Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 43 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
43
Dung lượng
1,3 MB
Nội dung
SỞ GD&ĐT THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2022 – 2023 MƠN THI: TỐN - THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục có đồ thị hình vẽ y -2 O x -2 Tính giá trị biểu thức I= A Câu 2: ∫ f ′ ( x − ) dx − ∫ f ′ ( 3x − 1) dx B C D Cho mặt cầu ( S ) có tâm O A điểm nằm ( S ) Gọi I , K hai điểm đoạn OA cho OI = IK = KA Các mặt phẳng ( P ) , ( Q ) qua I , K , vng góc r với OA cắt mặt cầu ( S ) theo đường trịn có bán kính r1 r2 Tính tỷ số r1 A Câu 3: r2 10 = r1 Cho ∫ f ( x ) dx = A −8 Câu 4: B r2 10 = r1 ∫ g ( x ) dx = , Câu 6: r2 10 = r1 ∫ f ( x ) − 2g ( x ) dx D r2 10 = r1 B −3 C 12 D 2022 x − 21 Cho hàm số y = Khẳng định sai? x +1 A Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) B Hàm số đồng biến khoảng (1; 2022 ) C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) Câu 5: C D Hàm số đồng biến khoảng ( −1; 2022 ) Cho cấp số cộng hình chóp ( un ) thỏa mãn u1 = tổng hai số hạng đầu Số hạng u3 A 15 B C D 12 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng đáy điểm I thuộc đoạn thẳng AB cho BI = AI Góc mặt bên ( SCD ) với mặt phẳng đáy 600 (tham khảo hình vẽ) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SC S D A I C B 93 93 31 31 a a a a B C D 31 31 31 31 Câu 7: Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ Biết thể tích khối tứ diện ACB′D′ 3a , tính theo a tổng diện tích mặt hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ A A 12a B 3a C 18a D 24a Câu 8: Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [ −100;100] để đồ thị hàm số y= ( x − m) x − x2 có hai đường tiệm cận? A 198 B C 196 D 200 Câu 9: Cắt mặt trụ trịn xoay mặt phẳng vng góc với trục mặt trụ ta xác thiết diện A Một hình chữ nhật C Một đường Parabol B Một đường tròn D Một đường elip 4x hai điểm phân biệt mà hai điểm x+3 có tọa độ nguyên?( điểm M ( x; y ) có tọa độ nguyên nghĩa x, y ∈ ) A 15 B 12 C 66 D 28 Câu 10: Có đường thẳng cắt đồ thị hàm số y = Câu 11: Cho đồ thị hai hàm số y = a x y = log b x hình vẽ Khẳng định sau đúng? A < b < < a C a > 1, b > B < a < < b ( D < a < 1, < b < ) x x Câu 12: Có số nguyên x thỏa mãn − log ( x + 79 ) − ≤ A 80 B 79 Trang 2/43 – Diễn đàn giáo viên Toán C 26 D Vô số Câu 13: Từ chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8 ta lập số tự nhiên có chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số vừa lập, tính xác suất để chọn số có chữ số lẻ chữ số lẻ đứng kề 1 A B C D 14 35 35 14 ) ( Câu 14: Cho hàm số f (= x) a ln x + x + + b sin x + , với a, b ∈ Biết f ( log(log e) ) = Tính f ( log(ln10) ) A B C 10 D Câu 15: Tính số cách xếp nam sinh nữ sinh vào dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ cho tất nữ sinh ln ngồi cạnh B 7!× 4! C 10! D 6!× 5! A 6!× 4! Câu 16: Hình chóp tứ giác có mặt phẳng đối xứng? A B C D Câu 17: Tìm tập giá trị hàm số y= sin x − cos x − ? B −2; A − − 3; − 1 C [ −4;0] D [ −2; 0] Câu 18: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 2; 4] thỏa mãn f ( ) = , f ( ) = 2022 Tính tích phân ∫ f ′ ( x ) dx A 2020 Câu 19: Tính a + 2b + c biết B 1010 55 ∫x 16 A C 1011 D 2022 dx = a ln + b ln + c ln11 , với a, b, c số hữu tỉ x+9 10 B C D 9 = log = log ( x + y ) Tính tỉ số Câu 20: Cho số thực dương x, y thỏa mãn log x y A x = y B x = y C x = 1+ y x y x D = y −1 Câu 21: Cho hình đa diện loại {3;5} có cạnh 4a Gọi S tổng diện tích tất mặt hình đa diện Khẳng định sau đúng? A 100 3a B 20 3a C 3a D 80 3a Câu 22: Cho hai số tự nhiên a , b khơng lớn 10 Có cặp số ( a ; b ) để lim ( ) n − bn + + a − n = 0? A B C D = AB a= a; BB′ 3a Giá trị lớn thể tích lăng trụ ; A′C ′ 4= Câu 23: Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ có A 3a B 6a C 9a D 2a Câu 24: Cho hình nón có đường sinh l = 2a , góc đường sinh mặt đáy 60° Diện tich xung quanh hình nón A 3π a B π a C 4π a D 2π a Trang 3/43 - WordToan Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số g ( x= ) f ( x − 1) − x + x + 2022 có điểm cực đại? A B C D Câu 26: Cho hai hàm số bậc ba y = f ( x ) y = g ( x ) có đồ thị hình vẽ ( đồ thị hàm số y = f ( x ) đường nét liền ; đồ thị hàm số y = g ( x ) đường nét đứt ) Biết hai đồ thị hàm số y = f ( −3 x + ) = y g ( ax + b ) có chung khoảng đồng biến Giá trị biểu thức a + 2b là: A B ( ) C D Câu 27: Cho hàm số f ( x) = ax + bx − c ln x + + x với a, b, c số thực dương, biết ) f (3 − x) + f (3 x − 2) − m , gọi S tập hợp tất f (1) = −3, f (5) = Xét hàm số g ( x= giá trị thực m cho max g ( x) = 10 Tổng phần tử S [ −1;1] A −11 B 11 C −13 D 13 Câu 28: Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O tâm O ' , bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường tròn đáy có tâm O lấy hai điểm A, D cho AD = a 15 ; gọi C hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng chứa đường trịn tâm ( O ') ; đường tròn tâm ( O ') lấy điểm B ( AB, CD chéo nhau) Đặt α góc AB với đáy Tính tan α thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn 15 15 10 A B C D 5 Trang 4/43 – Diễn đàn giáo viên Toán Câu 29: Cho hình chóp S ABC nội tiếp mặt cầu đường kính SA , tam giác ABC tam giác vng A , AC = a Góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABC ) 30° , gọi ϕ góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) , sin ϕ = 20πα A Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC B 3π a C 4π a D 4π a Câu 30: Cho hình chóp S ABCD có cạnh bên a , đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M điểm thay đổi mặt phẳng ( SCD ) cho tổng T = MA2 + MB + MC + MD + MS nhỏ Gọi V1 thể tích khối chóp S ABCD V2 thể tích khối chóp M ACD Tỉ V số V2 17 14 21 A B C D Câu 31: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log ( x + y + xy + ) y+2 = − ( x − )( y + ) Giá trị nhỏ P x + y số có dạng= = M a b − c với a, b, c ∈ , a > Tính S = 2a + b − c A S = 19 B S = C S = 17 D S = 13 Câu 32: Cho hàm số f ( x ) = x + x + Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình f Câu 33: ( ) f ( x ) + f ( x ) + m =− x − x + có nghiệm x thuộc đoạn [ −2; 2] ? A 2276 B 1749 C 1750 Cho hàm số bậc bốn y = f ( x) có đồ thị hình vẽ D 2277 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn m ∈ [ 0; 25] cho giá trị nhỏ hàm số g= ( x) || f ( x) + m + | − f ( x) − | đoạn [−2; 2] không bé ? A 21 B 24 C 25 D 19 Câu 34: Cho hình vng kích cỡ x hình vẽ Sắp xếp ngẫu nhiên số tự nhiên từ đến 16 vào 16 vng Tính xác suất để có tổng bốn số ô hàng hay cột số lẻ A 14 B 46 6435 C 715 D 16 2145 Trang 5/43 - WordToan a 1 a tối giản + − 11 dx =3 c với a, b, c số nguyên dương, b x x x b 1 c < a Tính S =a + 2b + c A S = 99 B S = 67 C S = 51 D S = 88 Câu 36: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục Hàm số y = f ′( x) có đồ thị hình vẽ Câu 35: Biết ∫ x− ( ) Xét hàm số g ( x) = f (− x − x + m) + ( x + x − m) −2 x − x + 2m − Số giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [ −2022; 2022] để hàm số g ( x) nghịch biến khoảng (−2; 2) A 4027 B 4017 C 2023 ( D 2021 )( ) x − 2023 2022 x −1 Câu 37: Số nghiệm phương trình x − 2023 x + 2022 2022 + = A B C D Câu 38: Gọi S tập giá trị nguyên tham số m để phương trình ) ( x+1 − m 4 x + x + + 3m + 6m − 3x + =0 có nghiệm Tổng phần tử S B −3 A C −2 Câu 39: Cho hình vng ABCD có cạnh D −1 , đường thẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) A ta lấy điểm S di động không trùng với A Hình chiếu vng góc A lên SB , SD H , K Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện ACHK 16 16 A B C D 16 16 Câu 40: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 3a , tam giác SAB đều, góc hai mặt phẳng ( SCD ) ( ABCD ) 60° Gọi M trung điểm cạnh AB Tính khoảng cách hai đường thẳng SM AC , biết hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ( ABCD ) nằm hình vng ABCD A 3a 10 B 5a C a 10 D a Câu 41: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số y= (x − 3x + ) x − x f ( x ) − f ( x ) + f ( x ) Trang 6/43 – Diễn đàn giáo viên Tốn có tiệm cận đứng tiệm cận ngang? B A C Câu 42: Cho hàm số bậc ba f ( x ) hàm số g (= x) f ( mx + nx + p ) D ( m, n, p ∈ ) có đồ thị hình vẽ (đường nét liền đồ thị hàm số f ( x ) , nét đứt đồ thị hàm số g ( x ) ), đường thẳng x = − trục đối xứng đồ thị hàm số g ( x ) Tính g ( ) B 7940 A 9198 C 6802 D 1692 Câu 43: Cho hai hàm số y =x + x + x + và= y x3 m − 15 x ( m + − 15 x ) có đồ thị ( C1 ) ( C2 ) Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [ −2021;2022] để ( C1 ) ( C2 ) cắt điểm phân biệt Tính tổng phần tử tập hợp S A 2045187 B 2045162 C 2045208 D 2045117 x Câu 44: Cho hàm số f ( x= ) log3 x + − Tính tổng bình phương giá trị tham số m để phương x trình f có nghiệm thực phân biệt x − m + + + f ( x − x + ) = A 30 B 14 C 29 D 15 Câu 45: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục , f ( ) = −1 Biết F= ( x) nguyên hàm hàm số f ' ( x ) − f ( x ) ∫ f ( x ) dx= ( x − 1) e2 x a + be với a, b số hữu tỉ Tính S= a + b : A S = 64 3 B S = 13 32 C S = 64 D S = 16 Trang 7/43 - WordToan Câu 46: Cho hàm số f ( x ) = x + ax + bx + c (a, b, c ∈ , c < 0) có đồ thị ( C ) Gọi A giao điểm ( C ) trục tung, biết ( C ) có hai điểm chung với trục hồnh M , N đồng thời tiếp tuyến ( C ) M qua A tam giác AMN có diện tích 16 Tính f (1) A −3 B −4 C −1 D Câu 47: Có giá trị tham số m thỏa mãn 10m ∈ để phương trình π 2sin x − (5m + 1) sin x + 2m + 2m = có nghiệm phân biệt thuộc khoảng − ;3π A B 10 C D Câu 48: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ có= AB 3,= AD 5,= AA′ Một đường