thấy BHP  BKP BKP  BHP,CIP  BHP Nhƣ vậy: tứ giác CHPI nội tiếp, ta có HPQ  ACB ChỨNG minh tƣơng tự ta có: HQP  ABC Từ ta suy hai tam giác HPQ ABC đồng dạng với nhau, tức là: HQ PQ PH   Từ AB BC CA hai tam giác BHP BKP ta có PH=PK, tƣơng tự QH=QI Vậy: IQ PQ PK   AB BC CA Hình 3.16 Bài tập tự luyện: Cho tam giác ABC nội tiếp (O:R) Các tia phân giác góc A,B,C cắt (O) lần lƣợt A’,B’,C’ Tính diện tích tam giác A’B’C’ theo R p, p nửa chu vi tam giác 74 3.2.5 Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đƣờng thẳng đồng quy song song Chứng minh song song, đồng quy, thẳng hàng chủ đề lớn hình học THCS, ngồi kiến thức song song, đồng quy, thẳng hàng cịn hay gặp tốn sử dụng hai định lí quan trọng sau: Định lí Mê- nê-la-uýt Xê-va Cho ba điểm A’,B’,C’ lần lƣợt nằm cá cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Ta có: C ' A A' B B 'C 1) Ba điểm A ,B ,C thẳng hàng ' ' '  C B AC B A ’ ’ ’ C ' A A' B B 'C 2) Ba điểm AA , BB , CC đồng quy ' '  1 C ' B AC BA ’ ’ ’ (Định lí Mê- nê-la-t) Bài tốn 3.2.5.1 ( Định lí Đơ-dác): Cho hai tam giác ABC A’B’C’ cho đỉnh tam giác không nằm cạnh tam giác Giả sử AB A’B’ cắt P, BC B’C’ cắt Q, CA A’C’ cắt R Chứng minh ba điểm P, Q, R thẳng hàng ba đƣờng thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy song song Hướng dẫn giải Xét trƣờng hợp hai ba đƣờng thẳng AA’, BB’, CC’ cắt nhau, chẳng hạn AA’, BB’ cắt O, áp dụng định lí Mê- nê-la-uýt vào tam giác AA’P ba điểm thẳng hàng O, B’,B ta có: OA B ' A' BP   ' ' 1 OA B P BA Hình 3.17 75 CR OA C ' A' CR BA QP C ' A' QR B ' P Đặt:   ,  ' Thì     CA BP QR C R QP B ' A' CA' OA' C ' R Theo định lí Mê- nê-la-t ta có ba điểm P, Q, R thẳng hàng CR OA C ' A'    1 ' ' ' 1 CA OA C R Điều xảy ba điểm C, O, C’ thẳng hàng Hay ba đƣờng thẳng AA’, BB’, CC’ qua O Bài toán 3.2.5.2 Cho A, B, C tiếp điểm ba đƣờng trịn đơi tiếp xúc ngồi nhau: A tiếp điểm hai đƣờng trịn (O1) (O2), B tiếp điểm hai đƣờng tròn (O2) (O3), C tiếp điểm hai đƣờng tròn (O3) (O1) 1) Chứng minh ba đƣờng thẳng AO3, BO1, CO2 đồng quy 2) Gọi giao điểm đƣờng tròn (O1) với đƣờng thẳng AB, BC lần lƣợt P, Q Chứng minh: O1, P, Q thẳng hàng Hướng dẫn giải 1) Từ giả thiết suy AO1 R BO R CO R  1,  2,  R2 BO3 R3 CO1 R1 AO2 Do đó: AO1 BO2 CO3  1 AO2 BO3 CO1 Theo định lí Xê- vat a có đƣờng thẳng AO3 , BO1 , CO2 đồng quy Do ba đƣờng trịn tiếp xúc Hình 3.18 đôi nên O1P O1Q song song với O2O3 nên O1, P, Q thẳng hàng Bài tập tự luyện Bài 1: Cho ba đƣờng tròn (O), (O’), (O’’) qua điểm T, (O) (O’) cắt T K Với điểm M (O), đƣờng thẳng MI cắt (O’) N, đƣờng thẳng MK cắt (O’’) P Chứng minh ba điểm N, J, P thẳng hàng Bài 2: Đƣờng tròn (O) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh AB, BC,CA lần lƣợt C’, A’, B’ Chứng minh ba đƣờng thẳng AA’,BB’, CC’ đồng quy 76 Bài 3: Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đƣờng tròn (O), gọi I,J,K lần lƣợt giao điểm( có) cặp đƣờng thẳng: AB DE, BC EF, CD FA Chứng minh điểm I,J,K thẳng hàng 3.3 Tính tốn hình học Tính tốn hình học phần khơng thể thiếu mơn hình học THCS, tập tính tốn rèn luyện tƣ duy, khả tính tốn, ƣớc lƣợng giải toán thực tế mục tiêu mơn hình học Các tốn tính tốn bao gồm tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo cung, khoảng cách, chu vi, diện tích, thể tích,… 3.3.1 Tính