SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn Toán học 12 Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (7,0 điểm) a) Cho hàm số[.]
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC 2022 – 2023 Mơn: Tốn học 12 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (7,0 điểm) a) Cho hàm số y x 2mx 3m với m tham số Tìm m để hàm số có giá trị cực tiểu 3 y ( x 1) y x b) Giải hệ phương trình y 2 x x x y Câu (2,0 điểm) Có tám người ngồi quanh bàn trịn Mỗi người có đồng xu đồng chất Cả tám người tung đồng xu Ai tung mặt ngửa đứng dậy, cịn tung mặt sấp ngồi n Tính xác suất để khơng có hai người đứng cạnh Câu (4,0 điểm) a) Cho hàm số f x (m3 8) x (m2 4) x3 (2m 4) x x 2022, với m tham số Tìm m để hàm số f ( x) đồng biến đoạn 1;3 b) Cho hai số thực thay đổi x, y thỏa mãn x x y y y Tìm giá trị nguyên biểu thức P x y 1 2x y Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABC Trên cạnh SA, SB, SC lấy điểm D, E , F (khác S) Gọi M điểm chung ba mặt phẳng ( ABF ), ( BCD), (CAE ) Đường thẳng SM cắt mặt phẳng (ABC) (DEF) P N Chứng minh NP MP NS MS Câu (5,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh 3a, cạnh bên 2a, hình chiếu vng góc A ' lên mặt phẳng ( ABC ) thuộc cạnh AB góc mặt phẳng ( A ' ACC ') đáy arctan a) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tính sin góc đường thẳng A ' G mặt phẳng ( BCC ' B ') …………… Hết …………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Họ tên thí sinh…………………….……… .Số báo danh HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG TRƯỜNG (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Câu 7,0 điểm Nội dung Điểm a)(3,0 điểm) Cho hàm số y x 2mx 3m với m tham số Tìm m để hàm số có giá trị cực tiểu 3 1,0 x Ta có: y ' x3 4mx x( x m); y ' x m 0,5 TH1: m 0, từ bảng biến thiên ta có yCT y (0) 3m (thoả mãn điều kiện) TH2: m 0, từ bảng biến thiên ta có yCT y ( m ) m 3m 0,5 13 (thoả mãn điều kiện) y ( x 1) y x (1) b) (4,0 điểm) Giải hệ phương trình y 2 x x x y (2) y 1 Điều kiện xác định: x Ta có (1) ( y x)( y 1) y x 0,5 x2 x x , Xét hàm số f ( x) x x x 3, x Ta có 2x 1 f ( x) 0, x , suy f ( x) đồng biến [ ; ) Mặt 4 4x 2x 2x khác x nghiệm phương trình nên nghiệm 1,0 Với y x, thay vào (2) ta x 0,5 Do đó: yCT 3 3m 3 m 0,5 Do đó: yCT 3 m2 3m m Với y 1, thay vào (2) ta được: x x x x Vì x khơng thoả mãn phương trình nên pt 5x x2 x x x2 x 8 x2 x x 0 x2 5x Xét hàm số g ( x) x x x , x [ ; ) \ 2 x2 2x 1 2 Ta có g '( x) , x ( ; ) \ 2 4 x ( x 2) x2 x 3 Vì g '( x) 0, x ( ; ) \ 2 nên hàm số đồng biến [ ; 2) (2; ) 4 Do phương trình g ( x ) có nhiều hai nghiệm Mặt khác x 1, x hai nghiệm g ( x ) Vậy phương trình có hai nghiệm x 1, x Câu 2,0 điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Có tám người ngồi quanh bàn trịn Mỗi người có đồng xu đồng chất Cả tám người tung đồng xu Ai tung mặt ngửa đứng dậy, cịn tung mặt sấp ngồi n Tính xác suất để khơng có hai người đứng cạnh Số khả xảy 28 256 0,5 Để hai người đứng cạnh có tối đa người đứng TH1: khơng có người đứng, ta có cách TH2: có người đứng, ta có cách TH3: có hai người đứng, ta có C82 20 cách 0,5 TH4: có người đứng, ta có C83 8.4 16 cách TH5: có người đứng, ta có cách 20 16 47 Vậy xác suất cần tìm P 256 256 Câu 4,0 điểm 0,5 0,5 a)(2,5 điểm) Cho hàm số f x (m3 8) x (m2 4) x3 (2m 4) x x 2021, với m tham số Tìm m để hàm số f ( x) đồng biến đoạn 1;3 Ta có f x (m3 8) x 3(m 4) x (4m 8) x 0,5 Hàm số f ( x) đồng biến đoạn 1;3 f ( x) 0, x 1;3 (1) Ta có f x m3 x 3m x 4mx x 12 x x 0,5 (mx 1)3 mx (2 x 1)3 x (2) Xét hàm số g (t ) t t Ta có g (t ) 3t t , suy g (t ) đồng biến R Do (2) mx x ( m 2) x h(1) Từ đó, (1) h( x) (m 2) x 0, x 1;3 m h(3) b) (1,5 điểm) Cho hai số thực thay đổi x, y thỏa mãn x x y y y Tìm giá trị nguyên biểu thức P 0,5 1,0 x y 1 2x y Từ giả thiết ta có: x 3x (1 y )3 3(1 y ) x y x y 0,5 Đặt x sin , y cos Ta có 0,5 P sin 2cos (2 P 1)sin ( P 2) cos 3P, (2sin cos 0, ) 2sin cos Áp dụng điều kiện có nghiệm ta được: (2 P 1)2 ( P 2)2 (3P 1) 0,5 1 17 1 17 P 4 Các giá trị nguyên P –1;0 Câu 2,0 điểm Cho hình chóp S ABC Trên cạnh SA, SB, SC lấy điểm D, E , F (khác S) Gọi M điểm chung ba mặt phẳng ( ABF ), ( BCD), (CAE ) Đường thẳng SM cắt mặt phẳng (ABC) (DEF) P N Chứng minh NP MP NS MS Câu 5,0 điểm Đặt SD aSA, SE bSB, SF cSC , SP xSA ySB zSC Do A, B, C , P đồng phẳng nên x y z SM SM x Ta có SM SP ( SD ySB zSC ) SP SP a SM x SP x Do D, B, C , M đồng phẳng nên ( y z) y z SP a SM a SP y z Tương tự: x z x y Suy SM b c SP x y z MP x y z (1) SM a b c MS a b c SN SN x y z Ta có SN SP ( SD SE SF ) SP SP a b c Do D, E , F , N đồng phẳng nên SN x y z SP x y z NP x y z ( ) 1 (2) SP a b c SN a b c NS a b c NP MP Từ (1) (2) ta có NS MS Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh 3a, cạnh bên 2a, 0,5 0,5 0,5 0,5 hình chiếu vng góc A ' lên mặt phẳng ( ABC ) thuộc cạnh AB góc mặt phẳng ( A ' ACC ') đáy arctan a)(2,5 điểm) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Hạ A ' H AB, HK AC Khi đó: (( A ' ACC '), ( ABC )) A ' KH x x Đặt A ' H x, ta có: HK , AH Ta có A ' H AH A ' A2 x a 9a 9a 27a3 VABC A ' B 'C ' a 4 b) (2,5 điểm) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tính sin góc đường thẳng A ' G 0,5 1,0 0,5 SABC 0,5 mặt phẳng ( BCC ' B ') Gọi M M’ trung điểm BC, B’C’ Gọi I giao điểm A’G với MM’ A ' G AG Ta có A ' I A ' G GI GM 0,5 Ta có AG a 3, HG a, A ' G 2a A ' I 3a 0,5 9a VA '.BCC ' B ' VABC A ' B 'C ' 3 BB '.BC Ta có cos B ' BC , mà BB '.BC AA '.BC ( AH HA ').BC AH BC a 2 BB '.BC 15 Suy cos B ' BC sin B ' BC 4 0,5 S BCC ' B ' BB '.BC.sin B ' BC 15a 2 3VA '.BCC ' B ' 9a S BCC ' B ' 15 d ( A ', ( BCC ' B ')) Vậy sin( A ' G, ( BCC ' B ')) A' I 15 0,5 Suy d ( A ', ( BCC ' B ')) …………………….Hết…………………… Ghi chú: HS giải cách khác cho điểm tối đa 0,5 ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG TRƯỜNG (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Câu 7,0 điểm Nội dung Điểm a)(3,0 điểm) Cho hàm... x( x m); y '' x m 0,5 TH1: m 0, từ bảng biến thi? ?n ta có yCT y (0) 3m (thoả mãn điều kiện) TH2: m 0, từ bảng biến thi? ?n ta có yCT y ( m ) m 3m 0,5 13 (thoả mãn... biến đoạn 1;3 f ( x) 0, x 1;3 (1) Ta có f x m3 x 3m x 4mx x 12 x x 0,5 (mx 1)3 mx (2 x 1)3 x (2) Xét hàm số g (t ) t t Ta có g (t )