THÔNG TIN TÀI LIỆU
Mục Lục Lời nói đầu Chủ đề Hệ thức lượng tam giác vuông Chủ đề Tứ giác nội tiếp Chủ đề Hai tam giác Chủ đề Hai tam giác đồng dạng Chủ đề Đoạn thẳng Chủ đề Đường thẳng song song Chủ đề Đường thẳng vng góc Chủ đề Các điểm thẳng hàng Chủ đề Các đường thẳng đồng quy Chủ đề 10 Tiếp tuyến đường trịn Chủ đề 11 Độ dài cạnh- độ lớn góc- diện tích Chủ đề 12 Đẳng thức hình học Chủ đề 13 Cực trị hình học Chủ đề 14 Quan hệ góc đường trịn Chủ đề 15 Tứ giác nội tiếp phần Chủ đề 16 Toán thực tế hình học CHƯƠNG 1- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Hệ thức cạnh đường cao KIẾN THỨC CƠ BẢN Khi giải toán liên quan đến cạnh đường cao tam giác vng, ngồi việc nắm vững kiến thức định lý Talet, trường hợp đồng dạng tam giác, cần phải nắm vững kiến thức sau: Tam giác ABC vng A , đường cao AH , ta có: 1) a b c A 2) b a.b '; c a.c ' b 3) h b '.c ' c h 4) a.h b.c 1 5) h b c 6) B b' H c' C a b ' b2 a a Chú ý: Diện tích tam giác vng: S ab Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Biết AB : AC : AB AC 21cm a) Tính cạnh tam giác ABC b) Tính độ dài đoạn AH , BH ,CH Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Giải: A a) Theo giả thiết: AB : AC : , suy AB AC AB AC 3 34 Do AB 3.3 cm ; H B C AC 3.4 12 cm Tam giác ABC vuông A , theo định lý Pythagore ta có: BC AB AC 92 122 225 , suy BC 15cm b) Tam giác ABC vng A , ta có AH BC AB.AC , suy AH AB.AC 9.12 7,2 cm BC 15 AH BH HC Đặt BH x 0 x 9 HC 15 x , ta có: 7,2 x 15 x x 15x 51, 84 x x 5, 4 9, x 5, 4 x 5, 4x 9, 6 x 5, x 9, (loại) 2 Vậy BH 5, 4cm Từ HC BC BH 9, cm Chú ý: Có thể tính BH sau: AB 92 5, cm AB BH BC suy BH BC 15 2 Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 Ví dụ 2: Cho tam giác cân ABC có đáy BC 2a , cạnh bên b b a a) Tính diện tích tam giác ABC b) Dựng BK AC Tính tỷ số AK AC Giải: a) Gọi H trung điểm BC Theo định lý Pitago ta có: AH AC HC b a A Suy S ABC 1 BC AH a b a 2 AH b a K b) Ta có 1 BC AH BK AC S ABC 2 H B C BC AH 2a Suy BK b a Áp dụng định lý Pitago tam giác vuông AC b b 2a 4a 2 2 2 AKB ta có: AK AB BK b b a b b2 AK b 2a b Suy b 2a AK AC b2 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với đỉnh A, B,C cạnh đối diện với đỉnh tương ứng là: a, b, c a) Tính diện tích tam giác ABC theo a b) Chứng minh: a b c 3S Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Giải: a) Ta giả sử góc A góc lớn tam giác A ABC B,C góc nhọn Suy chân đường cao hạ từ A lên BC điểm H thuộc cạnh BC B H C Ta có: BC BH HC Áp dụng định lý Pi ta go cho tam giác vuông AHB, AHC ta có: AB AH HB , AC AH HC Trừ hai đẳng thức ta có: c b HB HC HB HC HB HC a HB HC HB HC a c2 b2 c2 b2 ta có: HB HC a BH 2a a Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông 2 2 a c b a c b c a c b c AHB AH c 2a 2a 2a 2 2 a c b b a c a b c a c b b a c b c a . 2a 2a 4a 2 Đặt 2p a b c AH 16p p a p b p c 4a Từ tính S AH p p a p b p c a BC AH p p a p b p c Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 p p a p b p c Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: b) Từ câu a ) ta có: S p a p b p c p3 p3 p2 p a p b p c 27 Suy S p 27 3 a b c Hay S Mặt khác ta dễ chứng minh được: 12 a b c 2 a b c suy S a b2 c2 12 a b c 3S Dấu xảy hki tam giác ABC Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK ; H trực tâm tam giác Gọi M điểm CK cho AMB 900 S , S1, S theo thứ tự diện tích tam giác AMB, ABC ABH Chứng minh S S1.S Giải: A Tam giác AMB vng M có M MK AB nên MK AK BK (1) H AHK CBK có CKB 900 ; KAH KCB AKH (cùng phụ với ABC ) Suy D B C K AK HK , AK KB CK KH CK BK (2) Từ (1) (2) suy MK CK HK nên MK CK HK ; 1 S AMB AB.MK AB CK HK 2 1 AB.CK AB.HK S1S 2 Vậy S S1.S Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Ví dụ Cho hình thang ABCD có A D 900 , B 600 ,CD 30cm,CA CB Tính diện tích hình thang Giải: Ta có CAD ABC 600 (cùng phụ với CAB ), tam giác vng ACD ta có AC 2AD Theo định lý Pythagore thì: AC AD DC hay 2AD AD 302 Suy 3AD 900 AD 300 nên AD 10 cm Kẻ CH AB Tứ giác AHCD hình chữ nhật có A D H 900 , suy AH CD 30cm;CH AD 10 cm Tam giác ACB vuông C , ta có: CH HA.HB , suy HB CH HA 10 30 300 10 cm , 30 AB AH HB 30 10 40 cm 1 S ABCD CH AB CD 10 40 30 350 cm 2 Vậy diện tích hình thang ABCD 350 3cm Tỉ số lượng giác góc nhọn KIẾN THỨC CƠ BẢN Các tỉ số lượng giác góc nhọn (hình) định nghĩa sau: sin AB AC AB AC ; cos ; tan ; cot BC BC AC AB Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 B + Nếu góc nhọn sin 1; cos 1; Cạnh huyền Cạnh đối tan 0; cot A Với hai góc , mà 900 , Cạnh kề α C ta có: sin cos ; cos sin ; tan cot ; cot tan Nếu hai góc nhọn có sin sin cos cos sin2 cos2 1; tg .cot g Với số góc đặc biệt ta có: sin 300 cos 600 ; sin 450 cos 450 2 cos 300 sin 600 ; cot 600 tan 300 tan 450 cot 450 1; cot 300 tan 600 Ví dụ Biết sin Tính cos , tan cot 13 Giải: Cách Xét ABC vuông A Đặt B Ta có: sin suy C AC BC 13 AC BC k , 13 A α B AC 5k, BC 13k Tam giác ABC vuông A nên: AB BC AC 13k 5k 144k , suy AB 12k 2 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Vậy cos AC AB AB 12k 12 5k 12k 12 ; tan ; cot AB 12k 12 AC 5k BC 13k 13 Cách Ta có sin 25 suy sin2 , mà sin2 cos2 , 13 169 cos2 sin2 tan 25 144 12 , suy cos 13 169 169 sin 12 13 cos 12 12 13 12 : ; cot : cos 13 13 13 12 12 sin 13 13 13 5 Ở cách giải thứ ta biểu thị độ dài cạnh tam giác ABC theo đại lượng k sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn để tính cos , tan , cot Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng giả thiết sin để tính sin2 tính cos từ 13 sin2 cos2 Sau ta tính tan cot qua sin cos Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD BE cắt H Biết HD : HA : Chứng minh tgB.tgC Giải: A Ta có: tgB AD AD ; tgC BD CD Suy tan B tan C E H AD (1) BD.CD B D C CAD (cùng phụ với ACB ); HDB ADC 900 HBD Do BDH ADC (g.g), suy Từ (1) (2) suy tan B tan C DH BD , BD.DC DH AD (2) DC AD HD AD AD (3) Theo giả thiết suy AH DH AD DH Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 HD HD hay , suy AD 3HD Thay vào (3) ta được: AH HD 1 AD 3HD DH tan B tan C Ví dụ Biết sin .cos 12 Tính sin , cos 25 Giải: 12 Để tính sin , cos ta cần tính sin cos giải phương 25 trình với ẩn sin cos Biết sin .cos Ta có: sin cos sin2 cos2 sin .cos 12 49 Suy 25 25 7 nên sin cos Từ ta có: 5 7 12 12 cos cos2 cos cos 25 5 25 sin cos 25 cos2 35 cos 12 cos 5 cos 4 5 cos 4 5 cos 45 cos 3 Suy cos + Nếu cos 12 sin : 25 5 + Nếu cos 12 sin : 25 5 Vậy sin cos 5 4 , cos sin , cos 5 5 Hệ thức cạnh góc tam giác vuông KIẾN THỨC CƠ BẢN Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Xét ba đội bóng tuỳ ý, ln có đội bóng nhóm Như ba đội bóng bất kì, có hai đội thi đấu với Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Kiên Giang 2012 – 2013) Một phịng họp có 360 chỗ ngồi chia thành dãy có số chỗ ngồi Nếu thêm cho dãy chỗ ngồi bớt dãy số chỗ ngồi phịng khơng thay đổi Hỏi ban đầu số chỗ ngồi phòng họp chia thành dãy? Gọi x (dãy) số ghế lúc đầu chia từ số chỗ ngồi phòng họp Điều kiện: x N * x Số chỗ ngồi dãy lúc đầu: 360 (chỗ) x Do thêm cho dãy chỗ ngồi va bớt dãy số chỗ ngồi phịng khơng thay đổi nên ta có phương trình: 360 4 (x 3) 360 x 3x 270 x x 18 x 15 Vậy lúc đầu số chỗ ngồi phòng họp chia thành 18 dãy §3 CÁC ĐỀ THI NĂM HỌC 2013 – 2014 Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Ninh Bình 2013 – 2014) Giải tốn sau cách lập phương trình: Qng đường từ A đến B dài 90 km Một người xe máy từ A đến B Khi đến B , người nghỉ 30 phút quay trở A với vận tốc lớn vận tốc lúc km/h Thời gian kể từ lúc bắt đầu từ A đến lúc trở đến A h Tính vận tốc xe máy lúc từ A đến B Gọi vận tốc xe máy lúc từ A đến B x (km/h) Vận tốc xe máy từ B đến A là: x (km/h) Thời gian xe máy từ B đến A là: 90 : x 90 (h) x Tổng thời gian xe máy từ A đến B , từ B A (không kể thời gian nghỉ) là: - 30 phút (giờ) Ta có phương trình: 90 90 10 10 x x 9 x x 9 20(x 9) 20x x (x 9) 20x 180 20x x 9x x 31x 180 961 720 1681, 41 Vậy x 31 41 31 41 5 (loại) 36 (nhận), x 2 Vậy vận tốc xe máy lúc từ A đến B 36 km/h Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Quảng Ninh 2013 - 2014) Một tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm thời gian định Nhưng thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên ngày tổ làm tăng thêm 10 sản phẩm so với dự định Do tổ hồn thành sớm công việc sớm dự định ngày Hỏi thực hiện, ngày tổ làm sản phẩm? Gọi số sản phẩm ngày tổ làm x (sản phẩm) (Điều kiện x 0, x N ) Số sản phẩm ngày tổ dự định làm x 10 (sản phẩm) Thời gian tổ hồn thành cơng việc theo dự định là: 240 : (x 10) 240 (ngày) x 10 Thời gian tổ hồn thành cơng việc theo thực tế là: 240 : x 240 (ngày) x Theo giả thiết, ta có phương trình: 240 240 2 x 10 x 240x 240(x 10) 2x (x 10) 240x 240x 2400 2x 20x 2x 20x 2400 x 10x 1200 25 1200 1225, 35 Vậy x 35 35 40 (sản phẩm), x 30 (loại) 1 Vậy số sản phẩm ngày tổ làm 40 sản phẩm Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Nghệ An 2013 - 2014) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100 m Nếu tăng chiều rộng m giảm chiều dài m diện tích mảnh vườn giảm xuống m Tính diện tích mảnh vườn Gọi chiều rộng mảnh vườn x (m) (điều kiện x 25 ) Chiều dài mảnh vườn là: 100 : x 50 x (m) Diện tích mảnh vườn là: x (50 x ) (m ) Chiều rộng mảnh vườn tăng thêm m là: x (m) Chiều dài mảnh vườn giảm m là: 50 x 46 x (m) Diện tích mảnh vườn là: (x 3)(46 x ) (m ) Theo giả thiết ta có phương trình: x (50 x ) (x 3)(46 x ) 50x x 46x x 138 3x 7x 140 x 20 x 20 thỏa mãn điều kiện Vậy chiều rộng mảnh vườn 20 (m) Chiều dài mảnh vườn là: 50 20 30 (m) Diện tích mảnh vườn là: 20.30 600 (m ) Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Chuyên toán PTNK ĐHQG TP HCM 2013 - 2014) Có hai vịi nước A, B cung cấp cho hồ cạn nước vòi C (đặt sát đáy hồ) lấy nước từ hồ cung cấp cho hệ thống tưới Đúng vòi A B mở; đến vịi C mở; đến sống vòi B vòi C ; đến 10 45 phút hồ đầy nước Người ta thấy đóng vịi B từ đầu phải đến 13 hồ đầy Biết lưu lượng vòi B trung bình cộng vịi A vịi C , hỏi vịi C tháo cạn hồ nước đầy bao lâu? 10 45 phút 43 (giờ) Gọi thời gian để vòi A, B chảy riêng vào đầy bể x (giờ), y (giờ), thời gian để vòi C tháo cạn hồ nước đầy z (giờ) (Điều kiện x , y, z ) Trong vòi A chảy vào 1 (hồ), vòi B chảy vào (hồ), vòi C tháo (hồ) y x z Đúng giờ, A B mở, đến C mở, đến đóng B,C , đến 10 45 phút hồ đầy Ta có: 43 6 (9 6) (9 7) 19 y z 4x y z x (1) Nếu đóng B từ đầu đến 13 (h) hồ đầy nên (13 6) 1 (9 7) x z x z (2) Lưu lượng vịi B trung bình cộng lưu lượng vòi A vòi C nên: 1 1 y x z (3) Từ (1), (2), (3) ta có: 19 1 19 25 4x x z z 4x y z 4x 2z 7 1 1 x z 4x 2z x z 1 1 1 1 1 1 x z y y x z 2 x z y x 6 z 12 y8 Vậy vịi C tháo cạn hồn nước đầy 12 Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Chuyên toán tỉnh Bắc Ninh 2013 - 2014) Một người xe đạp từ A đến B cách 36 km Khi từ B trở A , người tăng vận tốc thêm km/h, thời gian thời gian 36 phút Tính vận tốc người xe đạp từ A đến B Gọi x (km/h) vận tốc người xe đạp từ A đến B (x 0) Thời gian người xe đạp từ A đến B Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 36 x Vận tốc người xe đạp từ B đến A x Thời gian người xe đạp từ B đến A 36 x 3 36 36 36 x x 3 60 x 12 Giải phương trình ta hai nghiệm x 15(loai ) Theo giả thiết ta có phương trình: Vậy vận tốc người xe đạp từ A đến B 12 (km/h) Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Chuyên toán tỉnh Bình Thuận 2013 - 2014) Trên quãng đường AB dài 60 km, người thứ xe máy từ A đến B , người thứ hai xe đạp từ B đến A Họ khởi hành