Đây là file tổng hợp các CHUYÊN ĐỀ ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn TOÁN rất chi tiết. Đây là file tổng hợp các CHUYÊN ĐỀ ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn TOÁN rất chi tiết. Đây là file tổng hợp các CHUYÊN ĐỀ ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn TOÁN rất chi tiết.
Điện thoại (Zalo) 0945.878.902 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI LỚP 10 Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng năm 2023 CHUYÊN ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN DẠNG 1: THU GỌN CÁC BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Phương pháp giải Biến đối biểu thức dạng A2 = A , sau dựa vào dấu A để mở giá trị tuyệt đối có • A, A ≥ A2 = A = −A, A < • A2B = A B = A B với A, B ≥ • A2B = A B = −A B với A < 0, B ≥ • A A B với B > (khử thức mẫu) = B B M • A± B • • • A = B A B ( A B A−B ) với A, B ≥ 0, A ≠ B (trục thức) với B ≠ AB = A B với B ≠ = M A± 3B = A2 AB + B với A ≠ ±B A±B Bài tập Bài 1: Tính giá trị biểu thức: a) − − b) 23 + − c) 4−2 − d) 11 + − + e) P = 45 − − f) A = − + g) A = ( −2 − 12 + 27 ) Lời giải: a) − − = − 2.2 + − = 52 − 2.2 + 22 − = ( −2 ) − = − − = − − = −2 b) 23 + − = + 2.4 + 16 − = = +4 − = +4− =4 c) 4−2 − = 72 + 2.4 + 42 − = ( 32 − + − = −1 ( +4 ) − ) − = − − = −1 (2 + ) − + = + − + 2 d) 11 + − + = + 2.3 + − + = = + − + = 2 −1 e) P = 45 − − = 9.5 − − + = − ( 2− ) =3 − 2− = +2− =2+2 f) A = − + −2 = − 2.2 + + ( +2 −2 )( +2 ) ( = 2− ) + +2 = 2− + +2 = −2+ +2 =2 g) A = ( ) − 12 + 27 = ( ) − 4.3 + 9.3 = ( ) −6 +6 = Chú ý: Để tính tốn biểu thức chứa cắn thức, ta cần biến đổi đưa đẳng thức (A + B ) ( A − B ) , sau phá dấu giá trị tuyệt đối tiếp tục tính tốn Bài 2: Rút gọn biểu thức: 3(x + y )2 a) với x ≥ 0, y ≥ 0, x ≠ y x − y2 b) ( ) 5a − 4a + 4a với a > 2a − c) a a b với a, b > + ab + b b a d) y 4y − 8xy + 4yx với y > 0, x ≠ 81 − 2x + x Lời giải: a) 3(x + y )2 6 x +y (x + y ) = = = 2 (x − y )(x + y ) (x − y )(x + y ) x −y x −y b) 2 3a − 4a + 4a = a − 2a 2a − 2a − = a 5.(1 − 2a ) = 2a 2a − ( ) ( ) = a − 2a 2a − c) a a b a a2 b a a a + ab + = + ab + = + ab + = ab + b b a b b b b b a d) y 4y − 8xy + 4yx = 81 − 2x + x = y y 4y(1 − 2x + x ) = − x y2 1−x (1 − x ) 2 y = y 9 Bài 3: Rút gọn biểu thức: a) A = b) B = (x y +y x )( x − y xy x3 − − ) với x, y > với x ≥ 0, x ≠ x + x +1 c) C = x + 2x − + x − 2x − với x ≥ d) D = e) E = x x −y y với x , y ≥ 0, x ≠ y x − y x − 3x + với x ≥ x x +3 Lời giải: a) (x A= b) B = y +y x )( x − y xy x3 − x + x +1 = )=( x − 13 x + x +1 x 2y + y 2x )( x − y xy )( ( = x −1 x + x +1 x + x +1 )= )= xy ( x + y )( x − y xy ) = x −y x −1 c) C = x + 2x − + x − 2x − = x + 2 x − + x − 2 x − = x − + 2 x − + + x − − 2 x − + = = x −2 + + d) D = e) E = x x −y y x − y x − 3x + x x +3 ( x −2 + ) ( + x −2 − x −2 − = = x − y3 x − y = x − 3x + x x + 33 ( x − y )(x + xy + y x − y = ( ) =x + x − 3x + )( x + x −3 x +3 ) = xy + y x + 3 = x + x −3 ) DẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC Phương pháp giải Sử dụng đẳng thức sau: ( )( • x −y = • x ± xy + y = • x x ± = x3 ± = x − y ( x + y x ± y ( ) ) )( x ±1 x x +1 ) A, A≥0 A2 = A = −A, A < • Bài tập + − : x + 2 x + x − Bài 1: Rút gọn biểu thức: A = a) Tìm điều kiện b) Rút gọn A Hướng dẫn x − ≠ a) Điều kiện: x ≥0 x ≠ ⇔ x ≥0 + −1 = b) A = : x + 2 x + x − = = ( 2+ x −2 x −2 )( x +2 x − x +2 x −2 Vậy A = x −2 x +2 −1 = x −2 )( + −1 : x + 2 x + x +2 ) ( ( x − 2)( x + 2) x ) x +2 −1 = x x −2 = ) : ( x −2 Hướng dẫn Bài 2: Cho B = x x −1 + x +1 + x −1 1−x a) Tìm điều kiện b) Rút gọn B −1 x −1 ≠ x ≠ a) Điều kiện: 1 − x ≠ ⇔ x ≥0 x ≥ b) x B= = = x −1 x ( ( + x +1 ) + x −1 = 1−x x +1 + x −1−x −1 ( x −1 )( x −2 x −1 )( x +1 Vậy B = x +1 x +1 ) = ) ( ( x x −1 )( x +1 + ( x −1 x −1 )( x +1 ) x + x + x −1−x −1 = x −1 x −1 + ) ( x −1 x +1 ) )( x +1 ) = x +1 Bài 3: Rút gọn biểu thức C = − x +2 x − : 1− x x + x −2 x + Hướng dẫn x ≥ x ≥ ⇔ x ≠ 1 − x ≠ Điều kiện: x +2 x 2−2 x −2 = C = 2 − − : 2 1− x x x x x − + − + = −2 x 1− x : x +2− x ( x −1 )( ( x −1 x +1 ) ) = −2 x 1− x : ( : x +2−x + x x −1 )( x +1 ( ) = x +2 x −1 )( x x −1 ( − x + 2 x +1 x ) ) x −1 = x Vậy C = x với x ≥ 0, x ≠ Bài 4: Rút gọn biểu thức D = + x x x x +1 : − − x + x − x x + x − x − x − x + với ≤ x ≠ Hướng dẫn x x x +1 x : − − D = 1 + x + 1 x − x x + x − x − 1 x − x + x x +1+ x : = − x −1 x +1 x x +1 − x +1 ( ) ( x +1+ x x = − : x +1 x −1 x +1 x −1 ) − x3 + − x − x +1 )( ( x +1 x − x +1 ) x − x +1 ) x +1+ x x +1−2 x = − ( x + 1) : x +1 ( x + 1) ( x − 1) x − 1) ( x +1+ x = − ( x + 1) : x +1 ( x + 1) ( x − 1) x +1+ x x −1 = − ( x + 1) : x +1 x +1 x +1+ x x +1 = − ( x + 1) x +1 x −1 x + + x − ( x + 1)( x − 1) x + + x − x + x +1+ x = − ( x + 1) = = = x −1 x −1 x −1 ( )( x +2 Vậy D = x +2 x −1 với x ≥ 0, x ≠ x −1 x Bài 5: Rút gọn biểu thức E = x −2 − x −4 : 1 − với x ≥ 0, x ≠ x − x − x + 1 Hướng dẫn x x −4 : 1 − E = − = x −2 x − x −2 x + ) ( x + 1)( x ( x +1 −5 x + x −2 : ) x +1 ( x − 2) x + x −5 x + x +1 x −4 x +4 x +1 = = = ( x + 1)( x − 2) x − ( x + 1)( x − 2) x − ( x + 1)( x − 2) x −2 = x −2 x +1 x +1 x −2 =1 Bài 6: Rút gọn A = x − xy + y x x +y y + x + xy + y x x −y y với x > y > Hướng dẫn A= x − xy + y x x +y y + x + xy + y x x −y y = x − xy + y x + y3 + x + xy + y x − y3 x +1 x −2 = = x − xy + y ( )(x − x + y xy + y x − y + x + y ( )( x + y Vậy A = x − y ) x + xy + y + ) ( = )(x + x − y xy + y = ) x + y + x − y x x −y x với x , y > x −y x Bài 7: Cho biểu thức P = x x + x −x −1 x : 1 + Rút gọn P x + x + − Hướng dẫn x x x x +1+ x : 1 + = : P = − − x x + x −x −1 x x +1 − x +1 x x +1 + 1 x x + + ( = = ( ( ) ( ) x − (x + 1) x + + x x +1+ x − = : : x +1 x +1 x + 1 x −1 x +1 x −1 x +1 x )( ) −x + x − )( ) x +1 x −1 x +1 x + x +1 1− x Vậy P = x + x +1 )( ( = − ( x −1 x −1 ) ) x + x +1 = − ( x −1 )= x + x +1 3x + 9x − x + x −2 x +1 − x +2 + x −2 − 1 x − 1 − x a) Tìm điều kiện b) Rút gọn A Hướng dẫn = 3x + 9x − x + x −2 ( x + x −1 ( x −1 )( ) x +2 ) − x +1 x +2 x +1 − x +2 x −2 − 1 x − 1 − x + + x −2 x x −1 1− x x ≥ x ≥ ⇔ x ≠1 x − ≠ Điều kiện: b) A = ( x + x −1 ( x −1 )( x + x +1 với x ≥ 0, x ≠ Bài 8: Cho biểu thức A = a) A = 1− x ) x +2 ) − x +1 x +2 + x −2 x x −1 1− x = = ( x − )( ( x − )( x + 2) 3x + x − − ( 3x + x − − x − )+ x +1 )+( x −x ) x −2 x ( x −1 ) 2x + x − = + x −x ) ( x − 1) ( x − )( x + 2) ( x − 1) 1 x − ( x + 2) (2 x − 1)( x − 1) + 2 x −x x −1 x −1 = + = + = ( x − )( x + 2) ( x − 1) x − ( x − 1) ( x − 1) ( x −1 )( x +2 2 = 2x − x + + x − ( x −1 ) = 2x − x ( x −1 ) Vậy A = 2x − x ( x −1 x −1 ) với x ≥ 0, x ≠ DẠNG 3: CHO GIÁ TRỊ CỦA x , TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Phương pháp giải • Bước 1: Đặt điều kiện giá rị cho x thỏa mãn điều kiện • Bước 2: Tìm giá trị x (nếu chưa biết) biến đổi đưa giá trị x dạng thu gọn thay vào biểu thức rút gọn • Bước 3: Tính kết quả, trục thức mẫu kết luận Bài tập x −1 Bài 1: Tính giá trị biểu thức A = a) x = 36 x −2 khi: c) x = b) x = − 2+ 2− d) x = Lời giải: x ≥ x ≥ ⇔ x ≠ x − ≠ a) Điều kiện Vì x = 36 thỏa mãn điều kiện nên thay x = 36 vào A ta được: A= 36 − 36 − = −1 = 6−2 b) Vì x = − thỏa mãn điều kiện nên thay vào A ta được: A= −2 −1 6−2 −2 = ( ( ) − 1) −1 2 −1 −2 = −1 −1 −1 −2 = −1−1 −1−2 = −2 −3 e) x = +2 − −2 = ( −2 )( 5+3 5−9 c) Ta có x = Vì x = ( A= 2+ 3 −1 ( ( ) = 1− ) = ( 2− ) (2 + )(2 − ) = 4−2 = ( ) −1 thỏa mãn điều kiện nên thay vào A ta được: ) − 2) −2 2 −1 −1 −1 = −1 −2 −2 = −2 −3 ( = 2 − − − 1 d) Ta có x = ⇒ x = = = −2 )( 3+3 −6 −1 ) = −3 + −6 = = −1 Vì x thỏa mãn điều kiện nên thay vào A ta được: A= e) Ta có x = +2 − −1 −1 = −1 −2 −2 = ( −1−2 −1− = −3 −4 = ) ( + 2) = ( − 2)( + 2) −2 −4 Vì x = 16 thỏa mãn điều kiện nên thay vào A ta được: A = −9 9− = 13 −13 −8−4 −8 = 16 3−4 16 − 16 − = −1 = 4−2 DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải • Bước 1: Tìm điều kiện để biểu thức xác định • Bước 2: Quy đồng mẫu • Bước 3: Bỏ mẫu, tìm x, đối chiếu với điều kiện kết luận Bài tập 2.1 Đưa phương trình tích Bài 1: Cho biểu thức A = x x +2 với x ≥ , −2 x + 10 x x +2 : B = + với x ≥ 0, x ≠ 25 x + x + x − 25 a) Tính giá trị biểu thức A x = b) Rút gọn B c) Tìm x để A = B 3− 19 Từ tìm : Amin = 33 ⇔ x = 1, y = 4 b) i) Ta có : A, B > ⇒ B = Vậy Bmax = Dấu xảy x = 1, y = 33 ii) Xét biểu thức x y 15 y 25 x y = + +2= + + ≥ C y x y 16 x 16 x Do C > nên C ≤ Vậy Cmax = 9B 25 Dấu xảy x = 1, y = 25 Tương tự 9A, ta có a) Amin = ≤ A 33 x ≥ Từ tìm y 17 ⇔ x = 6, y = b) i) Bmax = ⇔ x = 6, y = 17 ii) Cmax = ⇔ x = 6, y = 16 a3 ab b 10A a) Ta có : 2 = a − 2 ≥ a − a +b a +b Tương tự : Do b3 c ≥b− ; 2 b +c c3 a ≥c− 2 c +a a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ = 2 2 2 2 a +b b +c c +a Đẳng thức xảy a = b = c = b) Gợi ý biến đổi : a ab ab = a − ≥a− 2 1+ b 1+ b Biến đổi đánh giá tương tự với biểu thức : Từ ta VT ≥ a + b + c − a + b + c) ( Do ab + bc + ca ≤ ab + bc + ca ≥ 2 =3 b c ; 1+ c + a2 20 Đẳng thức xảy a = b = c = c) Chú ý Tương tự a2 a = − ≥ 1− 2 a +1 a +1 b c ≥ 1− ; ≥ 1− c +1 b +1 Do chứng minh VT ≥ − a+b+c = 2 Đẵng thức xảy a = b = c = ( a + 1) b ≥ a + − ( a + 1) b a +1 d) Chú ý biến đổi = a + − 2 b +1 b +1 Biến đổi đánh giá tương tự với biểu thức Từ ta được: VT ≥ + b +1 c +1 ; 2 c +1 a +1 a + b + c ab + bc + ca − 2 a + b + c) ( Do ab + bc + ca ≤ = a + b + c ⇒ VT ≥ đẳng thức xảy a = b = c = e) Chú ý a b 1 = − ≥ − b3 + ab b a + b b a Biến đổi đánh giá tương tự với biểu thức a b c Ta VT ≥ + + − a − b − b c ; c + bc a + ca c 1 + ≥ − a , từ a a 4a 1 1 3a 3a − ≥ − − = − ≥ (2 − a) − = − a a a 4a 4 4 4 15 3 Suy VT ≥ − (a + b + c) = 4 Đẳng thức xảy a = b = c = a3 ab b 10B a) Chú ý =a− ≥a− 2 a +b a +b 2 a 9ab 3ab ab + bc + ca ≤ b) Chú ý =a− ≥a− 2 + 9b + 9b Sử dụng BĐT Cơ-si ta có: ≤ 21 9a 3a c) Chú ý = 1− ≥ 1− 9a + 9a + 2 a +1 9(a + 1)b 3(a + 1)b ab + bc + ca ≤ d) Chú ý a a = + − ≥ + − 9b + 9b + a + (a + 1)b = 11A Gợi ý: Biến đổi a + − b +1 b +1 (a + 1)b (b + 1)c (c + 1)a + + ≥ Đưa tóab chứng minh b +1 c +1 a +1 Sử dụng BĐT Cô-si cho ba số hạng VT, ý abc = Từ suy ĐPCM Dấu '' ='' xảy a = b = c = a + a + (a + 2)b 11B Gợi ý: Biến đổi a + − = + b+2 2(b + 2) Đưa toán chứng minh BĐT: a + b + c (a + 2)b (b + 2)c (c + 2)a + + + ≥ 2(b + 2) 2(c + 2) 2(a + 2) Sử dụng BĐT Cauchy cho ba số dương, ý abc = 1, ta có (a + 2)b (b + 2)c (c + 2)a a + b + c ≥ 3; + + ≥ (b + 2) (c + 2) (a + 2) Từ suy ĐPCM Dấu '' ='' xảy a = b = c = 12 Đáp số: Pmin = ⇔ x = 13 a) Đặt t = x + y2 ⇒ t ≥ , ta có A = t + t xy ⇒ A = ⇔ t = ⇔ x = y x + xy + y b) Đặt t = ⇒ t ≥ , ta có B = t + − t xy ⇒ Bmin = ⇔ t = ⇔ x = y c) Đặt t = t (x + y) ⇒ t ≥ , ta có C = + − t xy ⇔t=4⇔x=y ( x + y + 1) d) Đặt t = ⇒ t ≥ , ta có D = t + t xy + x + y ⇒ Cmin = 10 ⇔ t = ⇔ x = y = ⋅ (x + y) x + y + 14 a) Chú ý x + y = ≤ 2 ⇒ D = 22 b) Chú ý c) Chú ý x + 2y + 3z = d) Chú ý e) Chú ý ⋅ (x + 2y + 3z) x + y +1 xy = x ⋅ y ⋅1 ≤ 3 x(y + z) = 3x + 5y = ⋅ 2x ⋅ (y + z) 3 ≤ ≤ x + 2y + 3z + 2x + y + z + 33 ⋅ ⋅ (3x + 5y) 3x + 5y + 16 ≤ 12 15 Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số ta có ≥ x + x y ≥4 ⇒ ≥ y y x y ⇒ t ≥ Ta có: x 17 ⇔ t = ⇔ x = 1, y = a) A = t + ⇒ A = t 4 ⇔ x = 1, y = b) i) B = ⇒ Bmax = A 17 1 ⇔ x = 1, y = ii) = 2t + + ⇒ C max = C t 45 x 16 Đặt t = ≥ , ta có M = t + ⇒ M = ⇔ t = ⇔ x = 2y t y Đặt t = x2 x = − ≥ 1− 2 x +1 x +1 18 Biến đổi được: 17 Chú ý 2a + b + c 2b + ca ; 2c + ab 2a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(a + c) ≤ Biến đổi tương tự với biểu thức Từ suy Q ≤ 2(a + b + c) = Dấu xảy a = b = c = , từ Q max = 2 (a + b) − a − b (a + b) − 19 Ta có ab = = 2 a+b−2 Từ biến đổi M = Sử dụng BĐT: (a + b) ≤ 2(a + b ) ⇒ a + b ≤ 2 nên M ≤ − Vậy M max = − Dấu xảy x = y = 20 Ta có: a − 2017 = 2018 ⋅ (a − 2017) 2018 ≤ a +1 2018 23 2020 ⋅ (b − 2018) b+2 2020 2020 1 1 Do P ≤ + ⇒ Pmax = + 2018 2020 2018 2020 Dấu xảy a = 4035, b = 4038 b − 2018 = ≤ BÀI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 1 1A VP = (3x − 1)(x + 2) ⇒ ĐK: x ≥ 3 2 1 1 Ta có VT = x + x − − x − = x − 3 3 1 PT ⇔ x − = (3x − 1)(x + 2) Tìm S = 3 3 1B Tương tự 1A ĐK x ≥ − PT tương đương 1 1 x − + x + = (2x + 1)(x + 1) ⇔ x + = (2x + 1)(x + 1) 2 2 ⇔ (2x + 1)x = Tìm S = − ; 2A a) ĐK: − ≤ x ≤ PT ⇔ ( 3x + − 4) + (1 − − x ) + 3x − 14x − = ⇔ (x − 5) + + (3x + 1) = − x +1 3x + + + + (3x + 1) > Với − ≤ x ≤ − x +1 3x + + Vậy S = {5} b) PT ⇔ 5x + + 5x + + 9 = x + + 5x + + 4 3 5 ⇔ 5x + + = x + với x ≥ có 2 2 ± 13 ; Trường hợp 5x + = x + tìm x = Trường hợp 5x + = −(x + 4) (vô nghiệm) c) x + 2x − − + x − 2x − + = 2 24 Nhân hai vế với đưa - Với 2x − ≥ Tìm x = 2x − + + 2x − + > nên có - Với ≤ 2x − < định Vậy ≤ x ≤ 2x − + + 2x − − = 2x − − = với x ≥ 2x − + − 2x − = với x thuộc tập xác 2B a) ĐK: x ≥ PT ⇔ x − − + x − = x − − (x − 3)(x + 3x + 9) x+3 ⇔ (x − 3) + = (x − 1) + x − + x3 − + x+3 x+3 Ta có: + = 1+ nên x − = ⇔ x = Vậy S = {3} b) PT ⇔ (x − 1) + 16 − x − = ; Sử dụng BĐT a + b ≤ a + b nên (x − 1) + 16 − x − ≤ x − + − x − = − x − Từ ≤ − x − ⇔ x − = ⇔ x = 3A Từ phương trình ta thấy x > Chia vế cho x ta 1 + + x + = 3 Đặt: t = x + , t ≥ 2 x x x t≤3 PT trở thành: t − = 3(3 − t) ⇔ ⇔t=2 t − 9t + 14 = x2 + ⇒x+ = ⇔ x = Vậy S = {1} x 3B PT ⇔ − x = − 2x − 2x − x ⇒ − x = + 4x + 4x (1 − x ) − 4x − 4x − x + 8x − x ⇔ x(1 − − x + 8x − x ) = x=0 ⇔ 2 1 − − x + 8x − x = (*) Đặt t = − x ĐK: t ≥ Ta có x = − t PT trở thành: − 4t + 8t(1 − t ) = 25 ⇔ 8t − 4t − = ⇔ (2t + 1)(4t − 2t − 1) = ⇔ t = 1+ 5− 5− Thử lại loại nghiệm x = 8 − Vậy S = 0; − Tìm x = ± 4x + 5x + = a ÑK : a,b > 4A Đặt x − x + = b PT trở thành: a − b = a − b ⇔ (a − b)(a + b − 1) = a=b 4x + 5x + = 4x − 4x + ⇔ ⇔ a + b = 4x + 5x + + x − x + = 1 x= ⇔ 4x + 5x + = − x − x + (*) 1 Ta có (*) vô nghiệm Vậy S = 3 4B ĐK: x ≥ Bình phương vế ta có: (x + 2x)(2x − 1) = x + ⇔ (x + 2x)(2x − 1) = (x + 2x) − (2x − 1) 1− b a = x + 2x = a 2 Đặt: Khi đó: ab = a − b ⇔ 1+ − = 2x b b a = 1+ 1+ b ⇔ x + 2x = (2x − 1) 2 ⇔ 2x + 2(1 − 5)x + ( + 1) = 0; ∆′ < (vô nghiệm) Do a, b ≥ nên a = Vậy S∈ ∅ 5A a) PT ⇔ x + 2x = 2x − + 2x − Đặt t = 2x − , ta x + 2x = t + 2t ⇔ (x − t)(x + xt + t ) + 2(x − t) = ⇔ (x − t)(x + xt + t + 2) = t 3t Vì x + xt + t + = x + + + > nên x = t 2 2 26 ⇔ (x − 1)(x + x − 1) = −1 ± Tìm S = 1; 5B Đặt: 3x + = t PT trở thành x = 3t + Lại có: t = 3x + x = 3t + x = 3t + Ta có hệ: ⇔ 3 x − t = 3(t − x) t = 3x + x = 3t + Vì x + tx + x + > 0, ∀x, t ⇔ 2 (x − t)(x + tx + t + 3) = (*) ⇒ x − t = ⇔ x = t ⇒ x − 3x − = ⇔ (x + 1) (x − 2) = Tìm S = {−1; 2} 6A PT ⇔ 2x + − (x + 5) 2x + + 3x + = Đặt t = 2x + (t ≥ 1) PT trở thành: t − (x + 5)t + 3x + = t =3 ∆ = [ −(x + 5)] − 4(3x + 6) = (x − 1) ⇒ t = x + t = tìm x = ±2 { } t = x + tìm x = ± Vậy S = ±2; ± 6B a) PT ⇔ (x + − x x + 5) + (−3 x + + 3x) = ⇔ ( x + − x)( x + − 3) = Vậy S = {±2} b) ĐK: x ≥ −1 Ta có x = khơng nghiệm PT nên ta nhân hai vế phương trình với + x − ≠ ta được: x( + x + 2x − 5) = x( + x − 1) ⇔ ( + x + 2x − 5) = ( + x − 1) ⇔ x = Vậy S = {2} Cách khác: Tương tự 1A Phân tích x = ( + x + 1)( + x − 1) 7A PT ⇔ 3(x + 1) + + 5(x + 1) + = − (x + 1) Ta có: VT ≥ 5, VP ≤ Vì VT = VP = 21 + 41 Dấu '' ='' ⇔ x + = ⇔ x = −1 Vậy S = 7B a) ĐK: x ≥ Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: 2 + x ≤ 2 x +1 Dấu '' ='' ⇔ ( ) 2 x = x+9 + x +1 + x + x + 2 1 = ⇔x= x +1 x +1 27 b) ĐK: −1 ≤ x ≤ Áp dụng BĐT Cơsi ta có: 4(1 − x ) + x − 3x 4(1 − x )x ≤ = 2 52 − 39x ⇒ 13 x − x ≤ (1) 13x + 39x + 12 9x 4(1 + x ) ≤ ⇒ x2 + x4 ≤ (2) Cộng vế (1) (2) ta có: 13 x − x + x + x ≤ 16 4(1 − x ) = x Tìm S = ± Dấu = ⇔ 9x = 4(1 + x ) ĐK: x ≥ PT ⇔ 4x − 6x + = ( 2x + 3) − 2x + + 4 '' '' 2 3 1 ⇔ 2x − = 2x + − 2 2 − 21 + 17 Tìm S = ; PT ⇔ 2x + 3 x − 1( x + + x − 1) = 5x Do phép thay x + + x − = 5x không tương đương nên cần thử lại giá trị x vừa tìm Vậy S = 0; ± ⇒ x − 5x = x ⇒ 4x − 5x = ⇒ x = 0; x = ± 10 PT ⇔ ( x + − 2x)( x + − 1) = Tìm được: x = 0; x = Vậy S = {0;1} 11 Tương tự 2B + PT ⇔ (x − 2) =0 2 2 x − + x − 3x + 3x − 5x − + 3x − 7x + 3 Do + >0 3x − 5x − + 3x − 7x + x − + x − 3x + Nên x − = ⇔ x = (TMĐK tồn thức) Vậy S = {2} 12 Tương tự 3A Ta có x = nghiệm, chia hai vế cho x ta được: 1 x − + x − = Đặt t = x − x x x 28 1 ± Ta có t + t − = ⇔ t = Tìm S = PT trở thành: 4t = − t + 7t − ⇔ t − 6t + − (t − 4t + 4) = 13 Đặt t = x + x + 1, t ≥ ⇔ (t − 3) − (t − 2) = ⇔ (t − t − 1)(t + t − 5) = (*) t2 − t −1 = −1 + 21 1+ (*) ⇔ Tìm được: t = t = 2 t + t − = −1 ± + −1 ± 19 − 21 ; Tìm S = 2 14 ĐK: x ≥ − Đặt t = x + + (t > 2), x + + t = 2(x + 1)t Ta có hệ t − x + = ⇒ x + + t = (t − x + 1)(x + 1)t ⇔ (t x + + 1)(t + x + − t x + 1) = ⇔ (t x + + 1)(t − x + 1) = ⇔ t = x + x +1 + = x +1 ⇔ x = −15 + 33 32 −15 + 33 Tìm S = 32 15 a) Đk: − 10 ≤ x ≤ 10 x + = a (*) Điều kiện a ≥ 3; ≤ b ≤ 10 Đặt 10 − x = b a+b=5 Khi ta có hệ: 2 a + b = 13 a + b = a+b=5 a = a = ⇔ ⇔ ⇔ b = b = ab = (a + b) − 2ab = 13 { } Tìm S = ± 6; ± 2x + x + + = a , a;b ≥ Ta có hệ: b) Đặt: 2x − x + + = b 29 a + b = x + + a = x + + ⇔ − = + + = + a b x 1 b x Tìm x = 16 a) Tương tự 2A Cách ĐK: x > Nhân hai vế phương trình với: 2x + 3x + − 2x − 3x + ≠ Ta được: 6x = 3x( 2x + 3x + − 2x − 3x + 5) ⇔ 2x + 3x + − 2x − 3x + = (*) Cộng hai vế phương trình cho với (*) ta được: 2x + 3x + = + 3x ⇔ x = Vậy S = {4} Cách Đặt 2x + 3x + = a, 2x − 3x + = b a − b2 b) ĐK: x + x − ≥ ⇒ x + x + > Ta có: 3x = a = x + x − Đặt Với b > a ≥ b = x + x + Ta có hệ phương trình a + b = a+b=3 a =1 a + b = ⇔ ⇔ ⇔ 2 b = b − a = (b + a)(b − a) = b − a = x + x − = x3 + x −1 = ⇔ ⇔ 3 x + x + = x + x + = Tìm S = {1} 17 a) ĐK: 5x − ≥ 5x − Cách Đặt t = (t ≥ 0) Ta có 5x = 6t + PT trở thành x + 6t + − = t ⇔ x + 6t + = (t + 1)3 ⇔ x = (t − 1)3 ⇔ x = t − ⇔ t = x + { } ⇔ x = −6 + 28 Vậy S = −6 + 28 Cách Đặt x + 5x − = a, a − 6b = x + Giải hệ a − b =1 b) Tương tự 4A 5x − = b 30 a = x + x + ; b ≥ ĐK: a ≥ Đặt b = x + Ta có: 2x − x − = 2a − 3b ; 2x + x + = 2a − b Thay vào PT ta được: b b b (2a − 3b )a + (2a − b )b = ⇔ + − − = a a a 2 2 b b 4b ⇔ = + +2 = a a a b b b - Với: + + = : PT vô nghiệm ≥ a a a x =1 b - Với: = ⇔ b = a ⇔ a x = −1 Vậy S = {−1;1} 18 Tương tự 4A x + 2x + 2x + = (x + 1)(x + x + 1) nên ĐK: x ≥ −1 Ta có x + 2x + = (x + 1) + (x + x + 1) Đặt a = x + 1, b = x + x + PT trở thành: 3(a + b ) = 10ab ⇔ 3a − 10ab + 3b = a = 3b ⇔ (a − 3b)(3a − b) = ⇔ a = b a = 3b ⇔ x + = x + x + ⇔ 9x + 8x + = (vô nghiệm) b a = ⇔ x + = x + x + ⇔ x − 8x − = ⇔ x = ± { } Vậy S = ± 19 a) Điều kiện: x ≥ Đặt u = 10 + x , u ≥ 10 x = 10 + u Ta có: u = 10 + x ⇒ x − u − ( x − u ) = ⇔ ( x − u )( x + u + 1) = x=u Ta có (*) vơ nghiệm ⇔ u + x + = (*) x ≥ 10 21 + 41 ⇔x= x = u ⇔ x = x − 10 ⇔ 2 x − 21x + 100 = 31 21 + 41 Vậy S = b) Tương tự 5B x + = a ĐK: a ≥ 7; b ≥ Đặt: x = b a − b =1 Tìm Ta có hệ sau: − = a b a = b =1 a = x + = ⇔ ⇒ ⇔ x = Vậy S = {1} b = x = t + 3t = x + 20 a) Đặt x + 3x − = t Ta có hệ x + 3x = t + Trừ vế PT ta (t − x)(t + x + 4) = Với t = x ⇔ x = −1 ± Với t = − x − ⇔ x = 0, x = −4 xa(x + a) = 30 35 − x = a → x + a = 35 Ta có 3 x + a = 35 (2) (2) ⇔ (x + a)(x − xa + a ) = 35 b) Đặt ⇔ (x + a)[(x + a) − 3xa] = 35 ⇔ (x + a)3 = 125 x + a = x = Ta có ⇔ ; a = x.a = x = a = Tìm x ∈ {2;3} 21 a) PT ⇔ (x + − x x + 5) + (−3 x + + 3x) = ⇔ ( x + − x)( x + − 3) = Vậy S = {±2} b) ĐK: −1 ≤ x ≤ Ta có: 2x = [ (1 + x) − 1] = 2( + x − 1)( + x + 1) + x − = (*) ⇔ − x + = 2( + x + 1) (**) (*) ⇔ x = (**) ⇔ − x = + x + ⇔ − x = + 4x + + x + 24 24 Tìm x = − Vậy S = − ;0 25 25 32 c) ĐK: x ≥ −1 Ta có x = khơng phải nghiệm phương trình nên ta nhân hai vế phương trình với + x − ≠ ta được: x( + x + 2x − 5) = x( + x − 1) ⇔ ( + x + 2x − 5) = ( + x − 1) ⇔ x = Vậy S = {2} Cách khác: Tương tự 1A Phân tích x = ( + x + 1)( + x − 1) 22 a) PT ⇔ 2x + − (x + 5) 2x + + 3x + = Đặt t = 2x + (t ≥ 1) PT cho trở thành: t − (x + 5) t + 3x + = t =3 ∆ = [ −(x + 5)] − 4(3x + 6) = (x − 1) ⇒ t = x + { } Vậy S = ±2;2 ± b) PT ⇔ x + − x x + − x + + 4x = ⇔ x + 7( x + − x) − 4( x + − x) = ⇔ ( x + − x)( x + − 4) = Tìm S = {±3} c) Tương tự 6A (1) ⇔ x + 2x + − (2x + 1) x + 2x + + 4x − = ⇔ ( x + 2x + − 2x + 1)( x + 2x + − 2) = + 15 Tìm S = ; −1 ± 23 a) Tương tự 2B Cách PT ⇔ x − 2x − + 3(x + 2) − (x + 2) x − 2x + = ⇔ x − 2x − + (x + 2)(3 − x − 2x + 2) = (x − 1) + − (x − 1) ⇔ (x − 2x − 7) = x − 2x + + { } Vậy S = ± 2 Cách Đặt x − 2x + = t PT trở thành t = x −1 ⇒ x = 1± 2 t − (x + 2)t + 3x − = ⇔ t2 = b) Tương tự 6A Đặt t = x + ≥ PT trở thành: t = x + ⇒ 2t + (1 − 4x)t + 2x − = ⇒ t = 2x − 4 Tìm S = 3 33 24 Ta có: VT = ( − x + x − 5) ≤ (1 + 1)(7 − x + x − 5) = Do đó: < VT ≤ Mặt khác: VP = x − 12x + 38 = + (x − 6) ≥ Dấu '' ='' ⇔ x = Vậy S = {6} 25 Điều kiện: ≤ x ≤ PT ⇔ − x + 3x − = − x + Ta có: − x + ≥ ⇔ x + ≤ ⇔ x + ≤ ⇔ x ≤ Kết hợp với ĐK tìm S = {1} 26 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: (x + x − 1) + x + x = x + x − ≤ 2 2 x − x + ≤ (x − x + 1) + = x − x + 2 ⇒ x2 + x −1 + x − x2 +1 ≤ x +1 Do đó: x − x + ≤ x + ⇔ (x − 1) ≤ ⇔ x = Vậy S = {1} ... qua A (1;2 ) vng góc với đường thẳng (d '') : y = x + a) d qua M 2;5 song song với đường thẳng (d '') : y = −3x + c) d song song với đường thẳng (d '') : y = −3x + qua giao điểm hai đường thẳng... Do d song song với d’ nên ⇒ (d ) : y = −3x + b b≠2 ( ) Do d qua A 1; − nên −2 = −3.1 + b ⇔ b = Vậy phương trình đường thẳng d y = −3x + Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d song song... song song với đường thẳng y = 4x + c) Tìm m để d cắt trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích Bài 8: Cho hàm số y = (m − 1) x + (m tham số, m ≠ ) có đồ thị đường thẳng d a) Tìm m để d song