số đo góc Bài tốn 3.3.1.1 Cho tam giác ABC đƣờng trung tuyến AM Biết tổng hai góc CAM ABC 900 Tính góc BAC Hướng dẫn giải Vẽ đƣờng thẳng vng góc với BC M, đƣờng thẳng cắt tia BA A Khi BA' M  CA' M BA' M  ABC  900 Nhƣng theo giả thiết CAM  ABC  900 nên ta có BA' M  CAM CA' M  CAM Từ suy tứ giác AA’CM nội tiếp Vậy BAC  900 Hình 3.19 Bài tốn 3.3.1.2] Cho tam giác ABC, đƣờng thẳng song song với BC cắt AB, AC D E Gọi G trọng tâm tam giác ADE I trung điểm CD Tính số đo góc tam giác GIB Hướng dẫn giải Hình 3.20 77 Lấy điểm K cho BCKD hình bình hành (hình 3.20) Khi tam giác ECK tam giác có góc 600 Suy EK = EC = DB Hai tam giác GDB GEK có GD = GE, DB = EK, GDB  GEK  1500 Vậy GB = GK, tức tam giác GBK tam giác cân Vì I trung điểm DC nên trung điểm BK nên GI  BI Ngoài dễ thấy BGK  DGE Vậy GBI  300 Bài toán 3.3.1.3 Cho tam giác ABC có góc A 450 đƣờng cao BN CM Tính góc BNO COM, O tâm đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác Chứng minh AO vng góc với MN Hướng dẫn giải Theo giả thiết, tam giác ANB tam giác vuông cân nên NA = NB Ngoài OA = OB nên NO trung trực đoạn thẳng AB, BNO  450 NO  AB Hoàn toàn tƣơng tự ta có CMO  450 MO  AC Nhƣ O trực tâm tam giác AMN, OA  MN Hình 3.21 3.3.2 Tính độ dài tính diện tích Bài tốn 3.3.2.1 Hai đƣờng trịn (O;R) (O’;R’) tiếp xúc ngồi với tiếp xúc với đƣờng thẳng d lần lƣợt điểm A A’ Tìm bán kính đƣờng tròn tiếp với hai đƣờng tròn (O), (O’) tiếp với đƣờng thẳng d Hướng dẫn giải Giả sử (I; r) đƣờng tròn tiếp xúc với hai đƣờng tròn cho tiếp với d H Hình thang OO’AA’ vng A A’, có OO’ = R + R, OA = R, O’A’ = R Suy Hình 3.22 78  AA'  OO'2  (OA  O' A' )2  ( R  R ' )2  ( R  R '  2 RR ' Tƣơng tự hình thang OIHA O’IHA’ ta có: AH  Rr , A' H  R'r Vì AH + A’H = AA’ nên Rr  R' R  RR'  r ( R  R' )  RR' Vậy : r  RR ' ( R  R' )2 Bài toán 3.3.2.2 Cho tam giác ABC, điểm A’, B’, C’ lần lƣợt nằm cạnh BC, CA, AB cho A’B = 2A’C, B’C = 2B’A, C’A = 2C’B Ba đƣờng thẳng AA’, BB’, CC’ cắt tạo thành tam giác PQR Tính diện tích tam giác PQR biết diện tích tam giác ABC  Hướng dẫn giải Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác AA’C đƣờng thẳng BPB’ ta có: PA BA' B 'C PA   (2)  ' PA' PA' BC B A PA AP      PA' AA' S ( APB ' ) AP AB ' 1 S (AA ' C )  '     S ( APB )   Suy S (AA' C ) AA' AC 7 21 Hồn tồn tƣơng tự ta có : S(BQC’) = S(CRA’) =  21 Ta có: S ( PQR)  S ( ABC )   S (AA 'C )  S (BB' A)  S (CC ' B)     S ( APB ' )  S ( BQC ' )  S (CRA' )        3  21 Bài tập rèn luyện Bài 1: Tính độ dài đƣờng phân giác tam giác có độ dài cạnh a,b,c Bài 2: Ba đƣờng trịn bàng tiếp tam giác ABC có bán kính , rb , rc Tính bán kính đƣờng trịn nội tiếp đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác 79 3.4 Bài tốn cực trị hình học Trong tập hợp hình phẳng (hoặc hình khơng gian) đƣợc xác định tính chất chung, ta tìm hình cho đại lƣợng hình học giá trị biểu thức hình học loại đại lƣợng có giá trị lớn nhỏ Khi giải tốn cực trị, ta thƣờng phải tìm bất đẳng thức hình học Bài tốn 3.4.1 M điểm thay đổi cạnh BC tam giác ABC có hai góc B C nhọn Gọi E, F thứ tự hình chiếu M AB, AC Tìm vị trí M để EF có độ dài nhỏ Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm AM IE = IF= AM , EIF = 2A (không đổi) Vậy M thay đổi Hình 3.23 cạnh BC, tam giác cân EIF luôn đồng dạng với