lúc gặp C sau khởi hành 20 phút Từ C người thứ tiếp đến B người thứ hai tiếp đến A Kết người thứ đến nơi sớm người thứ hai Tính vận tốc người, biết suốt quãng đường hai người với vận tốc không đổi Gọi vận tốc người thứ x km/h, (x 0) Gọi vận tốc người thứ hai y km/h, (y 0) 4 (x y ) 60 x y 45 3 x y 45 Theo giả thiết ta có hệ phương trình: 60 60 y x Đổi 20 phút Giải hệ phương trình ta được: x 30, y 15 Vậy vận tốc người thứ 30 (km/h), vận tốc người thứ hai 15 (km/h) Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Chuyên toán PTNK ĐHQG TP HCM 2013 - 2014) Trong kì thi, 60 thí sinh phải giải tốn Khi kết thúc kì thi, người ta nhận thấy rằng: với hai thí sinh ln có tốn mà hai thí sinh giải Chứng minh rằng: a) Nếu có tốn mà thí sinh khơng đạt giải phải có tốn khác mà thí sinh giải b) Có tốn mà có nhấ 40 thí sinh giải Gọi ba tốn A, B,C a) Khơng tính tổng qt, giả sử thí sinh khơng giải tốn A - Nếu thí sinh khơng giải tốn B từ giả thiết ta có thí sinh giải tốn C - Nếu thí sinh giải tốn B tốn C ta có thí sinh giải tốn B , tốn C - Nếu có thí sinh giải toán, giả sử giải toán B Xét học sinh với tất học sinh lại Theo giả thiết, có thí sinh giải tốn B Vậy có tốn mà thí sinh khơng giải phải có tốn khác mà thí sinh giải Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 b) Theo giả thiết ta có thí sinh giải tốn Nếu có thí sinh giải toán, xét học sinh với tất học sinh cịn lại, ta có thí sinh giải tốn Ta cịn xét trường hợp mà thí sinh giải hai tốn Gọi số thí sinh giải A, B mà không giải C x , số thí sinh giải B,C mà khơng giải A y , số thí sinh giải A,C mà khơng giải B z , số thí sinh giải A, B,C (x , y, z, t N ) Ta có: x y z t 60 (1) Cách Giả sử có điều trái với kết luận tốn Ta có: x z t 40; x y t 40; y z t 40 Do đó: x z t x y t y z t 40 40 40 2(x y z t ) t 120 Kết hợp (1) có t Điều vơ lí! Điều giả sử sai Vậy có tốn mà có 40 thí sinh giải Cách Ta có số học sinh không giải A y , không giải B z , không giải C x Nếu x 20, y 20, z 20 x y z 60 Mâu thuẫn (1) Do ba số x , y, z phải có số khơng vượt q 20 Như có tốn mà có nhiều 20 thí sinh khơng giải Do tốn có 40 thí sinh giải Vậy có tốn mà có 40 thí sinh giải §3 CÁC ĐỀ THI NĂM 2014 - 2015 Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Nghệ An 2014 - 2015) Một ô tô xe máy hai địa điểm A B cách 180 km, khởi hành lúc ngược chiều gặp sau Biết vận tốc ô tô lớn vận tốc xe máy 10 km/h Tính vận tốc xe Gọi vận tốc ô tô x (km/h) Vận tốc xe máy y (km/h) (Điều kiện: x y 0, x 10 ) Ta có phương trình: x y 10 (1) Sau gờ ô tô quãng đường 2x (km) Sau xe máy quãng đường 2y (km) chúng gặp nhau, ta có phương trình: 2x 2y 180 hay x y 90 (2) x 50 x y 10 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: x y 90 y 40 Vậy vận tốc ô tô 50 km/h vận tốc xe máy là: 40 km/h Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Thành phố Hà Nội 2014 - 2015) Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng sản xuất vượt mức sản phẩm phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày phân xưởng phải sản xuất sản phẩm? Gọi số sản phẩm phân xưởng làm ngày theo kế hoạch x (sản phẩm) (Điều kiện: x N *) Số sản phẩm phân xưởng làm ngày theo thực tế x (sản phẩm) Theo kế hoạch phân xưởng sản xuất 1100 sản phẩm 1100 : x 1100 (ngày) x Thực tế phân xưởng hoàn thành kế hoạch trong: 1100 : (x 5) 1100 (ngày) x 5 Theo giả thiết, ta có phương trình: 1100 1100 550(x 5) 550x x (x 5) x x 5 25 11020 11025, 105 Giải phương trình ta x 5 105 50 (nhận); x2 5 105 55 (loại) Vậy theo kế hoạch ngày phân xưởng làm 50 sản phẩm Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Bình Phước 2014 - 2015) Cho mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 360 m Nếu tăng chiều rộng m giảm chiều dài m diện tích khơng thay đổi Tính chu vi mảnh vườn lúc ban đầu Gọi chiều rộng mảnh vườn x (m) (điều kiện x ) Chiều dài mảnh vườn là: 360 : x 360 (m) x Chiều rộng mảnh vườn sau tăng m là: x (m) Chiều dài mảnh vườn sau giảm m là: 360 (m) x Diện tích mảnh vườn tăng chiều rộng m giảm chiều dài m là: (x 2)( (m ) Theo giả thiết ta có phương trình: 360 (x 2) 6 360 6x 12x 720 x 2x 120 x 120 121, 11 Vậy x 1 11 1 11 10 (nhận), x 12 (loại) 1 Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 360 6) x Chiều rộng mảnh vườn 10 m Chiều dài mảnh vườn 360 36 (m) 10 Chu vi mảnh vườn là: (10 36).2 92 (m) Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Chuyên ĐHSP Hà Nội 2014 - 2015) Cho quãng đường AB dài 120 km Lúc sáng, xe máy từ A đến B Đi quãng đường xe bị hỏng phải dừng lại sửa 10 phút tiếp đến B với vận tốc nhỏ vận tốc lúc đầu 10 km/h Biết xe máy đến B lúc 11 40 phút trưa ngày Giả sử vận tốc xe máy quãng đường ban đầu không thay đổi vận tốc xe máy quãng đường lại 4 không thay đổi Hỏi xe máy bị hỏng lúc giờ? Gọi C vị trí xe máy bị hỏng Quãng đường AC dài là: 120 90 (km) Quãng đường CB dài là: 120 90 30 (km) Gọi vận tốc xe máy quãng đường AC là: x (km/h) (Điều kiện x 10 ) Vận tốc xe máy quãng đường CB x 10 (km) Thời gian xe máy quãng đường AC 90 : x 90 x Thời gian xe máy quãng đường CB 30 : (x 10) Đổi 10 phút 30 (h) x 10 (h) Thời gian xe máy từ A đến B (kể thời gian sửa xe) là: 11 40 phút - 14 (h) Theo giả thiết, ta có phương trình: 90 30 14 x x 10 3x 110x 600 3025 1800 1225, 35 x1 55 35 20 55 35 (loại) 30 (nhận), x 3 Vận tốc xe máy quãng đường AC 30 (km/h) Thời gian xe máy từ A đến C 90 (h) 30 Vậy xe máy bị hỏng lúc: 10 (h) (trưa ngày) Bài toán (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 (chung) chuyên khiếu TP HCM 2014 - 2015) Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 Tổng kết học kì II, trường trung học sở N có 60 học sinh khơng đạt học sinh giỏi, có em đạt học sinh giỏi học kì I; số học sinh giỏi học kì II 40 số học sinh giỏi học kì I có 37 8% số học sinh trường không đạt học sinh giỏi học kì I đạt học sinh giỏi học kì II Tìm số học sinh giỏi học kì II trường biết số học sinh trường không thay đổi suốt năm học Gọi x số học sinh trường (x N , x 60) Khi đó, số học sinh giỏi học kì II x 60 Số học sinh giỏi học kì I x 60 8%x 23 x 54 25 Theo giả thiết, ta có phương trình: x 60 40 23 60 x x 300 (thỏa) x 54 37 25 185 37 Vậy số học sinh giỏi học kì II là: 300 60 240 (học sinh) Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Chuyên tỉnh Long An 2014 - 2015) Kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Long An năm có 529 học sinh đến từ 16 địa phương khác tham dự Gỉa sử điểm thi môn Toán học sinh số nguyên dương lớn bé 10 Chứng minh ln tìm học sinh có điểm mơn Tốn giống đến từ địa phương Ta có 529 học sinh có điểm thi điểm đến 10 điểm Theo nguyên lí Dirichlet ta có 89 học sinh có điểm thi (từ điểm đến 10 điểm) Ta có 89 học sinh có điểm thi đến từ 16 địa phương Theo ngun lí Dirichlet tìm em có điểm thi mơn tốn đến từ địa phương Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 - Thành phố Huế 2014 - 2015) Một xơ I - nốc có dạng hình nón cụt (độ dày thành xơ nhỏ khơng đáng kể) đựng hóa chất đặt vào bên thùng hình trụ, có miệng xơ trùng khít với miệng thùng Đáy xô dát với đáy thùng có bán kính bán kính đáy thùng Biết rằng, thùng có nhiều cao đường kính đáy diện tích xung quanh 8 (dm ) Hỏi xơ chứa đầy hóa chất dung tích lít? (cho 3,14 kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) Gọi R (dm) bán kính đáy thùng Thùng hình trụ có bán kính đáy R chiều cao h 2R nên diện tích xung quanh là: S xq 2R.2R 4R (dm ) Nên 4R 8 R R (dm) Xơ có đáy hình nón cụt có hai đáy là: R1 R (dm) R2 (dm) R 2 Từ ta có chiều cao xơ là: h 2R 2 (dm) Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 2 Nên V .2 ( 2) 10, (dm ) 2 3 Vậy xơ chứa đầy hóa chất dung tích 10, (lít) CÁC ĐỀ THI NĂM HỌC 2015 - 2016 Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Long An 2015 - 2016) Một đội xe cần chở 36 hàng Trước làm việc, đội bổ sung thêm nên xe chở hàng so với dự định Hỏi lúc đầu đội có xe, biết khối lượng hàng chở xe Gọi số xe ban đầu xe có x (xe) (Điều kiện x N * ) Số xe lúc sau có x (xe) Lúc đầu xe dự định chở là: 36 : x Lúc sau xe chở là: 36 : (x 3) Theo giả thiết ta có phương trình: 36 (tấn) x 36 (tấn) x 3 36 36 x x 3 Phương trình tương đương với 36(x 3) 36x x (x 3) 36x 108 36x x 3x x 3x 108 432 441, 441 21 Vậy x 3 21 3 21 (nhận); x 12 (loại) 2 Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh An Giang 2015 - 2016) Với phát triển khoa học kỹ thuật nay, người ta tạo nhiều mẫu xe lăn đẹp tiện dụng cho người khuyết tật Công ty A sản xuất xe lăn cho người khuyết tật với số vốn ban đầu 500 triệu đồng Chi phí sản để sản xuất xe lăn 2.500.000 đồng Gía bán 3.000.000 đồng a) Viết hàm số biểu diễn tổng số tiền đầu tư đến sản xuất x xe lăn (gồm vốn ban đầu chi phí sản xuất) hàm số biểu diễn số tiền thu bán x xe lăn b) Công ty A phải bán xe thu hồi vốn ban đầu a) Tổng chi phí vốn cố định vốn sản xuất x xe lăn (đơn vị triệu đồng): y 500 2, 5x A Hàm số biểu diễn số tiền thu bán x xe lăn là: y 3x b) Để số tiền bán số vốn đầu tư ban đầu nhau, ta có: 500 2, 5x 3x 0, 5x 500 x 1000 Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 B X Vậy công ty A phải bán 1000 xe lăn thu hồi vốn ban đầu Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Bình Định 2015 - 2016) Trên vùng biên xem thẳng khơng có chướng ngại vật Vào lúc có tàu cá thẳng hàng qua tọa độ X theo hướng từ Nam tới Bắc với vận tốc không đổi Đến tàu du lịch dũng thẳng qua tọa độ X theo hướng từ Đông sang Tây với vận tốc lớn vận tốc tàu cá 12 km/h Đến khoảng cách hai tàu 60 km/h Tính vận tốc tàu Gọi vận tốc tàu đánh cá x (km/h) (Điều kiện x ) Vận tốc tàu du lịch x 12 (km/h) Giả sử tàu đánh cá đến điểm A , tàu du lịch đến điểm B Theo giả thiết, khoảng cách AB 60 km Tàu đánh cá đi: (giờ) Khoảng cách XA dài 2x (km) Tàu du lịch đi: (giờ) Khoảng cách XB dài là: (x 12).1 x 12 (km) Theo giả thiết, ta có tam giác XAB vng X Do XA2 XB AB (định lí Pythagore) Ta có phương trình: (2x )2 (x 12)2 602 4x x 24x 144 3600 5x 24x 3456 Xét biệt thức 144 17280 17424 132 x1 12 132 12 132 24 (nhận); x 28, (loại) 5 Vậy vận tốc tàu đánh cá 24 (km/h) Vận tốc tàu du lịch là: 24 12 36 (km/h) Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THP, Tỉnh Quảng Ngãi 2015 - 2016) Hai công nhân làm chung xong đường Nếu đội làm riêng để xong đường thời gian đội thứ đội thứ hai Hỏi làm riêng đội làm xong đường thời gian bao lâu? Gọi thời gian đội thứ làm riêng xong công việc x (giờ) (Điều kiện x ) Thời gian đội thứ hai làm riêng xong công việc x (giờ) Trong giờ: Đội thứ làm riêng được: : x (công việc) x Đội thứ hai làm riêng được: : (x 6) Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 (công việc) x 6 Hai đội làm chung được: : (cơng việc) Ta có phương trình: 1 4x 4(x 6) x (x 6) x x 6 4x 4x 24 x 6x x 2x 24 24 25, Vậy x (nhận); x 4 (loại) Thời gian đội thứ làm riêng xong công việc Thời gian đội thứ hai làm riêng xong công việc là: 12 (giờ) Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, TP Hà Nội 2015 - 2016) Một tàu tuần tra chạy ngược dịng 60 km, sau chạy xi dịng 48 km dịng sơng có vận tốc dịng nước km/giờ Tính vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng, biết thời gian xi dịng thời gian ngược dịng Gọi vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng x (km/giờ) (Điều kiện x ) Tàu tuần tra xi dịng với vận tốc x (km/giờ) ngược dòng với vận tốc x (km/giờ) Thời gian tàu tuần tra chạy xi dịng là: 48 : (x 2) 48 (giờ) x 2 Thời gian tàu tuần tra chạy ngược dòng là: 60 : (x 