Chuyen de so nguyen to hop so girhj

1 CHUYÊN ĐỀ: SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ A Lý thuyết Định nghĩa số nguyên tố: Số nguyên tố số tự nhiên lớn chia hết cho P số nguyên tố  U ( p)  1, p Vd : 2, 3, 5, 7, < - Số nguyên tố nhỏ 2, số nguyên tố chẵn Tất số nguyên tố lại số lẻ Định nghĩa hợp số : Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều ước - Ước nguyên tố nhỏ hợp số a số không vượt a Các tính chất a Số 0, số nguyên tố, hợp số b Số số nguyên tố nhỏ c Số số nguyên tố chẵn d Tập hợp số nguyên tố vô hạn e Mọi hợp số phân tích thừa số ngun tố kết phân tích f Mọi số nguyên tố lớn có dạng : 4k  1;6n  g Tập hợp số tự nhiên bao gồm : Số 0, 1, số nguyên tố, hợp số h Nếu a.b chia hết cho p ( p số nguyên tố ) a chia hết cho p b chia hết cho p i Số ước số hợp số Giả sử n  p1n1 p2n2 pknk (n1 , n2 , , nk  N * )  p1 , p2 , , pk : Số nguyên tố n1 , n2 , , nk (k  N * )  số ước số n : (n1  1)(n 1)( (nk  1) Vd : 100  2 52  100 có : (2  1)(2  1)  ước Phân tích số thừa số nguyên tố - Là viết số dạng tích nhiều thừa số, thừa số số nguyên tố lũy thừa số nguyên tố - Dù phân tích thừa số thừa số nguyên tố cách cuối ta kết Số nguyên tố - Hai hay nhiều số gọi nguyên tố UCLN chúng - Hai số tự nhiên liên tiếp hai số nguyên tố B Bài tập *) Phƣơng pháp kiểm tra số số nguyên tố hay hợp số Với n  N * , n  ta kiểm tra theo bước sau : - Tìm số nguyên tố k cho : k  n  (k  1)2 - Kiểm tra xem n có chia hết cho số nguyên tố nhỏ k không ? +) Nếu có chia hết n số hợp số +) Nếu khơng chia hết n hợp số Bài 1: Tìm số tự nhiên n, cho a (2n  5)(3n  1) số nguyên tố b (n  2)(n2  n  7) số nguyên tố c (n  1)(n2  n  7) số nguyên tố d n  số nguyên tố Lời giải  2n    (2n  5)(3n  1) hợp số 3n   a Nếu n    Nếu n   (2n  5)(3n  1)  số nguyên tố Vậy n = b n   A  3(tm); n   A  1(loai); n   A  0(loai); n   A  11(tm) n   +) n     lahopso hợp số n  n   n(n  1)   Vậy n = n = c n  0(t / m); n  1(loai) n  3(loai) n  2(tm) d Ta có: n   (n  1)(n  1)   Bài 2: Nếu p số nguyên tố a p  p  số nguyên tố hay hợp số b p  200 số nguyên tố hay hợp số Lời giải a Ta có: p  p   p( p  1)   số chắn lớn nên hợp số chan b - Với p   p  200 số chẵn  p  200 hợp số - Với p   2009  số chẵn  p  200 hợp số - Với p   p : 3.du.1  2   p  2000  p  200 hợp số 2000 3.du.2  Vậy p  200 hợp số Bài 3: Chứng minh số tự nhiên A có ước số phân biệt A bình phương số nguyên tố Lời giải Giả sử A  p1n1 p2n2 pknk Trong đó: p1 , p2 , , pk số nguyên tố; n1 , n2 , , nk  N *  Số ước số A là: (n1  1)(n2  1) (nk  1)  S ( A) - Nếu k   S ( A)  (n1  1)(n2  1)  2.2   3(loai)  k   S ( A)  n1    n1  Vậy A  p12 (dpcm) Bài 4: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: a) 3.4.5 + 6.7 b) 5.7.9.11 - 2.3.4.7 c) 3.5.7 + 11.13.17 d) 16354 + 67541 Lời giải a) Ta có: 3.4.5  6.7   4.5  2.7   tổng hợp số b) Ta có: 5.7.9.11  2.3.4.7   5.9.11  2.3.4   tổng hợp số c) Ta có : 16354  67541 có chữ số tận nên chia hết cho 5, Vậy tổng hợp số Bài 5: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: a) 5.6.7 + 8.9 b) 5.7.9.11.13 - 2.3.7 c) 5.7.11 + 13.17.19 d) 4253 + 1422 Lời giải a) Ta có : 5.6.7  8.9   5.2.7  8.3  tổng hợp số b) Ta có : 5.7.9.11.13  2.3.7   5.9.11.13  2.3  tổng hợp số c) Ta có : 5.7.11 số lẻ, 13.17.19 số lẻ, Nên tổng số chẵn 2=> Là hợp số d) Ta có : 4253  1422 có chữ số tận nên chia hết cho 5, Vậy tổng hợp số Bài 6: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: a) 17.18.19.31 + 11.13.15.23 b) 41.43.45.47 + 19.23.29.31 c) 987654 + 54321 Lời giải a) Ta có: 17.18.19.31  11.13.15.23  17.6.19.31  11.13.5.23  hợp số b) Ta có: 41.43.45.47 số lẻ, 19.23.29.31 số lẻ, nên tổng số chẵn nên hợp số c) Ta có : 987654  54321 có chữ số tận nên chia hết cho 5, hợp số Bài 7: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: 1.2.3< n + Lời giải Xét n   1.2.3   số nguyên tố Xét n   1.2.3.4   25 hợp số Vậy không kết luận Bài 8: Cho a = 5  p  / 3; p  10 /  p   p  p  Thử lại : p + = 5, p + 10 = 13 số nguyên tố b Xét dãy số : p  10; p  15; p  20 3 p 3 c p  10; p  12; p  14 d p  4; p  6; p  d p  8; p  9; p  10 Bài 2: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp số nguyên tố Lời giải Gọi ba STN thỏa mãn toán : p; p  2; p  ( p lẻ ) Trong ba số p, p + 2, p + có số chia hết cho Có số số nguyên tố chia hết cho Bài 3: Tìm số nguyên tố p, cho số sa đồng thời số nguyên tố a p  2; p  6; p  8; p  14 b p  6; p  8; p  12; p  14  mod : c p  4; p  6; p  10; p  16; p  22 Lời giải a Xét dãy số : p; p  2; p  4; p  6; p   tồn số chia hết cho +) p   p    loai +) p   p    loai p 5 p 5  p5  p   p  14 5(loai) +) p    b p  6; p  8; p  10; p  12; p  14 c p; p  2; p  4; p  6; p  8; p  10; p  12 +) p = 2, 3, ( loại )  p   p  16 7(loai)  p  thử lại  p   p  22 7(loai) +) p    Bài 4: Tìm số nguyên tố p cho a p  4; p  số nguyên tố b p  94; p  1994 số nguyên tố Lời giải a Vì p  số nguyên tố nên p > +) Nếu p =  thỏa mãn +) p > 3, xét dãy số : p  4; p; p   có số chia hết cho  p  p  p  3(voly) Bài 5: Chứng minh : 200 p  1;200 p  đồng thời số nguyên tố Lời giải Giả sử số 200 p  1;200 p  số nguyên tố Xét dãy số : 200 p  1;200 p ;200 p   có số chia hết cho 200 p   p 3 p 3 (200,3)  +) p   200.32   1799 7(hopso)  voly  dpcm BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài 1: Tìm số nguyên tố p cho: a) p + 2, p + số nguyên tố b) p + 10, p + 14 số nguyên tố Lời giải a) Giả sử với p  số nguyên tố  p   hợp số  p   loai  - Với p  số nguyên tố  p   5, p   số nguyên tố  p   t / m  - Với p   p  3k  1, p  3k  2,  k  N  - Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố  p   3k   hợp số  p  3k  1 loai  - Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố  p   3k   hợp số  p  3k   loai  Vậy p = số nguyên tố cần tìm b) Giả sử với p  số nguyên tố  p  10  12 hợp số  p   loai  - Với p  số nguyên tố  p  10  13, p  14  17 số nguyê tố  p   t / m  - Với p   p  3k  1, p  3k  2,  k  N  - Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố  p  14  3k   14 hợp số  p  3k  1 l  - Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố  p  10  3k   10 hợp số  p  3k  1 l  Vậy p = số nguyên tố cần tìm Bài 2: Tìm số nguyên tố p cho: a) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14 số nguyên tố b) p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 số nguyên tố Lời giải Cách khác : a) Giả sử với p  số nguyên tố => p   hợp số=> p   l  - Với p  số nguyên tố  p   hợp số=> p   l  - Với p  số nguyên tố => p   7, p   11, p   13, p  14  19 số nguyên tố - Với p   p  5k  1, p  5k  2, p  5k  3, p  5k  4,  k  N  +) Nếu p  5k  giả sử số nguyên tố  p  14  5k   14 hợp số  p  5k  1 l  +) Nếu p  5k  giả sử số nguyên tố  p   5k  10 hợp số  p  5k  1 l  +) Nếu p  5k  giả sử số nguyên tố  p   5k   hợp số  p  5k   l  +) Nếu p  5k  giả sử số nguyên tố  p   5k   hợp số  p  5k   l  Vậy p = số nguyên tố cần tìm Bài 3: Tìm số nguyên tố p cho: a) p + 4, p + số nguyên tố b) p + 94, p + 1994 số nguyên tố Lời giải Cách khác : b, Giả sử với p  số nguyên tố => p  94  96 hợp số p   l  - Với p  số nguyên tố  p  94  97, p  1994  1997 số nguyên tố=> p  3t / m  - Với p   p  3k  1, p  3k  2,  k  N  +) Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố  p  1994  3k   1994 hợp số => p  3k  1 l  +) Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố => p  94  3k   94 hợp số=> p  3k   l  Vậy p = số nguyên tố cần tìm Bài 4: Tìm số nguyên tố p cho: a) 2p - 1, 4p - số nguyên tố b) 2p + 1, 4p + số nguyên tố Lời giải a) Giả sử với p  số nguyên tố  p 1  3, p 1  số nguyên tố  p   t / m  - Với p  số nguyên tố  p   5, p   11 số nguyên tố  p   t / m  - Với p   p  3k  1, p  3k  2,  k  N  Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC +) Nếu p  3k  , giả sử số nguyên tố  p    3k  1   12k  3 hợp số  p  3k  1 l  +) Nếu p  3k  , giả sử số nguyên tố  p    3k     6k  3 hợp số  p  3k   loai  Vậy p = p = số nguyên tố cần tìm b) Giả sử với p  số nguyên tố  p   hợp số  p   loai  Với p  số nguyên tố  p   7, p   13 số nguyên tố  p   t / m  Với p   p  3k  1, p  3k  2,  k  N  Nếu p  3k  , giả sử số nguyên tố  p    3k  1   6k  3 hợp số  p  3k  1 l  Nếu p  3k  , giả sử số nguyên tố  p    3k     12k  hợp số  p  3k   l  Vậy p = số nguyên tố cần tìm BÀI 3: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN SỐ NGUYÊN TỐ A Kiến thức cần nhớ - Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n - Mọi số nguyên tố lớn có dạng 4n  - Mọi số nguyên tố lớn có dạng 6n  B Bài tập áp dụng Bài 1: Cho p số nguyên tố số 8p + 8p - số nguyên tố, hỏi số thứ (ngồi số ngun tố, số cịn lại) số nguyên tố hay hợp số? Lời giải - Với p = ta có 8p + = 25 hợp số, 8p - số nguyên tố - Với p  ta có 8p - 1, 8p, 8p + số nguyên tố liên tiếp nên có số chia hết cho Do p nguyên tố khác nên 8p khơng chia hết cho 3,do 8p - 8p + có số chia hết cho Vậy số thứ hợp số Bài 2: Hai số 2n  2n  (n > 2) đồng thời số nguyên tố không? Tại sao? Lời giải Trong số nguyên liên tiếp 2n  1, 2n , 2n  có số chia hết cho 3, 2n không chia hết cho 3, 2n  2n  có số chia hết cho lớn Vậy 2n  1, 2n  không đồng thời số nguyên tố Bài 3: Chứng minh p p + hai số nguyên tố lớn tổng chúng chia hết cho 12 Lời giải Ta có: p + (p + 2) = 2(p + 1) p số nguyên tố lớn nên p số nguyên tố lẻ  p   2( p  1) (*) p, p + 1, p + số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho 3, mà p p + không chia hết cho nên: p   2( p  1) (**) Từ (*) (**) suy ra: 2( p  1) 12 (đpcm) Bài 4: a) Tìm số lẻ liên tiếp số nguyên tố b) Tìm số nguyên tố p cho p vừa tổng vừa hiệu hai số nguyên tố Lời giải a) Trong số lẻ liên tiếp có số chia hết cho Vậy số nguyên tố cho phải có số chia hết cho số nguyên tố lẻ liên tiếp 3, 5, b) Giả sử p  p1  p2  p3  p4 với p1 , p2 , p3 , p4 số nguyên tố + Vì p1 , p2 số nguyên tố nên p  , suy p lẻ 10 + Trong hai số p1 , p2 phải có số chẵn, hai số p3 , p4 phải có số chẵn Chẳng hạn p2  p4  Khi đó: p  p1   p3   p4   p3 Ta có p1 , p1  2, p1  số nguyên tố lẻ liên tiếp nên theo câu a) p1  từ p  Thử lại:     Bài 5: Tìm số tự nhiên k để dãy: k  1, k  2, k  3, , k  10 chứa nhiều số nguyên tố Lời giải - Với k = ta có dãy 1, 2,3, ,10 chứa số nguyên tố 2, 3, 5, - Với k = ta có dãy 2, 3, 4, , 11 chứa số nguyên tố 2, 3, 5, 7, 11 - Với k = ta có dãy 3, 4, 5, , 12 chứa số nguyên tố 3, 5, 7, 11 - Với k  dãy k  1, k  2, k  3, , k  10 chứa số lẻ liên tiếp, số lẻ lớn nên chia có số chia hết cho 3, mà số chẵn dãy hiển nhiên không số nguyên tố Vậy dãy số ngun tố Tóm lại k = dãy k  1, k  2, , k  10 chứa nhiều số nguyên tố Bài 6: Ta gọi p, q hai số tự nhiên liên tiếp, p q khơng có số ngun tố khác Tìm số nguyên tố liên tiếp p, q, r cho p  q  r số nguyên tố Lời giải Nếu số nguyên tố p, q, r khác p, q, r có dạng 3k  suy p , q , r chia cho dư Khi p  q  r p  q  r  nên p  q  r hợp số Vậy p = 3, q = 5, r = 7, p  q  r  32  52  72  83 số nguyên tố Bài 7: Tìm số nguyên tố cho p q  q p  r Lời giải Giả sử có số nguyên tố p, q, r cho p q  q p  r Khi r  nên r số lẻ, suy p, q khơng tính chẵn lẻ Giả sử p = q số lẻ Khi ta có 2q  q  r Nếu q không chia hết cho q  (mod 3) Mặt khác q lẻ nên 2q  1 (mod 3), từ suy 2q  q  r , vơ lí Vậy q = 3, lúc r  23  32  17 số nguyên tố Vậy p  2, q  3, r  17 p  3, q  2, r  17 Bài 8: a) Chứng minh số dư phép chia số nguyên tố cho 30 là số nguyên tố Khi chia cho 30 kết sao? 13 a  d  e d , e  chan, le  e2 a : le d  e   Có :  Vậy a = b + = d –  d  b   b, b  2, b  số nguyên tố  b   a  5, d  Vậy a = số nguyên tố cần tìm Bài 2: Cho a, k  N * Chứng minh a, a  k , a  2k số nguyên tố lớn k Lời giải Ta có số nguyên tố lớn số nguyên tố lẻ  a, a  k lẻ  (a  k )  a  k chẵn  k 2(1)( hiệu hai số lẻ số chẵn ) Ta có: a, a  k , a  2k số nguyên tố lớn  /  số có số có số dư chia cho +) Nếu a, a  k có số dư  (a  k )  a  k +) Nếu a  k , a  2k có số dư  (a  2k )  (a  k )  k  2k k (2,3)  +) Nếu a, a  2k có số dư   Vậy k 3(2)  (1)(2)  k Bài 3: Tìm ba số nguyên tố liên tiếp cho p  q  r số nguyên tố Lời giải +) Nếu p, q, r >  p , q , r  1(mod3)  p  q  r   0(mod3)  h / so  p, q, r  2,3,5 Vậy có số chia hết cho  số    p, q, r  3,5,7 Bài 4: Tìm tất ba số nguyên tố a, b, c cho : abc < ab + bc + ca Lời giải Vì a, b, c có vai trị nhau, khơng tính tổng quát : Giả sử a  b  c  abc  ab  bc  ca  3bc  a   a   2bc  2b  bc  2c(1)  bc  2(b  c)  2.2c b   bc  4c  b    b  +) b   (1) : 4c   4c(dung )c  c  c   c  b c  +) b   (1) : 6c   5c   Vậy ba số : 14 +) (2,2,p) : Với p số nguyên tố +) (2,3,3) ( 2,3,5) Bài 5: Tìm tất số nguyên tố thỏa mãn a 3x   19 y b x  11y  c x  12 y  Lời giải a Nếu x chẵn  x   13  19 y (loai) Nếu x lẻ  3x2 : le  3x2  1: chan  19 y : chan  y : chan  y   x   ( x, y)  (5,2) b Nếu y lẻ  11y  1: chan  x : chan  x  +) Nếu y chẵn  y   x   ( x, y)  (3,2) c Khơng xét tính chẵn lẻ +) Với y   x   tm +) Với y >  x   x : le Đặt x = 2k + 1, thay vào (1), : (2k  1)2  12 y   4k (k  1)  12 y  k (k  1)  y (2) chan Vì x >  k  3, y : le  le VT (2) : chan    VT  VP VP(2) : le  Vậy x = 7, y = Bài 6: Tìm tất số nguyên tố p, q cho 7p + q pq + 11 số nguyên tố Lời giải - Nếu pq  11 số ngun tố phải số lẻ số nguyên tố lớn  pq số chẵn, số p q Giả sử : p   p  q  14  q số nguyên tố - Nếu q   p  q  7.2   16  l  - Nếu q   p.q  11  2.3  11  17  t / m  p  q  7.2   17  t / m  - Nếu q   q  3k  1, q  3k  2,  k  N  +) Với q  3k   p  q  14  3k  hợp số  q  3k  1 l  +) Với q  3k   pq  11  2q  11   3k    11  6k  15 hợp số  q  3k   l  Vậy p  2, q  Xét tiếp TH giả sử q  ta p  15 Bài 7: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm chữ số hàng chục số viết dạng tích ba số nguyên tố liên tiếp Lời giải abba  1001a  110b 11  3: TH +) TH1 : abba  5.7.11  385  loai +) TH2 : abba  7.11.13  1001  tm +) TH3 : abba  11.13.17  2431  loai Bài 8: Tìm số nguyên tố x, y, z thỏa mãn: x y   z Lời giải +) Nếu x lẻ  x y : le  x y  1: chan  z   loai z > z  x y    x : chan  x   y   z mà y   z  +) Nếu y lẻ  y  2k   z  22 k 1   4k.2  Ta có: 4k : 3du1  2.4k : 3du  4k.2   z 3, z   khôngz  y:chan  y =  z = Bài 9: Tìm ba số nguyên tố p, q, r cho : p q  q p  r Lời giải +) Có : r  22  22   r : le Nếu p, q lẻ  p q  q p : chan  r   loai  p, q khác tính chẵn lẻ Giả sử p chẵn, q lẻ  p   2q  q  r +) Nếu q   q : le  q  2k   2q  4k.2chia3du q > nên q không chia hết q2 chia dư  2q  q  r  loai.do.r  Vậy q   q   r  17(tm) Vậy p = 2, q = 3, r = 17 p = 3, q= 2, r = 17 Hoặc cách khác p   p  p  (2 p  1)  ( p  1)  hop.so 3 Bài 10: Tìm tất số x, y cho b x  y  a x  y  Lời giải a x  y   x, y khác tính chẵn lẻ Sưu tầm TÀI LIỆU TỐN HỌC 16 +) x   y  3(tm); y   loai b x  y   x : le +) x   y   loai +) x   x /  x2 : 3du1  y  1: 3du1  y  y  y   x  Bài 11: Tìm tất số tự nhiên n để a) n  12n số nguyên tố b) 3n  số nguyên tố Lời giải a) Ta có : n  12n  n  n  12  , n  12   n  n  12  có thêm ước n n + Để n  n  12  số nguyên tố n   n2  12n  13 ( thỏa mãn ) b) Nếu n   3n   số nguyên tố Nếu n   3n  hợp số Bài 12: Tìm số nguyên tố p cho p  23 có ước dương Lời giải Đặt A  p  23  p  2  A  27 , để A có ước =  A  a x b y   x  1 y  1  Với x  y  - Nếu A chứa thừa số nguyên tố x + = => x = 5, Chọn thừa số nguyên tố bé A  25  32 - Nếu A chứa hai thừa số nguyên tố thì: x = 2, y = ngược lại, để A nhỏ ta chọn thừa số nguyên tố bé có số mũ lớn thừa số lớn có số mũ bé A  22.31  ước: Đối chiếu đề ta thấy A > 27 32 thỏa mãn:  p  32  23   32 số nguyên tố Bài 13: Cho số nguyên tố lớn thỏa mãn số sau lớn số trước k đơn vị CMR: k Lời giải Gọi số nguyên tố thỏa mãn là: p, p + k p + 2k => k số chẵn => k chia hết cho 2, Giả sử k không chia hết cho k  3m  1, k  3m  TH1: k  3m  Với p chia dư thì: p=3n+1=> p+2k=3n+1+6m+2 chia hết cho ( loại) Với p chia dư thì: p=3n+2=> p+k = 3n+2+3m+1 chia hết cho 3(loại) TH2: k=3m+2 Với p chia dư thì: p=3n+1=>p+k=3n+1+3m+2 chia hết cho (loại) Với p chia dư thì: p=3n+2=> p+2k=3n+2+6m+4 chia hết cho 3(loại) 17 nên k phải chia hết k chia hết cho 3=> k chia hết cho Bài 14: Tìm số nguyên tố thỏa mãn: x  y  Lời giải Từ gỉa thiết => x   y , x chia hết cho x nguyên tố nên x = 3, lúc y = ngun tố Nếu x khơng chia hết cho x  chia hết cho y chia hết cho 3, mà (2, 3) =1 Nên y chia hết cho => y = x  19 không thỏa mãn, Bài 15: Tìm n  N * để: a) n4  số nguyên tố b) n2003  n2002  số nguyên tố Lời giải a) Ta có: n4   (n4  4n2  4)  4n2  (n2  2)2  (2n)2  (n2   2n)(n2   2n) Nếu n4  số nguyên tố n2  2n    n  Thử lại: Với n  n4   số nguyên tố Vậy, với n = n4  số nguyên tố b) Ta có: n2003  n2002   n2 (n2001  1)  n(n2001  1)  n2  n  Với n  ta có: n2001 1 n3 1 n2  n  => n2003  n2002  n3  n  n2  n   nên n2003  n2002  hợp số Với n = n2003  n2002   số nguyên tố Bài 16: a) Tìm số nguyên số p để 2p + lập phương số tự nhiên b) Tìm số nguyên tố p để 13p + lập phương số tự nhên Lời giải a) Giả sử p   n3 (với n  N ); n số lẻ nên n  2m  ( m  N ), p   (2m  1)3  p  m(4m2  6m  3) Vì p số nguyên tố nên m  , suy p  13 Thử lại: p   2.13   27  33 Vậy p  13 b) Giả sử 13 p   n3 (n  N ); p  suy n  13 p   n3  13 p  (n  1)(n2  n  1) 13 p số nguyên tố, mà n   n2  n   => n   13 n   p + Với n   13 n  14 , 13 p  n3   2743  p  211 số nguyên tố + Với n   p n2  n   13  n  , p  số nguyên tố 18 Vậy với p=2, p=211 13p+1 lập phương số tự nhiên Bài 17: Tìm tất số nguyên x, y thỏa x  y  Lời giải Giả sử x, y số nguyên tố thỏa: x  y  Khi x  y  , suy x số lẻ, đặt x  2n  1(n  N *) Ta có: (2n  1)2  y   4n2  4n   y   y  2(n2  n)  y , mà y số nguyên tố nên suy y = Với y = 2, ta có x  Thử lại với x  , y  x  y  Bài 18: Tìm số nguyên tố x, y, z thỏa x y   z Lời giải Vì x, y số nguyên tố nên x  2, y  suy z  z số nguyên tố lẻ nên x y số chẵn suy x=2, z  y  Nếu y lẻ y  , suy z , vơ lí Vậy y chẵn, suy y=2, z  22   Vậy số nguyên tố cần tìm x  y  2; z  Bài 19: Chứng minh  2n  4n (n  N *) số nguyên tố n  3k với k  N Lời giải Đặt n  3k.m với (m, 3)=1 Giả sử m>1, xét hai trường hợp: i) m  3l  1(l  N *) Ta có:  2n  4n   23 (3l 1)  43 (3l 1)   a(3l 1)  a(6l 2) , (với a  23 ), suy k k k  2n  4n  a(a3l  1)  a (a6l  1)  a  a  a  a    n 4n hợp số ii) m  3l  2,(l  N *) Ta có:  2n  4n   23 (3l 2)  43 (3l 2)   a3l 2  a6l 4  a(a6l 3  1)  a2 (a3l  1)  a2  a  a2  a  k k (với a  23 ) k Suy  2n  4n hợp số Vậy m = tức n = 3k Bài 20: Cho a, b, c, d  N * thỏa mãn ab  cd Chứng minh rằng: A  a n  bn  cn  d n hợp số với n  N Lời giải Giả sử (a, b) = t, đó: a  ta1 , c  tc1 với ( (a1 , c1 )  Từ ab  cd  a1b  c1d  b c1 19 Đặt: b  kc1  c1d  a1.kc1  d  ka1 Khi đó: A  a n  bn  c n  d n  t n a1n  k nc1n  t nc1n  k n a1n  (k n  t n )(a1n  c1n ) Vì k , t , a1 , c1  N * nên A hợp số Bài 21: Tìm tất số nguyên tố p dạng n(n  1)  ( n  1) Lời giải Ta có: p  n(n  1) n2  n  (n  1)(n  2) 1   2 Với n = ta có p = Với n = ta có p = Với n > n1  n+2 >1 nên p hợp số Vậy với n = 2, n = p số ngun tố có dạng n(n  1) 1 Bài 22: Tìm tất số có hai chữ số ab cho ab số ngun tố a b Lời giải Vì a,b có vai trị nên giả sử a > b Giả sử ab  p với p số nguyên tố.* a b Suy ab p  a p b p  p 2,3,5,7 a  p  p a  p  p  Từ * ta có ab=ap-bp (a  p)( p  b)  p   p b 1 b  p  Với p = ta có ab  21 ab  12 Với p = ta có ab  62 ab  26 Với p = p = ta có a có chữ số (loại) Vậy số ab cần tìm 12, 21, 26, 62 Bài 23: Cho số p  bc  a, q  ab  c, r  c a  b số nguyên tố ( a, b, c  N * ) Chứng minh ba số p, q, r có hai số Lời giải Ba số a, b, c có hai số có tính chẵn lẻ Giả sử a,b chẵn lẻ, p  bc  a số nguyên tố chẵn, p = Từ suy a = b = 1; q = c +1 r = c+ nên q = r Bài 24: 20 a) Cho 2k  số nguyên tố (gọi nguyên tố Fermat) Chứng minh k = k = 2n b) Cho 2k - số nguyên tố (gọi số nguyên tố Mersenne) Chứng minh k số nguyên tố Lời giải a) Giả sử phản chứng k > k  2n với n Khi k = 2n t, với t lẻ > Vơ lí với 2k + số nguyên tố Vậy k = k = 2n b) Giả sử k = m t với < t < k => 2k - =  2t   2t   2k  hợp số 2t -1 > m Vậy k số nguyên tố BÀI 5: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HỢP SỐ A Lý thuyết - Hợp số số có nhiều ước - Chứng minh số A hợp số 21 +) Ta chứng minh A  p A p ( p số nguyên tố ) B Bài tập Bài 1: a) Cho p số nguyên tố, hỏi p5  số nguyên tố hay hợp số b) Cho p p + số nguyên tố ( p > 3) Chứng minh p + hợp số Lời giải a Nếu p   p5   25   31 số nguyên tố - Nếu p   p : le  p5 : le  p5  1: chan  p5  hợp số b p, p  4, p  dãy số cách đơn vị  có số chia hết cho Vì p   p, p  số nguyên tố  p / 3; p  /  p   p  hợp sô Bài 2: Cho p 8p + số nguyên tố ( p > 3) Chứng minh 4p + hợp số Lời giải Vì p số nguyên tố lớn nên p chia dư dư  p có dạng 3k  1;3k  2(k  N * ) - Nếu p  3k   p   24k   p  hợp số ( loại) - Nếu p  3k   p   12k  3(dpcm) hợp số ( loại) Bài 3: Chứng minh số sau hợp số : 121;121  1;112111;11 1211 1(n  2) n n Lời giải Ta có: 121  110  11  11.10  11  11(10  1);11211  1110  111  111(102  1) 1112111  1111000  1111  1111(103  1);111 12111  111 1000  11 n n n 1 n  111 1(10  1)  11 1(10n  1) hợp số n 1 n n 1 Bài 4: a) Cho p p + số nguyên tố ( p > 3) CMR: p + hợp số p  b) Cho p p + số nguyên tố CMR: p + 2021 hợp số Lời giải a) Xét dãy p, p  1, p   p  3(la.hop.so)(1) Lại có p   p : le  p  1: chan  p  2(2) Từ (1)(2)  p  b) Ta có: p  2012  p   2010 n 1 22 Xét dãy p, p  2, p  +) p   p  2012  2015  p  2012 hợp số +) p   p   p  2012  p  2012 hợp số +) p   p  hợp số  loại Bài 5: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư hợp số Tìm số dư Lời giải Gọi p số nguyên tố theo đầu bài, đó: p  42.k  r  2.3.7k  r (0  r  42) Vì r hợp số   r  42 Vì p số nguyên tố  r / 2,3,7  r số nguyên tố 25  r  25 giá trị cần tìm Bài 6: Một số nguyên tố chia cho 60 có số dư r Tìm số dư, biết r số nguyên tố Lời giải Giả sử p số nguyên tố: p  60k  r (k  N ;0  r  60);60  22.3.5  p  22.3.5.k  r  r / 2,3,5  r  r số nguyên tố hợp số không chia hết cho 2, 3, r   r  r số nguyên tố khác 3, r = 49    r  49 Bài 7: Chứng minh tổng bình phương ba số nguyên tố lớn hợp số Lời giải Giả sử: p, q, r ba số nguyên tố lớn p , q , r chia cho có dư  ( p  q  r )  p  q  r hợp số Bài 8: Cho p 8p - số nguyên tố, chứng minh 8p + hợp số Lời giải - Dự đoán thấy p  số cần tìm Đặt p  3a  r  r  0;1;2  - Nếu r   p  3a số nguyên tố nên a   p  3,8 p   23 số nguyên tố, thỏa mãn điều kiện đầu bài, p   25 hợp số (đpcm) - Nếu r   p  3a  giả sử số nguyên tố p    3a  1   24a  giả sử số nguyên tố, đó: p    3a  1   24a  hợp số (đpcm) 23 - Nếu r   p    3a     24a  15 hợp số nên r   loai  Bài 9: Chứng minh rằng: p số nguyên tố lớn 2p + số nguyên tố 4p + hợp số Lời giải Vì p số nguyên tố lớn nên p  3k  1, p  3k   k  N  - Nếu p  3k  số nguyên tố  p   6k  3  l  - Nếu p  3k  số nguyên tố  p   6k  giả sử số nguyên tố, : p   12k  hợp số, (đpcm) Bài 10: Cho p số nguyên tố lớn 3, biết p + số nguyên tố, Chứng minh p + chia hết cho Lời giải  Vì p số nguyên tố lớn 3, nên p  3k  1, p  3k  2, k  N *  - Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố  p   3k  3  l  - Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố  p   3k  giả sử số nguyên tố, : p   3k    k  1 Mà p nguyên tố nên 3k  số lẻ  3k số lẻ =>3k số lẻ => k số lẻ => k + số chẵn   k  1 (đpcm) Bài 11: Cho p p + số nguyên tố lớn 3, chứng minh : p + hợp số Lời giải  Vì p số nguyên tố lớn 3, nên p có dạng : p  3k  1, p  3k  2, k  N *  - Nếu p  3k   p   3k  hợp số (loại) - Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố  p   3k  giả sử số nguyên tố, : p   3k  hợp số (đpcm) Bài 12: Chứng minh với p số nguyên tố lớn 8p2 + số nguyên tố 8p2 - hợp số Lời giải Vì p,8 p  số nguyên tố lớn nên khơng chia hết cho Khi ta có : p2  1;8 p2 ;8 p2  số nguyên liên tiếp nên phải có số chia hết cho Mà p2   3, p   p2  , Vậy p  hợp số Bài 13: Chứng minh p p + hai số nguyên tố lớn tổng chúng chia hết cho 12 24 Lời giải Đặt A  p   p    p    p  1 Và p   p   Xét số liên tiếp p  1, p, p  phải có số chia hết cho Vì p số nguyên tố lớn 3, nên p không chia hết cho 3, Mặt khác p   chia hết cho p  chia hết cho 3, p    p  1 Lại có p số nguyên tố >3 nên p lẻ  p  số chẵn Vậy  p  1 12 Bài 14: Chứng minh p số nguyên tố lớn (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24 Lời giải Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ không chia hết cho Với p không chia hết cho   p  1 ,  p  1 hai số chẵn liên tiếp   p  1 p  1 Mặt khác p không chia hết p  3k  1, p  3k  - Nếu p  3k    p  1   p  1 p  1 24 - Nếu p  3k    p  1   p  1 p  1 24 Bài 15: Cho p 10p + số nguyên tố lớn Chứng minh rằng: 5p + hợp số Lời giải  Vì p số nguyên tố lớn nên p  3k  1, p  3k  2, k  N *  Với p  3k  giả sử số nguyên tố  10 p   30k  11 giả sử số nguyên tố Khi đó: p   15k  hợp số (đpcm) Với p  3k  giải sử số nguyên tố  10 p   30k  21 (loại) Bài 16: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100, hỏi tổng 25 số nguyên tố số chẵn hay số lẻ Lời giải Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100, có số nguyên tố chẵn số Còn lại 24 số nguyên tố lại số lẻ => tổng 24 số lẻ cho ta số chẵn Vậy xét tổng 25 số nguyên tố cho ta số chẵn Bài 17: Tổng ba số nguyên tố 1012, Tìm số nguyên tố nhỏ số nguyên tố Lời giải 25 Tổng số nguyên tố 1012 số chẵn, nên bắt buộc phải có số chẵn, Mà số nguyên tố chẵn nhỏ số Bài 18: Chứng minh số nguyên tố lớn có dạng 4n + 4n - Lời giải  Mọi số nguyên tố p lớn có dạng p  2k  k  N *  TH1: Nếu k chẵn  k  2n  p  2k   2.2n   4n   TH2: Nếu k lẻ  k  2n   p  2k    2n  1   4n  n  N *  Bài 19: Chứng minh p số nguyên tố lớn p có dạng 6k + 6k + Lời giải Mọi số tự nhiên p lớn có dạng p  3n  1, p  3n  Vì n lẻ p số chẵn p không số nguyên tố Nên n phải chẵn  n  2k  k  0, k  N  , xét trường hợp TH1: p  3n   6k  TH2: p  3n   3.2k   6k   6k  Bài 20: Chứng minh p số nguyên tố lớn 3, cho 14p + số nguyên tố 7p + bội số Lời giải Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ không chia hết cho Khi p  số chẵn nên chia hết cho  Mặt khác p khơng chia hết p có dạng p  3k  1, p  3k  3, k  N *  Với p  3k  giả sử số nguyên tố,  14 p   45k  15 nên p  3k  1 l  Với p  3k   14 p   42k  29 giả sử số nguyên tố, đó: p   21k  15 Như p  Bài 21: Chứng minh p tích n số nguyên tố p  p  khơng thể số phương Lời giải Vì p tích n số ngun tố nên p p chia hết cho (1) - Giả sử p + số phương, đặt p   m2  m  N  Vì p chẵn nên p  lẻ  m2 lẻ => m lẻ Đặt m  2k  1 k  N  , ta có: m2  4k  4k   p   4k  4k   p  4k  4k  4k  k  1 26 Mâu thuẫn với (1) => p + khơng thể số phương - Giả sử p  2.3.5  p  có dạng 3k+2  p  khơng số phương Vậy p tích n  n  1 số nguyên tố p – p + khơng số phương Bài 22: Cho p số nguyên tố lớn thỏa mãn : 10 p  số nguyên tố CMR : 5p 1 Lời giải Vì p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho 3, nên 10p khơng chia hết cho (1) Lại có 10 p  số nguyên tố 10 p    10 p   (2) Ta có 10 p 10 p  110 p   tích số tự nhiên liên tiếp nên phải có số chia hết cho  10 p   p  Lại có p số nguyên tố lớn nên p lẻ => p  số chẵn nên chia hết cho 2, 5p 1 Bài 23: Cho a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn: a  c2  b2  d Chứng minh rằng: a  b  c  d hợp số Lời giải Ta có:  a  b2  c2  d    a  b  c  d    a  a   b2  b    c  c    d  d  => a  a  1  b  b  1  c  c  1  d  d  1 mà a  c  b2  d  a  b2  c  d  b2  d  Do a  b  c  d Vậy a  b  c  d  nên a  b  c  d hợp số Bài 24: Chứng minh số sau hợp số a) 1211  1317  1719 b)  2323  2929  25125 Lời giải a) Ta có: 1211  1317  1719 số chẵn nên hợp số b)  2323  2929  25125 số chẵn nên hợp số c) Ta có : 4525  3715 số chẵn nên hợp số d) Ta có 95354  5125 số chẵn nên hợp số c) 4525  3715 d) 95354  5125 27 Bài 25: Chứng minh số sau hợp số a) 21123  23124  25125 b) 108  107  c) 175  244  1321 d) 42525  3715 Lời giải a) Ta có : 108  107  có tổng chữ số chia hết hợp số b) Ta có : 175  244  1321 số chẵn nên hợp số c) 42525  3715 số chẵn nên hợp số Bài 26: Chứng minh số sau hợp số a)  27  311  513  717  1119 n1 22 b) 195354  15125 n1 c) 22  3, n  N d)  7, n  N Lời giải b) Ta có: 195354  15125 số chẵn nên hợp số n 1 c) Ta có : 22n1  22n.2  4n.2  22  24  24 nên n 4n  41n 1  4.4n 1  24  24.4   24  n n 1 n 4n 1 n1  6.4  , 22 Bài 27: Chứng minh số sau hợp số: a) abcabc  b) abcabc  22 c) abcabc  39 Lời giải a) Ta có: abcabc  a.105  b.104  c.103  a.102  b.10  c   a.100100  b.10010  1001c   1001100a  101b  c   Vì 1001 chia hết abcabc hợp số b) Tách tương tự, 1001 11 nên hợp số c) Tách tương tự, 1001 13 nên hợp số   5 hợp số ... n   A  3(tm); n   A  1(loai); n   A  0(loai); n   A  11(tm) n   +) n     lahopso hợp số n  n   n(n  1)   Vậy n = n = c n  0(t / m); n  1(loai) n  3(loai) n  2(tm)... 1;200 p ;200 p   có số chia hết cho 200 p   p 3 p 3 (200,3)  +) p   200.32   1799 7(hopso)  voly  dpcm BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài 1: Tìm số nguyên tố p cho: a) p + 2, p + số nguyên tố b)... p = 2, q = 3, r = 17 p = 3, q= 2, r = 17 Hoặc cách khác p   p  p  (2 p  1)  ( p  1)  hop .so 3 Bài 10: Tìm tất số x, y cho b x  y  a x  y  Lời giải a x  y   x, y khác tính chẵn