Suy cạnh EF nhỏ cạnh IE  AM nhỏ Gọi AH đƣờng cao tam giác ABC AM  AH AM = AH M = H Vậy EF nhỏ M trùng với H Bài tốn 3.4.2 Cho góc xAy điểm C thuộc miền góc Một đƣờng thẳng d thay đổi qua C cắt tia Ax, Ay lần lƣợt tai P, Q Tìm vị trí đƣờng thẳng d để tam giác APQ có diện tích nhỏ Hướng dẫn giải: (hình 3.24) Tam giác APQ có diện tích nhỏ tích AP.AQ nhỏ Lấy Ax vá Ay điểm B D cho ABCD hình bình hành Khi ta có: AB QC AD PC  ,  , nên AP QP AQ PQ Hình 3.24 80 AB AD QC PC     Từ suy AP AQ QP PQ AB AD AD AD   1 AP AQ AP AQ  AB AD   AP AQ  AB AD AQPAQ Dấu xảy AB AD   tức AP = 2AB AQ = 2AD AP AQ Đó tam giá APQ có diện tích bé Bài tốn 3.4.3 Cho tam giác ABC, xét hình chữ nhật DEMN nội tiếp tam giác, với D thuộc AB, E thuộc AC, N M thuộc BC Cạnh DE hình chữ nhật vị trí hình chữ nhật có diện tích lớn Tính giá trị lớn Hướng dẫn giải Gọi AH = h, AK = h’ lần lƣợt đƣờng cao tam giác ABC tam giác ACE, (hình 3.25), ta có: S ( DEMN ) DE.KH h ' h  h ' 2h ' ( h  h ' )   S ( ABC ) BC AH h h h2 Hình 3.25 Vì h’ + (h - h’) = h khơng đổi nên tích h’(h - h’) đạt giá trị lớn h h’= h – h’, tức h'  Đó DE đƣờng trung bình tam giác ABC Bài tập rèn luyện Bài 1: Cho điểm (O) nằm tam giác ABC; gọi P,Q,R chân đƣờng vng góc hạ từ O xuống AB,BC,CA Chứng minh rằng: a) OA  OB  OC  2(OP  OQ  OR) OC  (OQ  OR)(OR  OP)(OP  OQ) b) OAOB Trƣờng hợp dấu xảy ra? 81 Bài 2: Cho điểm M thuộc miền tam giác ABC Các đƣờng thẳng AM,BM,CM cắt cạnh BC, CA, AB tƣơng ứng D,E,F Xác định M để biểu thức MA MB MC đạt giá trị nhỏ MD ME MF Bài 3: Cho đƣờng thẳng a đoạn AB khơng có điểm chung với a Tìm M a cho AMB lớn Bài 4: Trong tam giác vng có chu vi 2p cho trƣớc, tam giác có diện tích lớn nhất? Lớn bao nhiêu? Bài 5: Trong tứ giác nội tiếp đƣờng trịn, tứ giác có diện tích lớn nhất? 82 KẾT LUẬN Luận văn "Một số phương pháp sáng tạo tìm tịi lời giải tốn hình học cấp Trung học sở" đạt đƣợc mục đích nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn thực đƣợc vấn đề sau: Tìm hiểu trình bày xây dựng hình học phƣơng pháp tiên đề mối quan hệ hình học phẳng Hệ thống phân loại dạng toán cách tƣ tìm tịi lời giải tốn hình học sáng tạo cho dạng toán Định hƣớng việc ứng dụng phƣơng pháp cho dạng toán cụ thể Đối với dạng tốn có tốn minh hoạ rõ ràng Hy vọng nội dung luận văn cịn tiếp tục đƣợc hồn thiện phát triển nữa, nhằm tài liệu tham khảo tốt cho học sinh quan tâm đến hình học phẳng 83 Tài liệu tham khảo [1] Vũ Hữu Bình (2013), Tìm cách giải tốn hình học cấp THCS, NXB Giáo dục [2] Lê Hải Châu, Nguyễn Xuân Quỳ (2001), Cách tìm lời giải toán THCS (Tập 3), Nxb Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tơn Thân ( Chủ biên) (2009), Toán (Tập 1), Nxb Giáo dục [4] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tơn Thân ( Chủ biên) (2005), Toán (Tập 1), Nxb Giáo dục [5] Văn Nhƣ Cƣơng (Chủ biên) (2009), Hình học sơ cấp Thực hành giải toán, Nxb Đại học Sƣ phạm Hà Nội [6] Nguyễn Ngọc Giang (2017), Phương pháp sáng tạo tốn hình học THCS, NXB Đại Học Sƣ Phạm TP Hồ Chí Minh [7] Lê Quốc Hán (Chủ biên) (2016), Những đường sáng tạo giải tốn Hình học, Nxb Giáo dục [8] Nguyễn Đức Tấn (2001), Vẽ thêm đường phụ để giải số tốn hình học 8, Nxb Giáo dục [9] Nguyễn Chiến Thắng, Đào Tam (2017), Giáo trình Hình học sơ cấp Lịch sử Toán, Nxb Đại học Vinh