2) 60 (giờ) x 2 Theo giả thiết, ta có phương trình: 60 48 60(x 2) 48(x 2) (x 2)(x 2) x 2 x 2 60x 120 48x 96 x x 12x 220 36 220 256, 16 Ta có x 16 16 22 (nhận), x 10 (loại) 1 Vậy vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng 22 km/giờ Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Phú Thọ 2015 - 2016) Số tiền mua dừa long 25 nghìn đồng Số tiền mua dừa long 120 nghìn đồng Hỏi giá dừa long bao nhiêu? Biết dừa có long có Gọi giá tiền mua dừa x (nghìn đồng), giá tiền mua long y (nghìn đồng) (Điều kiện: x , y ) Mua dừa long hết 25 nghìn đồng, ta có phương trình: x y 25 (1) Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 Mua dừa long hết 120 nghìn đồng, ta có phương trình: 5x 4y 120 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: x y 25 x 25 y x 25 y 5x 4y 120 5(25 y ) 4y 120 125 5y 4y 120 x 25 y x 25 y x 20 125 y 120 y5 y5 Vậy giá tiền dừa 20 nghìn đồng, giá tiền long nghìn đồng Bài tốn (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Thái Bình 2015 - 2016) Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 168m Nếu giảm chiều dài 1m tăng chiều rộng thêm 1m mảnh vườn trở thành hình vng Tính chiều dài, chiều rộng mảnh vườn Gọi chiều rộng mảnh vườn x (m) (Điều kiện x ) Chiều dài mảnh vườn 168 (m) x Nếu giảm chiều dài 1m cạnh cịn 168 (m), tăng chiều rộng thêm 1m cạnh x x (m), mảnh vườn trở thành hình vng nên ta có phương trình: 168 1 x 1 x Do ta có: 168 x (x 2) x 2x 168 168 169, 13 Vậy x 1 13 1 13 12 (nhận), x 14 (loại) Vậy mảnh vườn có chiều rộng 12 m, chiều dài 168 14 (m) 12 Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, TP Hồ Chí Minh 2015 - 2016) Một người vận động viên tham gia thi đấu quần vợt Cứ hai người họ chơi với trận Người thứ thắng x trận thua y1 trận, người thứ hai thắng x trận thua y2 trận, , người thứ mười thắng x 10 trận thua y10 trận Biết trận đấu quần vợt khơng có kết hịa Chứng minh rằng: 2 x 12 x 22 x 10 y12 y22 y10 Mỗi người chơi trận với người khác khơng có trận hịa Do đó: x y1 x y2 x 10 y10 Mà tổng số trận thắng tổng số trận thua, đó: x x x 10 y1 y2 y10 Ta có: 2 (x 12 x 22 x 10 ) (y12 y22 y10 ) 2 (x 12 y12 ) (x 22 y22 ) (x 10 y10 ) Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 9(x y1 ) 9(x y2 ) 9(x 10 y10 ) 9(x y1 x y2 x 10 y10 ) 9[(x x x 10 ) (y1 y2 y10 )] Vậy x 12 x 22 x 102 y12 y22 y102 Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Trường chuyên ĐHSP TP Hồ Chí Minh 2015 - 2016) Một xe tải từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau xe tải xuất phát thời gian xe khách xuất phát từ A với vận tốc 50 km/h khơng có thay đổi đuổi kịp xe tải B Nhưng sau nửa quãng đường AB , xe khách tăng vận tốc lên 60 km/h nên đến B sớm xe tải 16 phút Tính quãng đường AB Gọi quãng đường AB dài x (km), thời gian từ lúc xe tải xuất phát đến lúc xe khách xuất phát y (giờ) (Điều kiện x , y ) Đổi 16 phút 15 Thời gian xe tải từ A đến B km/h x (h), thời gian xe khách từ A đến B với vận tốc 50 40 x (h), ta có phương trình: 50 x x y 40 50 (1) Thời gian thực tế xe khách x x (h), ta có phương trình: 60 x x x x 11x (2) y y 40 50 60 15 40 600 15 Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: x x x y x 160 50 (thỏa mãn) 600 15 40 y 0, 11x x x x y y 600 15 50 40 40 Vậy quãng đường AB dài 160 km Bài toán 10 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2015 - 2016) Một xe tải có chiều rộng 2, 4m chiều cao 2, 5m muốn qua cổng có hình parabol Biết khoảng cách hai chân cổng 4m khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới chân cổng 5m (bỏ qua độ dày cổng) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P ) y ax với a hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn qua Chứng minh a 1 2) Hỏi xe tải qua cổng có không? Tại sao? 1) Đỉnh cổng đỉnh parabol y ax (a 0) , đỉnh cổng O(0; 0) Gọi