D \Giang\baitap\A2 dvi BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP A2 Phần 1 Tích phân hai lớp I Thay đổi thứ tự lấy tích phân 1 4 ∫ 0 dy 4 ∫ x f(x, y)dx, 2 2 ∫ 0 dx 2x ∫ x f(x, y)dy, 3 0 ∫ −1 dx √ 1−x2 ∫ x+1 f(x, y)dy, 4 1[.]
BÀI TẬP: TỐN CAO CẤP A2 Phần Tích phân hai lớp I Thay đổi thứ tự lấy tích phân R4 R4 R2 R2x dy f (x, y)dx, dx f (x, y)dy, R1 R1 dx dx 10 13 x 2−x R x 2x R f (x, y)dy f (x, y)dy, √ dx R2 R1 4x−x R dx Ry Rx R3x 11 14 R3 dx 1/y f (x, y)dy, R2 √ dx dx R2 dx √ dx 2x−x R Rx 1−x R x+1 3−2x R √ R3x 15 x f (x, y)dy, x x/2 12 f (x, y)dy, f (x, y)dy, f (x, y)dy, f (x, y)dy, 2−x f (x, y)dx, f (x, y)dy, 2x dy −1 R1 x 1/4 R1 f (x, y)dy, √ dx x2 R2 x R0 R1 dx R1 x+1 R dx 2−x R f (x, y)dy, x f (x, y)dy II Tính tích phân hai lớp theo miền D giới hạn miền RR RR (x + y )dxdy, D = [2, 3] × [1, 2] (x + y )dxdx, D D D = [0, 1] × [0, 1] RR xydxdy, y = x2 , x = y R RD xdxdy, y = x3 , x+y = 2, x = xdxdy, y = 3x, y = x2 + RD R xdxdy, y ≥ x2 , y ≥ − x2 R DR D √ (x3 + xy)dxdy, y = x2 , y = x D RR√ x + ydxdy, x = 0, y = 0, x+y = RR D y = x2 − x + 1, x = y − RDR √ 2xydxdy, y = x, y = x 10 RR xdxdy, D Sử dụng tọa độ cực RR 11 (x + y 2)dxdy, D : x2 + y ≤ R2 , y ≥ RD R x2 +y2 e 12 dxdy, D : x2 + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ RD R x2 +y2 13 e dxdy, D : x2 + y ≤ R2 RD R −(x2 +y2 ) 14 e dxdy, D : x2 + y ≤ R2 RD R 15 ydxdy, D : x2 + y ≤ 2y RD R 16 xdxdy, D : x2 + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ RD R 17 dxdy, D : x2 + y ≤ 2x RD R 18 (x + y 2)dxdy, D : x2 + y ≤ 1, x ≤ 0, y ≥ D 19 20 21 22 RRp RD R RD R x2 + y dxdy, sin p D : x2 + y ≤ a2 x2 + y 2dxdy, (x + y)dxdy, D : π ≤ x2 + y ≤ 4π , D : x2 + y ≤ x + y RD Rp (x − 1)2 + (y − 1)2 dxdy, RR 1− D r D : x2 + y ≤ 2x + 2y x2 y x2 y − dxdy, D : + ≤1 a2 b2 a2 b D 2 RR x y 24 dxdy, D : + ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ D 23 Phương pháp đổi biến RR 25 (x + y)dxdy, D : y = x + 2, y = x − 1, y = −2x + 1, y = −2x + D RR 26 (x + y)dxdy, D : y = x − 1, y = x + 1, y = 2x, y = 2x + D RR 27 xydxdy, D : xy = 1, xy = 2, x − y + = 0, x − y − = 0, (x > 0, y > 0) D PHần Tích phân ba lớp Tính tích phân lớp miền RRR sin(xy).x.z.dxdydz; V = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] V R R R dxdydz ; V : x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = (1+x+y+z)3 V RRR (x + y + z)dxdydz; V : x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = V RRR xdxdydz; V : x = 0, y = 1, z = 1, 2x + y + z = R R VR xyzdxdydz; V : z = xy, y = x, x = 1, z = V Sử dụng tọa độ cầu RRR z dxdydz; V : x2 + y + z ≤ R2 R R VR (x + y )dxdydz; V : x2 + y + z ≤ R2 , z ≥ R R VR (x + y )dxdydz; V : x2 + y + z ≤ R2 , z ≥ R R VR p x2 + y + z dxdydz; V : x2 + y + z ≤ z R RV R 10 xyzdxdydz; V : x2 + y + z = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ R R VR 11 zdxdydz; V : x2 + y + z ≤ 2z R R VR 12 (x + y )dxdydz; V : x2 + y + z ≤ 1, z ≥ V 13 RRR V x2 y z + + a2 b c