thẳng d qua D′ tâm I mặt bên BCC ′B′ Hai điểm M , N thay đổi thuộc mặt phẳng ( BCC ′B′) ( ABCD ) cho trung điểm K MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ) Giá trị nhỏ độ dài đoạn MN A B C 13 13 D 12 13 13 Câu 49: Xét số nguyên dương a, b cho phương trình a ln x + b ln x + = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 phương trình 5log x + b log x + a = có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x1 x2 > x3 x4 Tìm giá trị nhỏ S= a + 3b A 33 C 30 B 25 D 17 Câu 50: Cho hình chóp S ABCD , ABCD hình thoi tâm O cạnh 2a , góc BAD = 60 Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng đáy, hai mặt phẳng ( SAB) ( SCD) vng góc với Gọi M , N , P , Q hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC ) , ( SDC ) ( SDA) Thể tích khối chóp O.MNPQ 64a A 81 2a B Trang 8/43 – Diễn đàn giáo viên Toán 3a C 64 HẾT 4a D 1.C 11.A 21.D 31.B 41.C 2.B 12.A 22.C 32.D 42.B 3.A 13.D 23.B 33.B 43.B 4.C 14.B 24.D 34.C 44.C BẢNG ĐÁP ÁN 5.C 6.C 7.C 15.D 16.D 17.C 25.B 26.A 27.C 35.B 36.B 37.B 45.B 46.A 47.A 8.A 18.B 28.C 38.B 48.D 9.B 19.D 29.D 39.D 49.A 10.C 20.C 30.B 40.A 50.C Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục có đồ thị hình vẽ y -2 O x -2 Tính giá trị biểu thức I= A ∫ f ′ ( x − ) dx − ∫ f ′ ( 3x − 1) dx B C Lời giải Chọn C = I ) dx ∫ f ′ ( x − ) dx − ∫ f ′ ( 3x − 1= D 1 ∫ f ′ ( x − ) d ( x − ) − ∫ f ′ ( x − 1) d ( x − 1) 2 31 1 1 f ( x − ) − f ( x −= 1) 13 f ( ) − f ( −2 ) − f ( ) − f ( ) 3 = = 1 − ( −2 ) − ( − ) = − = 3 Câu 2: Cho mặt cầu ( S ) có tâm O A điểm nằm ( S ) Gọi I , K hai điểm đoạn OA = IK = KA Các mặt phẳng ( P ) , ( Q ) qua I , K , vng góc với cho OI OA cắt mặt cầu ( S ) theo đường tròn có bán kính r1 r2 Tính tỷ số A r2 10 = r1 Chọn B B r2 10 = r1 C r2 10 = r1 D r2 r1 r2 10 = r1 Lời giải Trang 9/43 - WordToan A K (Q) I (P) D r2 r1 C O (S) Gọi R bán kính mặt cầu ( S ) Trên đường trịn tâm I tâm K lấy điểm C D Khi đó: ∆KOD vng K ∆IOC vuông I R R Ta có: r1 =IC = OC − IO = R − = ; 3 2 2 R 2R r2 =KD = OD − KO = R − = R r2 = = r1 R Câu 3: Cho ∫ f ( x ) dx = A −8 2 10 1 ∫ g ( x ) dx = B −3 , ∫ f ( x ) − 2g ( x ) dx Lời giải Chọn A 1 0 C 12 D −8 − 2.5 = ∫ f ( x ) − 2g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = 2022 x − 21 Khẳng định sai? x +1 A Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) B Hàm số đồng biến khoảng (1; 2022 ) Câu 4: Cho hàm số y = C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) Lời giải Chọn C = y 2022 x − 21 = ⇒ y′ x +1 2043 ( x + 1) Trang 10/43 – Diễn đàn giáo viên Toán > 0; ∀x ≠ −1 D Hàm số đồng biến khoảng ( −1; 2022 ) Xếp số lẻ có 8! cách Xếp số chẵn có 8! cách Nên có 8!.8! cách xếp Hốn vị hàng ta có 4! cách Vậy TH có 8!.8!.4! cách xếp TH5: Xếp số lẻ có 8! cách Xếp số chẵn có 8! cách Nên có 8!.8! cách xếp Hốn vị hàng ta có 4! cách Vậy TH có 8!.8!.4! cách xếp TH6: Xếp số lẻ có 8! cách Xếp số chẵn có 8! cách Nên có 8!.8! cách xếp Hốn vị hàng ta có 4! cách Vậy TH có 8!.8!.4! cách xếp Từ ta có n ( A= ) 6.8!.8!.4! ⇒ P ( A=) 715 a 1 a x− tối giản + − dx =3 c với a, b, c số nguyên dương, 11 ∫1 b x x x b c < a Tính S =a + 2b + c A S = 99 B S = 67 C S = 51 D S = 88 Bài làm 2 1 ∫1 x − x + x8 − x11 dx= ∫1 x − x 1 + x dx Câu 35: Biết Đặt t = x − 1 2 ⇒ t =x − ⇒ 3t dt =1 + dx x x x Khi ∫ x − 1 + dx= x x 1 ∫ 3t dt= t 21 a3 14= c 4= 32 b a = 21 Suy b = 32 Vậy S = a + 2b + c = 21 + 2.32 + 14 = 67 c = 14 Câu 36: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục Hàm số y = f ′( x) có đồ thị hình vẽ Trang 29/43 - WordToan ( ) Xét hàm số g ( x) = f (− x − x + m) + ( x + x − m) −2 x − x + 2m − Số giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [ −2022; 2022] để hàm số g ( x) nghịch biến khoảng (−2; 2) A 4027 B 4017 C 2023 D 2021 Bài làm −u = x + x − m − x3 − 3x + m ⇒ Đặt u = 2u − =−2 x − x + 2m − Ta có u ′ =−3 x − < 0, ∀x ∈ (−2; 2) với x ∈ (−2; 2) u ∈ (m − 14; m + 14) Khi g ( x) trở thành g (u= ) f (u ) + u (2u − 6) = f (u ) + 2u − 6u g ′(= u ) f ′(u ).u ′ + (6u − 12u ).= u ′ 3u ′ f ′(u ) + (2u − 4u ) Để hàm số g ( x) nghịch biến (−2; 2) f ′(u ) + (2u − 4u ) > 0, ∀u ∈ (m − 14; m + 14) m + 14 ≤ m ≤ −13 Dựa vào ĐTHS ta thấy ycbt ⇔ ⇔ m − 14 ≥ m ≥ 16 Vậy có 4017 giá trị nguyên thỏa mãn {−2022; −2021; ; −13;16;17; ; 2022} ( )( ) x − 2023 2022 x −1 Câu 37: Số nghiệm phương trình x − 2023 x + 2022 2022 + = A B Lời giải C D Chọn B x − 2023 − 2023 x + 2022 )( 2022 x−1 + 1) = 2022 x − + x − 2022 ⇔ 20222 x + 2022 = ( x − 1)( x − 2022 ) (x 1 + x − 2022 x − có I Xét hàm = số y 2022 x + 2022 có a > nên hàm đồng biến và= ⇔ 2022 x + 2022 = = Xét hàm số y 1 + y′ có = x − 2022 x − Trang 30/43 – Diễn đàn giáo viên Toán −1 ( x − 2022 ) − ( x − 1) , ta dễ dàng sử dụng hệ thức lượng tam giác vng để có kết HI = BO SH = SB SA2 = SB 2 x x2 ⇒ HI = 2 x +3 x +3 Trang 32/43 – Diễn đàn giáo viên Tốn Gọi N hình chiếu K tới AD , gọi M hình chiếu I tới AC , ta dễ dàng có IM = KN ; = S IAC dễ thấy KN = SA 3x ; ⇒ IM = KN = x +3 x +3 DA2 = DS DK = DS suy IM AC 3x = 2 ( x + 3) Vật ta có VACHK = x2 3x = x + ( x + 3) Xét hàm số f ( x ) = (x 3x3 + 3) , có f ′ ( x ) = (x 3x3 + 3) 3x ( − x ) (x + 3) ; dễ thấy đạo hàm có nghiệm dương x = 3; Ta có bảng biến thiên: Vậy giá trị lớn thể tích khối tứ diện ACHK 16 Câu 40: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 3a , tam giác SAB đều, góc hai mặt phẳng ( SCD ) ( ABCD ) 60° Gọi M trung điểm cạnh AB Tính khoảng cách hai đường thẳng SM AC , biết hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ( ABCD ) nằm hình vng ABCD A 3a 10 B 5a Chọn A C Lời giải a 10 D a Gọi hình chiếu S tới ( ABCD ) H ; gọi N trung điểm CD , góc hai mặt phẳng ( SCD ) ( ABCD ) 60° ; đặt NH = x , dễ suy SH = x , MH = − x Xét tam SNH giác vng ∆SMH có x + x − x + 9= 27 ⇔ x= 4 Gọi tâm đáy O ; gọi điểm S ′ thuộc đoạn SM mà có O hình chiếu lêm mặt đáy; S ′O MO ′O ta có = = ⇒ S= = 3 SO MH 3 Trang 33/43 - WordToan Lấy M ′ trung điểm BC , dễ thấy AC // MM ′ ⇒ AC // ( SMM ′ ) BO ⊥ MM ′ ; ′} BO ∩ MM ′ ; kẻ OK ⊥ S ′O′ ⇒ OK ⊥ ( SMM ′ ) Gọi {O= = ⇒ OK d ( O, (= SMM ′ ) ) d ( AC , SM ) Dễ tính OO =′ BD 30 OO′.OS ′ S ′O′ = ; ta= có OK = = O′S ′ 10 4 Câu 41: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số y= (x x f − 3x + ) x − ( x ) − f ( x ) + f ( x ) có tiệm cận đứng tiệm cận ngang? B A C Giải g ( x) ( x − 3x + ) x − = x f ( x ) − f ( x ) + f ( x ) ( x − 1)( x − ) x − xf ( x ) f ( x ) − 1 f ( x ) − 1 x=0 f ( x) = xf ( x ) f ( x ) − 1 f ( x ) − 1 =0 ⇔ f ( x ) = f ( x) = Ta có: Từ đồ thị hàm số ta suy ra: Trang 34/43 – Diễn đàn giáo viên Toán D x = x1 +) Phương trình f ( x ) = ⇔ (trong x= x1 < nghiệm đơn, x = nghiệm kép) x = x = x2 (trong x = x2 , x = x3 nghiệm đơn lớn ) +) Phương trình f ( x ) = ⇔ x = x = x3 x = x4 +) Phương trình f ( x ) = ⇔ x =x5 (với x1 < x4 < 1, x2 < x5 < < x6 < x3 ) x = x6 Đặt f ( x ) = ax3 + bx + cx + d = ⇒ g ( x) = ( a ≠ 0) − 1)( x − ) x − ( x= xf ( x ) f ( x ) − 1 f ( x ) − 1 a ( x − 1)( x − ) x − x ( x − x1 )( x − ) ( x − 1)( x − x2 )( x − x3 ) ( x − x6 ) x −1 a x ( x − )( x − x1 ) ( x − x6 ) Do điều kiện tồn thức = x x2= , x x5= , x 2,= x x6= , x x3 x ≥ , suy đồ thị có tiệm cận đứng x −1 = bậc tử bé bậc mẫu, nên đồ thị hàm số có tiệm cận x →+∞ a x ( x − )( x − x ) ( x − x ) lim ngang y = Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận tất Câu 42: Cho hàm số bậc ba f ( x ) hàm số g (= x) f ( mx + nx + p ) ( m, n, p ∈ ) có đồ thị hình vẽ (đường nét liền đồ thị hàm số f ( x ) , nét đứt đồ thị hàm số g ( x ) ), đường thẳng x = − trục đối xứng đồ thị hàm số g ( x ) Tính g ( ) A 9198 B 7940 Giải C 6802 D 1692 Ta có f ( x )= ax3 + bx + cx + d ⇒ f ' ( x )= 3ax + 2bx + c Hàm số đạt cực trị tại= x 0,= x đồ thị hàm số qua điểm (1;0 ) , ( 0; ) nên Trang 35/43 - WordToan f ' ( 0) = a = f ' ( ) = b = −3 ⇒ ⇒ f ( x ) =x − x + f (1) = c=0 d = f ( 0) = ( mx Ta có g ( x )= + nx + p ) − ( mx + nx + p ) + Hệ số tự p − p + p =1 Đồ thị hàm số g ( x ) qua điểm ( 0;0 ) nên p − p + =0 ⇒ p =1 − , p ∈ ⇒ p =1 p= 1+ Đồ thị hàm số g (= x ) f ( mx + nx + p ) có trục đối xứng x = − y = mx + nx + p có trục đối xứng x = − nên đồ thị hàm số n 1 ⇒− =− ⇒n=m 2m Đồ thị hàm số g ( x ) qua điểm ( −2; ) nên m= n= g ( −2 ) = ⇒ g ( x ) = ( 2m + 1) − ( 2m + 1) + = ⇒ m = n = − Do đồ thị có hướng quay lên suy m > ⇒ m =n = p =1 ⇒ g ( )= f ( 42 + + 1)= f ( 21)= 213 − 3.212 + 2= 7940 Câu 43: Cho hai hàm số y =x + x + x + và= y x3 m − 15 x ( m + − 15 x ) có đồ thị ( C1 ) ( C2 ) Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [ −2021;2022] để ( C1 ) ( C2 ) cắt điểm phân biệt Tính tổng phần tử tập hợp S A 2045187 B 2045162 C 2045208 Lời giải D 2045117 Chọn B Xét phương trình hồnh độ giao điểm chung x + x + x + 1= x m − 15 x ( m + − 15 x ) Từ phương trình cho ta thấy x = , không nghiệm phương trình x > Đặt m − 15 x = t ( t ≥ ) Khi đó, phương trình trở thành 1 1 x + x + x + =x t ( t + 3) ⇔ x + x + + =t ( t + 3) ⇔ x + + x + =t + 3t x x x x • 3 Xét hàm số y= t + 3t ( 0;+∞ ) , hàm số đồng biến ⇒ x+ = x m − 15 x ⇔ x + + + 15 x= m (1) x2 Hai đồ thị cắt điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( 0;+∞ ) Trang 36/43 – Diễn đàn giáo viên Toán + + 15 x ( 0;+∞ ) x2 y′ = x − + 15 = ⇔ x = x BBT hàm số : • Xét hàm số y = x + Từ BBT suy phương trình có nghiệm phân biệt dương m > 55 m ∈ [14;2022] Vì m ∈ [ −2021;2022] nên m ∈ = S Vậy 2022 = k 2045162 ∑ k =14 Câu 44: Cho hàm số f ( x= ) log3 x + 3x − x Tính tổng bình phương giá trị tham số m để phương trình f có nghiệm thực phân biệt x − m + + + f ( x − x + ) = A 30 B 14 C 29 D 15 Lời giải 1 1 1 x x x Ta có f =log + − =− log x − + x =− f ( x ) , ∀x > x x 1 1x x Ta lại có f ′ (= + ln + ln > 0, ∀x > x) x ln x Suy f ( x ) đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) Khi phương trình 2 f + f ( x − x + ) =0 ⇔ − f ( x − m + + 3) + f ( x − x + ) =0 x − m +1 + ⇔ f ( x − x += ) f ( x − m + + 3) ( x − m + 1) = x − x + ⇔ x − x + 4= x − m + ⇔ − x2 + x − ( x − m + 1) = 4m = − x2 + 8x ⇔ (1) = x2 + 4m Trang 37/43 - WordToan Phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình (1) có nghiệm phân biệt Dựa vào đồ thị hàm số y = − x + x = y x + ta có có nghiệm phân biệt = 4m 8= m 4m =12 ⇔ m =3 4m 16 m = = Vậy tổng bình phương giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán 29 Câu 45: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục , f ( ) = −1 Biết F= ( x) nguyên hàm hàm số f ' ( x ) − f ( x ) ∫ f ( x ) dx= ( x − 1) e2 x a + be với a, b số hữu tỉ Tính S= a + b : A S = 64 3 B S = 13 32 Chọn B Ta có F ( x= ) C S = Lời giải 64 D S = 16 1 2x 2e x ( x − 1) + 2e x= xe= xe x ( x − 1) e2 x ⇒ F ' ( x=) 4 xe x Nên f ' ( x ) − f ( x ) = ⇔ f ' ( x ) e− x − f ( x ) e− x = xe x ⇔ ( f ( x ) e− x ) ' = xe x ⇔ f ( x ) e − x= ∫ xe dx= x e x ( x − 1) + C mà f (0) =−1 ⇒ (−1).1 =−1 + C ⇒ C =0 Vậy f ( x= ) ( x − 1)e2 x Trang 38/43 – Diễn đàn giáo viên Toán f ( x ) = ( x − 1)e 2x ⇒∫ 1 e2 x e2 x f ( x)dx = ∫ ( x − 1)e dx = ( x − 1) − 0 = e2 e2 − + = − 4 4 ( C ) Gọi A giao điểm 2x 13 −1 Vậy S = a + b = + = 32 4 3 Câu 46: Cho hàm số f ( x ) = x + ax + bx + c (a, b, c ∈ , c < 0) có đồ thị ( C ) trục tung, biết ( C ) có hai điểm chung với trục hoành M , N đồng thời tiếp tuyến ( C ) M qua A tam giác AMN có diện tích 16 Tính f (1) A −3 Chọn A B −4 Lời giải C −1 D Gọi M ( m;0 ) , N ( n;0 ) , A ( 0; c )( c < ) Từ giả thiết ta có f ' ( x ) = x + 2ax + b Do ( C ) có hai điểm chung với trục hồnh M , N đồng thời tiếp tuyến ( C ) M ( C ) tiếp xúc với trục hoành N f ( x ) = x3 + ax + bx + c = ( x − m )( x − n ) (m.n ≠ c < 0) qua A nên ⇒ ⇔ x + ax + bx + c = ( x − m ) ( x − 2nx + n ) a =−m − 2n ⇔ b = 2mn + n (1) c = −m.n Ta có phương trình tiếp tuyến M có dạng y = (3m + 2am + b) ( x − m ) Do tiếp tuyến M qua A(0; c) nên c = − m(3m + 2am + b) Kết hợp (1) m ≠ ta có −m.n =−m(3m + 2(−m − 2n)m + 2mn + n ) ⇔ m =2n 1 1 Ta có S ∆AMN = d ( A, Ox).MN = c m − n = −m.n m − n = 2n3 n = 16 ⇔ n = ±2 2 2 a = −8 mà n = −2 loại c < ⇒ b = 20 ⇒ f ( x) = x − x + 20 x − 16 ⇒ f (1) = −3 c = −16 Câu 47: Có giá trị tham số m thỏa mãn 10m ∈ để phương trình π 2sin x − (5m + 1) sin x + 2m + 2m = có nghiệm phân biệt thuộc khoảng − ;3π A B 10 C D Lời giải Chọn A Trang 39/43 - WordToan π Đặt= t sin x ( −1 ≤ t ≤ 1) với x ∈ − ;3π Khi ta có phương trình 2t − ( 5m + 1) t + 2m + 2m = với −1 ≤ t ≤ (1) t = m (1) ⇔ m + t= −1 Ta xét đồ thị hàm f ( x ) = sin x với x ∈ π ;3π y x O -1 0 < m < m +1 Để phương trình có nghiệm phân biệt 0 < < , m +1 2m ≠ 0 < m < m ≠ Vì 10m số nguyên nên m ∈ {1, 2,3, 4} Vậy m có giá trị nguyên thỏa mãn Câu 48: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ có= AB 3,= AD 5,= AA′ Một đường thẳng d qua D′ tâm I mặt bên BCC ′B′ Hai điểm M , N thay đổi thuộc mặt phẳng ( BCC ′B′) ( ABCD ) cho trung điểm K MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ) Giá trị nhỏ độ dài đoạn MN A B Chọn D Trang 40/43 – Diễn đàn giáo viên Toán C Lời giải 13 13 D 12 13 13 Kẻ ME vng góc với CB , tam giác MEN vuông E nên MN = EK Vậy MN bé EK bé Lúc EK đoạn vng góc chung hai đường thẳng d đường thẳng CB Qua I kẻ PQ song song với BC BC , ( D′PQ ) ) d= Khi = d ( BC , d ) d (= ( C ′, ( D′PQ ) ) C ′H với CH ′ ⊥ D′P ( C , ( D′PQ ) ) d= Ta có 1 1 13 13 12 13 = + = 2+ = ⇒ C ′H = ⇒ MN = 2 2 36 13 13 C ′H C ′P C ′D′ Câu 49: Xét số nguyên dương a, b cho phương trình a ln x + b ln x + = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 phương trình 5log x + b log x + a = có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x1 x2 > x3 x4 Tìm giá trị nhỏ S= a + 3b A 33 B 25 C 30 D 17 Lời giải Chọn A Điều kiện để hai phương trình a ln x + b ln x + = có hai nghiệm 5log x + b log x + a = phân biệt là: b − 20a > b b b − ln ( x1 x2 ) = − − a ln x1 + ln x2 = x x = e a a Theo giả thiết ta có ⇒ ⇒ b b b − log x + log x = log ( x x ) = x x = 10 − − 4 Mà x1 x2 > x3 x4 ⇒ e − b a > 10 − b b b > − ln10 a 5 ⇒a> ⇒ a ≥ ln10 ⇒− Trang 41/43 - WordToan Theo điều kiện có b − 20a > ⇒ b > 20a ≥ 60 ⇒ b ≥ a = Từ suy S = a + 3b ≥ 33 ⇒ Min S = 33 ⇔ b = Câu 50: Cho hình chóp S ABCD , ABCD hình thoi tâm O cạnh 2a , góc BAD = 60 Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng đáy, hai mặt phẳng ( SAB) ( SCD) vuông góc với Gọi M , N , P , Q hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC ) , ( SDC ) ( SDA) Thể tích khối chóp O.MNPQ A 64a 81 B 2a Chọn C C Lời giải 3a 64 D 4a Ta nhận xét tam giác ABD tam giác BCD đều, gọi E1 trung điểm BC DE1 ⊥ BC Gọi E , F , G, H điểm thuộc cạnh AB, BC , CD DA cho a Theo tính chất đường trung bình, suy EB = BF = DG = DH = OF ⊥ BC , OE ⊥ AB, OQ ⊥ CD, OH ⊥ AD Gọi M , N , P, Q hình chiếu vng góc O lên đường thẳng SE , SF , SG, SH ta suy M , N , P, Q hình chiếu vng góc O mặt phẳng ( SAB), ( SBC ), ( SDC ) ( SDA) Ta có EFGH hình chữ nhật 3 3a = S EFGH EF = EH ( BD).(= AC ) 2a = 2a 4 4 = 900 ⇒ SO = EG = a hai mặt phẳng ( SAB) ( SCD) vng góc với , suy ESG = VS EFGH 3a a 3a = a SM SO SN SP SQ Trong tam giác vng SOE ta có = = suy = = = SE SE SF SG SH Các độ dài SE = SO + OE = Trang 42/43 – Diễn đàn giáo viên Toán Xét hai hình chóp S EFGH O.MNPQ ta có hai đường cao OO′ SO tương ứng tỷ lệ S MNPQ MN 2 OO′ = , đồng thời diện tích đáy= = S EFGH EF SO V 1 3a 3a Do O.MNPQ = hay VO= V = = MNPQ S EFGH VS EFGH 8 8 64 HẾT Trang 43/43 - WordToan ... ) A 15 B 12 C 66 D 28 Lời giải Chọn C 4x 12 y= = 4− với x ≠ −3 x+3 x+3 y ∈ ⇔ ( x + 3) ước 12 Câu 10: Có đường thẳng cắt đồ thị hàm số y = ⇔ ( x + 3) ∈ {±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ? ?12} ⇒ x ∈ {−15;... tích khối chóp O.MNPQ 64a A 81 2a B Trang 8/43 – Diễn đàn giáo viên Toán 3a C 64 HẾT 4a D 1.C 11.A 21.D 31.B 41.C 2.B 12. A 22.C 32.D 42.B 3.A 13.D 23.B 33.B 43.B 4.C 14.B 24.D 34.C 44.C BẢNG... m ) x − x2 ( x − m ) x − x2 Suy đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng= x 0= x Trang 12/ 43 – Diễn đàn giáo viên Toán m ≤ u cầu tốn ⇔ Vì m nguyên thuộc đoạn [ −100;100] nên m ≥ m ∈ {−100; −99;