KINH NGHIỆM trang 1 PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO GIAO THUỶ TRƢỜNG THCS GIAO THỦY BÁO CÁO SÁNG KIẾN NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀ CÁC BÀI TOÁN SUY LUẬN Tác giả Tô Thị Bình Trình độ chuyên môn Đại học sƣ phạm[.]
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO GIAO THUỶ TRƢỜNG THCS GIAO THỦY - - BÁO CÁO SÁNG KIẾN NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀ CÁC BÀI TOÁN SUY LUẬN Tác giả: Tơ Thị Bình Trình độ chun mơn: Đại học sƣ phạm Tốn Chức vụ: Giáo viên Nơi công tác: Trƣờng THCS Giao Thủy Nam Định, ngày 30 tháng 06 năm 2015 trang skkn Tên sáng kiến “NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀ CÁC BÀI TOÁN SUY LUẬN” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Giáo dục Thời gian áp dụng sáng kiến : Từ năm học 2012 - 2013 đến Tác giả : Họ tên : Tơ Thị Bình Năm sinh : 1983 Nơi thường trú : Xóm - Bình Hịa - Giao Thủy - Nam Định Trình độ chun mơn : Đại học sư phạm Tốn Chức vụ : Giáo viên Nơi làm việc : Trường THCS Giao Thủy - Giao Thủy - Nam Định Địa : Trường THCS Giao Thủy - Giao Thủy - Nam Định Điện thoại : 03503 508 486 Đơn vị áp dụng sáng kiến : Tên đơn vị : Trường THCS Giao Thủy - Giao Thủy - Nam Định Địa : Khu 4A TT Ngô Đồng - Giao Thủy - Nam Định Điện thoại : 03503 737 456 BÁO CÁO SÁNG KIẾN trang skkn “NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀ CÁC BÀI TỐN SUY LUẬN” A- ĐIỀU KIỆN HỒN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN: Qua năm giảng dạy nhận thấy, bên cạnh việc cung cấp hệ thống kiến thức kĩ cho học sinh, người thầy cần tìm tịi, khai thác hệ thống kiến thức nâng cao nhằm bồi dưỡng phát triển tư suy luận Toán học cho học sinh khiếu với mong muốn em trở thành chủ nhân tương lai có khả tư nhạy bén, linh hoạt, sáng tạo, có độ tin cậy cao nhằm đáp ứng yêu cầu ngày cao kinh tế thời đại công nghiệp đại Với mong muốn góp phần cơng sức nhỏ nhoi việc bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm rèn luyện khả sáng tạo học toán cho học sinh để em tự phát huy lực độc lập sáng tạo mình, nhằm góp phần vào công tác chăm lo bồi dưỡng đội ngũ HSG tốn ngành giáo dục huyện nhà Tơi xin chia sẻ trao đổi đồng nghiệp kinh nghiệm: “Nguyên lý Dirichlet toán suy luận” Như biết nguyên lý Dirichlet có nội dung đơn giản song lại cơng cụ hiệu dùng để chứng minh nhiều kết sâu sắc Tốn học Ngun lí nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh tồn mà khơng đưa phương pháp tìm vật cụ thể, thực tế nhiều toán ta cần tồn đủ Nó có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực lại áp dụng rộng rãi việc chứng minh tốn số học, hình học, đại số,…Đặc biệt tốn khó dành cho học sinh giỏi thi vào 10 chuyên Toán, hay kì thi IMO kì thi tốn học giới Đề tài ta bồi dưỡng lực học toán cho học sinh dùng việc dạy ơn thi vào trường THPT chuyên Mong quý đồng nghiệp đóng góp ý kiến để sáng kiến kinh nghiệm hồn thiện B MƠ TẢ GIẢI PHÁP: I Mơ tả giải pháp trƣớc tạo sáng kiến: Năm học 2011 – 2012, phân công dạy đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn cấp Tỉnh Là giáo viên tuổi nghề cịn tơi gặp khơng khó khăn cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi, phần ảnh hưởng tới chất lượng đội tuyển (có học sinh đạt giải nhì, học sinh đạt khuyến khích – xếp chung đội tuyển: 10/10) Sau năm dạy đội tuyển, phần “vỡ vạc” cơng việc mình, ln trăn trở tơi nhận thấy rằng: học sinh trang skkn không đạt nhiều giải cao, phải học sinh ong chăm chỉ, quen với tư lối mịn: giải tốn dạng chuẩn mực, khả khải quát, tư cấp độ cao hạn chế? Năm học 2012 – 2013, thay đổi nội dung phương pháp dạy đội tuyển Khi học sinh quen với dạng tốn chuẩn mực, tơi đưa cho học sinh toán phức tạp mà sau đọc xong nội dung, học sinh khơng có định hướng Sau tơi cịn cho lời giải, học sinh xem xong không hiểu lại có suy luận mà sách giáo khoa chưa đề cập đến (kể số bài, lời giải có sử dụng vài khẳng định hiển nhiên học sinh lại chưa biết đến) Những toán thường coi dạng Tốn khơng mẫu mực Đó dạng tốn khó thường xuất kì thi chọn học sinh giỏi hay thi vào 10 chuyên Toán Từ năm học 2012 – 2013 trở đi, công tác bồi dưỡng học sinh giỏi giành nhiều thời gian trọng dạng toán suy luận Trong khn khổ viết này, tơi xin trình bày phần nhỏ dạng Tốn này, “Ngun lý Dirichlet tốn suy luận” II Mơ tả giải pháp sau có sáng kiến: Các tốn suy luận lơgic sử dụng ngun lý Dirichlet thường khơng địi hỏi nhiều kĩ tính tốn Để giải chúng, điều cần thiết phải có phương pháp suy luận đắn, chặt chẽ, hợp lí sáng tạo Trong khn khổ thời gian có hạn, tơi xin trình bày số vấn đề thường gặp thi học sinh giỏi thi vào THPT chuyên Phần thứ nhất: Giới thiệu nhà Toán học Dirichlet Vài nét tiểu sử nhà toán học Dirichlet Nhà tốn học người Đức Dirichlet học trị Gauss người hâm mộ Gauss Nhờ giỏi tiếng Pháp, ơng đóng vai trị quan trọng việc giao lưu tư tưởng giửa hai phía sơng Rhin Trong thời gian học Pari, 1822 1825, ông làm gia sư gia đình tướng nhà trị Maximilien Foy Trong thời gian này, ơng tham gia nhà bác học trẻ, quây quần xung quanh Fourier Vì ơng gắn bó với Fourier và… với chuỗi lượng giác Từ 1826 đến 1828, Dirichlet giảng viên trường Đại Học Breslau Từ 1829 ông làm việc trường Đại họcBerlin Từ 1931 đến 1855 ông giáo sư trường Đại họcBerlin Từ 1855, sau Gauss qua đời, ông kế tục Gauss trường Đại học Gôttinggen trang skkn Dirichlet người khiêm tốn trung thực nhân Nhưng, khác với vợ ông Jacobi, Dirichlet không xuất sắc mặt sư phạm Mặc dù vậy, giảng ơng có ảnh hưởng lớn đến nhà toán học thuộc hệ sau như:Riemann, Eisenstein, Kronecker, Dedekin… Sau Dirichlet qua đời, óc ơng bảo khoa sinh lý học Trường Đại Học Gơttingen Dirichlet có phát minh lớn lí thuyết số Ơng thiết lập cơng thức cho cho số lớp dạng tồn phương hai ngơi với định thức cho trước Ơng chứng minh định lý tập hợp vô hạn số nguyên tố cấp số cộng gồm số nguyên mà số hạng đầu công sai nguyên tố Để giải tốn trên, ơng sử dụng hàm giải tích, gọi hàm (chuỗi) Dirichlet Ông sáng lập lý thuyết tổng quát đơn vị đại số trường số đại số Về giải tích, Dirichlet người quan niệm hàm cho ứng với x phần tử y, mà không cần phải có biểu thức y theo x phép tính số học Dirichlet người đề xuất nghiên cứu khái niệm hội tụ có điều kiện chuỗi Ông phát biểu chứng minh điều kiện đủ, thường gọi điều kiện Dirichlet, để chuỗi Fourier hàm số hội tụ tới hàm số Dirichlet có cơng trình đáng kể học vật lý toán, đặc biệt lý thuyết Các cơng trình tốn học Dirichlet Những đóng góp Dirichlet đến tốn học Đóng góp ơng vào Định lý Fermat thực cuối năm 1825 Khoảng thời gian này, ông xuất giấy lấy cảm hứng từ Gauss 's làm việc quy luật trùng phương Năm 1837, ông chứng minh với cấp số cộng có dạng an + b, Cho n = 1, 2, , chứa vô hạn số nguyên tố , a b nguyên tố , tức (a,b) = Kết đoán Gauss (Derbyshire năm 2004, p 96), lần chứng minh Dirichlet (1837) Phân tích lý thuyết số cho biết để bắt đầu với cơng việc Dirichlet, đặc biệt với hồi ký 1.837 Dirichlet tồn số nguyên tố cấp số cộng định Ngay sau tác phẩm xuất giấy, Dirichlet thêm lý thuyết số phân tích, năm 1838 với năm sau Những trang skkn giấy tờ giới thiệu loạt Dirichlet xác định, số thứ khác, công thức cho số lớp học cho hình thức bậc hai Tác phẩm ông đơn vị số đại số lý thuyết über Vorlesungen Zahlentheorie (xuất 1863) có cơng việc quan trọng lý tưởng Ông đề nghị năm 1837 định nghĩa đại hàm: Nếu y biến liên quan đến biến x số giá trị gán cho x, có quy tắc theo giá trị y xác định, sau y gọi chức x biến độc lập Trong khí, ơng điều tra trạng thái cân hệ thống lý thuyết tiềm Những điều tra bắt đầu vào năm 1839 với giấy tờ mà cho phương pháp để đánh giá tích phân nhiều ơng áp dụng cho vấn đề việc thu hút hấp dẫn ellipsoid điểm hai bên bên ngồi Ơng quay sang Laplace 's vấn đề chứng minh ổn định hệ thống lượng mặt trời sản xuất phân tích mà tránh vấn đề việc sử dụng mở rộng loạt với thuật ngữ bậc hai cao disregarded Công việc dẫn ông đến vấn đề liên quan đến chức Dirichlet hài hòa với điều kiện biên định Một số hoạt động học sau nghiệp có tầm quan trọng bật Năm 1852, ông nghiên cứu vấn đề mặt cầu đặt chất lỏng incompressible, trình điều tra trở thành người tích hợp phương trình Thủy động lực học xác Dirichlet tiếng với tác phẩm ông điều kiện cho hội tụ chuỗi lượng giác Những chuỗi sử dụng trước Fourier giải phương trình vi phân Tác phẩm Dirichlet xuất Tạp chí Crelle năm 1828 Bởi điều làm việc Dirichlet coi người sáng lập học thuyết Fourier series Riemann, sinh viên Dirichlet , viết phần giới thiệu cho luận án Habilitation Chuỗi Fourier Dirichlet: “ người học giả sâu sắc chủ đề này” Nhân vật Dirichlet chất lượng giảng dạy tóm tắt sau: “Ơng giáo viên giỏi, ln ln thể với độ rõ nét tuyệt vời Lần theo cách ông khiêm tốn; năm sau ơng nhút nhát lúc reserved Ơng phát biểu họp miễn cưỡng để làm xuất công khai” Ở tuổi 45 Dirichlet Thomas Hirst miêu tả sau: trang skkn “Ông cao, lanky-tim người đàn ông, với râu ria để biến màu xám với giọng nói thơ thay điếc Ơng khơng co tăm r a, với ly cà phê xì gà Một thiếu sót qn thời gian, ơng kéo xem, thấy ba vừa qua, chạy mà không kết thúc câu” Koch viết đóng góp Dirichlet sau: “ phần quan trọng toán học bị ảnh hưởng Dirichlet Chứng minh ông characteristically bắt đầu với quan sát đáng ngạc nhiên đơn giản, phân tích sắc nét vấn đề lại…” Phần thứ hai: Nguyên lý Dirichlet 1.Ngun lí Dirichlet - cịn gọi ngun lí chim bồ câu (The Pigeonhole Principle)-hoặc nguyên ý lồng nhốt thỏ nguyên lí xếp đồ vật vào ngăn kéo (The Drawer Principle) - đưa nguyên tắc phân chia phần tử lớp Nguyên lí Dirichlet phát biểu năm 1834 Nguyên lý Dirichlet công cụ hiệu dùng để chứng minh nhiều kết sâu sắc tốn học Nó đặc biệt có nhiều áp dụng lĩnh vực khác toán học Nguyên lý nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh tồn mà không đưa phương pháp tìm vật cụ thể, thực tế nhiều toán ta cần tồn đủ Nội dung nguyên lí đơn giản dễ hiểu lại có tác dụng lớn, có nhiều hiệu bất ngờ giải tốn Sử dụng nó, chứng minh nhiều kết sâu sắc Toán học Đơi có tốn người ta dùng nhiều phương pháp khác để giải mà chưa đến kết quả, nhờ nguyên lí Dirichlet mà tốn trở nên dễ dàng giải Nguyên lý Dirichlet bản: Nếu nhốt n + 1con thỏ vào n chuồng có chuồng chứa hai thỏ Nguyên lý Dirichlet tổng quát: Mệnh đề: Nếu có N đồ vật đặt vào k hộp tồn hộp N chứa đồ vật k trang skkn ( với [x] – phần nguyên x – số nguyên lớn có giá trị nhỏ x.) Chứng minh: N Giả sử hộp chứa vật Khi tổng số đồ vật là; k N N k ( - 1) < k = N k k Điều mâu thuẩn với giả thiết có N đồ vật cần xếp Nguyên lí Dirichlet mở rộng Nếu nhốt n thỏ vào m ≥ chuồng tồn chuồng có n m 1 m thỏ, kí hiệu [α] để phần nguyên số α Ta chứng minh nguyên lí Dirichlet mở rộng sau : Giả sử trái lại chuồngthỏ khơng có đến n m 1 n n 1 m m 1 m n 1 con, số thỏ chuồng nhỏ m n 1 n m Từ suy tổng số thỏ khơng vượt q m Điều vơ lí có n thỏ Vậy giả thiết phản chứng sai Nguyên lí Dirichlet mở rộng chứng minh.Nguyên lí Dirichlet tưởng chừng đơn giản vậy, công cụ hiệu dùng để chứng minh nhiều kết sâu sắc tốn học Nó đặc biệt có nhiều áp dụng lĩnh vực khác tốn học Ngun lí nhiềutrường hợp người ta dễ dàng chứng minh tồn mà khơng đưa đượcphương pháp tìm vật cụ thể, thực tế nhiều toán ta cầnchỉ tồn đủ rồi.Nguyên lí Dirichlet thực chất định lí tập hữu hạn Người ta có thểphát biểu xác ngun lí dạng sau Chú ý: Đề giải toán suy luận sử dụng nguyên lý Dirichlet ta cần thực bước sau: trang skkn Bƣớc 1: Tìm hiểu đề bài, xác định đối tượng toán Số lượng đối tượng giả thiết toán Bƣớc 2: Xây dựng thuật giải: - Tiến hành phân chia đối tượng giả thiết toán thành hai tập đối tượng: A B Đây bước quan trọng tiến trình giải tốn Việc phân chia thường dựa tính chất loại yếu tố - Xác định so sánh số phần tử tập hợp, tập hợp có số phần tử lớn chọn làm “thỏ”, tập hợp chọn làm “lồng” Nếu tốn xét ta hai tập hợp đối tượng tương ứng với “thỏ” “lồng” tốn giải xong Để giải toán áp dụng nguyên lý Dirichlet cần lưu ý số điểm sau đây: Khi gặp toán chứng minh tồn hay nhiều đối tượng đó, người ta thường dùng phương pháp thuận lợi s dụng nguyên lí Đi-richlê Các toán áp dụng nguyên lý Dirichlet thường toán chứng minh tồn vật, việc mà không cần phải cách tường minh vật, việc Nhiều toán nguyên lý Dirichlet xuất sau biến đổi qua bước trung gian, thành lập dãy số Để giải toán áp dụng nguyên lý Dirichlet , nhiều ta phải kết hợp với phương pháp chứng minh phản chứng (Phƣơng pháp chứng minh phản chứng: Chứng minh phản chứng phương pháp chứng minh dựa kết mệnh đề logic : A B B A Nội dung phương pháp trình bày sau: + Chấp nhận giả thiết B (nghĩa coi B đúng) + Từ giả thiết A B ta suy hai kết mâu thuẫn C C (hoặc kết mâu thuẫn với kết biết) Từ suy B sai nên đúng) Khi giải toán mà ta biết phải áp dụng nguyên lý Dirichlet dự đoán phải dùng nguyên lý này, cần suy nghĩ biến đổi toán để làm xuất khái niệm "thỏ" "lồng", khái niệm "nhốt thỏ vào lồng" thoả mãn điều kiện : + Số „thỏ” phải hiều số chuồng trang skkn + “Thỏ” phải nhốt hết vào “chuồng”, khơng bắt buộc chuồng phải có thỏ Cũng có tốn phải áp dụng 2, lần nguyên lý Dirichlet Khi giải xong toán áp dụng nguyên lý Dirichlet , cố gắng suy nghĩ để sáng tạo toán tổng quát cụ thể Vì có ta thật nắm tốn mà làm Ví dụ: Ví dụ 1: Chứng minh 11 số tự nhiên tồn hai số có hiệu chia hết cho 10 * Phân tích: Xác định đƣợc + Thỏ : số tự nhiên (gồm 11 số) + Chuồng : tượng trưng cho tính chất chung : chia hết, số dư chuồng, khác số dư khác chuồng Số chuồng tính nào? Bằng số thỏ trừ 1, tức 11 – = 10 Một số chia cho 10 có số dư “ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9”: có 10 số dư Vậy có 11 số chia cho 10 có hai số có số dư chia cho 10 * Giải: Một số tự nhiên chia cho 10 có 10 số dư, số dư là: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Vậy có 11 số tự nhiên chia cho 10 có hai số có số dư (theo ngun lý Dirichlet) Khi ln tồn hai số có hiệu chia hết cho 10 Tổng quát: CMR n+1 số tự nhiên tìm hai số chia hết cho n cho số dư Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD, dùng ba màu xanh, đỏ, vàng để tô màu đỉnh tứ giác Chứng tỏ có hai đỉnh tơ màu Phân tích: - Xác định được: + “thỏ” : đỉnh, với số lượng + “chuồng” : màu, số lượng : + Dựa vào nguyên lý Dirichlet suy điều phải chứng minh Giải trang 10 skkn ... dạng toán suy luận Trong khuôn khổ viết này, xin trình bày phần nhỏ dạng Tốn này, ? ?Nguyên lý Dirichlet toán suy luận? ?? II Mơ tả giải pháp sau có sáng kiến: Các tốn suy luận lơgic sử dụng ngun lý Dirichlet. .. bắt buộc chuồng phải có thỏ Cũng có toán phải áp dụng 2, lần nguyên lý Dirichlet Khi giải xong toán áp dụng nguyên lý Dirichlet , cố gắng suy nghĩ để sáng tạo toán tổng quát cụ thể Vì có ta thật... vào nguyên lý Dirichlet suy điều phải chứng minh Giải trang 10 skkn Với đỉnh tứ giác A, B, C, D màu dùng để tô đỉnh (xanh, đỏ, vàng) nên theo ngun lý Dirichlet có hai đỉnh tơ màu Khai thác: Bài