V : dxdydz; x2 y z + + ≤1 a2 b c Sử dụng tọa độ trụ RRR 14 (x + y )dxdydz; V : x2 + y = 2z, z = R R VR p x2 + y 2dxdydz; V : x2 + y = z , z = 15 R R VR 16 (x + y + z)dxdydz; V : x2 + y = z, z = R R VR p 17 x2 + y 2dxdydz; V : x2 + y = z , z = R R VR 18 zdxdydz; V : x2 + y + z ≤ 2, z ≥ x2 + y p R R VR 19 dxdydz; V : z = − x2 − y 2, z = x2 + y R R VR 20 (y + z)dxdydz; V : x2 + y = z, z = + x2 + y , x2 + y = R R VR 21 z dxdydz; V : x2 + y + z = 2, z = x2 + y , x ≥ 0.y ≥ 0, z ≥ V Phần Tích phân đường a Tích phân đường loại R Tính (x + y)ds C chu vi tam giác với đỉnh O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1) RC Tính (x−y)ds C chu vi tam giác với đỉnh O(0; 0), A(2; 2), B(−2; 2) C R √ Tính e x+y ds C chu vi hình giới hạn x2 + y = a2 , (x > 0, y > 0) C đường thẳng y = 0, y = x Rp Tính x2 + y ds C chu vi đường tròn x2 + y = ax, (a > 0) RC 5.Tính xds C chu vi hình giới hạn x2 + y = 4, x ≥ 0, y ≥ CR Tính (x2 + y )ds C chu vi đường tròn x2 + y = 2x C R Tính (x − y)ds C chu vi đường tròn x2 + y = 2ax, (a > 0) C b Tích phân đường loại R Tính (x2 −2xy)dx+(y −2xy)dy C phần parabol y = x2 , −1 ≤ x ≤ C lấy theo chiều tăng x Tính Z y dx − x2 dy C a C đường trịn tâm O(0, 0) bán kính R = b C đường tròn tâm I(1, 1) bán kính R = lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ 10 Tính R C (x2 + y 2)dx + (x2 − y )dy C đường y = − |1 − x|, ≤ x ≤ lấy theo chiều tăng x R 11 Tính (x − 2y )dx + (y + 2xy)dy C cung trịn x2 + y = từ A(1, 0) C đến B(0, 1) theo chiều ngược chiều kim đồng hồ R x2 y 12 Tính (x + y)dx + (x − y)dy C đường Ellpise + = theo chiều a C b ngược chiều kim đồng hồ R x2 y2 13 Tính xdy − ydx C đường Ellpise + = theo chiều ngược C chiều kim đồng hồ R x2 y 14 Tính (x + y)dx + (x − y)dy C cung Ellipse + = từ A(2, 0) C đến B(−2, 0) theo chiều ngược chiều kim đồng hồ R (x + y)dx − (x − y)dy C đường tròn x2 + y = a2 theo chiều 15 Tính 2 x +y C ngược chiều kim đồng hồ R 16 Tính xy dy − x2 dx C đường trịn x2 + y = a2 theo chiều ngược C chiều kim đồng hồ R 17 Tính (xy + ex sin x + x + y)dx + (xy − e−y + x − sin y)dy C đường C tròn x2 + y = 2x theo chiều ngược chiều kim đồng hồ R 18 Tính 2(x2 + y 2)dx + x(4y + 3)dy C đường gấp khúc ABDA C A(0, 0), B(1, 1), D(0, 2) R 19 Tính (2xy − x2 )dx + (x + y )dy C biên miền giới hạn hai C đường y = x2 , y = x R y2 dx + xdy C đường trịn (x − 1)2 + y = theo chiều ngược 20.Tính C chiều kim đồng hồ Phần Tích phân mặt a Tích phân mặt loại RR Tính (2x + 2y + z − 1)dS S phần mặt phẳng x + y + z = 1, S x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ Tính RR (z + 2x + S 4y )dS S phần mặt phẳng 6x + 4y + 3z = 12, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ Tính Tính z=1 Tính Tính Tính R Rp x2 + y dS S phần mặt nón z = x2 + y 2, ≤ z ≤ RSR (x2 + y )dS S phần mặt z = x2 + y , bị cắt mặt phẳng RR (x + y + z)dS S phần mặt cầu x2 + y + z = 1, z ≥ R SR x2 S R SR p S x2 + y dS S mặt cầu x2 + y + z = x dS S phần mặt cầu x2 + y + z = 1, x ≥ 0, y ≥ + y2 b Tính tích phân mặt loại RR zdxdy S + phía mặt cầu x2 + y + z = a2 Tính + RS R xdydz S + phía ngồi mặt cầu x2 + y + z = a2 Tính SR+ R ydxdz S + phía ngồi mặt cầu x2 + y + z = a2 10 Tính RS +R z dxdy S + phía ngồi nửa mặt cầu x2 + y + z = 1, z ≥ 11 Tính S+ x2 a2 x2 phía ngồi mặt Ellipsoide a x2 phía ngồi mặt Ellipsoide a x2 phía ngồi mặt Ellipsoide RR zdxdy S + phía ngồi mặt Ellipsoide 13 Tính RR xdydz S + 14 Tính RR ydxdz S + 15 Tính RR zdxdy S + 12 Tính S+ S+ S+ S+ 16 Tính 17 Tính 18 Tính 20 Tính a2 21 Tính z2 =1 c2 z2 + =1 c z2 + =1 c + + z2 = RR zdxdy S + phía ngồi mặt cầu (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = RS +R zdxdy S + phía ngồi mặt cầu (x − 1)2 + (y − 2)2 + z = RS +R S+ 19 Tính y2 b2 y2 + b y2 + b y2 + + RR zdxdy S + phía ngồi mặt cầu (x − 1)2 + y + z = (x − y)dxdy S + phía ngồi mặt nón x2 + y = z , ≤ z ≤ RSR+ x3 dydz+y 3dzdx+z dxdy S + phía ngồi mặt cầu x2 +y +z = RR xdydz −yxdzdx−yzdxdy S + phía ngồi hình chóp x = 0, y = S+ S+ 0, z = 0, x + y + z = Phần Phương trình vi phân I Phương trình vi phân với biến số phân ly x(1 + y )dx + y(1 + x2 )dy = (x + 2x3 )dx + (y + 2y 3)dy = √ dx +p dy =0 1− − y2 y ′ − xy = 2xy dx dy √ − √ = y x xydx + (x + 1)dy = x2 p 2x − y dx + ydy = p y + 1dx = xydy y−1 x+1 10 (y + xy )dx + (x2 − yx2 )dy = y ′ = 11 (1 − x)dy − ydx = 12 (x2 − 1)y ′ + 2xy = p √ 13 x − y dx + y − x2 dy = 14 xy ′ + y = y 15 (1 + y )(e2x dx − ey dy) − (1 + y)dy = II Phương trình vi phân hồn chỉnh (3x2 + 6xy )dx + (6x2 y + 4y )dy = 2xydx + (x2 − y 2)dy = (2 − 9xy )xdx + (4y − 6x3 )ydy = y dx + (y + ln x)dy = x (1 + y sin 2x)dx − 2y cos2 xdy = ydx − xdy =0 xdx + ydy + x + y2 ey 2x(1 − ey ) dx + dy = (1 + x2 )2 + x2 y − 3x2 2x dx + dy = y3 y4 (x2 + y)dx = xdy 10 (2xy − y)dx + (y + x + y)dy = x y x y 11 ( + 1)dx + ( − 1)dy = 12 (xy + y)dx − xdy = 13 (x cos y − y sin y)dy + (x sin y + y cos y)dx = III Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số y ′′ + y ′ = y ′′ + 5y ′ + 6y = 3 y ′′ − y = x2 − x + y ′′ − 2y ′ + y = 4ex y ′′ − 2y ′ − 3y = −4ex + y ′′ − 3y ′ = e3x − 18x y ′′ − 3y ′ + 2y = 3e2x + 2x2 y ′′ − 3y ′ + 2y = sin x y ′′ − 4y ′ + 8y = e2x + sin 2x 10 y ′′ − 5y ′ = 3x2 + sin 5x 11 y ′′ − y = cos2 x 12 y ′′ + y = ex + cos x 13 y ′′ − y = 2ex − x2 14 y ′′ + y ′ − 2y = 3xex 15 y ′′′ − y ′′ = −3x + ... D : x2 + y ≤ a2 x2 + y 2dxdy, (x + y)dxdy, D : π ≤ x2 + y ≤ 4π , D : x2 + y ≤ x + y RD Rp (x − 1)2 + (y − 1)2 dxdy, RR 1− D r D : x2 + y ≤ 2x + 2y x2 y x2 y − dxdy, D : + ≤1 a2 b2 a2 b D 2 RR... zdxdy S + phía ngồi mặt cầu x2 + y + z = a2 Tính + RS R xdydz S + phía ngồi mặt cầu x2 + y + z = a2 Tính SR+ R ydxdz S + phía ngồi mặt cầu x2 + y + z = a2 10 Tính RS +R z dxdy S + phía ngồi nửa... R (x + y)dx − (x − y)dy C đường tròn x2 + y = a2 theo chiều 15 Tính 2 x +y C ngược chiều kim đồng hồ R 16 Tính xy dy − x2 dx C đường trịn x2 + y = a2 theo chiều ngược C chiều kim đồng hồ R 17