hai chân cổng A, B AB cắt Oy H Ta có: AH HB AB ,OA OB Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 ( A, B, H nằm trục hồnh) HOA vng H Suy OH AH OA2 (định lí Pythagore) OH (2 5)2 22 16 OH Do H (0; 4) Nên A(2; 4), B(2; 4) A (P ) nên 4 a(2)2 a 1 2) Gọi giao điểm đường thẳng qua điểm cao xe tải, song song với trục hoành với (P ) C , D,CD cắt Oy M A Phương trình đường thẳng CD y 1, 258m Phương trình hồnh độ giao điểm (P ) CD 120m x 1, x 2 B Do CD Mà 2, Tại độ cao 2, m chiều rộng cổng 218m C H lớn 2, 4m chiều rộng xe tải Như xe tải qua cổng Bài toán 11 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường PTNK ĐHQG, TP HCM 2015 - 2016) Bạn An dự định khoảng thời gian từ ngày 1/3 đến ngày 30/4 giải ngày toán Thực kế hoạch thời gian, vào khoảng cuối tháng (tháng có 31 ngày) An bị bênh, phải nghĩ giải toán nhiều ngày liên tiếp Khi hồi phục, tuần đầu An giải 16 bài; sau An cố gắng giải ngày đến 30/4 An hồn thành kế hoạch định Hỏi bạn An phải nghỉ giải toán ngày? Gọi số ngày An giải toán trước bệnh x (ngày) (Điều kiện x N * , x 31 ) số ngày An nghỉ giải toán y (ngày) (Điều kiện y N ) Thời gian từ ngày 1/3 đến ngày 30/4 31 30 61 (ngày) Do số toán An dự định giải 3.61 183 (bài tốn) Theo giả thiết, ta có phương trình: 3.x 16 4.(61 x y 7) 183 x 4y 232 183 4y 49 x y Mà x 31 Do y 49 x 49 31 4, Khi x 49 4y 29 Vậy bạn An phải nghỉ giải toán ngày Bài toán 12 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường PTNK ĐHQG, TP HCM 2015 - 2016) Để khuyến khích phong trào học tập, trường THCS tổ chức đợt thi cho học sinh Ở đợt thi, có học sinh chọn để trao giải Sau tổ chức xong đợt thi, người ta nhận thấy với hai đợt thi ln có học sinh trao giải hai đợt thi Chứng minh rằng: a) Có học sinh trao giải bốn lần Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 b) Có học sinh trao giải tất đợt thi a) Xét đợt thi thứ Theo giả thiết có học sinh trao giải hai đợt thi bất kì, đợt thi cịn lại, ba học sinh trao giải đợt thi thứ có học sinh trao giải lần (vì : (dư )) Vậy có học sinh trao giải bốn lần b) Từ a) giả sử A học sinh trao giải bốn đợt thi Xét đợt thi bốn đợt thi cịn lại Vì có học sinh trao giải hai đợt thi Do đợt thi này, bốn đợt thi đợt thi có học sinh trao giải Như học sinh phải A (nếu khơng A đợt có đến bốn học sinh trao giải) Vì xét đợt thi nên A trao giải bốn đợt thi lại A trao giải tất đợt thi Vậy có học sinh trao giải tất đợt thi Bài toán 13 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Chuyên, Tỉnh Bình Định 2015 - 2016) Trong phịng có 80 người họp, xếp ngồi dãy ghế có chỗ ngồi Nếu ta bớt dãy ghế dãy ghế lại phải xếp thêm người vừa đủ chỗ Hỏi lúc đầu có dãy ghế dãy ghế xếp chỗ ngồi Gọi số dãy ghế lúc đầu x (dãy ghế) (Điều kiện x N *, x ) Mỗi dãy ghế xếp số chỗ ngồi 80 (chỗ ngồi) x Nếu bớt dãy ghế cịn x (dãy ghế) dãy ghế xếp chỗ ngồi ngồi) Theo giả thiết, ta có phương trình 80 80 2 x 2 x Ta có 40x 40(x 2) x (x 2) 40x 40x 80 x 2x x 2x 80 80 81, 81 Vậy x 19 19 10 (nhận), x 8 (loại) 1 Vậy số dãy ghế lúc đầu 10 dãy Mỗi dãy ghế xếp số chỗ ngồi Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 80 (chỗ ngồi) 10 80 (chỗ x 2 ... 40 ) ⇒ DE= 20 (góc có cạnh tương ứng vng góc) mà DAH = C = ADE (1) b) Ta có: BAH = ADE C + BDE = (Vì ADHE hình chữ nhật) => C 180o nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn Câu 19: Cho... K E BC =25, AB + AC =9 + 16 =25 ⇒ BC = AB + AC B Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 0 39. 373.2038 D C ⇒ ∆ABC vng A ∠ECD + ∠KBC = 90 0 Ta có ⇒ ∠KBC = ∠DEC ∠ECD + ∠DEC = 90 Xét hai tam giác vuông... = 90 o ( nội tiếp chắn nửa đường trịn ) ⇒ ABD + BAD 90 o (vì tổng ba góc tam giác 180o )(1) Liên hệ tài liệu mơn tốn zalo: 0 39. 373.2038 Trang 08 = ABF = 90 o ( BF tiếp tuyến ) ⇒ AFB + BAF 90 o
Ngày đăng: 19/02/2023, 10:39
Xem thêm: