Skkn cách tiếp cận bài toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

SKKN: Tích phân đổi biến số MỤC LỤC Trang 1.Đặt vấn đề ( Bối cảnh lý chọn đề tài ) 2.Giải vấn đề ( Nội dung sáng kiến kinh nghiệm ) 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề 2.3.1 Kiến thức học sinh cần nắm 2.3.2 Tiếp cận nhứng tốn a) TÍCH PHÂN DẠNG b) TÍCH PHÂN DẠNG 11 c) TÍCH PHÂN DẠNG 15 d) TÍCH PHÂN DẠNG 17 e) TÍCH PHÂN DẠNG 19 f) TÍCH PHÂN DẠNG 21 2.4 Hiệu SKKN 23 Kết luận 24 Tài liệu tham khảo 25 Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang skkn SKKN: Tích phân đổi biến số CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐẶT VẤN ĐỀ Tốn học mơn khoa học phục vụ cho nhiều nghành nghề học tốt mơn tốn ln mục tiêu đặt học sinh Nhất kỳ thi kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thơng năm mục tiêu nhiều học sinh phụ huynh Vì việc vượt qua kỳ thi trở thành vấn đề quan trọng Trong đề thi tốt nghiệp năm ln có tốn tính tích phân Đây tốn coi khó học sinh học sinh trung bình – yếu Để làm tốn này, học sinh cần nắm định nghĩa tính chất nguyên hàm, thuộc công thức nguyên hàm hàm số sơ cấp phương pháp tính nguyên hàm Để tính tốn tích phân học sinh khơng phải học thuộc kiến thức mà phải rèn luyện kỷ giải toán thường xuyên Nhằm giảm bớt khó khăn q trình tính tốn, khó khăn gặp tốn tích phân đề thi tốt nghiệp năm, đưa cách tiếp cận tốn tích phân cách phù hợp với trình độ học sinh trung bình yếu “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang skkn SKKN: Tích phân đổi biến số Mục đích rõ ràng đề tài nhằm giúp học sinh giải tốt toán tích phân nói riêng làm tốt thi tốt nghiệp THPT nói chung, xa làm tăng tỷ lệ mơn tốn trường kỳ thi tốt nghiệp năm NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 Cơ sở lý luận đề tài Hiện thực xung quanh có nhiều mà người chưa biết Nhiệm vụ sống hoạt động thực tiễn đòi hỏi người phải hiểu biết chưa biết ngày sâu sắc, đắn xác hơn, phải vạch chất quy luật tác động chúng Quá trình nhận thức gọi tư Nhưng để tư cần phải nắm kiến thức bản, kiến thưc tảng vấn đề nói đến hay sáng tạo Cơ sở lý luận đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” từ kiến thức vấn đề nhằm giúp học sinh tiếp cận với vấn đề cao mạch kiến thức Cụ thể hóa vấn đề mặt lý luận giúp hoc sinh độc lập giải vấn đề mà cụ thể vấn đề tốn tích phân kỳ thi mà đặc biệt dạng mà đề tài nghiên cứu đưa sáng kiến kinh nghiệm dạy học trường phổ thông 2.2 Thực trạng đề tài 2.2.1 Tình hình thực tế học sinh trường: - Phần lớn học sinh trường đại bàn xã lân cận, lại khó khăn Điểm tuyển sinh vào lớp 10 không cao, lực học tập chủ yếu loại trung bình, chí số học sinh khả tính tốn hạn chế - Học sinh thường chịu tìm tịi, khám phá không thuộc (lười học) Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang skkn SKKN: Tích phân đổi biến số 2.2.2 Thực trạng đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” - Đây đề tài nghiên cứu phương pháp đổi biến số tóan tích phân trường THPT Nguyễn Khuyến - Đề tài hoàn thành có ứng dụng khả thi cho học sinh, giáo viên tổ toán trường kỳ thi - Do chương đòi hỏi học sinh phải có kiến thức nhiều, thuôc vận dụng lý thuyết nên học sinh thường không làm được, cụ thể kết kiểm tra chương tích phân năm học 2010 – 2011 lớp 12A4 sau: Điểm đến 3.5 đến 4.5 đến 6.5 đến Trên Số lượng 15 - Phân tích kết trên: số học sinh trung bình chiếm 60.5% , số học sinh trung bình chiếm tỉ lệ 39.5% số học sinh đạt điểm đề kiểm tra đảm bảo theo chuẩn kiến thức 2.2.3 Khó khăn đề tài: - Về tâm lý: gặp toán tích phân học sinh thường ngại suy nghĩ cho tốn khó nên thường bỏ ln không làm - Về kiến thức: + Học sinh không thuộc bảng nguyên hàm hàm số sơ cấp, công thức tính tích phân, tính chất nguyên hàm tích phân + Khả nhận dạng dạng nguyên hàm hay tích phân cịn thấp + Khả tính tốn cịn yếu - Nghiên cứu ứng dụng cho học sinh với tầm kiến thức trung bình yếu nên mặt lý luận gặp khó khăn - Khả tiếp thu kiến thức học sinh nên việc triển khai đề tài có phần chậm Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang skkn SKKN: Tích phân đổi biến số 2.2.4 Thuận lợi: - Trong thực đề tài hỗ trợ bạn đồng nghiệp trường, tổ chuyên môn - Đa số học sinh có phần hứng thú với cách tiếp cận mạch kiến thức - Học sinh chăm tích cực luyện tập kỹ giải tốn tích phân 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề 2.3.1 Kiến thức học sinh cần nắm * Nguyên hàm Kí hiệu K khoảng, đoạn khoảng Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xác định Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) f(x) với x  F '(x) = Định lý 1: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) với số C, hàm số G(x) = F(x) + C nguyên hàm f(x) Định lý 2 : Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) nguyên hàm f(x) có dạng F(x) + C, với C số Là họ tất nguyên hàm f(x) K * Tính chất nguyên hàm Tính chất 1: Ví dụ : Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang skkn SKKN: Tích phân đổi biến số hay Tính chất2: k: số khác Tính chất 3: Bảng nguyên hàm hàm số sơ cấp (a > 0, a  1) (  1) TÍCH PHÂN Định nghĩa tích phân Cho f(x) hàm số liên tục [a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) đươc gọi tích phân từ a đến b f(x) Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang skkn SKKN: Tích phân đổi biến số TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN I) Tính chất : Giả sử f(x), g(x) liên tục K; a,b  K 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) Phương pháp đổi biến số Định lí 1: Cho hàm số f(x) liên tục [a; b] Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm liên tục đoạn [; ] cho () = a, () = b a  (t) b với t  [; ] Khi đó: Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang skkn SKKN: Tích phân đổi biến số Định lí 2: Cho hàm số f(x) liên tục [a; b] Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục [a; b]   u(x)   với x  [a; b] cho f(x) = g[u(x)]u(x), g(u) liên tục [; ] thì: 2.3.2 Tiếp cận nhứng tốn a) TÍCH PHÂN DẠNG * Nhận xét Ta thấy hàm số dấu tích phân , hàm số khơng có ngun hàm trực tiếp, muốn giải ta phải đưa đa thức lấy nguyên hàm Nhưng đưa đa thức vấn đề, n ta áp dụng đẳng thức Hay Ví dụ: Tính tích phân Giải: Hoặc tính tích phân Giải: Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang skkn SKKN: Tích phân đổi biến số Nhưng xem cách không khả quan đa số học sinh khơng nhớ đẳng thức Hơn n số nguyên âm hay hữu tỷ cách khơng giải Để giải dạng tập đưa cách giải khả thi sau: * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt + Bước 2: Đổi cận: + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t *Nhận xét: Như cách giải tránh việc phải nhớ đẳng thức Chỉ cần thực thao tác như: tính vi phân hàm bậc (việc dễ dàng) Công việc đổi cận khơng có khó khăn, việc tính giá trị hàm số bậc mà * Các ví dụ minh họa: Tính tích phân sau: 1) 2) Giải: 1) Đặt Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang skkn SKKN: Tích phân đổi biến số Đổi cận: x =  t = 1; x =  t = Do ta có: 2) Đặt Đổi cận: x =  t = 1; x = 12  t = Do ta có: * Phân tích ví dụ Thật cách giải có nhiều ưu điểm cách giải khác( trình bày trên) Nhận xét nên ta đưa cơng thức dạng tổng qt để học sinh áp dụng trực tiếp Ta có bảng sau (  1) Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 10 skkn SKKN: Tích phân đổi biến số + Bước 2: Đổi cận: + Bước 3: + Bước 4: ***** Như day học sinh ta cần ý cho học sinh dấu hiệu nhận biết dạng số mũ x dấu hay lũy thừa số mũ x bên đơn vị hay k – đơn vị * Bài tập áp dụng: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) Hướng dẫn giải: Đặt c) TÍCH PHÂN DẠNG * Nhận xét Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 15 skkn SKKN: Tích phân đổi biến số Đây dạng đổi biến mà hàm số tử đạo hàm hàm số mẫu hàm số tử hệ số nhân với đạo hàm hàm số mẫu * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt + Bước 2: Đổi cận: + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t * Ví dụ minh họa 1) 2) Giải: 1) + Bước 1: Đặt + Bước 2: Đổi cận: + Bước 3: + Bước 4: 2) + Bước 1: Đặt + Bước 2: Đổi cận: + Bước 3: Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 16 skkn SKKN: Tích phân đổi biến số + Bước 4: **** Đối với dạng tập dạy cần ý cho học sinh ta thử tính đạo hàm hàm số mẫu so sánh với hàm số tử * Bài tập áp dụng: 1) HD: Đặt 2) HD: Đặt 3) HD: Đặt 4) HD: Đặt 5) HD: Đặt 6) HD: Đặt 7) HD: Đặt Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 17 skkn SKKN: Tích phân đổi biến số 10) HD: Đặt 11) HD: Đặt 12) HD: I1 : tính trực tiếp I2 : Đặt d) TÍCH PHÂN DẠNG * Nhận xét Dấu hiệu nhận biết dạng hàm số dấu tích phân có chứa Ta có phương pháp giải sau: * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt + Bước 2: Đổi cận: + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t * Ví dụ minh họa Tính tích phân: Giải Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 18 skkn SKKN: Tích phân đổi biến số + Bước 1: Đặt + Bước 2: Đổi cận: + Bước 3: + Bước 4: * Bài tập áp dụng: 1) HD: Đặt 2) HD: Đặt 3) HD: Đặt 4) HD: Đặt 5) HD: Đặt 6) HD: Đặt e) TÍCH PHÂN DẠNG * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt hay Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 19 skkn SKKN: Tích phân đổi biến số + Bước 2: Đổi cận: hay + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t * Ví dụ minh họa Tính tích phân: 1) 2) Giải 1) + Bước 1: Đặt + Bước 2: Đổi cận: hay + Bước 3: + Bước 4: * Bài tập áp dụng: 1) HD: Đặt 2) HD: Đặt 3) HD: Đặt Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 20 skkn SKKN: Tích phân đổi biến số 4) HD: Đặt 5) HD: Đặt 6) HD: Đặt 7) HD: Đặt 8) HD: Đặt 9) HD: Đặt 10) HD: Đặt f) TÍCH PHÂN DẠNG * Nhận xét * Nếu n, m  N lẻ đặt t = sinx t = cosx * Nếu n, m  N có số chẵn, lẻ đặt t = HSLG có số mũ chẵn (khơng có xem mũ chẵn) * Nếu n, m  N chẵn áp dụng công thức hạ bậc * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt hay + Bước 2: Đổi cận: hay Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 21 skkn SKKN: Tích phân đổi biến số + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t * Ví dụ minh họa Tính tích phân sau: 1) 2) Giải: 1) + Bước 1: Đặt + Bước 2: Đổi cận: + Bước 3: + Bước 4: 2) + Bước 1: Đặt + Bước 2: Đổi cận: + Bước 3: Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 22 skkn SKKN: Tích phân đổi biến số + Bước 4: * Bài tập áp dụng: 1) HD: Đặt t = sinx 2) HD: Đặt t = cosx 3) HD: Đặt t = sinx 4) HD: Đặt t = sinx 5) HD: Đặt 6) HD: Đặt t = sinx g) TÍCH PHÂN DẠNG Đây loại tích phân có phương pháp đổi biến giải ngược so với cách đổi biến trình bày Cụ thể ta xét ví dụ: Tính tích phân : Giải: + Đặt : + Đổi cận : Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 23 skkn SKKN: Tích phân đổi biến số + + Như ngồi cách đổi biến số thơng thường ta cịn có cách khác để giải tóan tích phân phương pháp đổi biến số * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt + Bước 2: Đổi cận: hay + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t Những dạng thường gặp: + Gặp biểu thức Đặt : hay + Gặp biểu thức Đặt : hay + Gặp biểu thức Đặt : hay Ví dụ: Tính tích phân Giải: Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 24 skkn SKKN: Tích phân đổi biến số + Bước 1: Đặt : + Bước 2: Đổi cận : + Bước 3: + Bước 4: Bài tập tương tự: 1) HD: đặt 2) HD: đặt 3) HD: đặt 4) HD: đặt 2.4 Hiệu SKKN Với tinh thần thực theo sáng kiến kinh nghiệm năm qua đạt kết sau: Với học sinh, cụ thể lớp phụ trách 12A4 năm học 2010 - 2011 Tỷ lệ chung cuối năm Tổng số Giỏi Tỷ lệ Khá Tỷ lệ Trung Bình Tỷ lệ 38 24,5% 21 50,1% 10 24,5% Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 25 skkn SKKN: Tích phân đổi biến số Năm học 2011 – 2012: kết kiểm tra chương tích phân ( kiểm tra 2) sau: Điểm đến 3.5 đến 4.5 đến 6.5 đến Trên 12A4 23 12A8 2 20 Với tổ chuyên môn: Với cách phân dạng nêu phương pháp, rút kinh nghiệm rõ nội dung trọng tâm trên, giáo viên tổ thực đạt kết khả quan kỳ thi, góp phần nâng cao chất lượng tổ môn trường 2.5 Nguyên nhân thành công: - Được hỗ trợ nhiệt tình tổ trưởng chun mơn góp ý chân thành giáo viên tổ - Được đạo sâu sát ban giám hiệu, đặc biệt phó hiệu trưởng chuyên môn - Được hưởng ứng học sinh tiếp cận phương pháp giảng dạy mới, em cảm thấy hứng thú hình thành ý thức học tốt 2.6 Tồn tại: - Do thời gian nghiên cứu ngắn nên chưa mở rộng phạm vi nghiên cứu tất đối tượng học sinh (kể cà học sinh giỏi) - Chưa đưa tốn địi hỏi thơng hiểu cao từ học sinh - Một phận học sinh có tư tưởng học để đối phó với giáo viên nên kết không cao KẾT LUẬN 1.Bài học kinh nghiệm: Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 26 skkn SKKN: Tích phân đổi biến số * Với học sinh: - Học sinh chưa chăm học, kiến thức chưa nắm vững tất nhiên, với học sinh học kĩ chưa làm tập, làm sai, em có sai sót sau: + Chưa đọc kĩ đề bài, khơng biết đâu, gặp khó khăn khơng biết làm để tìm lời giải Vì giáo viên nên hướng dẫn học sinh đọc phân tích kĩ dạng tập thường gặp + Chưa nghiên cứu kĩ dạng tốn tính tích phân nên chưa định hướng cách giải - Giải xong chưa kiểm tra lại lời giải để kiểm tra kiến thức vận dụng Vì vậy, giáo viên cần rèn tính xác, cẩn thận giải toán Hướng dẫn học sinh kiểm tra kết cách dùng máy tính bỏ túi * Với giáo viên: - Cần tạo cho em có thói quen thuộc làm đầy đủ đến lớp - Hình thành khả nhận dạng tốn từ vận dụng lý thuyết học đưa lời giải phù hợp - Chú ý rèn khả thực hành, cần lựa chọn hệ thống tập đa dạng, đầy đủ, đừng đơn điệu lặp lại làm học sinh nhàm chán nảy sinh tính lười suy nghĩ, ỷ lại khơng phát huy tính tích cực, khơng hình thành khả tự giác học tập em, có học sinh giỏi, động linh hoạt, khơng giải tốn qua loa, đại khái - Việc học em, giáo viên môn cần phải giám sát, theo dõi chặt chẽ vai trò giáo viên chủ nhiệm Nếu khơng quan tâm sâu sắc hiệu khơng cao Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm khả ứng dụng: Trong nằm gần đây, việc học sinh trung bình yếu giải tốn tích phân vấn đề Tuy nhiên thực theo đề tài nghiên cứu cơng việc có phần nhẹ nhàng Đề tài đưa thành cơng hy vọng giúp em học sinh trung bình yếu trường làm tốn tính tích phân đề thi tốt nghiệp Kích thích tính tị mị, khả ham thích học tập môn, dần Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 27 skkn SKKN: Tích phân đổi biến số hình thành khả tự giác học tốt mơn tốn, để học tốt mơn khác Hình thành óc thẩm mỹ, linh hoạt, nhạy bén, tích cực tư duy, học tập hoạt động khác Hạn chế học sinh bỏ học, phần nhiều không học sinh lười biếng Tóm lại, việc nghiên cứu đề tài: “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” thành công giúp học sinh trường học tập tốt thi đạt hiệu cao Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 28 skkn SKKN: Tích phân đổi biến số TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách Giáo khoa Đại số Giải tích 12 Sách tập Đại số Giải tích 12 Tích Phân – Trần Phương Tích Phân – Phạm Kim Chung Tích Phân – Phan Huy Khải Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 29 skkn ... Thị Phương Thùy Trang skkn SKKN: Tích phân đổi biến số 2.2.2 Thực trạng đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” - Đây đề tài nghiên cứu phương pháp đổi biến số. .. skkn SKKN: Tích phân đổi biến số + + Như ngồi cách đổi biến số thơng thường ta cịn có cách khác để giải tóan tích phân phương pháp đổi biến số * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt + Bước 2: Đổi cận: ... cách tiếp cận tốn tích phân cách phù hợp với trình độ học sinh trung bình yếu “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang skkn SKKN: